Problemas

Problemas
1. Un objeto está situado a 12 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es
6 cm. Hallar a que distancia se encuentra la imagen.
Sabemos que la focal de un espejo viene dada por
f =
1
r = 3 cm
2
Al ser el espejo cóncavo , centro de curvatura en el lado de incidencia de la luz, r
es positivo
Para determinar la distancia s´ donde se forma la imagen utilizamos la ecuación
del espejo
1 1
1 1 1 1
+ = = + =
s s´ f 12 s´ 3
s´= 4 cm teniendo una imagen real
P6-1
2. Un objeto de 2 cm de alto está a 10 cm de un espejo convexo de radio de
curvatura 10 cm. Localizar la imagen y su altura.
De nuevo la focal del espejo viene dada por
f =
1
r = -5 cm
2
El signo negativo de la focal es debido que r tiene signo menos al estar el centro
de curvatura detrás del espejo
La imagen está situada en
1 1
1 1 1
1
+ = = + =
s s´ f 10 s´ − 5
s´= -3,33 cm
teniendo una imagen virtual
El aumento lateral viene dado por
m=
y´
s´
= − = 0,333
y
s
y por tanto la altura de la imagen es
y´= 0,666 cm
P6-2
3. Un espejo esférico cóncavo de 0,5 m de distancia focal está frente a un espejo
plano situado a 1,8 m del vé rtice del primero. A 20 cm del espejo plano y entre
éste y el cóncavo se encuentra un punto luminoso que se refleja primero en el
espejo plano y luego en el cóncavo. Encontrar la posición de la imagen producida
por el sistema y su aumento.
El punto P se refleja en el espejo plano siguiendo la leyes de la reflexión de tal
forma que genera una imagen virtual a 20 cm del espejo plano.
Esta imagen virtual es el objeto para el espejo cóncavo de tal forma que
s= 1,8+0,2= 2 m
y
1 1
1
+ =
s s´ f
s´= 0,67 m
y el aumento
m=
y´
s´
=−
y
s
m=-0,33
P6-3
4. En los supermercados se utilizan espejos convexos para conseguir un amplio
margen de observación y vigilancia con un espejo de tamaño razonable, de
manera que un dependiente situado a una cierta distancia del espejo pueda
inspeccionar el local entero. Un espejo convexo tiene un radio de curvatura de
1,2 m. Si un cliente está a 10 m del espejo, ¿a qué distancia de la superficie del
espejo está su imagen? ¿La imagen está detrás o delante del espejo? Dibuje la
trayectoria de los rayos. Si el cliente mide 2 m, ¿qué altura tendrá su imagen?
f=r/2=-0,6 m
1 1
1
+ =
s s´ f
s´= -0,56 m
m= 0,056
P6-4
5. Dentro de una pecera esférica de radio 15 cm llena de agua se encuentra un pez.
El pez mira a través de la pecera y ve un gato sentado sobre la mesa a 10 cm de
la pecera. Encontrar la imagen del gato y su aumento vista por el pez.
Aplicando la ecuación que analiza la refracción en una superficie esférica
n1 n2 n 2 − n1
+
=
s
s´
r
1,33 − 1
1 1,33
+
=
10
s´
15
s´= -17,1 cm, imagen virtual situada en el lado de incidencia de la luz
y el aumento es
m=
y´
n s´
= − 1 = 1,29, imagen derecha
y
n2 s
P6-5
6. Una lente biconvexa de vidrio, n=1,5, tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15
cm. Hallar su distancia focal y su potencia. Localizar la imagen gráfica y
algebraicamente de un objeto de 1,2 cm de alto que se coloca a 4 cm de la lente.
A la derecha de esta lente y a 12 cm de ella se coloca una segunda lente de
distancia focal 6 cm. Localizar ahora la imagen final del objeto anterior.
La focal de esta lente delgada se calcula utilizando la ecuación
1
1 1
1
1 
= ( n − 1) −  = (1,5 − 1) −

f
 10 − 15 
 r1 r2 
f =12 cm
P = 8,33 dioptrías
La imagen del objeto en cuestión viene dada por
1 1
1
+ =
s s´ f
1 1
1
+ =
4 s´ 12
s´= -6 cm imagen virtual
m=
y´
s´ 1,6
=− =
= 1,5
y
s
4
y´= 1,8 cm
A 12 cm a la derecha se coloca otra lente delgada de focal 6 cm
La imagen virtual creada por la 1ª lente hace de obje to para la segunda con s=
12+6=18
1 1
1
+ =
s s´ f
1 1 1
+ =
18 s´ 6
s¨= 9 cm
m=
y´
s´
9
= − = − = −0,5
y
s
18
y´= -0,9 cm
P6-6
7. Un objeto está colocado a 1,20 m de una lente. Determine la distancia focal y el
tipo de lente (convergente o divergente) que produce una imagen (a) real y a
0,80 m de la lente; (b) virtual y a 3,20 m de la lente; y (c) virtual y a 0,60 m de la
lente. Dibuje la trayectoria de los rayos en cada caso.
P6-7
8. Dos lentes con la misma distancia focal de 10 cm distan entre si 15 cm. Hallar la
imagen final de un objeto a 15 cm de una de las lentes.
P6-8
9. Determinar las posiciones de los focos de un sistema de dos lentes separadas
por una distancia t.
La imagen del objeto debido a la lente 1 estará en
1
1
1
+
=
s1 s´1
f1
Esta imagen hará de objeto para la 2º lente de tal forma que la posición s2 será
s2= t-s´1
y la posición de la imagen formada por la 2ª lente será
1
1
1
+ ´ =
´
t − s1 s 2
f2
Para determinar la posición del punto focal objeto debemos tener en cuenta que
en esa posición, el sistema de dos lentes forma la imagen en el infinito, es decir
s´2=∞ y por tanto s´1=t-f2
Introduciendo este valor en la primera ecuación queda que la posición del punto
focal objeto está en
s1(F) = f0 =
f 1 (t − f 2 )
t − ( f1 + f 2 )
Operando de forma análoga llegamos a que la posición del punto focal imagen es
s´2(F´) = fi =
f 2 (t − f 1 )
t − ( f1 + f 2 )
P6-9
10. Demostrar que la potencia de un sistema formado por dos lentes delgadas
separadas una dista ncia t viene dada por
1
1
1
t
=
+
−
f
f1 f 2 f1 f 2
y1
y2
γ2
γ1
fi
f
f1
t
1 1
1
+ = . Para rayos paraxiales los ángulos
s s´ f
que forma el rayo incidente y refractado con el eje óptico se relacionan según las
l
l
ecuaciones α ≈ y γ ≈
que introduciendo en la ecuación de la lente delgada
s
s´
(considerando valores absolutos de ángulos)
En una lente delgada sabemos que
γ =α +
l
f
En el caso que nos ocupa y tratando un rayo incidente desde el infinito con el
objetivo de averiguar la distancia focal del sistema, tenemos
γ1 =
y1
f1
γ 2 = γ1 +
y2
f2
De la geometría de la figura se deduce que
γ2 =
y1
f
y 2 = y1 − tγ 1
Con lo que
P6-10
γ2 =
y1
+
f1
y1 − t
y1
f1
f2
1
1
1
t
=
+
−
f
f1 f 2 f1f 2
Podemos verificar tambien que
fi =
y2
=
γ2
y2
( y1 − t γ 1) f 2
f 2(t − f 1)
=
=
y 2 γ 1 f 2 + (( y1 − t γ 1) t − ( f 1 + f 2)
γ 1+
f2
P6-11
11. Se tiene un sistema óptico formado por dos lentes convergentes iguales de
distancia focal 10 mm. Un objeto de 1 cm está situado a 15 mm a la izquierda de
la primera lente. Calcular cuál debe ser la separación entre las lentes para que la
imagen final sea real, derecha, y cuatro veces mayor que el objeto. Comprobarlo
gráficamente.
P6-12
12. Dos lentes de 4 y 6 dioptrías están separadas una distancia de 60 cm. Hallar los
focos y potencia del sistema compuesto.
P6-13
13. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas, corregir la aberración cromática
en una cierta región espectral del visible. ¿Cuál debe ser la separación t entre
lentes para conseguir este hecho?
Hemos visto como la focal de un sistema de dos lentes delgadas separadas una
distancia t viene dado por
1
1
1
t
=
+
−
f
f1 f 2 f1 f 2
donde para cada lente por separado
 1
1
1
= ( n1,2 − 1) 
−
r
f 1, 2
 1(1, 2) r2(1, 2)

 = ( n1, 2 −1) k1, 2


Por tanto
1
= ( n1 − 1) k1 + (n 2 − 1)k 2 − t (n1 − 1) k1 ( n2 − 1) k 2
f
Para evitar la aberración cromática, la distancia focal f no debe variar al
cambiar el índice de refracción con la longitud de onda, es decir df=0 al variar n en
dn. Diferenciando la ecuación anterior y anulando df
dn1k1 + dn2 k 2 − tdn1k1 (n 2 − 1) k 2 − tdn2 k 2 ( n1 − 1) k1 = 0
t=
k 1dn1 + k 2 dn2
1
k1k 2 (n 2 − 1) dn1 + ( n1 − 1) dn 2
donde dn será la diferencia entre el índice en los extremos del espectro
Si las dos lentes son del mismo vidrio, y por tanto con el mismo n
t=
k1dn1 + k 2 dn 2
f + f2
1
= 1
k1k 2 ( n2 − 1) dn1 + (n1 − 1) dn2
2
Con esta distribución de lentes se corrige el cromatismo de aumento, es decir
las imágenes formadas por los diferentes colores tienen el mismo tamaño (igual
distancia focal) pero no el acromatismo longitudinal (las imágenes se forman en
diferentes puntos focales imagen, diferentes fi )
P6-14
14. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas en contacto, corregir la
aberración cromática en una cierta región espectral del visible. ¿Qué condición
deben cumplir las focales y los índices de refracción de las dos lentes?
Para un par de lentes delgadas pegadas tenemos que la distancia focal
1
1
1
equivalente es igual a
=
+
que no debe depender de la variación del
f
f1 f2
índice de refracción con la longitud de onda. Diferenciando igual que en el
problema anterior
−
df 1, 2
f 21, 2
= k1, 2 dn1, 2
−
df 1, 2
f 1, 2
=
dn1, 2
(n1, 2 − 1)
Con dn=n(Azul)-n(Rojo) y n como n(amarillo). Definimos el parámetro de
df
n( amarillo ) − 1
1
dispersión ó número de Abbe como ν =
con lo que 1, 2 = −
f 1, 2
ν 1, 2
n( azul ) − n (rojo)
Diferenciando la primera ecuación y anulando df,
df 1
df
+ 22 = 0 y sustituyendo
2
f 1 f 2
tenemos como condición de acromatismo
1
1
+
=0
ν 1 f1 ν 2 f 2
Dado que trabajamos con lentes pegadas delgadas, para diferentes longitudes
de onda coinciden la distancia focal y el punto focal con lo que se anulan tanto el
cromatismo de aumento como el cromatismo longitudinal.
De la última ecuación se deduce que las dos lentes deben tener focales de
diferente signo
P6-15
15. Dos lentes, una planoconvexa de radio r=50 cm y otra planocóncava de r=30 cm
se encuentran separadas una distancia d con sus caras planas enfrentadas. Si
las lentes se separan de forma que d se dobla, la potencia del sistema disminuye
a la mitad. Calcular d asumiendo que el índice de refracción de ambas lentes es
n=1,5.
Hemos visto como la potencia de un sistema de dos lentes viene dado por
P=
1
1
t
+
−
f1 f 2 f1 f 2
Al doblar la distancia entre lentes, la potencia se hace la mitad
P 1
1
2t
=
+
−
2
f 1 f 2 f1 f 2
Usando ambas ecuaciones llegamos a
3t = f1 + f2
El cálculo de las focales de ambas lentes se realiza utilizando la ecuación
1
1 1
= ( n − 1) − 
f
 r1 r2 
f1= 100 cm
f2= -60 cm
Y despejando t
t= 13,33 cm
P6-16
16. Determinar, utilizando el método matricial, la posición, tamaño y orientación de la
imagen producida por una lente gruesa (r1=10 cm, r2=-5 cm, n=1,5 y espesor= 2
cm) de un objeto situado a 3 cm de la 1º superficie refractora. Determinar la
posición de la imagen considerando que fuera una lente delgada.
La matriz del sistema que se debe evaluar es
R2T21R1= S
1

 n
1
  2 − 1

r
 n
 2
 3
0
n2
n3
1

 1 t

21   
1
n
  0 1    1 − 1


  n2
 r1


0
n1  = S
n 2 
con n1=1, n2=1,5, n3 =1, r1 =10 cm, r2 =-5 cm, t21= 2 cm
0
 1


 − 0,1 1,5 
s´= −
m=
1
0   0,9333 1,3334   a b 
 1 2 

 
 = 
 = 

 0 1   − 0,0333 0,6667   − 0,1433 0,8667   c d 
as + b
=-9,46 cm
cs + d
l´
= a + s´c = 2,29
l
P6-17
17. La figura muestra un par convergente -divergente de lentes gruesas que se
utilizan en cámaras de bajo costo para reducir la aberración cromática. ¿Cuál
debe ser la distancia entre la superficie plana del sistema óptico y la película
cuando se toma la fotografía de un objeto lejano?
n=1,5
r1=2 cm
r2=2 cm
n=1,63
0,5 cm
0,4 cm
La matriz del sistema que se debe evaluar es
1

 n
S=   3 − 1 1
r
 n
 3
 4
Con
0 
n3 

n4 
1
 1 t 32   
n

   2 − 1 1
0
1
r

   n3
 2

n4=1, n3=1,63, n2=1,5 y n1 =1
r3=∞, r2 =-2 y r1=2
 0,8699 0,5841  a b 
S= 
 = 

 − 0,1905 1,022   c d 
Ahora evaluamos s´ para s=∞
s´= −
as + b
a
≈ − = 4,57cm
cs + d
c
P6-18
0
n2
n3
1

 1 t

21   
1
n
  0 1    1 − 1

   n2
 r1


0
n1 
n 2 
18. Demostrar que la matriz del sistema óptico constituido por una lente delgada se
expresa como
 1
S=  − 1

 f
0

1

0  1 0  1
 1


 1− n
n
−
1
S =
n  0 1 
 nr1
 r2

1
0  1
0 
  1
1=
1 1
  (n − 1) −  1  =  −
n 
 r2 r1 
  f
P6-19
0

1

19. Calcular cuál es la variación máxima en dioptrías del cristalino según este
enfoque un objeto próximo o lejano
1 1
1
+ =
s s´ f
s= ∞
s´= 2,5 cm
f=2,5 cm
P= 40 dioptrías
s= 25 cm
s´= 2,5 cm
f=2,27 cm
P= 44 dioptrías
P6-20
20. Una persona con 25 cm de punto próximo utiliza una lente de 40 dioptrías como
lupa. ¿Qué amplificación angular se obtiene?
La focal de la lente es igual a
f=1/P= 2,5 cm
y la amplificación
M=xpp/f=10
P6-21
21. Una lente convergente, n=1,7 y r=16 cm, se desea utilizar como lupa. ¿Dónde
hay que situar la lente respecto al objeto para que su imagen se genere a 25 cm
del ojo?¿Cuándo se obtiene el mayor aumento angular?
1
1 1
= ( n − 1) − 
f
 r1 r2 
⇒
f= 11,43 cm
1 1
1
+ =
s s´ f
s´= 25 cm
m=
⇒
s= 7,85 cm
y´
s´
25
=− =
= 3,2
y
s 7,85
P6-22
22. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1,2 cm de distancia focal y un ocular
de 2 cm de distancia focal separadas 20 cm. Hallar el poder amplificador si el
punto próximo de observador está a 25 cm. ¿En dónde deberá colocarse el
objeto si la imagen final ha de verse en el infinito?
El aumento total del microscopio es igual a
M = M bMc =
ab
x L
= − PP
AB
ff ´
Considerado que podemos calcular la longitud del tubo L como la distancia entre
lentes menos las distancias focales
L=16, 8 cm
M= -175
Para que la imagen final generada por el ocular pueda verse en el infinito, el
objeto para el ocular, o la imagen generada por el objetivo, ha de estar en el
punto focal objeto del ocular, es decir, la imagen generada por el objetivo debe
estar a una distancia s´ del objetivo
s´=f+L=18 cm
Por tanto el objeto debe estar a una distancia s del objetivo dada por
1 1
1
+ =
s s´ f
s= 1,29 cm
P6-23
23. El objetivo y el ocular de un microscopio tienen unas potencias ópticas de 50 y 60
dioptrías. La longitud del tubo del microscopio es de 18 cm y con éste
observamos una muestra de 3 µm. Calcular el aumento del microscopio. ¿A que
distancia del foco del objetivo hay que colocar la muestra?¿Dónde se produce y
que tamaño tiene la imagen intermedia producida por el objetivo?
Pb= 50 dioptrías ⇒ fb= 2 cm
Pc = 60 dioptrías ⇒ fb= 1,66 cm
Considerado que podemos calcular la longitud del tubo L como la distancia entre
lentes menos las distancias focales
L=18-2-1,66= 14,34 cm
El aumento total del microscopio es igual a
M = M bMc =
ab
x L
= − PP
AB
ff ´
M= -108
Para que la imagen final generada por el ocular pueda ve rse en el infinito, el
objeto para el ocular, o la imagen generada por el objetivo, ha de estar en el
punto focal objeto del ocular, es decir, la imagen generada por el objetivo debe
estar a una distancia s´ del objetivo
s´=fb+L=16,34 cm
Por tanto el objeto debe estar a una distancia s del objetivo dada por
1 1
1
+ =
s s´ f
s= 2,28 cm
AB=3x10-4(-108)= 0,032 cm
P6-24
24. Un telescopio simple tiene un objetivo de 100 cm de distancia focal y un ocular de
5 cm de distancia focal. Se utiliza para mirar la luna que subtiende un ángulo de
0,009 radianes. ¿Cuál es el diámetro de la imagen formada por el objetivo?¿Qué
ángulo subtiende la imagen final en el infinito?¿Cuál es el poder amplificador del
telescopio?
Los aumentos vienen dados por
M =−
f
=-20
f´
El ángulo subtendido por la imagen en el infinito es
β=Mα= 0,18 radianes
Y el diámetro aparente será 4,5 cm
P6-25