tema XIII.1: Integral de Riemann

Tema XIII: CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE XIII.1. Integral de Riemann: definición y propiedades básicas
Tema XIII: CÁLCULO INTEGRAL EN UNA
VARIABLE
XIII.1. Integral de Riemann: definición y
propiedades básicas
Tema XIII: CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE XIII.1. Integral de Riemann: definición y propiedades básicas
1. Particiones
DEF. Una partición (P) del intervalo [a, b] es una sucesión
finita de puntos a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
Una partición divide el intervalo [a, b] en n subintervalos
cerrados: [xi−1 , xi ], i = 1, 2, · · · , n
f |[xi−1 ,xi ] es continua en [xi−1 , xi ] compacto (por ser f continua
en [a, b]), por tanto, f alcanza máximo y mínimo en cada unos
de esos subintervalos.
Denotamos:
Mi = max {f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]}
mi = min {f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]}
(i = 1, 2, · · · , n)
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2. Sumas de Riemann
DEF. Se llama suma inferior de Riemann relativa a f y a P a
s(f , P) = L(f , P) =
n
X
mi (xi − xi−1 )
i=1
DEF. Se llama suma superior de Riemann relativa a f y a P a
S(f , P) = U(f , P) =
n
X
Mi (xi − xi−1 )
i=1
DEF. Se dice que P2 es más fina que P1 si P1 ⊂ P2
L(f , P1 ) ≤ L(f , P2 ) ≤ U(f , P2 ) ≤ U(f , P1 )
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2. Sumas de Riemann (II)
DEF. Se dice que f es Riemann integrable en [a, b] si
sup {L(f , P), P partición de [a, b]} = inf {U(f , P), P partición de [a, b]}
A ese número se le denomina integral de f sobre [a, b]
Z b
f (x) dx
Notación:
a
“Paso al límite de
n
X
i=1
f (ci )(xi − xi−1 )”
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3. Funciones continuas a trozos
DEF. Se dice que f : [a, b] → R es continua a trozos en [a, b]
cuando es continua en [a, b] salvo en un número finito de
puntos en los que existen los límites laterales.
Si f es continua a trozos en [a, b], se restringe f a cada
subintervalo de [a, b] en el que es continua y se integra en
esos subintervalos.
La integral de f es la suma de las integrales de esas
restricciones.
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4. Propiedades de la integral
Sean f , g : [a, b] → R dos funciones integrables en [a, b]
1
Aditividad respecto al intervalo
f también es integrable en [a, c] y en [c, b] para cualquier
c ∈ (a, b)
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
c
Z b
Z a
Z a
f (x) dx = −
f (x) dx,
f (x) dx = 0
Observación:
2
Linealidad de la integral
a
f + g es integrable:
Z b
Z
(f + g)(x ) dx =
b
b
a
Z
b
f (x ) dx +
g(x ) dx
a
a
a
Z b
Z
λf es integrable ∀λ ∈ R:
(λf )(x ) dx = λ
a
a
b
f (x ) dx
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4. Propiedades de la integral (II)
3) Monotonía
Z
b
Z
b
f (x) dx ≤
g(x) dx
a Z
a
b
Consecuencia: Si f (x) ≥ 0 entonces
f (x) dx ≥ 0
Z
a Z
b
b
4) |f | es integrable en [a, b] y f (x) dx ≤
|f (x)| dx
a
a
Si f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] entonces,
5) Si cambian los valores que toma f en una cantidad finita
de puntos, la función resultante sigue siendo integrable y
sus integrales coinciden.
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5. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral
Si f : [a, b] → R es continua en [a, b] entonces existe c ∈ [a, b]
tal que
Z b
f (x) dx = f (c)(b − a)
a
Dem. Dado que f es continua y su dominio compacto, f
alcanza su valor máximo (M) y mínimo (m) en [a, b]
m(b − a) ≤
Z
b
Rab
a
f ≤ M(b − a)
f
≤M
b−a
Por el teorema de los valores intermedios, existe c ∈ [a, b] tal
que
Rb
f
f (c) = a
b−a
m≤