Ejercicios. 1. Definir en Maxima las siguientes funciones y

Ejercicios.
1. Definir en Maxima las siguientes funciones y evaluarlas en los puntos que se
indican:
2. Graficar las funciones anteriores, definiendo adecuadamente los rangos de x e
y, para visualizar su comportamiento.
3. Utilizar el software para analizar gráficamente el comportamiento de la función
representando en un mismo gráfico diferentes funciones que se
obtienen al asignarle a cada una de las constantes distintos valores y
manteniendo la otra fija.
4. Determinar el dominio y los ceros de f(x), h(x) y m(x), utilizando la función
Solver.
5. Encontrar los puntos de intersección entre la parábola
y la recta
,
utilizando la función Solver, corroborar el resultado mediante un gráfico y
evaluando ambas funciones en los valores de x obtenidos.
6. Calcular los siguientes límites:
7. Calcular la primera y segunda derivada de las funciones del ejercicio 1).
8. Usar el software para resolver el siguiente problema:
La población de una colonia de células que crece exponencialmente en un
cultivo es de 300 después de 2minutos y de 1400 después de 5 minutos. a)
Hallar la fórmula mediante la cual se puede estimar el tamaño poblacional en
función del tiempo en minutos. b) Hallar la tasa de crecimiento en porcentaje.
c) Representar gráficamente la función. d) ¿Cuál es el tamaño poblacional de
la colonia después de 20 minutos?
Práctico 2.
9. Ejercicio para analizar funciones:
Analizar la función
estudiando:
Un granjero desea construir una cerca rectangular a la orilla de un río, para lo
que dispone de 120m de valla. El lado que mira al río no será cerrado. ¿Cuál
es el área de la región más grande que se puede cercar?
Se lanza un objeto hacia arriba, la función
describe la posición
del objeto en función del tiempo con respecto a l suelo. La posición se mide en
metros y el tiempo en segundos. a) Indicar el dominio para que la función
tenga sentido físico y graficar. b) Hallar la altura máxima que alcanza el
objeto. c) La función
da la expresión de la velocidad del objeto en función
del tiempo. ¿Qué valor tiene
en
,
y en la altura máxima? d)
¿Cuánto tiempo duró el movimiento? e) ¿En qué momento el móvil se
encuentra a un metro del suelo?
En un instituto de enseñanza de inglés se anotaron 90 personas para el curso
inicial. La cuota ha sido fijada en $100 mensuales para cada estudiante. Se
formarán grupos de igual número de alumnos. Se ofrecerán becas, y el
número de las mismas será determinado por el número de alumnos del
grupo.
(Si los grupos son de 3 alumnos, el instituto ofrecerá 3 becas. Si los
grupos son de 7 alumnos, el total de becas será 7.) La beca consiste en una
rebaja del 50% de la cuota. El salario del profesor de cada grupo será de $125
mensuales. ¿De cuántas personas le convendrá al instituto formar los grupos
para obtener la mayor ganancia posible?
Se desea confeccionar una caja sin tapa que tenga el máximo volumen posible,
utilizando un recorte de cartulina de forma cuadrada de 30 cm de lado. ¿Qué
dimensiones tendrá la caja?
Un área de 5000 pies cuadrados, ha sido planteada para el nuevo exhibidor
rectangular de focas en el zoológico local. El borde tendrá 10 pies de ancho en
dos de los lados opuestos y 20 pies de ancho en los otros dos lados. El área
para la piscina se muestra en la figura. ¿Qué dimensiones maximizará el área
de la piscina?
Problemas para definir funciones:
La población de una colonia de células que crece exponencialmente en un
cultivo es de 300 después de 2minutos y de 1400 después de 5 minutos. a)
Hallar la fórmula mediante la cual se puede estimar el tamaño poblacional en
función del tiempo en minutos (Plantear el sistema de ecuaciones asociados y
resolverlo utilizando el Solver.) b) Hallar la tasa de crecimiento en porcentaje.
c) Representar gráficamente la función. d) ¿Cuál es el tamaño poblacional de
la colonia después de 20 minutos?
Temas:
Definir funciones (incluso a trozos)
Evaluar funciones
Graficar (una y varias funciones en un grafico)
Calcular ceros (resolver ecuaciones y sistemas)
Calcular límites
Calcular derivadas
Función
abs (expr)
Como opera
Ejemplo
Devuelve el valor absoluto
de expr. Si la expresión es
compleja,
retorna
el
módulo de expr.
max (x_1, ..., x_n)
Devuelve el mayor valor
min (x_1, ..., x_n)
Devuelve el menor valor
factorial (x) o x!
Devuelve el factorial de un
valor
exp (x)
Representa la
exponencial.
log (x) *
Representa el logaritmo
natural (en base e) de x.
cos (x)
Representa el coseno de x
sin (x)
Representa el seno de x
tan (x)
Representa la tangente de
x
sqrt (x) o x^(1/2)
Raíz cuadrada de x.
función
Maxima no tiene definida una función para el logaritmo de base 10 u otras bases. El usuario
puede hacer uso de la definición log10(x):= log(x) / log(10).
Contenidos:
Presentación y exploración del programa “Maxima” y su entorno gráfico WXMaxima.
Aprender a calcular los ceros, límites y derivadas de funciones conocidas usando el
programa.
Aprender a definir funciones continuas o a trozos. Analizar los problemas que surgen al
querer calcular límites, derivadas e integrales de las funciones a trozos y como
solucionarlos.
Graficar funciones de una variable. Enfatizar sobre la importancia de haber
seleccionado rangos adecuados para las variables.
Analizar, usando las herramientas aprendidas, el comportamiento de diferentes
funciones.
En Maxima, un comentario es cualquier texto encerrado entre las marcas /* y */.
Variable opcional: inchar
Valor por defecto: %i
La variable inchar es el prefijo de las etiquetas de las expresiones introducidas
por el usuario. Maxima crea automáticamente una etiqueta para cada expresión
de entrada concatenando inchar y linenum.
A inchar se le puede asignar cualquier símbolo o cadena, no necesariamente un
caracácter sencillo. Puesto que internamente Maxima solo tiene en cuenta el
primer carácter del prefijo, los prefijos inchar, outchar y linechar deben
comenzar con caracteres diferentes; en caso contrario, sentencias como
kill(inlables) pueden dar resultados inesperados.
Véase también labels.
Ejemplo:
(%i1) inchar: "input";
(%o1)
input
(input2) expand((a+b)^3);
3
2
2
3
(%o2)
b + 3 a b + 3 a b + a
(input3)
Variable opcional: outchar
Valor por defecto: %o
La variable outchar es el prefijo de las etiquetas de las expresiones calculadas
por Maxima. Maxima crea automáticamente una etiqueta para cada expresión
calculada concatenando outchar y linenum.
A outchar se le puede asignar cualquier símbolo o cadena, no necesariamente
un caracácter sencillo. Puesto que internamente Maxima solo tiene en cuenta el
primer carácter del prefijo, los prefijos inchar, outchar y linechar deben
comenzar con caracteres diferentes; en caso contrario, sentencias como
kill(inlables) pueden dar resultados inesperados.
Véase también labels.
Ejemplo:
(%i1) outchar: "output";
(output1)
output
(%i2) expand((a+b)^3);
3
2
2
3
(output2)
b + 3 a b + 3 a b + a
(%i3)
Como vemos, Maxima opera con aritmética racional y, por defecto, nos
devuelve una fracción como resultado. Si añadimos una coma (“,”) seguida de
la orden “numer”, se obtendrá una expresión numérica, por defecto, con 16
cifras decimales.
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos plantean algunos problemas de difícil solución para Maxima.
Esencialmente hay dos formas de definir y trabajar con funciones a trozos:
a) definir una función para cada trozo con lo que tendremos que ocuparnos nosotros de ir escogiendo
de elegir la función adecuada, o
b) utilizar una estructura if-then-else para definirla.4
Cada uno de los métodos tiene sus ventajas e inconvenientes. El primero de ellos nos hace
aumentar el número de funciones que definimos, usamos y tenemos que nombrar y recordar.
Además de esto, cualquier cosa que queramos hacer, ya sea representar gráficamente o calcular
una integral tenemos que plantearlo nosotros. Maxima no se encarga de esto. La principal limitación
del segundo método es que las funciones definidas de esta manera no nos sirven para derivarlas
o integrarlas, aunque sí podremos dibujar su gráfica. Por ejemplo, la función
f .x. . (x2; si x < 0
x3; en otro caso
la podemos definir de la siguiente forma utilizando el segundo método
(%i13) f(x):=if x< 0 then xb2 else xb3;
(%o13) f(x):=if x< 0 then x2 else x3
4 En la sección 4.4.1 explicamos con más detalle este tipo de estructuras
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Practicas_con_Maxima.pdf