Notas de Clase_Gradientes_Resueltos

MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un documento exige hacer 12 pagos mensuales vencidos. Si el primer pago es de $6.000 y c/u
disminuye en $800;
a) ¿Cuál será el valor del último pago?
b) ¿cuál será el valor final de todos ellos, suponiendo una tasa del 36% NM (CM)?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Valor de las cuotas de cada periodo
Periodo
Pago
1
6.000
2
5.200
3
4.400
4
3.600
5
2.800
6
2.000
7
1.200
8
400
9
(400)
10
(1.200)
11
(2.000)
12
(2.800)
Tasa de Interés
J=ixm
0,36/12 = i
0,03 = i = 3% EM
Valor final
P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)]
P = (6.000/0,03)[1-(1+0,03)-12]+(-800/0,03)[(1-(1+0,03)-12)/0,03)-(12*(1+0,03)-12)] = 18.725,06
S = P (1+i)n
S = 18.725,06 (1+0,03)12
S = 26.698,06
1
CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009
MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES
EJERCICIOS RESUELTOS
2. Hallar el valor de $X del siguiente flujo de caja, con intereses al 30%
160
80
0
1
80
2
3
200
8
9
220
140
120
80
180
100
4
5
6
7
10
X
El Valor de X debe ser igual a: El valor de la serie valorada en 5 más el valor de (1 y 2),
valorado en 5
Valor en 2 de la serie base 80 y gradiente aritmético de 20
P = (80/0,3)[1-(1+0,3)-8]+(20/0,3)[(1-(1+0,3)-8)/0,3)-(8*(1+0,3)-8)] = $363,58
363,58
80
80
0
1
2
3
4
El valor de (1) y (2) valorado en 5
5
6
7
8
9
10
X
80(1+0,3)4 + 80(1+0,3)3
El valor de X será igual:
X = 80(1+0,3)4 + (80+363,58)(1+0,3)3 = 1.203,02
3. Hallar el primer pago de un gradiente lineal creciente en $300, que tenga 50 pagos y que sea
equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con primer pago de $1.000, suponga una tasa del
20%
Para hallar el primer pago de la serie aritmética con g=300 y 50 pagos; debemos hallar primero
el valor presente de la serie geométrica con t=20% y un A= 1.000.
P = A ((1+t)n(1+i)-n –1)/(t-i); si t ≠i
Ya que t = i entonces debemos utilizar
P = An/(1+i); si t = i
P = 1.000*50/(1+0,2) = 41.666
A partir de este valor presente se puede calcular el valor de A de la serie aritmética con un
g=300.
P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)]
41.666 = (A/0,2)[1-(1+0,2)-50]+ (300/0,2) [1-(1+0,2)-50/0,2]-(50(1+0,2)-50)
2
CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009
MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES
EJERCICIOS RESUELTOS
A = $6.835
4. Con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie:
Periodo
Valor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
300
500
700
900
1.100
1.300
1.000
700
400
100
-200
-500
1300
1000
1100
900
700
400
700
300
0
100
500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-200
11
12
-500
El Valor final será igual a la suma de las dos series creciente y decreciente valoradas en (12)
El Valor S en la serie creciente
Primero hallamos P y después S
P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)]
P = (300/0,14)[1-(1+0,14)-6]+(200/0,14)[(1-(1+0,14)-6)/0,14)-(6*(1+0,14)-6)]
P = 2.816,81
S1 = 2.816,81(1+0,14)12 = 13.571,13
El Valor S de la serie decreciente
P en 6:
P = (1000/0,14)[1-(1+0,14)-6]+(-300/0,14)[(1-(1+0,14)-6)/0,14)-(6*(1+0,14)-6)]
P = 1.413,35
S2 = 1.413,35(1+0,14)6 = 3.102,26
El valor futuro de las dos series, será entonces:
S = S1 + S2 = 13.571,13 + 3.102,26 = 16.673,39
5. Con una tasa del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie utilizando gradientes:
Periodo 1
60
Valor
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
60
60
60
72
86,4
103,68
124,42
149,3 + 9,4
179,16
215
El valor presente P será igual al Valor Presente de la anualidad más Valor Presente Serie
geométrica + Valor presente 9,4
Valor presente de la anualidad
P = A (1-(1+i)-n)/i
P = 60(1-(1+0,06)-3/0,06) = 160,38
3
CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009
MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES
EJERCICIOS RESUELTOS
La serie geométrica a partir del periodo 3; con cuota base de 60 y un crecimiento t= 20%; para
hallar el valor presente procedemos como sigue:
Se calcula el P en 3, así:
P = 60((1+0,2)9(1+0,06)-9 –1)/(0,2-0,06) =880,31
P en 0, será igual a:
P = 880,31/(1+0,06)3 = 739,13
El valor presente de 9,4
P = 9,4/(1+0,06)9 = 5,56
Valor Presente = 160,38 + 739,13 + 5,56 = 905,07
6. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos si el primero vale $1.000 y son crecientes
en un 10%. Suponga una tasa efectiva del 8%
Considerando que es una serie geométrica infinita, entonces:
P = A/(i-t) si t<i y ∞ si t > i
Ya que t > i entonces P es infinito
7. ¿Cuál es el valor presente de una serie infinita de pagos mensuales que crecen cada mes en $3
000 y cuyo primer pago es de $20.000. Suponga una tasa del 2.5% efectivo mensual.
Respuesta: $5´600.000
Considerando que es una serie aritmética infinita, entonces:
P = (A/i) + (g/i2)
P = (20.000/0,025) + (3.000/(0,025)2)
P = $5´600.000
8. Para mantener en buen estado una carretera veredal los hacendados de la región desean
establecer un fondo, para proveer las reparaciones futuras. Estas se estiman en un millón de
pesos para el próximo año; también, se estima que su costo se incrementará todos los años en
un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo un interés del 28% efectivo anual.
Considerando que es una serie geométrica infinita, entonces:
P = A/(i-t) si t<i
P = 1´000.000/(0,28-0,18)
P = 10´000.000
9. Una entidad financiera presta a un cliente $3 millones, con un interés del 34.8% NM (CM). El
deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales.
Suponiendo que la primera cuota es de $10.000 y vence al final del primer mes, ¿cuál debe ser
el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?
Calculo del interés
J=ixm
0,348/12 = i
i = 0,029 = 2,9 EM
Para calcular el porcentaje incremental, utilizamos la fórmula del Valor Presente
4
CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009
MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES
EJERCICIOS RESUELTOS
P = A ((1+t)n(1+i)-n –1)/(t-i)
3´000.000 = 10.000((1+t)180(1+0,029)-180 -1)/(t-0,029)
300 = ((1+t)180(1+0,029)-180 -1)/(t-0,029)
Resolviendo por tanteo: t = 3,47%
10. Se ofrece la administración de un restaurante durante un año y se garantiza que comprarán
exactamente 6.000 almuerzos mensuales durante ese año, los cuales serán pagaderos en un
solo contado a razón de $500 cada uno, pero su valor total será cancelado al final del año sin
intereses, la persona calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $200 los
cuales deberán ser adquiridos y pagados al principio de cada mes y su valor aumentará cada
mes un 5%. El costo mensual de mano de obra se considera estable en $250.000 y además, se
requerirá una inversión inicial de $1 millón para la adecuación del restaurante. Suponiendo un
interés mensual del 3%. Calcular cuál será el valor de su ganancia: a) en pesos de hoy y b) en
pesos futuros.
Respuestas: a) $5´719.285 b) $8´154.333
Valor de los almuerzos del año: 6.000x500x12 = 36´000.000 pagaderos en el mes 12
Costo de los almuerzos: 6000x200 =1´200.000 – Serie geométrica, incrementada 5% pagadero
anticipados.
Costo de la mano de Obra: 250.000 – anualidad 12 meses
36´000.000
Inversión Inicial: $1´000.000
0
1´200.000
+ 1´000.000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1´250.000
+250.000
Utilidad = Ingresos – Costos (en pesos de hoy)
Costos Materia Prima - Valor presente serie geométrica
P = A ((1+t)n(1+i)-n –1)/(t-i)
P = 1´250.000 ((1+0,05)11(1+0,03)-11 –1)/(0,05-0,03) = 14´724.096,41
A este valor presente hay que sumarle el valor de la materia prima del primer mes.
P´= 14´724.096,41 + 1´200.000 = 15´924.096,41
Costos Inversión: 1´000.000
Costos Mano de Obra- valor presente de la anualidad
P = A (1-(1+i)-n)/i
P = 250.000(1-(1+0,03)-12)/0,03 = 2´488.501,00
Ingresos – Valor presente de $36´000.000
P = S/(1+i)12 = 25´249.675,69
5
CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009
MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES
EJERCICIOS RESUELTOS
Utilidad = 25´249.675,69 - 2´488.501,00 - 1´000.000 - 15´924.096,41
Utilidad = 5´837.078,28
Utilidad = Ingresos – Costos (en pesos futuros)
Costos Materia Prima - Valor futuro serie geométrica anticipada
S = A ((1+t)n-(1+i)n)/(t-i)
S = (1´200.000 ((1+0,05)12-(1+0,03)12)/(0,05-0,03))(1+0,03)
S = 22´871.898,14
Inversión – Valor futuro de la inversión
S = P(1+i)n = 1´000.000(1+0,03)12 = 1´425.760,89
Costos Mano de Obra- valor futuro de la anualidad
S = A ((1+i)n – 1)/i
S = 250.000((1+0,03)12 – 1)/0,03 = 3´548.007,39
Ingresos – Valor futuro: $36´000.000
Utilidad = 36´000.000- 22´871.898,14- 1´425.760,89- 3´548.007,39
Utilidad = 8´154.334,11
6
CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009