Matrices origen y usos

Matrices origen y usos
la teoría de matrices, introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de
inventarios en las fabricas; teoría cuántica, en física; análisis de costos en transportes y de otras
industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en sicología y
sociología.
Matrices
Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o líneas dobles.
0 1 2 , 1 0 4 , [1 , 2]
−1 4 3 0 3
Una matriz se representa mayormente por paréntesis o corchetes.
Las matrices se denotan por medio de letras mayúsculas por tanto si se nombra por A la matriz será:
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Esta matriz posee 3 filas y 3 columnas.
Orden de una matriz
Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. La matriz A es de orden 3 x 3
(pero nunca pensemos que es de orden 9).
El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz, es decir, una matriz de orden p x q
significa que tiene p filas y g columnas.
Ejemplo:
La matriz 3 −1 4 es de orden 2 x 3 porque tiene 2 filas
2 0 1 y 3 columnas.
Una matriz con una fila y n columnas es un vector en 1Rn .
Ejemplo:
A = (a11, a12, a13) es un vector en 1R3.
B = (b11, b12, . b32nn) es un vector en 1Rn.
De forma similar, si tenemos una matriz con m filas y una sola columna entonces tenemos un vector en 1Rn.
1
Ejemplos:
a11
A = a12 es un vector en 1R3.
a13
Clasificación de las matrices
Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.
Son matrices de orden, p x p ó p2.
Las matrices:
A=20B=023
−3 1 −1 0 2
000
son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.
Los elementos a11, a22, a33, ... ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.
La diagonal principal será:
a11 ... ... ...
A = ... a22 ... ...
... ... a33 ...
... ... ... ann
una matriz cuadrada tal que:
a11 = a22 = a33 = .... = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.
La representaremos por I o sea:
IA = 1 0
•1
es una matriz de orden 2 x 2.
Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.
Esta es un matriz diagonal:
2
2000
A=0300
0 0 −2 0
0004
Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz
triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si
todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.
Ejemplo:
A = 3 0 0 es una matriz inferior.
120
−1 0 4
B = 4 1 −2
0 1 5 es una matriz superior.
003
Esquema de filas, columnas y diagonal principal.
1 0 4 7 filas
A=0258
0369
1 2 1 0 diagonal principal
columnas
Una matriz nula tiene todos sus elementos nulos.
Ejemplo:
000
A=000
000
Una matriz cuadrada es simétrica si: aij = aji.
Es decir si los elementos situados a igual distancia de su diagonal principal son iguales.
3
A = 1 −3 5
−3 2 0
501
es simétrica porque: a12 = a21 = −3, a13 = a31 = 5, a23 = a32 = 0.
Una matriz es asimétrica si: aij = aji.
Observa si 1 = j, aii = −aii y el único número que cumple con esta igualdad es el cero por lo que es una matriz
asimétrica la diagonal principal esta formada por elementos nulos.
En una matriz asimétrica los elementos situados a igual distancia de la diagonal principal son iguales en valor
absoluto y de signos contrarios.
B = 0 2 −2 5
−2 0 3 6
2 −3 0 −1
−5 6 1 0
es una matriz asimétrica
Matriz escalar
Si tenemos una matriz diagonal cuyos elementos que están en la diagonal principal son todos iguales entonces
tenemos una matriz escalar.
A=300
030
003
Matriz identidad
Es toda matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.
Esta matriz se representa por 1n.
12 = 1 0
•1
igualdad de matrices si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos son iguales.
Ejemplo:
A=abB=xy
4
cdzw
si en estas matrices a = x, b = y, c = z y d = w, entonces las matrices A y B son iguales.
Matriz transpuesta
Si tenemos una matriz (A) cualquiera de orden m x n entonces su transpuesta es otra matriz (A) de orden n x
m donde se intercambian las filas y las columnas de la matriz (A).
Ejemplo:
Si
A = 4 −1 3
0 5 −2
entonces su traspuesta será:
At = 4 0
−1 5
• −2
Determinantes
A toda matriz cuadrada A, se le asocia un número k, denominado su determinante. Al determinante de A, lo
denotamos por Det. A o A .
Adoptaremos barras en vez de paréntesis, para representar a los determinantes, diferenciándolo de una
matriz.
Así: a11 a12 representará el determinante de la matriz a11 a12 .
a21 a22 a21 a22
La regla para encontrar el determinante de una matriz 2 x 2 es la siguiente:
Dado a11 a12
a21 a22 , multiplicaremos los elementos de su diagonal principal, a11 a22, y restaremos de este producto el
producto de los resultantes elementos, a12 a21.
La regla para obtener el determinante de una matriz 3 x 3 es similar a la regla para obtener el determinante de
una matriz 2 x 2.
Dado: a11 a12 a13
a21 a22 a23 lo escribimos, repitiendo bajo de la tercera fila,
a31 a32 a33 las dos primeras filas. Así:
5
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 Tercera fila
a11 a12 a13 Primera y segunda fila.
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 .
a21 a22 a23
se multiplica de izquierda a derecha los elementos y se suman los productos:
a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
luego se multiplican los elementos de la derecha a izquierda y se suman estos productos, cambiados de signo:
−a13 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
Por último:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a13 a22
a31 a32 a33 a31 −a23 a32 a11 − a33 a12 a21
6