E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Soluciones Tema 3: Resolución

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Soluciones Tema 3: Resolución aproximada de ecuaciones
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Octubre 2008, Versión 1.3
Ejercicio 1 Consideramos la ecuación x − e−x = 0.
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [0, 1].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo
[0, 1].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?
(d) Calcula las 5 primeras iteraciones.
(a) Expresamos la ecuación en la forma x = ex . Podemos tomar el valor
estimado de la solución α ' 0.5
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
0 0
-0.5
0.5
-0.5
1
x
1.5
2
-1
(b) Existencia. Identificamos
f (x) = x − e−x ,
f es continua en [0,1], además
f (0) = −1 ª,
f (1) = 0. 63212
⊕,
por lo tanto, según el Teorema de Bolzano, existe una solución α ∈ (0, 1) .
1
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
2
Unicidad. Calculamos la derivada
f 0 (x) = 1 + e−x ,
que es positiva para todo x, por lo tanto, f es creciente en el intervalo y la
raíz es única.
(c) Exigimos
b−a
1
= n ≤ 0.5 × 10−4 ,
2n
2
1
2n ≥
,
0.5 × 10−4
ln(20000)
= 14. 29,
n≥
ln 2
necesitamos n = 15 iteraciones.
|en | =
(d) Iteraciones.
Fase 1
a1 = 0
f (a1 ) = −1
c1 = 0.5 f (c1 ) = −0.1065
b1 = 1
f (b1 ) = 0.6321
a2 = 0.5
c2 = 0.75
b2 = 1
Fase 2
f (a2 ) = −0.1065
f (c2 ) = 0.2776
f (b2 ) = 0.6321
ª
ª
⊕
ª
⊕
⊕
a2 = 0.5
b2 = 1
a3 = 0.5
b3 = 0.75
c3 = 0.625,
c4 = 0.5625,
c5 = 0.59375. ¤
Ejercicio 2 Consideramos la ecuación x − e−x = 0.
(a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamente
el valor de la raíz.
(b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección.
Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones calculadas en el ejercicio anterior.
(c) Si partimos de intervalo [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta
para asegurar 7 decimales exactos?
(d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximar
la raíz con 7 decimales.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
3
(e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartado
anterior.
(a) Valor estimado α ' 0.57. Puedes obtener el gráfico con la orden.
£
> plot(x-exp(-x),x=0..1);
(b) Un programa simple para aplicar el método de la bisección es el siguiente
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
> f:=x->x-exp(-x);
a:=0; b:=1; n:=3;
for i from 1 to n do
c:=evalf((a+b)/2);
fc:=f(c);
if evalf(fc*f(a))<0 then b:=c else a:=c fi;
od;
Observemos que el programa no incorpora protección contra el caso f (ci ) =
0, no obstante, en cada iteración se imprime el valor de f (ci ), lo que nos
permite ver si en alguna iteración hemos obtenido la raíz exacta.
(c) Exigimos
1
≤ 0.5 × 10−7
2n
resulta
1
,
2n ≥
0.5 × 10−7
³
´
1
ln 0.5×10
−7
= 24. 2534.
n≥
ln 2
Debemos tomar n = 25.
(d) Usando el programa anterior con n = 25 obtenemos c25 = 0.56714329
(e) Puedes resolver la ecuación con Maple con la orden
£
> s:=fsolve(x-exp(-x)=0);
el resultado es
s := 0.567143904.
Error
|e25 | = |α − c25 | = 0.12 × 10−8 .
Vemos que, en efecto, el valor calculado c25 aproxima la solución con al
menos 7 decimales exactos. ¤
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
4
Ejercicio 3 Consideramos la ecuación
ln x =
1
x
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo
[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resultado de las primeras iteraciones comparando con los valores calculados
manualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
(a) α ' 1.7
5
4
3
2
1
-4
-2
0 0
2
x
4
-1
(b) Existencia. Identificamos
f (x) =
1
− ln x,
x
f es continua en [1, 2], además
f (1) = 1 ⊕,
f (2) = −0. 19
ª
por lo tanto, según el Teorema de Bolzano, existe una solución α ∈ (1, 2) .
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
5
Unicidad. Calculamos la derivada
f 0 (x) =
−1 1
−
x2
x
que es negativa para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f es decreciente en el
intervalo y la raíz es única.
(c) Exigimos
b−a
1
= n ≤ 0.5 × 10−5 ,
2n
2
¢
¡
ln 2 × 105
= 17. 6096,
n≥
ln 2
necesitamos n = 18 iteraciones.
|en | =
(d) El valor de las 4 primeras iteraciones es
c1 = 1.5,
c2 = 1.75,
c3 = 1.875,
c4 = 1.8125.
(e) c18 = 1.763225557.
(f) El valor obtenido con fsolve es α = 1.763222834, resulta el error absoluto
|e18 | = |α − e18 | = 0.2723 × 10−5 . 2
Ejercicio 4 Consideramos la ecuación ln x = e−x .
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo
[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resultado de las primeras iteraciones comparando con los valores calculados
manualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
6
(a) Valor estimado de la solución α ' 1.3.
5
4
3
2
1
-1
0 0
-1
1
2
x
3
4
5
-2
(b) Existencia. f (x) = ln x − e−x es continua en [1, 2], además
f (1) = −0.37 ª,
f(2) = 0.55 ⊕,
por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .
Unicidad.
1
+ e−x
x
positiva para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz es
única.
f 0 (x) =
(c) El intervalo tiene longitud 1, el resultado es el mismo que en el ejercicio
anterior, necesitamos n = 18 iteraciones.
(d) Iteraciones
c1 = 1.5,
c2 = 1.25,
c3 = 1.375,
c4 = 1.3125.
(e) c18 = 1.309803011
(f) α = 1.309799586, |e18 | = 0.3425 × 10−5 . 2
Ejercicio 5 Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado verticalmente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal1 . La velocidad
terminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como
(0.002) (9.81) = 1.4 × 10−5 v 1.5 + 1.15 × 10−5 v 2
donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derecho
representa la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza de
presión.
1
Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
7
(a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v '
30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz.
(b) Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple.
(c) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la solución con 2 decimales usando el método de la bisección.
(d) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente el
valor de los dos primeros pasos.
(e) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple.
(a) La función
f (v) = 1.962 × 10−2 − 1.4 × 10−5 v 1.5 − 1.15 × 10−5 v2
es continua en todo R. Calculamos
f (20) = 0.01377,
f(30) = 0.006 970,
f (40) = −0.002 322,
aplicando el Teorema de Bolzano, tenemos una solución en el intervalo
[30, 40].
(b) Si construimos un gráfico con Maple podemos estimar el valor α ' 37.7
006
004
002
0 30
32
34
x
36
38
40
002
(c) Exigimos
40 − 30
≤ 0.5 × 10−2 ,
2n
y resulta
¡
¢
ln 20 × 102
= 10. 9658,
n≥
ln 2
necesitamos n = 11 iteraciones.
(d) c1 = 35, c2 = 37.5, c11 = 37.73926.
(d) Resultado con Maple v = 37.73458, |e11 | = 0.00468. ¤
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
8
Ejercicio 6 El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolviendo una ecuación de criticalidad 2 Un ejemplo simple de este tipo de ecuaciones es
tan (0.1x) = 9.2 e−x .
La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, por
experiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].
(a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] y
que tal raíz es única.
(b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de la
bisección.
(c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación.
(d) Calcula el valor de la raíz con Maple.
(a) Existencia. El primer punto positivo en el que tan(t) es discontinua es
t1 = π/2. Si x ∈ [3, 4], entonces 0.1x ∈ [0.3, 0, 4], por lo tanto, la función
f (x) = tan (0.1x) − 9.2 e−x
es continua en [3, 4]. Además
¾
f (3) = −0. 1487 T. Bolzano
Existe un α ∈ (3, 4) tal que f (α) = 0.
=⇒
f (4) = 0. 2543
Unicidad. Calculamos la derivada
f 0 (x) =
0.1
cos2 (0.1x)
+ 9.2e−x .
Como f 0 (x) > 0 en (3, 4), tenemos f % y la raíz es única.
(b) El intervalo es de longitud 1, hemos visto en el Ejercicio 3, que para
obtener 5 decimales exactos con el método de la bisección con un intervalo
inicial de longitud 1 necesitamos 18 intervalos. El resultado de la iteración
18 es c18 = 3.292926791, por lo tanto la solución es
α = 3.29293.
(c) Sustituyendo en la ecuación obtenemos
f (c18 ) = f (3.29293) = 0.2 442 × 10−5 .
Sin embargo, esto no nos asegura nada acerca de la proximidad de c18 a la
raíz (¿por qué?)
(d) Resultado obtenido en Maple con fsolve α = 3.292924615, |e18 | =
0.2176 × 10−5 ¤
2
Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
9
Ejercicio 7 Consideramos la ecuación x = e−x .
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución α próxima a x0 = 0.5.
(b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método de
Newton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado.
(c) Demuestra que la solución obtenida es correcta.
(a) A partir del gráfico obtenemos la estimación inicial α ' 0.5.
4
3
2
1
-1
0 0
1
x
2
3
-1
(b) Método de Newton-Raphson.
f (x) = x − e−x ,
Método
f 0 (x) = 1 + e−x ,
⎧
⎨ x0 = 0.5,
x − e−xj
⎩ xj+1 = xj − j
.
1 + e−xj
Detenemos las iteraciones cuando los 8 primeros decimales quedan fijos
x0
x1
x2
x3
x4
= 0. 5,
= 0. 56631 1003,
= 0. 56714 3165,
= 0. 56714 3290,
= 0. 56714 3290.
En principio, el resultado es
ᾱ = 0. 56714 329,
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
10
aunque no tenemos garantizado que el resultado sea correcto, puesto que
hemos detenido las iteraciones usando el error estimado.
(c) Error máximo admisible ² = 0.5 × 10−8 ,
a = ᾱ − ² = 0.567143285,
f (a) = −8. 478 × 10−9 ,
b = ᾱ + ² = 0.567143295,
f (b) = 7. 194 × 10−9 .
Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α − ᾱ| < 0.5 × 10−8
y por lo tanto, la aproximación calculada ᾱ tiene (al menos) 8 decimales
exactos. ¤
Ejercicio 8 Resuelve la ecuación de criticalidad
tan (0.1x) = 9.2 e−x
usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 = 3.5. Calcula la
solución con 5 decimales exactos.
Escribimos la ecuación en forma norma f (x) = 0 e identificamos f (x).
f (x) = tan (0.1x) − 9.2 e−x ,
Método
0.1
+ 9.2e−x ,
f 0 (x) =
cos2 (0.1x)
⎧
⎪
⎨ x0 = 3.5,
tan (0.1xj ) − 9.2 e−xj
=
x
−
.
x
j+1
j
⎪
0.1
⎩
+ 9.2e−xj
cos2 (0.1xj )
Detenemos las iteraciones cuando los 5 primeros decimales quedan fijos
x0
x1
x2
x3
x4
= 3. 5,
= 3. 27703 008,
= 3. 29283 161,
= 3. 29292 461,
= 3. 29292 461.
Solución aproximada.
ᾱ = 3.29292
Verificamos el resultado; error máximo admisible ² = 0.5 × 10−5 ,
a = ᾱ − ² = 3.292915,
f (a) = −4. 35953 4 × 10−6 ,
b = ᾱ + ² = 3.292925
f(b) = 1. 74609 × 10−7 .
Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α − ᾱ| < 0.5 × 10−5 . ¤
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
11
Ejercicio 9 Resuelve la ecuación
(0.002) (9.81) = 1.4 × 10−5 v 1.5 + 1.15 × 10−5 v 2
usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 = 30m/s.
Calcula la solución con 3 decimales exactos.
Valores de las iteraciones
v0
v1
v2
v3
v4
= 30,
= 38.657611,
= 37.744895,
= 37.734579,
= 37.734578.
Valor de la velocidad
v̄ = 37.735.
Error máximo ² = 0.5 × 10−3
a = v̄ − ² = 37.7545,
b = v̄ + ² = 37.7355,
f (a) = 0.77 × 10−7 ,
f(b) = −0.919 × 10−6 ,
¾
cambio de signo.
Podemos asegurar que
|v − v̄| ≤ 0.5 × 10−3 . ¤
√
Ejercicio 10 Aproxima el valor de 41 con 6 decimales exactos usando el
método de Newton-Raphson.
Formulamos el problema como sigue
√
x = 41 ⇐⇒ x2 − 41 = 0.
Tomamos la función
f (x) = x2 − 41,
f 0 (x) = 2x.
Método de Newton-Raphson. Tomamos 6.5 como valor inicial
⎧
⎨ x0 = 6.5,
x2 − 41
⎩ xj+1 = xj − j
.
2xj
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
12
Iteraciones
x0
x1
x2
x3
= 6.5,
= 6.4038462,
= 6.4031243,
= 6.4031242.
Valor aproximado con 6 decimales
ᾱ = 6.403124.
Verificamos la solución. Error máximo ² = 0.5 × 10−6
¾
a = ᾱ − ² = 6.4031235, f (a) = −0.49 × 10−5 ,
cambio de signo.
a = ᾱ − ² = 6.4031245, f (b) = 0.34 × 10−5 ,
Podemos asegurar que
|α − ᾱ| ≤ 0.5 × 10−6 . ¤
√
Ejercicio 11 Aproxima el valor de 5 23 con 6 decimales exactos usando el
método de Newton-Raphson.
Formulamos
x=
Tomamos la función
√
5
23 ⇐⇒ x5 − 23 = 0,
f (x) = x5 − 23,
f 0 (x) = 5x4 .
Valor inicial
Método
Iteraciones
25 = 32
15 = 1
¾
⎧
⎨ x0 = 1.5,
⇒ x0 = 1.5.
⎩ xj+1 = xj −
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x51 − 23
.
4x4j
= 1.5,
= 2.10864198,
= 1.91958682,
= 1.87445650,
= 1.87217680,
= 1.87217123,
= 1.87217123.
Valor aproximado con 6 decimales
ᾱ = 1.872171.
¤
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
13
Ejercicio 12 Dado un número c, podemos calcular su inverso x = 1/c resolviendo la ecuación
1
− c = 0.
x
(a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemos
calcular inversos sin hacer divisiones.
(b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores iniciales
deben estar próximos a la solución para que el método converja.
(a) Formulamos
x=
Tomamos
1
1
⇐⇒ − c = 0.
c
x
1
− c,
x
−1
f 0 (x) = 2 .
x
f (x) =
Método
⎧
x0 = aproximación inicial,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
1
−c
⎪ xj+1 = xj − Ãxi ! = 2xj − Cx2j .
⎪
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
− 2
⎩
xj
½
x0 = aproximación inicial,
xj+1 = 2xj − Cx2j .
1
(b) Para α = , tomaos el valor inicial x0 = 0.1
9
Iteraciones
x0 = 0.1,
x1 = 0.11,
x2 = 0.1111,
x3 = 0.11111111,
x4 = 0.1111111.
1
= 0.111111.
9
Para α =
1
, tomamos el valor inicial x0 = 0.01, resulta
45
x4 = x5 = 0.02222222.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
14
1
= 0.022222.
45
Para α =
1
, tomamos el valor inicial x0 = 0.001, resulta
678
x5 = x6 = 0.00147493.
ᾱ = 0.001475.
¤
Ejercicio 13 Consideramos la ecuación x = cos(x).
(a) Demuestra que la formulación
x=
x + cos(x)
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo
para todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales
exactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica el
resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido
en el apartado anterior.
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
En primer lugar, observamos que
x = cos(x) ⇐⇒ x =
x + cos(x)
2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a ambos
lados y despejando x.
(a) Identificamos
x + cos(x)
,
g(x) =
2
veamos que g(x) cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, por
lo tanto, es de clase C 1 [0, 1].
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
15
• (Condición 2) Sean
m = min g(x),
x∈[0,1]
M = max g(x),
x∈[0,1]
si x ∈ [0, 1], entonces g(x) ∈ [m, M ]. Debemos resolver un problema de
extremos absolutos de una función continua sobre un intervalo cerrado.
Calculamos la derivada
g 0 (x) =
1 − sin(x)
,
2
se cumple g 0 (x) > 0, en todo [0, 1], por lo tanto g % en [0, 1] y
m = min g(x) = g(0) = 0. 5,
M = max g(x) = g(1) = 0. 77015 1,
x∈[0,1]
x∈[0,1]
por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0.5, 0. 77015 1] ⊂ [0, 1].
• (Condición 3) Hemos de calcular
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯ .
x∈[0,1]
La función objetivo es
¯
¯
¯ 1 − sin(x) ¯ 1 − sin(x)
¯=
¯
,
h(x) = ¯
¯
2
2
cuando x ∈ (0, 1).
Calculamos
cos(x)
,
2
como h0 (x) < 0 en [0, 1], resulta h(x) &, por lo tanto
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯ = h(0) = 0.5.
h0 (x) = −
x∈[0,1]
Se cumple M1 < 1. En consecuencia, podemos asegurar que existe un
único punto fijo en el intervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijo
converge a él para todo valor inicial x0 ∈ (0, 1) .
(b) El error cumple
|ej | = |α − xj | ≤ (0. 5)j (1 − 0) = (0. 5)j ,
exigimos
(0. 5)j ≤ 0.5 × 10−5
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
16
y resolvemos en j, resulta
¢
¡
ln 0.5 × 10−5
= 17. 6096,
j≥
ln (0. 5)
necesitamos j = 18 iteraciones.
(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j
0
1
2
3
4
5
xj
0.5,
0. 68879128,
0. 73040306,
0. 73765431,
0. 73885125,
0. 73904696.
(d) El siguiente programa Maple permite calcular las iteraciones
⎡
> g:=x->(x+cos(x))/2;
⎢ x0:=0.5;
⎢
⎢ n:=17;
⎢
⎢ for i from 0 to n do
⎢
⎣ x.(i+1):=evalf(g(x.i));
od;
Obtenemos
x18 = 0.73908513.
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.73908513. ¤
Ejercicio 14 Consideramos la ecuación x = e−x .
(a) Demuestra que la formulación
x=
x + e−x
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo
para todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales
exactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
17
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica el
resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido
en el apartado anterior.
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
En primer lugar, observamos que
x = e−x ⇐⇒ x =
x + e−x
2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a ambos
lados y despejando x.
(a) Veamos que la función
g(x) =
x + e−x
2
cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, por
lo tanto, es de clase C 1 [0, 0.5].
• (Condición 2) Sean
m = min g(x),
x∈[0,1]
calculamos
g 0 (x) =
M = max g(x),
x∈[0,1]
1 − e−x
2
estudiamos si g 0 (x) se anula
g 0 (x) = 0 ⇐⇒ 1 − e−x = 0 ⇐⇒ e−x = 1 ⇐⇒ x = 0.
Vemos que la derivada tiene un único cero que está fuera del intervalo
[0.5, 1], por lo tanto, g 0 es de signo constante en el intervalo. Como
g 0 (1) =
1 − e−1
= 0. 31606,
2
se cumple g 0 (x) > 0 en todo [0.5, 1], en consecuencia g es creciente en
[0.5, 1] y
m = min g(x) = g(0.5) = 0. 55326 5,
x∈[0,1]
M = max g(x) = g(1) = 0. 68394,
x∈[0,1]
por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0. 55326 5, 0. 68394] ⊂ [0.5, 1].
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
18
• (Condición 3) Hemos de calcular
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯ ,
x∈[0,1]
la función objetivo es
¯
¯
¯ 1 − e−x ¯
¯
h(x) = ¯¯
2 ¯
g 0 (x) positiva en [0.5,1]
=⇒
h(x) =
1 − e−x
.
2
Calculamos
e−x
,
2
como h0 (x) > 0 en [0.5, 1], resulta que h es creciente en el intervalo y
por lo tanto
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯ = h(1) = 0. 31606.
h0 (x) =
x∈[0,1]
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en el
intervalo [0.5, 1] y que la iteración de punto fijo xj+1 = g(xj ) converge a él
para todo valor inicial x0 ∈ (0.5, 1) .
(b) El error cumple
|ej | = |α − xj | ≤ (0. 31606)j (0.5 − 0) = (0. 31606)j (0.5) ,
exigimos
(0. 31606)j (0.5) ≤ 0.5 × 10−5
y resolvemos en j, resulta
¢
¡
ln 10−5
= 9. 99539,
j≥
ln (0. 31606)
necesitamos j = 10 iteraciones.
(c) Tomamos como valor inicial
ciones es
j
0
1
2
3
4
5
x0 = 0.75, el valor de las primeras 5 iteraxj
0.75,
0. 61118328,
0. 57694580,
0. 56927841,
0. 56760603,
0. 56724347.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
19
(d) Programa Maple. Es análogo al del problema anterior, ajustando la
definición de la función g(x), el valor inicial y el número de iteraciones
⎡
> g:=x->(x+exp(-x))/2;
⎢ x0:=0.75;
⎢
⎢ n:=9;
⎢
⎢ for i from 0 to n do
⎢
⎣ x.(i+1):=evalf(g(x.i));
od;
Obtenemos
x10 = 0.56714334.
La solución es
ᾱ = 0.56714.
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.5671432904. ¤
Ejercicio 15 Resuelve la ecuación
tan (0.1x) = 9.2 e−x
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x − λf (x),
toma como intervalo inicial [3, 4].
Escribimos la ecuación en forma normal f (x) = 0 e identificamos
f (x) = tan (0.1x) − 9.2 e−x .
Calculamos
f (3) = −0. 14870 5,
f(4) = 0. 25428 9,
por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (3, 4). Estimamos el valor de f 0 (α)
f 0 (α) '
f (4) − f (3)
= 0. 40299 4
2−1
y calculamos λ
λ=
1
1
'
= 2. 48143.
f 0 (α)
0. 40299 4
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
½
20
x0 = 3.5,
xj+1 = xj − 2. 48143 (tan(0.1xj ) − 9.2e−xj ) .
A partir del valor inicial x0 = 3.3, obtenemos
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xj
3. 5,
3. 28358 81,
3. 29412 90,
3. 29277 45,
3. 29294 34,
3. 29292 23,
3. 29292 49,
3. 29292 46,
3. 29292 46.
Podemos tomar
α = 3.292925. ¤
Ejercicio 16 Resuelve la ecuación
x = cos(x)
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x − λf (x),
toma como intervalo inicial [0, 1].
Escribimos la ecuación en la forma f (x) = 0 con
f (x) = x − cos(x).
Calculamos
f (0) = −1,
f (1) = 0. 45970,
por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (0, 1). Estimamos el valor de f 0 (α)
f 0 (α) '
f (1) − f (0)
= 1. 45970
1−0
y calculamos λ
λ=
1
1
'
= 0. 6851.
f 0 (α)
1. 45970
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
21
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
½
x0 = 0.5,
xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj )) .
Obtenemos
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xj
0.5,
0. 75868181,
0. 73611578,
0. 73951818,
0. 73902160,
0. 73909444,
0. 73908377,
0. 73908 533,
0. 73908 510,
|ē7 | = 0.23 × 10−6 .
Podemos tomar
α = 0.739085. ¤
√
Ejercicio 17 Calcula 55 con 6 decimales exactos usando una formulación
de punto fijo del tipo
x = x − λf (x),
determina un intervalo inicial adecuado.
Formulamos
x=
√
55 ⇐⇒ x2 = 55.
Escribimos la ecuación en la forma f (x) = 0 con
f (x) = x2 − 55.
Calculamos
f (7) = −6
f (8) = 9
¾
T. Bolzano
=⇒
Estimamos
f 0 (α) '
y calculamos λ
λ=
1
f 0 (α)
solución α ∈ (7, 8) .
f (8) − f (7)
= 15
8−7
'
1
= 0.066667.
15
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
(
x0 = 7.5,
³
´
xj+1 = xj − 0.066667 x2j − 55 .
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
22
Obtenemos
j
0
1
2
3
4
xj
7.5,
7. 41666 6250,
7. 41620 3697,
7. 41619 8545,
7. 41619 8488,
|ē4 | = 0.57 × 10−7 .
Podemos tomar
α = 7.416198 ¤
Ejercicio 18 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tubo
está dado por3
µ
¶
9.35
1
e
√ = 1.14 − 2.0 log10
+ √
D Re f
f
donde Re es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie del
tubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos
(a) D = 0.1m,
e = 0.0025,
(b) D = 0.1m,
e = 0.0001,
Re = 3 × 104 .
Re = 3 × 106 .
Indicación: El orden de magnitud de f es 10−2 ; además es mejor reescribir
la ecuación en la forma
∙
¶¸−2
µ
e
9.35
+ √
f = 1.14 − 2.0 log10
D Re f
Ver resolución con Maple.
(a) f = 0.054114.
(b) f = 0.019721.
3
Correlación de Colebrook