Práctica 3. Derivadas parciales

Práctica 3. Derivadas parciales
Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas.
Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de
Gestión
1.- DERIVADAS PARCIALES
Dada f@x, yD una función de dos variables se definen las derivadas parciales como
Derivada parcial con respecto a la variable x :
∂x f@x0 , y0 D = lim
h→ 0
Derivada parcial con respecto a la variable y :
∂y f@x0 , y0 D = lim
h→ 0
f@x0 + h, y0 D − f@x0 , y0 D
h
f@x0 , y0 + hD − f@x0 , y0 D
h
Mathematica permite el cálculo de las derivadas parciales de una función f: 2 ö en un punto cualquiera (x,y) mediante las órdenes:
D[f[x,y],x]
Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable x.
D[f[x,y],y]
Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable y.
También podemos utilizar la paleta BasicInput para las dos derivadas parciales en un punto (x,y)
∂x f@x, yD Calcula la derivada parcial con respecto a la variable x
∂y f@x, yD Calcula la derivada parcial con respecto a la variable y
Ejemplo 1. Calcular las derivadas parciales de
f(x,y)=x2 y − 3 x y2
In[1]:=
Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := x ^ 2 y − 3 x y ^ 2
Calculamos la derivada parcial con respecto a x
In[3]:=
D@f@x, yD, xD
Out[3]=
2 x y − 3 y2
In[4]:=
∂x f@x, yD
Out[4]=
2 x y − 3 y2
Calculamos la derivada parcial con respecto a y
2
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
D@f@x, yD, yD
x2 − 6 x y
∂y f@x, yD
x2 − 6 x y
f(x,y)=x2 sen HyL + I3 x + y2M cos HxL y evaluarlas en el
punto H0, pL.
Ejemplo 2. Calcular las derivadas parciales de
In[7]:=
Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := x ^ 2 Sin@yD + I3 x + y2 M Cos@xD
Calculamos las derivadas parciales
In[9]:=
∂x f@x, yD
Out[9]=
3 Cos@xD − I3 x + y2 M Sin@xD + 2 x Sin@yD
In[10]:=
∂y f@x, yD
Out[10]=
2 y Cos@xD + x2 Cos@yD
Las evaluamos en el punto H0, pL
In[11]:=
Out[11]=
In[12]:=
Out[12]=
∂x f@x, yD ê. 8x → 0, y → π<
3
∂y f@x, yD ê. 8x → 0, y → π<
2π
1.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS
PARCIALES
Las derivadas parciales ∑x f y ∑ y f en el punto (a,b) representan las pendientes de la superficie definida por la gráfica de
f(x,y) en el punto (a,.b,f(a,b)) en las direcciones de x e y, respectivamente.
Ejemplo 3. Calcular la pendiente de la gráfica de
f(x,y)=sen HxL + x2 + y2 en el punto (1,0,f(1,0)) en
las direcciones de x e y, respectivamente.
In[13]:=
Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := Sin@xD + x2 + y2
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
Representamos la gráfica
In[15]:=
g1 = Plot3D@f@x, yD, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, AspectRatio → Automatic, PlotRange → AllD
Out[15]=
Al intersecar la gráfica con el plano y=0 se obtiene una curva.
3
4
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
In[16]:=
g2 = ContourPlot3D@y
Show@g1, g2D
0, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, 8z, 0, 45<D
Out[16]=
Out[17]=
La curva intersección tiene como ecuación z=f(x,0)
In[18]:=
Out[18]=
f@x, 0D
x2 + Sin@xD
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
In[19]:=
Plot@f@x, 0D, 8x, 0, 2<D
5
4
3
Out[19]=
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto x=1 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto
(1,0,f(1,0)) en la dirección de x. Su valor es precisamente ∑x f H1, 0L
In[20]:=
Out[20]=
In[21]:=
Out[21]=
∂x f@x, yD
2 x + Cos@xD
∂x f@x, yD ê. 8x → 1, y → 0< êê N
2.5403
De forma análoga, al intersecar la gráfica con el plano x=1 se obtiene una curva.
In[22]:=
g3 := ContourPlot3D@x == 1, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, 8z, 0, 45<D
Show@g1, g3D
Out[23]=
La curva intersección tiene ahora como ecuación z=f(1,y)
5
6
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
In[24]:=
Out[24]=
In[25]:=
f@1, yD
1 + y2 + Sin@1D
Plot@f@1, yD, 8y, −1, 1<D
2.8
2.6
2.4
Out[25]=
2.2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto y=0 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto
(1,0,f(1,0)) en la dirección de y. Su valor es precisamente ∑ y f H1, 0L
In[26]:=
Out[26]=
In[27]:=
Out[27]=
∂y f@x, yD
2y
∂y f@x, yD ê. 8x → 1, y → 0< êê N
0.
3.- DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS
Mathematica permite también el cálculo de las derivadas parciales sucesivas mediante la instrucción:
D[f,{x,n},{y,m},...]
Calcula la derivada parcial de la función f respecto de x, n veces, de y, m veces,...
También podemos utilizar la paleta BasicInput para las derivadas parciales sucesivas en un punto (x,y)
∂x,y f@x, yD Calcula la derivada cruzada con respecto a x y con respecto a y
∂y,x f@x, yD Calcula la derivada cruzada con respecto a x y con respecto a y
Ejemplo 4. Calcular las derivadas parciales segundas de la
función f: 2 ô definida por f(x,y) =x 2sen y + I3 x + y 2M cos
x , (x,y)ŒDÃ2, dada en el ejemplo anterior y evaluarlas en el
punto (p/2,p).
In[28]:=
Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_D := x ^ 2 Sin@yD + H3 x + y ^ 2L Cos@xD
Derivadas parciales de primer orden
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
In[30]:=
Out[30]=
In[31]:=
Out[31]=
∂x f@x, yD
3 Cos@xD − I3 x + y2 M Sin@xD + 2 x Sin@yD
∂y f@x, yD
2 y Cos@xD + x2 Cos@yD
Derivadas parciales de segundo orden
In[32]:=
Out[32]=
In[33]:=
Out[33]=
In[34]:=
Out[34]=
In[35]:=
Out[35]=
∂x,x f@x, yD
−I3 x + y2 M Cos@xD − 6 Sin@xD + 2 Sin@yD
∂x,y f@x, yD
2 x Cos@yD − 2 y Sin@xD
∂y,x f@x, yD
2 x Cos@yD − 2 y Sin@xD
∂y,y f@x, yD
2 Cos@xD − x2 Sin@yD
Las evaluamos en el punto (p/2,p)
In[36]:=
Out[36]=
In[37]:=
Out[37]=
In[38]:=
Out[38]=
In[39]:=
Out[39]=
∂x,x f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π<
−6
∂x,y f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π<
−3 π
∂y,x f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π<
−3 π
∂y,y f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → π<
0
Ejemplo 5. Calcular las derivadas parciales segundas de la
función f(x,y,z)=x 2 y z3 + senHx - y + y zL.
In[40]:=
Clear@"Global`∗"D
f@x_, y_, z_D := x2 y z3 + Sin@x − y + y zD
Derivadas parciales de primer orden
In[42]:=
Out[42]=
In[43]:=
Out[43]=
∂x f@x, y, zD
2 x y z3 + Cos@x − y + y zD
∂y f@x, y, zD
x2 z3 + H−1 + zL Cos@x − y + y zD
7
8
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
In[44]:=
Out[44]=
∂z f@x, y, zD
3 x2 y z2 + y Cos@x − y + y zD
Derivadas parciales de segundo orden
In[45]:=
Out[45]=
In[46]:=
Out[46]=
In[47]:=
Out[47]=
In[48]:=
Out[48]=
In[49]:=
Out[49]=
In[50]:=
Out[50]=
In[51]:=
Out[51]=
In[52]:=
Out[52]=
In[53]:=
Out[53]=
∂x,x f@x, y, zD
2 y z3 − Sin@x − y + y zD
∂x,y f@x, y, zD
2 x z3 − H−1 + zL Sin@x − y + y zD
∂x,z f@x, y, zD
6 x y z2 − y Sin@x − y + y zD
∂y,x f@x, y, zD
2 x z3 − H−1 + zL Sin@x − y + y zD
∂y,y f@x, y, zD
−H−1 + zL2 Sin@x − y + y zD
∂y,z f@x, y, zD
3 x2 z2 + Cos@x − y + y zD − y H−1 + zL Sin@x − y + y zD
∂z,x f@x, y, zD
6 x y z2 − y Sin@x − y + y zD
∂z,y f@x, y, zD
3 x2 z2 + Cos@x − y + y zD − y H−1 + zL Sin@x − y + y zD
∂z,z f@x, y, zD
6 x2 y z − y2 Sin@x − y + y zD
4.- EJERCICIOS PROPUESTOS
ü Ejercicio 1. Calcular las pendientes de la gráfica de f(x,y)=senHxL - senHyL en las
direcciones de x e y en el punto (p/2,p,f(p/2,p)).
ü Ejercicio 2. Dada la función f(x,y)=lnIx 2 + y 2 M comprobar que se cumple
∂2 f Hx,yL
∂x
2
+
∂2 f Hx,yL
∂ y2
= 0.
ü Ejercicio 3. Calcular las derivadas parciales de tercer orden de la función
f(x,y)=ex
2
+y
- x lnIx - y 3 M. ¿Cuáles son iguales?
ü Ejercicio 4. Dada f(x,y)=x Ix2 + y2 M
definición.
−3ê2
esen Ix
2
yM
calcular ∂x f H1, 0L utilizando la
ü Ejercicio 5. En un estudio de la penetración de la escarcha en las heladas, se encontró
que la temperatura T en el tiempo t (medido en días) a una profundidad x (en metros),
Practica3_Derivadas_Parciales.nb
puede describirse mediante la función T(t,x)=T0 + T1 e-l x senHw t - l xL, donde w =
l es una constante positiva.
ü Calcular ∂t T, ¿cuál es su significado físico?
ü Calcular ∂x T, ¿cuál es su significado físico?
ü Demostrar que T satisface la ecuación del calor ∂t T = k ∂x,x T, para cierta constante k.
ü Si l=0.2, T0 = 0 y T1 = 10 representar la gráfica de la función T(t,x).
2p
365
y
9