SLMI_Ej01r.doc Ejercicio 1.- Se desea resolver por un método

UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Asignatura
Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Met.Iterativos: convergencia J y GS
Fecha
Diciembre 2000
Autor
César Menéndez Fernández
Se desea resolver por un método iterativo el sistema lineal Ax  b del que se
Ejercicio 1.-
conocen las siguientes características sobre sus coeficientes:
n
aii    aij , i  1, n con   1
0    aii , i  1, n
j 1
j i
b


donde las constantes ,  y  son conocidas.
(a)
Demostrar que el método de Jacobi es convergente.
(b)
Obtener, dependiendo de ,  y , el número de iteraciones necesarias para obtener
un error menor que  partiendo de x
(c)
 0
 0.
Realizar 3 iteraciones exactas del método de Jacobi para resolver el sistema
 4 1 0   x1   9 4 

    7 
 1 4 1  x2    4 
 0 1 4   x   5 

 3   4 
Acotar el error cometido utilizando la
 1 y compararlo con el error real
sabiendo que x=(0.5, -0.25, 0.25).
(d)
¿Qué se puede decir en el sistema anterior sobre la convergencia del método de
Gauss-Seidel?.
Apartado (a) Convergencia del método
Dado un método iterativo de la forma x k 1  Kx  k   c , se ha demostrado que el método
converge cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:

x   : lim x   x =A -1  b .

lim K n  0


||K||<1 para alguna norma matricial
(K) <1
0
k
n 
n 
Los valores de K y c del método de Jacobi, estan dados por K  D -1  L  U  y c  D -1b , esto es,
SLMI_Ej01r.doc
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
 0

  a12 2
 a2
K    a13 3
 a3
 
  a1
 n an
 n
 a12
 a13
a11
 a23
0
 a32
 an2
 an3
ann
a22
ann
n
y por tanto K
 max 

Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Met.Iterativos: convergencia J y GS
Fecha
Diciembre 2000
Autor
César Menéndez Fernández

 b1 a11 

b 
n
  a2 a22 
 2 a22 

 
 a3n
 y c   b3 a3 
3
3
a3

  


 

 bn an 
0 
 n
 a1n
a11
0
a33
Asignatura
aij
1 i  n j 1
j i
aii
a11
 1  1 , lo que demuestra que el método es convergente.

Apartado (b) Número de iteraciones
Dado un método iterativo para el que K  1 , se tiene la siguiente acotación del error cometido
xx
k
K

x1  x 0
1 K
k 
Como x   0 , entonces x1  Kx  0  c  c y x    x
1
0
c

 max
bi
1 i  n
aii

max bi
1 i  n
i
i
min a
1i  n
Para garantizar que x  x
K
k
1 K
c
 1 


0
 c . Por tanto


k 
k
K
  se debe verificar que
c   , esto es
1 K

k
log  1 


k






1
1  1     1  k 1
log 
Apartado (c)
Aplicación
 4 1 0   x1   9 4 
0

    7 
Dado el sistema  1 4 1  x2    4  se tiene que K   1 4
 0 1 4   x   5 
0

 3   4 

El cálculo de las sucesivas iteraciones viene dado por
 x1 
 
 x2 
x 
 3
 k 1
0

  14
0

1
4
0
1
4
0  x1 
1  x 
4  2 

0 
 x3 
k 
 9 16 
 
  7 16 
5 
 16 
Tomando x   0 se van obteniendo
0
SLMI_Ej01r.doc
1
4
0
1
4
0
 9 16 
1  y c   7 
4
 16 
5 

0
 16 
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
1
 x1 
0
 
1
 x2    4
x 
0
 3

 x1 
 
 x2 
x 
 3
 2
1
0

  14
0

4
1
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Met.Iterativos: convergencia J y GS
Fecha
Diciembre 2000
Autor
César Menéndez Fernández
0   9 16   9 16   29 64 
1   7    7    14 
4   16   16 
 64 





5
5
0   16   16   13 64 
4
0
1
Cálculo Numérico
0   0   9 16   9 16 
1   0    7    7 
4     16 
 16 





5
0   0   16   5 16 
4
0
1
Asignatura
4
 3
 x1 
 0 1 4 0   29 64   9 16   65 128 
 
1
 7   35 
1   14 
 x2    4 0 4   64    16    128 
x 
 0 1 0   13   5   33 
4
 3

  64   16   128 
El error real será por tanto
x  x
3
 1 2   65 128 
  

  1 4    35 128  
1
 1   33 
 4   128  1
 3 4096 
 2 
 4096  
3 
 4096  1
3
4096
Para acotar el error se utiliza la relación x  x
K 1 K
x   x
1
0

 max  0 
 c 
9
16

1
7
4
16
0,

5
16
1
4
0
1
4

k 
,0
2

1
4096
K

3
4096
k
1
 0.0020
512
x 1  x  0 donde
1 K
4

 0   12
 2116
y la cota vendrá dada por
xx
 3
 12  21  21  0.0820

 16 
1   12 
256
3
cuyo valor es muy superior al error real obtenido.
Puesto que se conoce la solución exacta, también se podría haber utilizado la expresión
x  x
k
 K
x  x
k
0
 x  x
3
  12  x 1   12 
3
1
3

1
2

1
4

1
4

1
16
 0.0625
Apartado (d) Método de Gauss-Seidel
De las condiciones iniciales se observa que la matriz es de diagonal estrictamente dominante, por
lo que el método de Gauss-Seidel también será convergente. Es más, puesto que la matriz es
2
tridiagonal, podemos comprobar que   K J     K GS  .
0

KJ   14
0

1
4
0
1
4
 1  0 
0



3
1
1
1
  KJ  
4   P  K J     8     2 
8



1
0
 3  8 
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1
8
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
1
K GS
 4 0 0 0 1 0 0

 
 
  1 4 0   0 0 1    0
 0 1 4   0 0 0   0

 
 
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1
4
1
16
1
64
Asignatura
Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Met.Iterativos: convergencia J y GS
Fecha
Diciembre 2000
Autor
César Menéndez Fernández
0
 1   2  0


3
2
1
1
3  18
4   P  K GS     8   
  K   1
1 
16 
8
GS

UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicio 1.-
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 1 de 3
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Convergencia GS con matrices DD
Fecha
Diciembre 2000
Autor
César Menéndez Fernández
Demostrar que el método de Gauss-Seidel es convergente cuando la matriz del
sistema es de diagonal dominante y hay al menos una fila con diagonal estrictamente dominante.
Apartado (a) Convergencia del método
Se va a demostrar por inducción, suponiendo que la fila con diagonal estrictamente dominante es
la primera, a partir de la expresión de la matriz de iteración B =D-1  L  U 
N=2
 a11  a12
a12 

con 
2
2
1
a2 
 a2  a2
 a11
A 1
 a2
 D  L
1
0
0
B
1 
 0
a22 

 a11
1
   a1
 1 22
 a1a2
a12
puesto que
 1 , también
a11

 B
 a12 

a22 
 a12
a11
 a12
a11
a12 a12
a11 a22
 max

 1 y por tanto B


a12
a11
,
a12 a12
a11 a22

 1 y el método es convergente.
N=3
 a11

A   a12
 a31

 a11  a12  a13
a13 



a23  con  a22  a12  a23
 3
1
2
a33 
 a3  a3  a3
a12
a22
a32
 11
0
0 0
 a1


1
 a12


1
0   B   0
 D  L    a11a22
a22
 a12 a32  a22 a13  a32 1 

0
 a1a 2 a3

2 3
3
a
a
a
2 3
3 
 123

Calculando los máximos por filas
 a12
a11

 a13

a13 a12
a12 a12
a11a22
a11

a11a22
 a12 a12 a32  a22 a31
a11
a22 a33
a12  a13
a11
3
2
a12
a12
a11
a22
 a13 a12 a32  a22 a31
a11
se llega a que B
N=4
SLMI_Ej02r.doc
 a13
a11
a11
a12 a12
a13 a12
a11a22
a11a22
a12 a32  a22 a13
a22 a33
 a13
a11
 aa22
3
2
a12 a32  a22 a13
a22 a33
3
 aa22
2




2 
a3

a33 
1
 aa22 

 a12
a11
 a12
a22 a33


a13
a12
a11
a22
3
a32
2
a33
 aa22


a23
a22

a12
a22



a12  a13
a11
a12  a13
a12 a32  a22 a13
a11
a22 a33




a23
a22
a23 a32
a22 a33
 1 y el método es convergente.


a12  a23
a22
1
a32
a12  a23
a33
a22

a13
a33

a32
a33

a31
a33
1
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
a

a
A
a

a
1
1
1
2
1
3
1
4
2
1
2
2
2
3
2
4
 a11
a 


 a22
a 

con 
3

a
 a3

 4
a 
 a4
3
1
3
2
3
3
3
4
a
a
a
a
a
a
a
a
Asignatura
Cálculo Numérico
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Convergencia GS con matrices DD
Fecha
Diciembre 2000
Autor
César Menéndez Fernández
 a12  a13  a14
4
1
4
2
4
3
4
4
 a12  a23  a24
 a31  a32  a34
 a14  a42  a43
1

a11

 a12

1 2
a
1 a2
1

 D  L  
a12 a32  a22 a13
a11a22 a33

1
2
3
1
 a2 a3 a4  a2 a33a42  a22 a13a43  a22 a33a14

a11a22 a33 a44

0
0
1
a22
0
 a32
a22 a33
1
a33
a32 a43  a33a42
 a43
a22 a33 a44
a33a44
0

0

0


1 
a44 
0

0

 B
0

0

donde 13 
a32
a33
a12
a22
a13
a33

a32
a33
,  42 
a43
a44

a42
a44
y 14 
a12
a22
a32
a33
a43
a44
a12
a22

a43
13
 a12
 a13
a11
a11
a12 a12
a13 a12
a11
a11
a22
 a12
a11
a12
a11
a42
a44

 a13
a11
13
14
a13
a13
a33
a14
a44
a11
a43
a44

a22
a11
3
 aa22
13 
 a13
 
 a42
4
2
14 
a12
3
a22
a43 a32
 a4
4
a33
 aa44
a22
a44
a14
2
 aa33
a33
2
a44
a12
4
a13

a33

a32
a12
a33
a22

a43
a32
a44
a33
a42

a44
3
 aa44
4

 aa33
a13
2
a33
a12
a22
3

a14

a44
a42
a12
a44
a22

a44
2
a23
a22
a32
a33
3
14  aa22  42
2
Y usamos el resultado para obtener los máximos por filas
 a12
a11
a12 a12
a11a22
 a12
a11

 a13

a13 a12
a11
a11a22
13 
 13 

a11
a11
a23 a32
a33
a12  a13  a14

a11
3
a14 a12
2
a11
 aa22 
 a13
a22
 a14
3
a32
2
a33
13  aa22

a24 a32
a22
SLMI_Ej02r.doc
a22
a33

1
4
a12
a12  a13  a14
2
a22
a11
 aa22 

a34
a33
 a14
a11

4
a32
2
a33
13  aa22
a13
a33


a23
a22

a24

a22
a12  a23  a24
4
a12  a13  a14
3
a11
 aa33  13
a32
a12  a23  a24
a33
a22

a34
a33

a22

a23 a32
a22 a33
a13  a32  a34
a33
1

1
a24 a32
a22 a33



a14 a12
a24

 a2
a11 a22

2
2
4 
4
4
 a1 3
1  aa22 aa33  aa33 
a11
2
3
3

a34 a43
a14 4
a24 4

1 1  2  2  3
4
a1
a2
a3 a4 
 a14
Comenzamos calculando
13 
Página 2 de 3
a34
a33

UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
a12
a11
14 
a13
a11
 14   24

a14
a44

3
a14
2
a11
14  aa22  42 
a23  a24
a22
a34 a43

a42
a12  a23  a24
a44
a22
se llega a que B
a33
a44

a43

a44




4
4
2
4
3 a4
14  aa22  42  aa33
a14
a44
a13
a33


a42
a12
a44
a22

a43
a43
a44
a32
a12  a23  a24
a33
a22
 14


a13
a33
a34
a33
Asignatura
Cálculo Numérico
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Convergencia GS con matrices DD
Fecha
Diciembre 2000
Autor
César Menéndez Fernández
a12  a13  a14
a11

a32
a12
a33
a22



a14
a44
  42



a42
a44
a42
a44

 1 y el método es convergente.
Falta demostrar la inducción (supuesto n verificar para n+1)
SLMI_Ej02r.doc
a23  a24
a22


a43
a32
a44
a33
a34 a43
a33 a44

a43
a13  a32  a34
a44
a33

a23  a24
a22

Página 3 de 3

a34 a43
a33 a44
a14  a42  a43
a44

1
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Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 3x3 Jacobi y Gauss Seidel
Fecha
Febrero 2002
Autor
César Menéndez Fernández
 2 4 4 


Dado el sistema lineal  1 1 1   X  b
 4 4 2


Ejercicio 1.-
(a)
Asignatura
Calcular las matriz de iteración de Jacobi y su radio espectral. ¿Cuántas iteraciones
son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando la norma 1 o infinito?
(b)
Calcular las matriz de iteración de Gauss y su radio espectral. ¿Cuántas iteraciones
son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando la norma 1 o infinito?
(c)
Seleccionar justificadamente el método iterativo más adecuado. Obtener el vector c del
método iterativo seleccionado de forma que la solución sea el vector (1,1,1)T.
(d)
Definir el condicionamiento de un sistema lineal y su interpretación.
Apartado (a) Método de Jacobi
A partir de la descomposición A  D  L  U , donde
 2 0 0 
 0 4 4 
 0 0 0






D   0 1 0 , L  1 0 0 y U  0 0 1
 0 0 2
0 0 0
 4 4 0






se obtiene la matriz de iteración de Jacobi como
 0 2 2 


K J  D  L  U    1 0 1
 2 2 0 


El polinomio característico se obtiene haciendo
1
PJ  x   K J  xI  x3
Por tanto tiene un valor propio nulo único de multiplicidad tres y su radio espectral en menor que
1, lo que implica que el método de Jacobi es convergente.
Calculando las normas de la matriz de iteración,
 max  0  1  2 , 2  0  2 , 2  1  0   4
KJ
1
KJ

 max  0  2  2 , 1  0  1 , 2  2  0   4
Puesto que ambas son mayores que la unidad, no es posible aplicar la relación
xx
 n

K
n
1 K
SLMI_Ej03r.doc
x1  x  0  
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Asignatura
Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 3x3 Jacobi y Gauss Seidel
Fecha
Febrero 2002
Autor
César Menéndez Fernández
Sin embargo, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, se llega a que PJ  K J    K J   0 .
3
Utilizando entonces la relación x  x  n   K n x  x  0 se observa que la solución exacta se
obtiene en tres iteraciones.
Apartado (b) Método de Gauss-Seidel
La matriz de iteración de Gauss-Seidel se obtiene como
1
 2 0 0   0 4 4   1 2 0
-1

 
 
K G   D  L  U   1 1 0   0 0 1    1 2 1
 4 4 2   0 0 0   0 2

 
 
El polinomio característico se obtiene haciendo
PG  x   K G  xI  x  x  2 
0  0 4 4   0 2 2 

 

0  0 0 1    0 2 3 
1  0
0 0   0 0 2 
2 
2
Por tanto sus valores propios son 0 y 2, con multiplicidades respectivas de 1 y 2. El radio
espectral de la matriz es 2 y el método de Gauss-Seidel es divergente. No tiene sentido hablar de
número de iteraciones.
Apartado (c)
Selección del método
A la vista de los radios espectrales, se selecciona el método de Jacobi, que converge y da la
solución exacta en tres iteraciones. El de Gauss Seidel queda descartado al no ser convergente.
Para obtener el vector c tenemos dos alternativas
1. Obtención de c mediante el cálculo previo del vector b
 2 4 4  1  2 
1

    
 
1
b  A x   1 1 1    1   3   c  D b   3 
 4 4 2  1  10 
5

    
 
2. Obtención directa de c mediante la fórmula del método iterativo
 1 2 2  1  1 

   
x  K J x  c  c   I  K J  x   1 1 1  1   3 
 2 2 1  1  5 

   
Apartado (d) Condicionamiento
Dado un sistema Ax  b se define el condicionamiento de la matriz del sistema, según la norma
p, al valor cond  A, p   A p  A 1 . El condicionamiento de un sistema mide la sensibilidad
p
de la solución del sistema a las variaciones de los coeficientes del sistema o del segundo
miembro. Así, cuando el condicionamiento es “bajo”, pequeñas variaciones de los coeficientes
pueden producir pequeñas modificaciones de la solución. Por el contrario, pequeñas variaciones
de los coeficientes pueden originar cambios muy importantes de la solución cuando el
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Asignatura
Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 3x3 Jacobi y Gauss Seidel
Fecha
Febrero 2002
Autor
César Menéndez Fernández
condicionamiento es “alto”. En los sistemas con éste tipo de condicionamiento, el residual,
definido como r  b  Ax no es un buen indicador de la calidad de la raíz.
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Ejercicio 1.-
(a)
Asignatura
Tema
Materia
Fecha
Cálculo Numérico
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Sistemas Lineales
Tridiagonal con Factorización y Jacobi
Junio 2002
Autor
César Menéndez Fernández
a 1



1 a 1

 1 a 1

Dada la matriz A  

  



1 a 1


1 a 

Demostrar por inducción que todos los determinantes principales son positivos cuando
a>2, y por tanto, aplicando criterio de Silvester, la matriz es definida positiva.
(b)
Dadas las características de la matriz, seleccionar justificadamente el método de
factorización más adecuado. Aplicarlo cuando A   33 .
(c)
Obtener la matriz de iteración de Jacobi. Demostrar que el método converge cuando a>2,
¿Cómo sería el método cuando a=7/4 y A   33 ?
Apartado (a) Matriz definida positiva
El menor principal de orden n de la matriz A viene dado por
a 1
1 1
1 a 1
0 a 1
1 a 1
1 a 1
An 
 aA n 1  1
  
  
 aA n 1  A n  2
1
a 1
1 a 1
1 a
1 a
Vamos a demostrar por inducción que A j 1  A j  0a  2
A1  a  a  2
A2 
a 1
 aA1  1  a 2  1  3 y A 2  A1  a  a  1  1  a  1  1
1 a
a 1
1 1
A 3  1 a 1  aA 2 
 aA 2  A1  a  a 2  2   4 y A 3  A 2  A 2  a  1  a  1
0 a
1 a
a 1
1
1 a 1
A4 
 aA 3  1 a 1  aA 3  A 2  5 y A 4  A 3  A 3  a  1  A 2  1
1 a 1
1 a
1 a
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Asignatura
Tema
Materia
Fecha
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Sistemas Lineales
Tridiagonal con Factorización y Jacobi
Junio 2002
Autor
César Menéndez Fernández
y en general
A n  aA n 1  A n  2  2 A n 1  A n  2  A n 1   A n 1  A n  2   A n 1  0
Apartado (b) Selección del método de factorización
Puesto que la matriz es definida positiva, el método de factorización más adecuado es el de
Choleski. Aplicamos este método a una matriz de orden 3.
  l1 2

l11l21
l11l31
1
1
1
1
 l1 l2 l3   1

a 1
  l1

 11


  1 2
T
2
2
1 2
2 2
1 1
2 1
A  LL   1 a 1    l2 l2
l2 l3    l1 l2  l2    l2 
l2l3  l2 l3


1
2
3
3







2
2
2
1 a   l3 l3 l3 
l3 

l21l31  l22l31
l31    l32    l33  
 l11l31



Planteando el sistema y despejando
a   l1 2
l11  a
1

1  l11l21
l21  1a





1 1
1
l3  0
0  l1 l3
 a




1 2
2 2
2
1
1
1
a a
l2  a  a  L  a
 a   l2    l2 





1
1
1  l1l1  l 2l1
a  a 1 1 
0
l32 

2 3
2 3
a 


a  a1
a  a1



2
2
2
a   l1    l 2    l 3  l 3  a  1
3
3
3
3
a  1a

Apartado (c)
Matriz de iteración de Jacobi
Dado un método iterativo de la forma x k 1  Kx  k   c , se ha demostrado que el método
converge cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:

x   : lim x   x =A -1  b .

lim K  0


||K||<1 para alguna norma matricial
(K) <1
0
k
n 
n
n 
El valor de la matriz K de iteración del método de Jacobi se expresa como K  D -1  L  U  .
 0 1 a

 1


1
a
 a 0

1

1


0
a
a
K 
 y por tanto K   2 a  1 y el método converge para a>2.





1
1



0
a
a


1
0 
a

Cuando a=7/4, se tiene que K   8 7  1 , lo que NO permite asegurar su convergencia, pero
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
0

K   4 7


 K  
Asignatura
Tema
Materia
Fecha
Cálculo Numérico
Página 3 de 3
Sistemas Lineales
Tridiagonal con Factorización y Jacobi
Junio 2002
Autor
César Menéndez Fernández
 x 4 7


0 4 7  y PK  x   4 7  x 4 7   x 3  x 32 49 . Por tanto   K   0, 
4
4
0 
x
7
7
32
49  1 , así pues el método es convergente.
4
7
SLMI_Ej04r.doc

32
49
y
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Asignatura
Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 3x3 Jacobi y Gauss Seidel
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
0
a a a






Dado el sistema lineal  b a a   X   2  b  a  
b b a
 ab 




Ejercicio 1.
(a)
¿Qué relación debe haber entre a y b para que el sistema admita solución única?
(b)
Calcular las matrices de iteración de Jacobi y de Gauss Seidel.
(c)
Determinar la convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel cuando se toma
a
(d)
1
2
y b  1 . Obtener asimismo su radio espectral.
En caso de converger el método de Jacobi con a 
1
2
y b  1 , ¿cuántas iteraciones
son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando la norma 1? ¿ y la
infinito?
(e)
En caso de converger el método de Gauss-Seidel con
a
1
2
y b  1 , ¿cuántas
iteraciones son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando la norma
1? ¿ y la infinito?
Apartado (a) Relación entre a y b
Para que la solución sea única, el sistema debe ser regular, esto es, A  0
a a a
a
0
0
a  0
2
A  b a a  b a  b a  b  a a  b  0  
a  b
0
b b a b
a b
Apartado (b) Matrices de iteración de Jacobi y Gauss-Seidel
A partir de la descomposición A  D  L  U , donde
0 0
a 0 0
 0
 0 a a 






D   0 a 0  , L   b 0 0  y U   0 0 a 
0 0 a
 b b 0 
0 0
0 





se obtiene la matriz de iteración de Jacobi como

 0

b
-1
K J =D  L  U    
 a

  b
 a
SLMI_Ej05r.doc
1
0

b
a

1

1


0 

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Asignatura
Cálculo Numérico
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Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 3x3 Jacobi y Gauss Seidel
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
De forma análoga, la matriz de iteración de Gauss-Seidel viene dada por
1
 a 0 0   0 a a   1 a
-1

 
 
K G =  D  L  U   b a 0   0 0 a    b a2
b b a 0 0
0   b  b  a  a3

 
1
1 
0


b  a 
b
KG   0
a
a

 0 b b  a  2 b b  2 a  2 
a
a 

0
1
b
a
a2
Convergencia de Jacobi y Gauss-Seidel con a 
Apartado (c)
0   0 a a 


0   0 0 a 
1  0
0
0 
a 
1
2
y b  1
Sustituyendo por los valores dados, se tiene

 0

b
-1
K J =D  L  U    
 a
 b
 
 a
0

KG   0
0

1
1
0

b
a

1 
 0 1 1




1
  2 0 1

2 2 0 



0  a  1
 2
b 1
1

 0 1 1 



  0 2 3 
a

b b  2 a  
 0 6 8 
a  12


a2 
b  a 
b
a
b b  a 
a2
b 1
Comenzamos comprobando si las normas más sencillas de las matrices de iteración son
inferiores a uno. Empezamos con la norma 1:
K J 1   0  2  2 , 1  0  2 , 1  1  0   max 4,3, 2  4
K G 1   0  0  0 , 1  2  6 , 1  3  8   max 0,9,12  12
Como se puede ver la norma 1 es mayor que la unidad en ambos casos. Probamos con la norma
infinito
KJ

KG

  0  1  1 , 2  0  1 , 2  2  0   max 2,3, 4  4
  0  1  1 , 0  2  3 , 0  6  8   max 2,5,14  14
Puesto que ninguna permite asegurar la convergencia, necesitamos calcular el radio espectral,
para lo cual comenzamos obteniendo el polinomio característico:
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PJ  x   K J  xI  x 3  6 x  2
Asignatura
Cálculo Numérico
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 3x3 Jacobi y Gauss Seidel
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández

  J   3 4  3 2, 12


3
 0.3275,0.1637  i 2.4659


4  3 2 i
3
2

3
Página 3 de 3

4 3 2 



PG  x   K G  xI  x3  10 x 2  2 x   J  0,5  3 3  0,0.1962, 10.1962
Se puede observar que en ambos casos el radio espectral es mayor que uno, y por tanto los
métodos no convergen.
Apartado (d) Número de iteraciones de Jacobi
El método de Jacobi es divergente. No tiene sentido hablar de número de iteraciones.
Apartado (e) Número de iteraciones de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es divergente. No tiene sentido hablar de número de iteraciones.
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicio 1.-
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 1 de 3
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 2x2 Comparación Iterativos
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
Dado el sistema lineal Ax=b,
3 1  x   2

   
 1 3  y   2
(a)
Seleccionar el método iterativo más adecuado
(b)
Calcular el número de iteraciones para lograr un error (respecto a 

) menor que 10-5,
partiendo del vector nulo.
Apartado (a) Caracterización de A:
La matriz del sistema es simétrica y definida positiva. Esto se puede ver mediante su polinomio
característico:
PA (  )  A  I  2  6  8; ( A)  { 2,4}
o bien considerando que es de diagonal dominante. Puesto que la matriz es simétrica, definida
positiva y de diagonal dominante, todos los métodos iterativos estudiados van a converger.
Consideremos cada uno de ellos:
JACOBI
0
K J  D 1 ( L  U )  
 13

;  ( K J )  {1 3 , 1 3}; K J
0 
1
3


1
3
GAUSS-SEIDEL
0
K G  ( D  L) 1 U  
0

;  ( K G )  {0, 1 9}; K G
9 
1
1
3


1
3
Nota: este cálculo es innecesario, pues al ser la matriz tridiagonal y definida positiva, sabemos
2
que  K J    ( K G )
S.O.R.
KS  (
D

1
 L) (
(1   )
SLMI_Ej06r_.doc

 1 

D  U )  ( D  L) ((1   ) D  U )    (1   )

3

1



2

1    
9
3
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 2 de 3
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 2x2 Comparación Iterativos
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
Puesto que la matriz es tridiagonal y definida positiva, se tiene que el valor óptimo del parámetro
2
de relajación viene dado por op 
 18  12 2 , y el radio espectral por
2
1 1   K j
 
min  K s   op  1. O bien, se calculan los valores propios de la matriz y se busca el valor para el
cual el radio espectral es mínimo.
x 2  x 2  36x  36
x2
(K S )  {1  x 

}
18
18
Sustiyuyendo este valor, se llega a
 17  12 2
6  4 2  0,02943 0,34314
KS  


198  140 2 51  36 2  0,01010 0,08831 
(K S )  {17  12 2,17  12 2 }  { 0,02944,0,02944}; K S
1
El método más adecuado será pues el de relajación para el valor dado de  o, en su defecto, el de
Gauss-Seidel. Realizamos elgunas iteraciones con los tres métodos.
Iteración
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Jacobi
(0; 0)
(0,666667; -0,666667)
(0,888889; -0,888889)
(0,962963; -0,962963)
(0,987654; -0,987654)
(0,995885; -0,995885)
(0,998628; -0,998628)
(0,999543; -0,999543)
(0,999848; -0,999848)
(0,999949; -0,999949)
(0,999983; -0,999983)
(0,999994; -0,999994)
Gauss-Seidel
(0; 0)
(0,666667; -0,888889)
(0,962963; -0,987654)
(0,995885; -0,998628)
(0,999543; -0,999848)
(0,999949; -0,999983)
(0,999994; -0,999998)
S.O.R. óptimo
(0; 0)
(0,686292; -0,92179)
(0,982397; -0,996262)
(0,999235; -0,999848)
(0,99997; -0,999994)
(0,999999; -1.00000)
Apartado (b) Número de Iteraciones:
El número máximo de iteraciones necesarias para que el error sea menor que un  dado se
calcula como:
n
x  xn 
K
x1  x 0    n 
1 K
SLMI_Ej06r_.doc
L
1 
K 
x1  x 0
LK
 0,372583
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
L
de
donde,
L
nG 
SLMI_Ej06r_.doc
Cálculo Numérico
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Ejemplo 2x2 Comparación Iterativos
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
 1  13 10 5
nJ 
 1  0,3725105
0,9217
L(0,3725)
Asignatura
 12,05 .
2
3
L 13 
L
 10,4,
nG 
Página 3 de 3
1  13 10 5
8
9
L 13 
 10,7
y
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicio 1.-
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 1 de 5
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo 3x3 parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
Dado el sistema lineal Ax=b,
 a b b   x1   a  b 

   

 b a b    x2    0 
b b a  x   a  b

  3 

(a)
Calcular la matriz de iteración del método de Jacobi y determinar su polinomio
característico, determinando a partir de él los valores propios. ¿Qué relación debe
existir entre los coeficientes a y b para que el método iterativo de Jacobi sea
convergente?.
(b)
Tomando a=3, b=1, calcular las matrices de iteración de Jacobi y Gauss Seidel. ¿Cuál
de los dos métodos converge más rápido? Determinar una cota del número de
iteraciones necesarias en cada método para que, partiendo del vector nulo, se asegure
que el error es menor que una milésima medido con la 
(c)

.
Tomando a=3, b=2, calcular las matrices de iteración de Jacobi y Gauss Seidel. ¿cuál
de los dos métodos converge más rápido?. Determinar una cota del número de
iteraciones necesarias en cada método para que, partiendo del vector nulo, se asegure
que el error es menor que una milésima medido con la 
Apartado (a)
La

.
Matriz de Jacobi
matriz
de
iteración
del
 0
b
b 
a
a

1

b  .
KJ  D (L  U )   b
0
a
a

 b


b
0 
a
a


método
de
Jacobi
viene
 a
Calculando su polinomio característico se tiene PJ  x   K j  xI   x 3  3 b
Aplicando rufini, se tiene
-1
b
b
a
-1
SLMI_Ej07r_.doc
0
b
 a
 b 
a
2b 
a
3b
2
2
a
2
a
 a
2b 
a
2 b
3
3
0
dada
2
por
 a .
x2 b
3
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
b
b
a
-1
 2b
 2b
2b
a
a
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 2 de 5
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo 3x3 parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
 a
2
2 b
0
a
a
-1
0
doble y  2 b simple., y el radio espectral  es por tanto  2 b .
a
a
a
Para que el método sea convergente es necesario que   1 , y por tanto es preciso que 2 b  a .
Los valores propios son b
Apartado (b) Caso a=3, b=1
La matriz de iteración del método de Jacobi viene dada por
 0

1
K J  D (L  U )    1
 3
  1
 3
1
1 
3
1  ,
3
0 

3
0
1
3
   
cuyo polinomio característico es PJ x   K j  xI   x 3  1 x  2 1 . Aplicando rufini, se
3
3
tiene
3
-1
1
1
3
-1
1
1
1
3
-1
2
0
2
2
3
-1
3
3
3
3
1
1
2
2
3
 3
2 1 
3
2 1
3
3
9
9
0
9
0
3
0
Los valores propios son 1 doble y  2 simple., y el radio espectral  es por tanto 2 .
3
3
3
Repitiendo el proceso para Gauss-Seidel, se tiene que
SLMI_Ej07r_.doc
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
3 0 0


1
K G  ( D  L) U   1 3 0 
1 1 3


1
Asignatura
Cálculo Numérico
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo 3x3 parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
 0 1 1
 13


 1
 0 0 1   9
0 0 0 
 2


 27
0   0 1 1
0



0   0 0 1   0
0
1 0
0 0 
3 

0
1
3
1
Página 3 de 5
9
1
1
2
3
9
27

2 
9
5 
27 
1
3
 27x  13  x ., cuyas
El polinomio característico viene dado por PJ x   K G  xI   x 3  8
3

3
2

1
1
.
raices son 0 y   4  i 11 . Calculando el radio espectral se obtiene el valor
3 3
3
El método que converge más rápido es aquel con menor radio espectral, lo que conduce al
método de Gauss-Seidel. Para calcular el númeo de iteraciones de cada método, utilizamos la
acotación vista en la teoría:
xx
n

K
L
n
x x n
1
1 K
0
1 
K 
x  x0
1
LK
Para poder aplicar la fórmula es necesario calcular la primera iteración del método. En ambos
casos se tiene que x n 1  K  x n   c Puesto que x(0) es el vector nulo, se tiene que x(1) = c.
Calculemos pues los valores de c y la norma para ambos métodos:
 2 
 3 
1
Jacobi:
c J  D b   0   cJ


 2 
 3
3
2
1  3 10
L
2
3
 18.7  19
nJ 
L2 3 

2 ,
3
 2

3 

G.-Seidel: cG  ( D  L) 1 b   2   cG
9 

 22 
27 

3
20
1  27 10
L
22
27
 26.8  27
nJ 
L20 27 
y

 22
como
27
KJ

2
, y como K G
3

se
 20
27
tiene
que
se tiene que
Si se realizan los cálculos, se observa que las cotas anteriores son muy groseras, pues la
convergencia pedida se alcanza con Jacobi en siete iteraciones, y en seis con Gauss.Seidel.
SLMI_Ej07r_.doc
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Apartado (c)
La
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 4 de 5
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo 3x3 parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
Caso a=3, b=2
matriz
de
iteración
del
método
de
Jacobi
viene
 0
2
2 
3
3

K J  D 1 ( L  U )    2
cuyo
polinomio
0
2  ,
3
 3
  2
0 
2
3
 3

3
16
es PJ  x   K j  xI   x  4 x 
. Aplicando rufini, se tiene
3
27
-1
2
0
2
3
-1
2
2
2
3
-1
4
4
4
3
-1
4
4
3
8
3
8
3
 16
3
16
9
dada
por
característico
27
27
0
9
9
0
3
3
0
doble y  4 simple., y el radio espectral  es por tanto 4 . Al ser
3
3
3
superior a uno, el método no convergerá a la solución del sistema,
Repitiendo el proceso para Gauss-Seidel, se tiene que
Los valores propios son 2
 3 0 0


1
K G  ( D  L) U   2 3 0 
 2 2 3


1
 0 2 2   1 3

  2
 0 0 2  =  9
 0 0 0   2

  27
0
1
3
2
9
0

0 
1 
3
 0  2 2 
0



 0 0 2    0
0 0 0 
0



El polinomio característico viene dado por PJ  x   K G  xI   x 3  28
3


27
x2  8
27
2
4
4
3
9
27


9 
16 
27 
2
2
x ., cuyas
8
1
raices son 0 y   14  2i 5 . Calculando el radio espectral se obtiene el valor
.
27
3
Para calcular el número de iteraciones de cada método, utilizamos la acotación vista en la teoría:
xx
SLMI_Ej07r_.doc
n

K
L
n
1 K
x x n
1
0
1 
K 
x1  x 0
LK
3
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 5 de 5
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo 3x3 parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
Para poder aplicar la fórmula es necesario calcular la primera iteración del método. En ambos
casos se tiene que x n 1  K  x n   c Puesto que x(0) es el vector nulo, se tiene que x(1) = c.
Calculemos pues los valores de c y la norma para ambos métodos:
1 
 3
1
Jacobi: cJ  D b   0   cJ


 -1 
 3
fórmula.
SLMI_Ej07r_.doc

 1 , y como
3
KJ

 4  1 no se puede aplicar la
3
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicio 1.-
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 1 de 4
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo tria. parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
Dado el sistema triangular
n
 a11 a12 a13
a1 

2
3
n
 0 a2 a2  a2
n
 0 0 a 33
a3  X  b






n
 0 0 0
an
(a)
Demostrar que los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel obtienen la solución exacta en a
lo sumo n pasos para cualquier de orden n. ¿Qué condiciones debe cumplir el sistema
para que el método de relajación converja para cualquier valor del parámetro de
relajación ?.
(b)
Calcular el número de pasos requeridos por Jacobi y Gauss-Seidel para aproximar la
solución del siguiente sistema con un error menor que 10-3, partiendo del vector nulo.
 6 1 1 3 
 1 


 
 0 2 3 2  x   5 
0 0
 4 
1 6


 
0 0 0 4
 2 
(c)
¿Qué método de factorización sería el más adecuado para este tipo de sistemas?.
Apartado (a) Demostración de convergencia
Dada una matriz regular cualquiera, con términos no nulos en la diagonal, los métodos iterativos
estudiados la descomponen como
A  D  L  U siendo:
a ii i  j
a ij i  j
 a ij i  j
j
j
j
D

L

U

 i 
 i 
 i 
0 i  j
 0 i j
 0 i j
Y transforman el sistema inicial en un sistema de punto fijo
Ax  b   D  L  U  x  b  x  Kx  c
Al ser la matriz del sistema triangular superior, se tiene que L=0, por tanto la matriz y el vector
de iteración se reducen en ambos casos a:
SLMI_Ej08r_.doc
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Asignatura
Cálculo Numérico
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo tria. parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
JACOBI
GAUSS-SEIDEL
 K  D 1  L  U   D 1U

1
 cD b
 K   D  L 1 U  D 1U

1
1
 c   D  L  b  D b
Página 2 de 4
Los sucesivos términos de los métodos iterativos de resolución de sistemas vienen definidos por
 x0

 xn 1  Kxn  c n  0
Generando la sucesión de vectores
x1  Kx0  c
x2  Kx1  c  K  Kx0  c   c  K 2 x0   K  I  c
x3  Kx2  c  K  K 2 x0   K  I  c   c  K 3 x0   K 2  K  I  c

x4  Kx3  c  K K 2 x0   K 2  K  I  c

 c  K 4 x0   K 3  K 2  K  I  c

xn  Kxn 1  c    K n x0   K n 1  K n  2   K 3  K 2  K  I  c
xn 1  Kxn  c    K n 1 x0   K n  K n 1  K n  2   K 3  K 2  K  I  c

En ambos métodos se tiene que:




1
K  D U 





1
0
1
a1
0
1
0
2
0
a2
0
0

0

0
1
3
a3

0
0 
  0 a12
0 
0 0
0 0 0



0 0
1

n
an 
a13
 a23
0
0
 a1n 

  a2n 
 a3n  



0 
 0 a1 1 a1 1
a1 1 

a1
a1
a1 


3
n
a 2 2  a 2 2 
0
0
a2
a2 


n
a 3 3 
0
0
0
a3 






0
0
0
0 

Teniendo en cuenta el teorema de Cayley-Hamilton por el que toda matriz verifica su
ecuación característica:
2
SLMI_Ej08r_.doc
3
n
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 3 de 4
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo tria. parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
K    I  0      0  K n  0
n
Sustituyendo en las relaciones anteriores:
 n

xn = K n x0   K n 1  K n  2   K 3  K 2  K  I  c    K i  c
 i 0 
 n

xn 1 = K n 1 x0   K n  K n 1  K n  2   K 3  K 2  K  I  c    K i  c  xn
 i 0 
Queda así demostrado que en a lo sumo n pasos se obtiene la solución exacta.
En el método de relajación se tiene:
 K   D   L 1 1    D  U   1    I   D 1U

1
c   D   L  b  D 1b
Así pues   K   1    . El método será convergente si K   1 , por tanto 0    2 .
Apartado (b) Número de iteraciones
Del apartado anterior, ya que la matriz del sistema es triangular superior, se tiene que en ambos
métodos:
xn 1  Kxn  c  D 1Uxn  D 1b
luego conseguirán aproximar la solución del sistema con un error menor de 10-3 en el mismo
número de pasos. Comenzamos calculando las matrices del método:
6 0 0 0
 16 0 0 0 
 0 1 1 3 






0 2 0 0
0 12 0 0 
0 0 3 2 
D
y U 
 D 1  
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 6 






0 0 0 4
 0 0 0 14 
0 0 0 0 
0

0
1
K  D U 
0

0
1
6
1
6
0
3
0
0
0
0
2

 1 6 

5 
1
2
1
,c  D b   
 4 
6

 1 
0
 2
1
2
Pero las normas sencillas habituales
K
1
 K

 6  , son mayores que uno, y por tanto no es
posible realizar la acotación del número de iteraciones. El calcular la otra norma habitual
K
2

   KK T   1735
284  1 tampoco permitiría utilizar la cota. Por tanto no podemos acotar el
número de iteraciones, si bien sabemos que la aplicación del teorema de Cayley-Hamilton nos
indica que la solución exacta se alcanza en 4 iteraciones. Realizando las iteraciones partiendo del
vector nulo
SLMI_Ej08r_.doc
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
0

0
x1  Kx0  c  
0

0
1
0
0
0
3
0

0
x2  Kx1  c  
0

0
1
1
0
0
0
3
0

0
x3  Kx2  c  
0

0
1
1
0
0
0
3
0

0
x4  Kx3  c  
0

0
1
1
6
1
6
2
0
0
6
6
6
0
0
0
Y como cabía esperar
 0 1 6

0 0
x5  Kx4  c  
0 0

0 0
6
2
0
0
6
2
0
0
6
3
2
0
0
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 4 de 4
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Iterativo tria. parametros J y GS
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
  0   1 6   1 6 
     
1  0   5 2   5 2 


6   0   4   4 
     
0   0   1 2   1 2 
1
2
  1 6   1 6   7 6 
     
1  5 2   5 2   4 


6   4   4   1 
     
0   1 2   1 2   1 2 
1
2
  7 6   1 6   512 
     
1  4   5 2   1 2 


6   1   4   1 
     
0   1 2   1 2   1 2 
1
2
  512   1 6   1 3 
     
1   1 2   5 2   1 2 


6   1   4   1 
     
0   1 2   1 2   1 2 
1
2
  1 3   1 6   1 3 
     
3
1  1 2   5 2   1 2 
2


 x4
0 6   1   4   1 
     
0 0   1 2   1 2   1 2 
Las diferencias entre las sucesivas iteraciones nos muestran
1
6
1
2
 1 6 
 43 
 19 12 
 34 
5 
 13 
 9 
 
0
2 
2
2 



, x2  x2  x1 
, x3  x3  x2 
, x4  x4  x3   
x1  x1  x0 
 4 
 3 
 0 
0
 1 




 
 2
 0 
 0 
0
que era necesario hacer cuatro iteraciones para que el error, con cualesquiera de las tres normas
habituales, fuera inferior a la milésima.
Apartado (c)
Selección del método de factorización
El método de factorización más adecuado para este tipo de sistemas es el de Doolitle:
A  x  b  L  U  x  b donde L es triangular inferior de diagonal unidad y U es triangular
superior, obviamente en nuestro caso la factorización ya está hecha, siendo L la matriz identidad
y U la matriz A del sistema.
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UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicio 1.-
Asignatura
Cálculo Numérico
Página 1 de 4
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Trid+DP3x3: Inversa e iterativos J y SOR
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
Dado el sistema lineal Ax=b,
 3 1 0   x   1 

    
1 3 1  y   2 
 0 1 3   z   7 

    
(a)
Obtener el condicionamiento del sistema utilizando


(El cálculo de la inversa se debe
realizar utilizando el método de Gauss-Jordan)
(b)
Obtener la matriz de iteración del método de Jacobi y analizar su convergencia. Realizar
dos iteraciones partiendo del vector nulo. A la vista de los resultados, ¿cuál será el
comportamiento del método de Gauss-Seidel?.
(c)
Calcular, utilizando el método de Jacobi, el número de iteraciones para lograr un error
(respecto a  1 ) menor que 10-5, partiendo del vector nulo.
(d)
¿Existe algún valor para el cual el método de relajación es convergente?. En caso
afirmativo, obtener el valor óptimo y calcular el radio espectral correspondiente.
a) Inversa y condicionamiento del sistema
La matriz del sistema es tridiagonal, simétrica y de diagonal estrictamente dominante, y por
tanto, definida positiva. Esto también se puede ver mediante su polinomio característico:
3 x
1
0
3
PA  x   A  xI  1
3 x
1 = 3  x   2 3  x  = 3  x   x2  6 x  7  
0
1
3 x
   A   1.5858,3.0000, 4.4142
Por tanto todos los métodos iterativos estudiados van a converger.
Comenzamos calculando la inversa mediante Gauss-Jordan
 3 1 0 1 0 0 

 
1
 1 3 1 0 1 0    F2  F2  3 F1
0 1 3 0 0 1 F  F  0 F
3
3 1

  3
1

 0

0
1
8
3
3
1
F1  13 F1 




0 1 3 0 0   F1  F1  18 F2
 
1 1 3 1 0   
3 0 0 1   F3  F3  83 F2
SLMI_Ej09r_.doc


F2  F2  


3
8
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
1 0

 0 1
0 0

1
3
8
8
21
8
3
1
1
1
8
3
8
 1 0 0 8 21

  0 1 0 1 7
 0 0 1 1 21

Puesto que
8
3
8
1
3
8

 8 21


1
1
  3 21
7  A
1
8 
21 
 21
1
7
7
1
0   F1  F1  211 F3
 
0    F3  F3  17 F3
1  
8
7
21
n
A   max  aij  max 4,5, 4  5
i
j 1
A1
3
9
21
21
3
21

Asignatura
Cálculo Numérico
Página 2 de 4
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Trid+DP3x3: Inversa e iterativos J y SOR
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández



8
F3  21 F3 

3 
21 

8
21 
1
21
 max  4 7 , 5 7 , 4 7  5 7
se tiene que
  A,    A  A1

 5 5 7  25 7
b) Matrices de Jacobi y convergencia
A partir de la descomposición A  D  L  U , donde
 3 0 0
0 0 0
0 1 0






D  0 3 0 , L  1 0 0 y U  0 0 1
0 0 3
0 1 0
0 0 0






se obtiene la matriz de iteración de Jacobi y el vector independiente
 0 1 3 0 
 1 3 


 
K J =D-1  L  U    1 3 0 1 3 
cJ =D-1 b   2 3 
 0 1
 7 
0 
3

 3
Al ser la matriz de diagonal estrictamente dominante, tanto el método de Jacobi como el de
Gauss-Seidel son convergentes. Esto se comprueba fácilmente observando que
KJ

 max  1 3 , 2 3 , 1 3  2 3  1 .
Realizamos las iteraciones pedidas
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
0

1
 0
x  K J x  cJ   1 3
0

0

 2
1
x  K J x  cJ   1 3
0


1
1
3
3
0
1
Cálculo Numérico
Página 3 de 4
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Trid+DP3x3: Inversa e iterativos J y SOR
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
0   0   1 3   1 3 
1   0    2    2 
3    3 
 3





7

0   0   3   7 3 
0   1 3   1 3   5 9 
1   2    2    14 
3  3   3 
 9





0   7 3   7 3   23 9 
3
0
1
Asignatura
3
 0.9998 


x   1.9998 
 2.9998 


Al ser la matriz tridiagonal y definida positiva (ver los autovalores calculados), sabemos que
13
 KG    K J    K J

2

2
 1 , por lo que confirmamos de nuevo que Gauss-Seidel también
es convergente.
c) Método de relajación
Al ser la matriz definida positiva, el método converge para    0, 2  . Puesto que también es
tridiagonal, se tiene que el valor óptimo del parámetro de relajación viene dado por
2
optimo 
2
1 1  K J 
Lo que exige calcular el radio espectral de la matriz de Jacobi
PK J  x   K J  xI 
x
1
3
0
1
x
1
1
x
3
0
   K J   0, 
optimo 
2
3
3
=   x   2 1 3 1 3   x    x  x 2  2 9  
3
3
   K  
J
2
3
 0.4714
2
 1.0627 , y el radio será optimo  optimo  1  0.0627
1 1  29
d) Numero de iteraciones
El número máximo de iteraciones necesarias para que el error sea menor que un  dado se
calcula como:
xx
n

K
n
1 K
ln
1
x x
 0
 n
Obtenemos los valores necesarios
SLMI_Ej09r_.doc
1 
K 
1
x  x 0
ln K
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
KJ
1
 max  1 3 , 2 3 , 1 3  2 3
x   x
1
ln
n
0
1
 c1
1
3
 2 3  7 3  10 3
1  2 3 105
10
3
ln 2 3

ln106
 34.0732
ln 2 3
Se necesitan al menos 35 iteraciones
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Asignatura
Cálculo Numérico
Página 4 de 4
Tema
Sistemas Lineales
Materia
Trid+DP3x3: Inversa e iterativos J y SOR
Fecha
Junio 2007
Autor
César Menéndez Fernández
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Asignatura
(a)
Página 1
de 3
Tema
Sistemas Lineales (Iterativos
3x3 J y GS)
Autor
César Menéndez Fernández
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Ejercicio 1.-
Cálculo
Numérico
 2 4 4 


Dado el sistema lineal  1 1 1   X  b
 4 4 2


Calcular las matriz de iteración de Jacobi y su radio espectral. ¿Cuántas
iteraciones son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando
la norma 1 o infinito?
(b)
Calcular las matriz de iteración de Gauss y su radio espectral. ¿Cuántas
iteraciones son necesarias para obtener un error menor que 0.001 utilizando
la norma 1 o infinito?
(c)
Seleccionar justificadamente el método iterativo más adecuado. Obtener el
vector c del método iterativo seleccionado de forma que la solución sea el
vector (1,1,1)T.
(d)
Definir el condicionamiento de un sistema lineal y su interpretación.
Apartado (a) Método de Jacobi
A partir de la descomposición A  D  L  U , donde
 2 0 0 
 0 0 0
 0 4 4 






D   0 1 0 , L   1 0 0 y U   0 0 1
 0 0 2
 4 4 0
 0 0 0






se obtiene la matriz de iteración de Jacobi como
 0 2 2 


K J =D  L  U    1 0 1
 2 2 0 


El polinomio característico se obtiene haciendo
-1
PJ  x   K J  xI  x 3
Por tanto tiene un valor propio nulo único de multiplicidad tres y su radio espectral en
menor que 1, lo que implica que el método de Jacobi es convergente.
Calculando las normas de la matriz de iteración,
KJ
1
KJ

 max  0  1  2 , 2  0  2 , 2  1  0   4
 max  0  2  2 , 1  0  1 , 2  2  0   4
Puesto que ambas son mayores que la unidad, no es posible aplicar la relación
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Asignatura
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
xx

K
n
1 K
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de 3
Tema
Sistemas Lineales (Iterativos
3x3 J y GS)
Autor
César Menéndez Fernández
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
 n
Cálculo
Numérico
x 1  x  0  
Sin embargo, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, se llega a que
3
PJ  K J    K J   0 . Utilizando entonces la relación x  x  n   K n x  x  0 se
observa que la solución exacta se obtiene en tres iteraciones.
Apartado (b) Método de Gauss-Seidel
La matriz de iteración de Gauss-Seidel se obtiene como
1
 2 0 0   0 4 4   1 2 0
-1

 
 
K G =  D  L  U   1 1 0   0 0 1    1 2 1
 4 4 2   0 0 0   0 2

 
 
0  0 4 4   0 2 2 

 

0  0 0 1    0 2 3 
1  0
0 0   0 0 2 
2 
El polinomio característico se obtiene haciendo
PG  x   K G  xI  x  x  2 
2
Por tanto sus valores propios son 0 y 2, con multiplicidades respectivas de 1 y 2. El
radio espectral de la matriz es 2 y el método de Gauss-Seidel es divergente. No tiene
sentido hablar de número de iteraciones.
Apartado (c)
Selección del método
A la vista de los radios espectrales, se selecciona el método de Jacobi, que converge y
da la solución exacta en tres iteraciones. El de Gauss Seidel queda descartado al no ser
convergente.
Para obtener el vector c tenemos dos alternativas
1. Obtención de c mediante el cálculo previo del vector b
 2 4 4   1  2 
1

    
 
1
b  A x   1 1 1    1   3   c  D b   3 
 4 4 2   1  10 
 5

    
 
2. Obtención directa de c mediante la fórmula del método iterativo
 1 2 2  1  1 

   
x  K J x  c  c =  I  K J  x   1 1 1 1   3 
 2 2 1   1  5 

   
Apartado (d) Condicionamiento
Dado un sistema Ax  b se define el condicionamiento de la matriz del sistema, segu´n
la norma p, al valor cond  A, p   A p  A 1 . El condicionamiento de un sistema
p
mide la sensibilidad de la solución del sistema a las variaciones de los coeficientes del
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Cálculo
Numérico
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Tema
Sistemas Lineales (Iterativos
3x3 J y GS)
Autor
César Menéndez Fernández
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
sistema o del segundo miembro. Así, cuando el condicionamiento es “bajo”, pequeñas
variaciones de los coeficientes pueden producir pequeñas modificaciones de la solución.
Por el contrario, pequeñas variaciones de los coeficientes pueden originar cambios muy
importantes de la solución cuando el condicionamiento es “alto”. En los sistemas con
éste tipo de condicionamiento, el residual, definido como r  b  Ax no es un buen
indicador de la calidad de la raíz.
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