MMII_L10_c6: Condiciones de Contorno Naturales

MMII_CV_c5: Condiciones naturales
Guión:
En esta clase nos ocuparemos de las condiciones naturales. Como caso
particular obtendremos las condiciones de Newmann homogéneas. Para su
obtención podemos partir de las condiciones de fronteras móviles o
directamente, imponiendo la definición de variación de primer orden del
funcional.
Después generalizamos la definición de condiciones naturales en dimensión 3,
y veremos además que las condiciones Newmann no homogéneas dan lugar a
la aparición de términos adicionales en el funcional extendido a las fronteras
del dominio.
La bibliografía es la misma que en las clases anteriores.
Ejercicios recomendados:
1
(1 y '' 2
1. Obtener los extremales del funcional: J ( y )
y '2 ) dx para las
0
condiciones: y(0) 0; y(1) 1 , y tomando y’(1) que varíe arbitrariamente.
Justificar la condición adicional a aplicar en x=1, utilizando directamente la
definición de variación de primer orden.
2. Dado el problema:
T
(u 2 u '2 ) dt
Min. J (u)
T0
Con la condición de punto fijo u(T) = 0, con T
, se pide:
Extremales con u(T0) = u0, con T0 , u0
.
Extremales con condición natural en t = T0.
Extremales con u (T0 ) 1, T0 T , T0 libre.
______________________________________________________________________
Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a
clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran
posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.
1
Casos particulares de Frontera Móvil
1)
y2
y2 fijo, x2 libre
y y2 0
fy'
CT(d2):
2)
x
0
y
1
f
x
f
fy' y '
f y ' y ' x2
y
x2
0
0
x2 fijo, y2 libre
x x 2 0 Condiciones naturales
fy'
CT(d2):
3)
x
1
y
0
f
x
f y ' x2
fy' y '
x2
y
x2
0
0
x2, y2 libres e independientes
f y ' x2
Deben cumplirse las dos condiciones anteriores: f x
2
0
0
CONDICIONES NATURALES EN DIMENSIÓN 2:
Opt J ( y )
x2
x1
f ( x , y , y' ) dx ; y V1
C2
Las condiciones naturales se pueden obtener como caso particular de fronteras
móviles (2 anterior), pero otra forma de obtener las condiciones naturales sin
recurrir a las condiciones de frontera móvil, sino directamente del problema:
d
J
J( y
h) 0 0 , h V C 2
d
d x2
f ( x, y
h, y' h' ) 0 0 , h V C 2
d x1
x2
x1
x2
x1
fy h
f y ' h'
h f y f ' y'


0 ,
h
hf y ' xx12

0
V
0 ,
C2
h V
C2
0
Suponiendo independencia entre x1 y x2:
LFCV: f y
f ' y'
0,
x
hf y ' x1
0
h
hf y ' x 2
0
h
x1 , x 2
En el caso de funcional cuadrático: f
f y ' ( x1 ) 2ay '( x1 ) 0
f y ' ( x1 ) f y ' ( x 2 ) 0
1
ay '2 by 2
2
2Fy :
y '( x1 ) 0
2
f y ' ( x2 ) 2ay '( x2 ) 0
y '( x2 ) 0
se obtienen las condiciones de contorno tipo Newmann homogéneas.
Condiciones naturales en dimensión 3:
Opt J
d
d
J
f ( x, y, z, u, p, q, r )
D
D
f ( x, y , z, u
hf u
D
h, p
hx f p
D
g1 ( x, y, z, u) ,
hx , q
hy fq
hy , r
hz f r
hz )
D
hg 1u
u V1
D
C 2 , p ux ; q u y ; r uz
g 1 ( x, y, z, u
0 ,
h)
0
h V
Haciendo uso del teorema de la divergencia:
D
h fu
fp
x
y
fq
z
fr
D
h g1u
fp , fq , fr
N
0 ,
h V
Suponiendo independencia entre perturbaciones en D y D .
fu
fp
x
g1u
y
fp , fq , fr
fq
z
fr
0 en D generalización de la ec. de Ostrogradski
N 0 en D condiciones de contorno naturales:
eu
; con a, b, c, e C0
2
2
2
f ap
bq
cr
Nos quedan las condiciones de contorno Neumann no homogéneas:
2au x ,2bu y ,2cu z N e ( x, y , z ) D
Es decir, en la formulación variacional de los problemas con condiciones de
contorno tipo Neumann no homogéneas, aparece un término adicional en el
funcional extendido a la frontera del dominio.
Si fuera:
g1
Veamos un ejemplo de aplicar la definición de cn10(ol) cuando faltan
condiciones de contorno.
Ej1:
J
1
(1 y ' ' 2 )dx
0
y (0) 0 ; y ' (0) 1 ; y (1) 1
Aplicando la definición de la cn1o(ol) directamente.
En primer lugar veremos que usando las cn10(ol) usuales nos faltan
condiciones:
fy
( fy ' )' ( fy '' )''
y
C1
C2 x
0, x
0,1
C3 x 2
C4 x 3
(2y '')''
0
yIV
0, x
0,1
3
0, h V
y ( 0) 0
Cond. cont: y ' (0) 1
C1
C2
0
1
y
y (1) 1 1 C 3 C 4 1 C 4
Aplicando ahora la definición:
d x2
J 0
f(x, y
h, y ' h', y ''
d x1
h(0) 0
Como h V
h'(0) 0
h(1) 0
J
x2
x1
1
0
y ' ' h' '
fyh
1
fy 'h' fy ''h''
1
0
y ' ' h'
yIV
y ''(1)
2 y ''h''
0
1
0
y ' ' h'
0 ,
x
y ' ' h'
1
0
0 ,
y''' h
C3 ( x 2
x
x3)
C3
h'')
h
1
0
0
,
h
V
V
1
1
0
0
y IV h ( y ' ' h' )(1)
hy IV
0,
h V
0,1
0 Condición adicional para hallar el valor de C3
y x C3 ( x 2 x 3 ) y ' 1 2C3 x
y ' ' (1) 0 2C 3 6C 3 0 C 3 0
3C3 x 2
y x
y ' 2C3
6C3 x
Veremos si el extremal es un mínimo global:
J
J
J
1
0
1 ( y ' ' h' ' ) 2
1
0
1 y''
2
1
0
h' ' 2 2y ' h' '
0 Mínimo global
4