Ejercicio nº 1.- Calcula: a 12 2 3 4 7 b 8 3 5 4

Ejercicio nº 1.Calcula:
a 12  2  3  4  7
b 8  3 5  4  2  3  7
c
8
2
  7    1   8   10
2
Solución:
a 12  2  3  4  7  6  12  7  11
b 8  3 5  4  2  3  7  8  3 5  4  6  7  8  3  0  8  0  8
c
8
  7   1   64  10  4  7  64  10  65
2
Ejercicio nº 2.Calcula y simplifica:
a
1 4 1 3
   3
5 3 2 5
b
4 2 1 2 1 

  1
5 5  3 5 2 
Solución:
a
1 4 1 3
1 4 3 1 2 1 2
   3  
   
5 3 2 5
5 6 15 5 3 5 3
b
4 2 1 2 1 

  1
5 5  3 5 2 

4 2 1 1  4 2  5
3 15  4 2 17 4 34 60 34 26
    1    

  
 



5 5  3 5  5 5 15 15 15  5 5 15 5 75 75 75 75
Ejercicio nº 3.a Calcula:

 1
 3 
8
  , 2 , 

2
 2 
3
b Simplifica aplicando las propiedades de las potencias:
1
82  2
2 4  43
Solución:
 1
a  
 2

7
3
1
1
33
27
 2
 3
    27  128; 28  8 
;     3  
256  2 
8
2
2
 1
 
 
2
2 2
82  2
26  2
27
1 1
b 4 3 
 4 6  10  23  3 
3
4
2
8
2 4
2

2
2
2
2  2
3
Ejercicio nº 4.-
2
de la superficie total. El
5
resto de la
parcela se ha dedicado al jardín. Sabiendo que para el jardín se han utilizado 60 m 2, ¿cuál es la
superficie que ocupa la casa?
En una parcela se ha construido una casa que ocupa los
Solución:
3
de la superficie total.
5
3
60  5
Tenemos que:
del total  60 m2  Total 
 100 m2
5
3
Al jardín se han dedicado los
La casa ocupará 100  60  40 m2.
La casa ocupa 40 m 2 de superficie.
Ejercicio nº 5.a Tenemos tres monedas: una de 2 €, otra de 50 céntimos y una última de
10 céntimos. ¿Cuántas cantidades de dinero distintas podemos formar con ellas? Descríbelas.
b ¿Y si además tuviéramos una moneda de 1 €?
Solución:
a Con 1 moneda podemos formar cantidades de:
2 €; 0,50 €; 0,10 €
Con 2 monedas:
2  0,50  2,50 €
2  0,10  2,10 €
0,50  0,10  0,60 €
Con 3 monedas:
2  0,50  0,10  2,60 €
En total se pueden formar 3  3  1  7 cantidades de dinero distintas.
b Se puede seguir un razonamiento parecido al anterior o el siguiente:
2
La cantidad mínima es 0,10 € y la máxima 3,60 €; entre esas dos se pueden conseguir las siguientes
cantidades:
0,50; 0,60; 1; 1,10; 1,50; 1,60; 2; 2,10; 2,50; 2,60; 3; 3,10; 3,50
En total hay 15 cantidades distintas.
Ejercicio nº 1.Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes
aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
El error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra significativa:
½
Error absoluto ½ 
Una cota para el error relativo es:
½
Error relativo½



Valor real Valor aproximado
Por tanto:
a) Error absoluto  500 €
500
½Error relativo½
 0,0018
275 000
b) Error absoluto  500 personas
500
½Error relativo½
 0,011
45 000
c) Error absoluto  50 coches
50
½
Error relativo½
 0,125
400
Ejercicio nº 2.a Si hallamos 325 con la calculadora, obtenemos en la pantalla lo siguiente:
1.1802353812
Expresa el número anterior en notación científica y en forma decimal.
b Calcula:
3
5,25  1010  3,12  108
2  103
Solución:
a 1,18023538 · 1012  0,00000000000118023538
b
5,25  1010  3,12  108 5,2188  1010

 2,6094  1013
3
3
2  10
2  10
Ejercicio nº 3.a Halla, con ayuda de la calculadora, dando el resultado en notación científica con tres cifras
significativas:
8,25  1010
 1,23  1011
4,6  10 2
b Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al dar el resultado
aproximado.
Solución:
a) 8.25 EXP 10  4.6 EXP
 2  1.23 EXP 11  1.91647826112
Por tanto:
8,25  1010
 1,23  1011  1,92  1012
4,6  10 2
b Error absoluto  5 · 109  
½
Error relativo½

Valor real


Valor aproximado
Error relativo  0,0026
Ejercicio nº 4.Escribe en forma de fracción irreducible cada uno de estos números:
a 2,75
b  3,24
c  2,32
Solución:
4
a 2,75 
275 11

100 4
b 100N  324,242424...
N 
3,242424...
99N  321

N
321 107

99
33
c  100N  232,222...
10N  23,222...
90N  209
 N
209
90
Ejercicio nº 1.Sitúa cada número en la casilla correspondiente (recuerda que puede ir en más de una):
2
; 7,23; 1; 0,25; 78;
3
4;
7; 




Solución:

78;

- 1; 78;


4
2
; 7,23;
3
2
; 7,23;
3
4
 1;
0,25; 78;
4
 1;
0,25; 78;
4;

7;
Ejercicio nº 2.a) Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso:
I) x / 5  x  7
II) x / 2  x
b) Escribe en forma de desigualdad y representa:
1

I)  ,   
2

5
II)
 4, 1
Solución:
a) I) 5, 7
II) 2, +  

b) I)  x / x 

1

2
II) x /  4  x  1
Ejercicio nº 3.Halla, con ayuda de la calculadora, aproximando hasta las centésimas cuando sea necesario:
a
4
5 830
b
7
52
3
c  35 4
Solución:
a
4
5 830  8,74
b
7
52  1,58
3
c  35 4  14, 39
Ejercicio nº 4.Extrae del radical todos los factores que sea posible:
a
b
3
54
8a 5
Solución:
6
a)
54  3 33  2  3 33  3 2  3 3 2
3
8a5  23  a5  23  2  a2  a2  a  2a2 2a
b)
Ejercicio nº 5.Calcula y simplifica:
a  3 32  72
b
9  3 81
3
Solución:
a 3 32  72  3 25  23  32  12 2  6 2  18 2
b
9  3 81  3 9  81  3 32  34  3 36  9
3
Ejercicio nº 6.Suprime el radical del denominador.
2
a
b
3
1
4
a
Solución:
a
2
b
1
3
4
a


2 3
3 3
4
4

a3
a  4 a3
2 3
3

4
a3
a
Ejercicio nº 1.Halla el valor de x en cada caso:
a x  3 de 280
b 18 de x  6,48
Solución:
a x  280 · 0,03  8,4
7
b) x 
6,48
 36
0,18
Ejercicio nº 2.Si 3,5 kg de naranjas cuestan 6,3 €, ¿cuánto tendremos que pagar por 4 kg y 800 gramos de las
mismas naranjas?
Solución:
6,3 : 3,5  1,8 € cuesta 1 kg de naranjas.
4,8 · 1,8  8,64 € costarán 4 kg 800 gramos de esas naranjas.
Ejercicio nº 3.Se mezclan 15 litros de aceite de oliva, de 3,40 €/l, con 7,5 l de aceite de girasol. Sabiendo que el litro
de mezcla sale a 2,8 €/l, ¿cuánto cuesta el litro de aceite de girasol?
Solución:
CANTIDAD
PRECIO
COSTE
OLIVA
15 l
3,40 €/l
15 · 3,40  51 €
GIRASOL
7,5 l
MEZCLA
22,5 l
Precio aceite girasol 
63  51  12 €
22,5 · 2,8  63 €
2,8 €/l
Coste
12 €

 1,6 €/l
Cantidad 12 l
Ejercicio nº 4.Un teatro tiene un aforo de 725 butacas. En una representación se quedan vacías el 8%. ¿Cuántas
personas acudieron ese día a la representación?
Solución:
8% de 725  0,08 · 725  58 butacas se quedaron vacías.
725  58  667 personas acudieron a la representación.
Ejercicio nº 5.-
8
El precio actual de una vivienda en cierta ciudad es de 201 600 €. Sabiendo que, en el último año, el
precio de la vivienda en ese lugar se ha incrementado en un 12%, ¿cuánto costaba el año pasado?
Solución:
Este año cuesta el 100%  12%  112% del precio anterior.
112% de x  201600

x
201600
 180 000 € costaba el año pasado.
1,12
Ejercicio nº 6.Halla el interés simple producido por un capital de 27 000 € colocado durante 3 años al 4 de interés
anual.
Solución:
27 000 · 0,04  1 080 € produce en un año.
1 080 · 3  3 240 € produce en 3 años.
Ejercicio nº 7.Calcula en cuánto se transforman 9 500 € colocados al 3,5 de interés compuesto anual durante 3
años.
Solución:
Capital final  9 500 · 1,0353  10 532,82 €
Ejercicio nº 8.Una moto sale desde una ciudad A a una velocidad de 44 km/h. Al cabo de media hora, sale un
coche desde A a una velocidad de 110 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar el coche a la
moto?
Solución:
El coche y la moto se aproximan a una velocidad de:
110  44  66 km/h
En media hora, la moto ha recorrido:
44 · 0,5  22 km
Tiempo que tardará en alcanzar el coche a la moto:
22 km : 66 km/h 
1
h  20 minutos
3
9
Ejercicio nº 1.Dados los monomios A  6x3, B  3x, C  4x3, calcula:
a C A · B
b B · C  : A
c A2 : 2B
Solución:
a C A · B  4x3  6x3 · 3x  2x3 · 3x  6x4
b B · C : A  3x · 4x3 : 6x3  12x4 : 6x3  2x
c A2 : 2B  6x3 : 2 · 3x  36x6 : 6x  6x5
Ejercicio nº 2.Efectúa y simplifica:
2x2  3x  1 2x  1  4x3  8x 2  1
Solución:
2x2  3x  1 2x  1  4x3  8x 2  1  4x3  2x2  6x2  3x  2x  1  4x3  8x2  1 
 4x3  8x2  5x  1  4x3  8x2  1  5x  2
Ejercicio nº 3.Halla el cociente y el resto de la división:
 4x
3

 2x 2  6x  3 :  4 x  2
Solución:
4 x 3  2x 2  6 x  3
4 x  2x
3
4x  2
x2  x  2
2
 4x 2  6x  3
4 x 2  2x
8x  3
8 x  4
1
10
Cociente  x2  x + 2
Resto  1
Ejercicio nº 4.Con ayuda de las identidades notables y sacando factor común, factoriza estos polinomios:
a 4x4  4x3  x2
b 5x3  80x
Solución:
a 4x4  4x3  x2  x24x2  4x  1  x22x  12
b 5x3  80x  5x x2  16  5xx  4 x  4
Ejercicio nº 5.a Multiplica esta expresión por 8 y simplifica:
5x  1
x 1
x
8
8
b Expresa algebraicamente un número 14 unidades mayor que x menos el doble de otro número.
Solución:
a
8  5 x  1
8
 8x 
8  x  1
8
 5 x  1  8 x  x  1  14 x
bPrimer número  x  14 
  x  14  2y
Segundo número  y 
Ejercicio nº 6.a Multiplica por 6 esta expresión y simplifica:
2x 2  1 x  1 1  x


2
3
6
b Expresa algebraicamente y simplifica el área de un cuadrado de lado x  3.
Solución:
11
a


6  x  1 6 1  x 


 3 2 x 2  1  2  x  1  1  x   6 x 2  3  2 x  2  1  x 
2
3
6
 6x 2  x  2
6 2x 2  1


b Área  x  32  x2  6x  9
Ejercicio nº 7.-
a Siendo A  6 x  1 y B  3  2 x , desarrolla A2  B2 y simplifica el resultado.
b Se quieren vender x docenas de huevos por 490 €. En el camino se rompen 6 docenas.
Expresa algebraicamente a cuánto se debería de vender la docena antes y después de las roturas.
Solución:
a  A2  B 2 




6 x  1   3  2 x   6 x  1  9  12 x  4 x 2 
2
2
 6 x  1  9  12 x  4 x  4 x  18 x  8
2
2
b Precio de cada una de las x docenas 
490
x
Precio de cada una de las x  6 docenas 
490
x 6
Ejercicio nº 1.Resuelve la ecuación:
3  x  1
4

2 x  1  x 3  2 x  1


3
3
4
SOLUCIONES
Solución:
3  x  1
2x  1
x



Evaluación:
4
3
3
3  2 x  1
Fecha:
4
3 x  3 2x  1  x 6 x  3



4
3
3
4
9 x  9 8 x  4 4 x 18 x  9



12
12
12
12
9x  9  8x  4  4x  18x  9
9x  8x  4x  18x  9  9  4
13x  22
22 22
x

13 13

x
22
13
12
Ejercicio nº 2.Resuelve estas ecuaciones:
a 3x2  243  0
b 3x2  5x 2  0
Solución:
a 3 x  243  0
 3 x  243
2
b
3x2
x
2

243
x 
 81 
3
2
ƒ
x   81
‚
 5x  2  0  a  3, b  5, c  2
x1 
12
2
6
x2 
2
1

6
3
5  25  24 5  49 5  7 ƒ


6
6
6 ‚
Ejercicio nº 3.Resuelve:
2x 2  1 x  1 1  x


2
3
6
Solución:
2x 2  1 x  1 1  x


2
3
6
6 x 2  3 2x  2 1  x


6
6
6
6x2  3  2x  2  1  x
6x2  2x  x  3  2  1  0
6x2  x  2  0

a  6, b  1, c  2
b  b 2  4ac 1  1  48 1  49 1  7 ƒ
x



2a
12
12
12 ‚
8 2

12 3
6 1
x2 

12 2
x1 
Ejercicio nº 4.Resuelve estas ecuaciones:
13
x1  9
x2  9
a 2x  6x  1  3
b xx  5 2x  3  0
Solución:
a)
6x  1  3  2x
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
6x  1  9  12x  4x 2

4x 2  18x  8  0

2x 2  9 x  4  0

2 1

9  81  32 9  49 9  7 ƒ 4 2
 x


4
4
4 ‚ 16
4
4
Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación:
1
6
1
2 
 1  1 4  1 2  3  x 
es solución.
2
2
2
8  24  1  8  25  8  5  13

x  4 no es solución.
1
La única solución es x  .
2
x1  0
ƒ
b  x  x  5  2 x  3   0  x  5  0
‚
2x  3  0


x2  5
x3 
3
2
Ejercicio nº 5.Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones
a 32x + 1  27
b
7x  3  5
c x3  x  1  31
Solución:
a x  1 es solución ya que 32 + 1  33  27.
b x  4 es solución pues
7  4  3  25  5.
c x  3 es solución ya que 33  3  1  27  3  1  31.
Ejercicio nº 6.-
14
Al aumentar la altura de un rectángulo el doble y la base 3 cm, el área aumenta el triple. Sabiendo
que el perímetro del rectángulo es de 18 cm, calcula las dimensiones del rectángulo.
Solución:
Por ser el perímetro 18 cm, las dimensiones del rectángulo inicial serán x, 9  x.
x

Área  x9  x
2x

9x
Área  2x12  x
9  x  3  12  x
Área del nuevo rectángulo  Triple del área del inicial.
2x12  x  3x9  x
 24x  2x  27x  3x
2
2
ƒ
 x  3x  0  x  x  3   0
‚
x  0 No sirve.
2
x 3
Las dimensiones del rectángulo son 3 cm y 6 cm.
Ejercicio nº 7.Resuelve la siguiente inecuación, escribe las soluciónes en forma de intervalo y represéntalas:
5x  1
x 1
 2x  x 
8
8
Solución:
Multiplicamos por 8 la inecuación y agrupamos los términos como en las ecuaciones:
5 x  1  16 x  8 x  x  1 
21x  1  7 x  1  14 x  0
La solución buscada es 0, .
15

x0
Ejercicio nº 8.Haya el conjunto de soluciones de este sistema de inecuaciones
3  1 x   3


6  2 x  x  3
Solución:
31  x  3

6  2x  x  3
3  3x  3


6  3  x  2x
3x  0


3  3x
x0

1x

x1
La solución del sistema es x  1, esto es, todos los números mayores o iguales a 1.
Ejercicio nº 9.Un profesor de informática calcula la nota final de sus alumnos mediante dos exámenes uno escrito
que representa el 40% de la nota final y otro práctico que es el 60%. Si un alumno obtiene en el
escrito un 4 de nota,
a ¿Qué nota tiene que sacar en el examen práctico para aprobar?
b ¿Y si quisiera sacar como nota fina un notable?
Solución:
Nota final  0,40  escrito  0,60  práctico
Si en el escrito obtiene un 4  nota final  0,40  4  0,60  x  1,6  0,60x siendo x  nota del examen
práctico.
a) Buscamos x tal que:
1,6  0,60x  5  0,60x  3,4  x  5,6
Para aprobar tiene que sacar en el examen práctico al menos 5,67 de nota.
b En este caso se han de cumplir dos condiciones que la nota fina sea al menos 7 y menor de 9
1,6  0,60x  9, dicho de otro modo
1,6  0,60 x  7



1,6  0,60 x  9

0,60 x  5,4

x9

0,60 x  7,4

x  12,3
Como la nota de 12,3 no se llega a obtener, tomamos como solución la nota máxima que
es 10. Luego para obtener un notable ha de sacar en el examen práctico al menos un 9.
16

7
Ejercicio nº 1.a Representa en los mismos ejes las rectas siguientes:
2 x  y  2

 2 x  y  1
b ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior?
Solución:
a Obtenemos dos puntos de cada una de las rectas para representarlas:
2x  y  2

2x  y  1

y  2x  2
x
y
0
2
1
0
y  2x  1
x
y
0
1
1
3
Son paralelas.
b El sistema no tiene solución, es incompatible.
Ejercicio nº 2.a Resuelve.
 3 x  y  14

2 x  3 y  14
b Resuelve.
17
5 x  2 y  8

3 x  4 y  10
Solución:
a Parece adecuado resolver por sustitución.
 3x  y  14 

2 x  3 y  14 
y  14  3 x
2x  3 14  3 x   14
 x

2x  42  9 x  14

x

 7 x  28
28
 4
7
y  14  3 x  14  12  2
Solución: x  4, y  2
b Aplicamos el método de reducción.
5 x  2y  8 

3 x  4 y  10 
2




Sumando
5x  2y  8
10 x  4y  16
3 x  4 y  10
13x
 10  2y  8
 26
26
2
13
  2y  2 
y
2
1
2
Solución: x  2, y  1
Ejercicio nº 3.-
Resuelve el siguiente sistema:
x  2
 5  y  8

y  1  x  1  2
 2
4
Solución:
Comenzamos por simplificar el sistema:
x  2
 5  y  8

y 1 x 1  2
 2
4

 x  2  5y  40


2 y  1  x  1  8

 

 x  5y  42


2 y  x  7

Utilizaremos el método de reducción en x, multiplicando la primera ecuación por 1:
18

 x  5 y  42
x  2y  7
7 y  49
 y 7
Calculamos el valor de x:
x  7  2y

x72·7

x  7  14

x  7
La solución que cumple el sistema es: x  7, y  7
Ejercicio nº 4.El triple de un número más la mitad de otro suman 10; y si sumamos 14 unidades al primero de ellos,
obtenemos el doble del segundo. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar dichos
números.
Solución:
Llamamos x al primer número e y al segundo. Así, tenemos que:
y

 10  6 x  y  20  y  20  6 x
2


x  14  2y  x  14  2  20  6 x 
x  14  2y 
3x 
x  14  40  12 x
 13 x  26

x
26
2
13
y  20  6 x  20  12  8
x  2, y  8
Los números son el 2 y el 8.
Ejercicio nº 5.Resuelve el sistema de ecuaciones:
xy  2  4x 

y x 1 
Solución:
Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:
y  1 x
x 1  x   2  4 x


x  x 2  2  4x  0
3  9  8 3 1 ƒ
x

2
2 ‚

y 3
1 
y 2
2

x 2  3x  2  0
Las soluciones son:
19

x1  2

y1  3
x2  1 
y2  2
Ejercicio nº 6.La suma de las áreas de dos cuadrados es de 89 m2 y su diferencia es de 39 m2. Calcula el lado de
cada cuadrado.
Solución:
x, y  lados de cada cuadrado
x 2  y 2  89 

x 2  y 2  39 
2x
 128
2
Si x  8


ƒ
x  24
‚
x 8
2
x  8 no vale
y  89  x  89  8  25
2
2
2

y  25
2
ƒ
‚
y 5
y  5 no vale
El lado de un cuadrado mide 8 m y el del otro 5 m.
Ejercicio nº 1.Considera la siguiente gráfica correspondiente a una función:
a ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Y su recorrido?
b ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son?
c ¿En qué intervalos crece y en cuáles decrece?
Solución:
a Dominio de definición: 5, ; Recorrido: [0, 
b Sí tiene mínimo, pero no tiene máximo.
Tiene dos mínimos en los puntos 5, 0 y 0, 0.
c Es creciente en los intervalos 5, 3 y 0, .
20
Es decreciente en el intervalo 3, 0.
Ejercicio nº 2.Haz la gráfica de una función que cumpla:
a) Dominio de definición:
b) Corta al eje X en x  0 y x  4.
c) Crece en 0, 2 y decrece en , 0 y 2, 
d) Tiene un máximo relativo en 2, 3 y un mínimo relativo en (0, 0.
e Es continua.
Solución:
Ejercicio nº 3.Construye una gráfica que corresponda a los ingresos anuales que obtienen unos grandes
almacenes, sabiendo que:
Durante los dos primeros meses del año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde
marzo hasta junio los ingresos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En
julio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en agosto. A partir de
entonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir, en diciembre, con los ingresos
realizados al comienzo del año.
Solución:
Esta es una posible gráfica que describe la situación anterior:
21
Ejercicio nº 4.-
x3
 1 está definida en el intervalo  2, 2 .
2
Completa la siguiente tabla de valores y representa dicha función:
La función f  x  
x
2
1
0
1
2
y
Solución:
Sustituimos cada uno de los valores de x en la función para obtener el correspondiente valor de y :
x
2
1
0
1
2
y
3
1
2
1
3
2
5
La gráfica de f(x en [2, 2] es:
Ejercicio nº 5.Halla la T.V.M. de la función y  x3  6x2  9x  4 en los intervalos [3, 2] y [1, 0].
Solución:
La T.V.M. de una función f  x  en el intervalo a, b  es
T.V.M. de f en  3,  2 
T.V.M. de f en  1, 0 
f  2   f  3 
2   3 
f  0   f  1
0   1


f  b   f a 
ba
.
24
2

 2
2  3
1
40
4
1
Ejercicio nº 6.Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Dí cuál es su periodo y
calcula los valores de la función en los puntos de abscisas x  3, x  7, x  24 y x  28.
22
Solución:
Es una función periódica de periodo 7. Lo que ocurre en el intervalo [0, 7] se repite reiteradamente.
f(3)  3
f(7)  0
f(24)  f(3)  3 pues 24  7 · 3  3 (cada siete unidades se repite).
f(28  f(0  0 pues 28  7 · 4  0
Ejercicio nº 1.Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje:
x
y
3
25
Solución:
Observando que la pendiente de la recta es m 
1
, lo más adecuado es tomar la escala en
25
el eje X de
25 en 25.
Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la escala más adecuada en el eje Y:
x
75
25
0
25
75
y
0
2
3
4
6
En el eje Y, tomamos la escala de 1 en 1.
Ejercicio nº 2.-
23
La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulo rectángulo que se
vé en la figura. Halla la expresión analítica de dicha función.
Solución:
Como corta al eje Y en (0, 3), entonces, n  3.
Pendiente: m 
3
4
La ecuación de la recta es:
y
3
x 3
4
Ejercicio nº 3.Representa la siguiente función:
si x  2
 1
y 

2
x

7
si x  2

Solución:
 El primer trozo es la función constante y  1 definida para x  2.
 El segundo trozo es la recta y  2x  7 definida para x  2:
x
3
4
5
y
1
1
3
 Representamos los dos trozos en los mismos ejes:
24
Ejercicio nº 4.Halla la expresión analítica de la función representada:
Solución:
 Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de recta:
 Si x < 4, la recta es y  3.
 Si x  4, la recta pasa por los puntos 0, 1 y 2, 0:
m
0  1 1


2
2
y
1
 x  2
2

y
1
x 1
2
La expresión analítica pedida es:
si
3

y  1
 x  1 si

 2
x  4
x  4
Ejercicio nº 5.Busca la expresión analítica de la función que nos da el perímetro de un triángulo equilátero
dependiendo de cuanto mida su lado, y represéntala gráficamente.
Solución:
Llamamos x a la longitud del lado del triángulo.
Perímetro  3x
La expresión analítica que buscamos es P(x  3x.
La función está definida para valores de x > 0. Hacemos una tabla de valores para representarla:
25
x
1
3
y
3
9
Ejercicio nº 1.Representa gráficamente la función y  x2  2x  1.
Solución:
Por ser una función cuadrática, su representación es una parábola.
 Hallamos su vértice:
x
2
1 
2
y  1 2  1  0
 V 1, 0 
 Puntos de corte con los ejes:
 Con eje Y

x0

y1

0, 1
 Con eje X

el único punto de corte será el vértice: 1, 0
 Puntos próximos al vértice:
x
2
2
1
3
y
1
9
4
4
Ejercicio nº 2.Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente:
26
a y  x2  3x
b y  x  32
c y  2  3x2
d y 
1 2
x  x 1
3
Solución:
a  I
b  IV
c  II
d  III
Ejercicio nº 1.Las notas obtenidas en un examen de matemáticas realizado en una clase de 4º ESO han sido las
siguientes:
4 5 7 5 8
3
9 6 4 5
7 5 8 4 3
10 6 6 3 3
a Ordena los datos en una tabla de frecuencias.
b Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a
27
xi
fi
3
4
4
3
5
4
6
3
7
2
8
2
9
1
10
1
20
b
Ejercicio nº 2.En una clase de Educación Física de 4º ESO se ha cronometrado el tiempo, en segundos, que tarda
cada alumno/a en recorrer cierta distancia fija. Los datos obtenidos han sido los siguientes:
10, 5 9, 2 8 8, 6
9
8, 2 8,1 9, 3 9, 4 10
8
8, 4 9, 2 14 11, 6
15 12 12,5 9,2 10
10,2 9,1 8,2 8,1 8
10
9 8,6 12 8,3
a Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más
conveniente.
b Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a Por una parte, la variable que estamos estudiando tiempo es continua. Además, entre los datos que
tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos.
El menor valor es 8 y el mayor es 15; su diferencia es 15  8  7.
Por tanto, podemos tomar 7 intervalos de longitud 1, empezando en 8:
28
INTERVALO
FRECUENCIA
8, 9
11
9, 10
8
10, 11
5
11, 12
1
12, 13
3
13, 14
0
14, 15
2
30
b
Ejercicio nº 3.Se ha preguntado a las alumnas y a los alumnos de una clase de 4 O ESO por el tiempo que tardan en
llegar desde su casa hasta el instituto. Las respuestas se recogen en esta tabla:
TIEMPO MINUTOS
0, 5
5, 10
10, 15
15, 20
20, 25
Nº ALUMNOS/AS
10
6
9
3
2
Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.
Solución:
Hallamos la marca de clase, xi , de cada intervalo y hacemos la tabla de frecuencias:
29
fi x i2
INTERVALO
xi
fi
f i xi
0, 5
2,5
10
25
62,5
5, 10
7,5
6
45
337,5
10, 15
12,5
9
112,5
1 406,25
15, 20
17,5
3
52,5
918,75
20, 25
22,5
2
45
1 012,5
30
280
3 737,5
Media:
x
 fi xi 280

 9,33
n
30
Desviación típica:

 fi xi2
 x2 
n
3737,5
 9,332  37,53  6,13
30
Los alumnos y las alumnas tardan, por término medio, 9,33 minutos, con una desviación típica de 6,13
minutos.
Ejercicio nº 4.En una empresa, A, el sueldo medio de los trabajadores es 950 € al mes, con una desviación típica
de 150 €. En otra empresa, B, el sueldo medio es de 1 200 € al mes, con una desviación típica de 200
€. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di cuál de las dos empresas tiene mayor
variación relativa en los sueldos.
Solución:
A 150

 0,158
xA 950

 15,8%


B
200
C.V.B 

 0,167  16,7%

xB 1200

C.V.A 
La variación relativa es mayor en la empresa B.
Ejercicio nº 5.Tiramos sucesivamente una moneda y anotamos el número de lanzamientos que necesitamos hasta
obtener por primera vez cara. Realizamos el experimento 100 veces, con los siguientes resultados:
30
LANZAMIENTO EN EL
QUE SALE CARA
1
2
3
4
5
6
Nº DE VECES QUE HA
OCURRIDO
48
25
16
4
5
2
Calcula Me, Q1, Q3 y p30.
Solución:
Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:
Me  p50  2
Q1  p25  1
Q3  p75  3
p30  1
xi
fi
Fi
en %
1
48
48
48
2
25
73
73
3
16
89
89
4
4
93
93
5
5
98
98
6
2
100
100
porque para
porque para
porque para
porque para
xi  2,
xi  1,
xi  3,
xi  1,
la
la
la
la
Fi
Fi
Fi
Fi
supera el 50%.
supera el 25%.
supera el 75%.
supera el 30%.
Ejercicio nº 6.Las puntuaciones obtenidas por 120 atletas tienen los siguientes parámetros de posición: Q1  3, Me
 4 y Q3  6. Todas las puntuaciones están en el intervalo que va de 1 a 7. Haz el diagrama de caja.
Solución:
La longitud de la caja es 6  3  3.
Los segmentos del bigote han de tener como mucho: 3 · 1,5  4,5. Ambas ramas, miden menos.
Ejercicio nº 7.Interpreta el siguiente diagrama de caja relativo a las calificaciones obtenidas por un grupo de
estudiantes:
31
Solución:
Las calificaciones están comprendidas entre 2 y 8,5. Hay un individuo que obtuvo un 10.
Q1  3,5  El 25% de los estudiantes obtuvo 3,5 o menos.
Me  5,5  El 50% de los estudiantes obtuvo 5,5 o menos.
Q3  6
 El 25% de los estudiantes obtuvo 6 o más.
Ejercicio nº 8.Se quiere conocer el grado de satisfacción que tienen los clientes de una entidad bancaria respecto
a su personal. Para ello, se va a elegir una muestra de 1000 individuos. Indica si cada uno de los
siguientes modos de selección te parece válido y explica por qué:
a Los directores de cada una de las 200 sucursales que hay, eligen a 5 de sus clientes mas
representativos.
b Se eligen 1 000 personas al azar entre las que tienen contratada una hipoteca.
c Se acude al listado de clientes y se seleccionan al azar 1 000 de ellos.
d Se eligen 1 000 personas al azar entre las que tienen unos ingresos mensuales superiores a 3 000
€.
Solución:
a No es válida puesto que depende de la subjetividad del director.
b No es válida ya que las personas que tienen contratada una hipoteca pueden estar menos satisfechos
respecto a la atención prestada.
c Es válida y la mas adecuada para elegir de manera aleatoria 1 000 personas.
d No es válida ya que las personas seleccionadas tienen unos ingresos mensuales muy superiores a la
media y es muy probable que el personal del banco les trate muy bien para conseguir que realicen
inversiones, y mantengan su dinero en esa sucursal.
Ejercicio nº 1.-
32
Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. La miramos, la devolvemos al montón y
extraemos otra. Halla la probabilidad de que:
a A  "Las dos cartas sean de oros"
b B  "La primera carta sea de oros y la segunda sea un rey"
Solución:
Como son sucesos independientes:
a) P  A  P 1ª oros  P 2ª oros 
b) P B  P 1ª oros  P 2ª rey 
10 10 1 1 1

  
 0,0625
40 40 4 4 16
10 4
1 1
1

 

 0,025
40 40 4 10 40
Ejercicio nº 2.Introducimos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Sacamos tres bolas, una detrás de otra
sin devolverlas a la bolsa. Calcula la probabilidad de obtener tres números impares.
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
1ª bola
2ª bola
3ª bola
Par
Impar
Par
Par
Par
Impar
5 Pares
5 Impares
1
Par
Par
2
Impar
5P
Impar
4I
5P
4
P 3 impares 
Impar
9
Impar
1 4 3 1
  
 0,083
2 9 8 12
33
3I
Par
3
8
Impar  3 impares