Sol 12 Campo Magnético III

Campo Magnético III
01. El flujo magnético que atraviesa una espira es t2-2t en el intervalo [0, 2]. Representa el
flujo y la fem inducida en función del tiempo, determinando el instante en que alcanzan sus
valores absolutos máximos. Explica por qué hay un punto con fem nula.
El flujo es   t2  2t y es una parábola con vértice en el punto (1,-1)
La fuerza electromotriz inducida es   
fem
d
 2 t  2
dt
que es una recta que pasa por los puntos (0,2) y (1,0)
La fem es nula para x=1; el flujo antes está disminuyendo y después
x=1
x=2

aumenta. En x=1 hay un mínimo y por tanto la derivada es nula.
02. Un solenoide de 200 espiras y 8 cm de diámetro está situado en un campo magnético
uniforme de valor 0,5 T cuya dirección forma un ángulo de 60º con el eje del solenoide. Si en un
tiempo de 100 ms disminuye el valor del campo magnético uniformemente a cero, determine:
a) El flujo magnético que atraviesa inicialmente el solenoide.
b) La fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide.
El flujo inicial es
  NB·S  NBS cos   200·0,5··0,04 2 ·0,5  0,251Wb
B
La fem inducida es
60º

S
  0

0  0,251
 F

 2,51v
t
t
0,1
03. Un conductor rectilíneo de 10 cm de longitud está colocado en un campo magnético
uniforme, de inducción magnética 2 T, perpendicularmente a su dirección. Si dicho conductor se
traslada con velocidad 0,8 m/s, en una dirección perpendicular a la dirección del campo
magnético y al propio conductor, calcular:
a) El flujo magnético a través de la superficie barrida por el conductor en 10 segundos.
b) La diferencia de potencial inducida entre los extremos del conductor.
La superficie barrida por el hilo es S  L v t  0,1·0,8·10  0,8m2 y el flujo
B
  B·S  BS cos   1,6 Wb
v
La diferencia de potencial es la fem inducida,
VA  VB  L vB  0,1·0,8·2  0,16 v
04. En una zona cilíndrica del espacio, de 5 cm de radio, hay un campo magnético B=5+10t SI.
Calcular la fem inducida en una espira circular cuyo plano es perpendicular a las líneas de
campo, en los siguientes casos:
a) El radio de la espira es 3 cm y su centro está en el eje del cilindro.
1
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b) El radio es 3 cm pero su centro está a 1 cm del eje.
c) El radio es 8 cm y su centro está en el eje.
d) El radio es 8 cm y su centro está a 1 cm del eje.
a)
b)
c)
d)
Los dos primeros son iguales; el área atravesada por las líneas del campo es la de la espira
  B·S  (5  10 t) ·0,032  2,83·10 3 (5  10 t)    
d
 2,83·10 2 v
dt
Los dos segundos son iguales; el área atravesada es la del campo magnético
  B·S  (5  10 t) ·0,052  7,85·10 3 (5  10 t)    
d
 7,85·10 2 v
dt
05. Una bobina circular de 20 espiras y radio 5 cm se coloca en un campo magnético
perpendicular al plano de la bobina. El campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con la
expresión: B = 0,02 t + 0,08 t2 SI, Calcular:
a) El flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo.
b) La fem inducida en la bobina para t = 5 s.
La expresión del flujo es   NBS  20·(0,02t  0,08t2 )·0,052   0,05·(0,02t  0,08t 2)
d
 0,05·(0,02  0,16t) que en el instante t=5 s vale
dt
5  0,05·(0,02  0,16·5)  0,129 v
y la expresión de la fem es   
06*. Se disponen coplanar y paralelamente un hilo conductor indefinido, por el que circulan 2A,
y una espira conductora cuadrada de lado 10 cm y 5 ohmios de resistencia, siendo la distancia
del hilo al centro del cuadrado 20 cm. Determinar la intensidad que circulará por la espira si la
giramos 90º respecto a un eje que pase por su centro y paralelo al hilo.
Flujo inicial: El campo creado por el hilo no es el mismo en todos los
0,10
0,20
puntos de la espira. Descomponemos la espira en elementos de
espesor dx. El campo magnético en cada elemento:
B
x
0,15
0 I
 I
 d  B·dS  0 0,10·dx
2x
2x
   d 
dx
2
x  0,25
0 I
0,10·dx 
2x
x  0,15

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
0,10·0 I x 0,25 dx 0,10·0 I

Ln x
2  x 0,15 x
2
x  0,25
x  0,15
 2,04·10 8 Wb
El flujo final es nulo. El hilo conductor está a la altura del centro de la
espira. Por la parte superior las líneas del campo atraviesan la espira
hacia la derecha, mientras que por la inferior la atraviesan hacia la
izquierda. Por simetría, para cada punto superior hay uno inferior en el
ESPIRA
B
I
que ocurre lo contrario, luego el flujo neto es cero.
La fem inducida es   
  0

 F
 I·R
t
t
B
ENTRA
I·t·R  q·R   0  F  q 
B
0  F 2,04·10 8

 4,08·10 9 C
R
5
07. Una espira cuadrada de 5 cm de lado, situada en el plano XY, se desplaza con velocidad v=2 i
cm/s, penetrando en el instante t = 0 en una zona en la que hay un campo magnético uniforme,
perpendicular a la espira, B=-0,2 k T.
a) Calcular y representar la fem función del tiempo.
b) Calcular la intensidad en la espira si su resistencia es de 10 . ¿Cómo circula la corriente?
El flujo que atraviesa la espira es   B·S  B·L v t  2·10 4 t y el
L
v
d
 2·10 4 v que es constante.
dt
La intensidad que circula se calcula con la ley de Ohm   I R
valor de la fem es   
B
I

 2·10 5 A
R
A medida que la espira penetra en el campo magnético es atravesada por un flujo mayor,
por lo que el flujo creado por la corriente inducida se opone al que induce y la corriente
circula en sentido contrario a las agujas del reloj.
08. Un solenoide de resistencia 3,4·10-3  está formado por 100 espiras de hilo de cobre y se
encuentra situado en un campo magnético de expresión B=0,01 cos (100 t) en unidades SI. El
eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo magnético y la sección transversal del
solenoide es de 25 cm2. Determinar:
a) La expresión de la fem inducida y su valor máximo.
b) La expresión de la intensidad que recorre el solenoide y su valor máximo.
El flujo es   NBS cos0  25·104 cos(100  t) y la fem   
d
 25·102  sen(100  t)
dt
 25·102 

sen(100  t)
R
3,4·10 3
25·10 2 
 25·102  v e I MAX 
A
3,4·10 3
Calculamos la intensidad con la ley de Ohm I 
Los valores máximos son MAX
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09. Una espira cuadrada de 5 cm de lado se encuentra en el interior de un campo magnético de
dirección normal al plano de la espira y de intensidad variable con el tiempo: B = 2t2 T.
a) Deduzca la expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo.
b) Represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo y
calcule su valor para t = 4 s.
E
El flujo magnético es   B·S  0,052 ·2t2  5·10 3 t2 y la fem
t

d
 0,01t que en el instante t=4 s tiene un valor de
dt
-0,04 v
10. Una espira cuadrada de 10 cm de lado, inicialmente horizontal, gira a 1200 revoluciones por
minuto, en torno a uno de sus lados, en un campo magnético uniforme vertical de 0,2 T.
a) Calcule el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en la espira y represente, en
función del tiempo, el flujo magnético a través de la espira y la fuerza electromotriz inducida.
b) ¿Cómo se modificaría la fuerza electromotriz inducida en la espira si se redujera la velocidad
de rotación a la mitad? ¿Y si se invirtiera el sentido del campo magnético?
Superficie de la espira S  0,01 m2 .
El ángulo que forman B y S es variable   1200
B
El flujo que atraviesa la espira es
rev
 40  rad·s1
min

  BS cos   BS cos  t  2·103 cos 40  t
d
 2·103·40 sen40  t
y la fem su derivada   
dt
d2
Si la velocidad es la mitad 2  
 2·103·20 sen20  t , el
dt

valor máximo de la fem se reduce a la mitad y si se invierte el
sentido del campo se invierte la fem, 2  
11. Una espira circular de 10 cm de diámetro, inmóvil, está situada en una región en la que hay
un campo magnético, perpendicular a su plano, cuya intensidad varía de 0,5 a 0,2 T en 0,1 s.
a) Dibuje en un esquema la espira, el campo y el sentido de la corriente inducida, razonando la
respuesta.
b) Calcule la fuerza electromotriz inducida y razone cómo cambiaría dicha fuerza electromotriz
si la intensidad del campo aumentase en lugar de disminuir.
El flujo que atraviesa la espira disminuye y el flujo creado por la corriente
B
inducida se opone a esa disminución, por lo que la corriente inducida tiene
que circular en sentido horario.
IIND
La fem es   
F  O
B  BO
0,2  0,5
 F
S
 0,052  7,5·10 3  v
t
t
0,1
Si el campo aumenta de 0,2 a 0,5 T la fem es -7,5·10-3 v. En este caso la intensidad de
corriente inducida circularía en sentido antihorario.
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12. Una espira cuadrada, de 30 cm de lado, se mueve con una velocidad constante de 10 m s-1 y
penetra en un campo magnético de 0,05 T perpendicular al plano de la espira.
a) Explique, razonadamente, qué ocurre en la espira desde que comienza a entrar en la región
del campo hasta que toda ella está en el interior del campo. ¿Qué ocurriría si la espira, una vez
en el interior del campo, saliera del mismo?
b) Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira mientras está entrando en el campo.
Cuando la espira entra la zona de campo magnético, aumenta el flujo y se
B
induce una corriente. Cuando sale, disminuye el flujo y la corriente
v
inducida gira en sentido contrario.
La fem cuando la espira entra en el campo magnético es
  BS  BLv t    
d
 BL v  0,05·0,3·10  0,15 v
dt
13. El flujo de un campo magnético que atraviesa cada espira de una bobina de 250 vueltas,
entre t=0 y t=5 s, está dado por 3·10-3 + 15·10-3 t
2
SI
a) Deduzca la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la bobina en ese intervalo de
tiempo y calcule su valor para t=5 s.
b) A partir del instante t=5 s el flujo magnético comienza a disminuir linealmente hasta anularse
en t=10 s. Represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en la bobina en función del
tiempo, entre t=0 y t=10 s.

d
 30·103 t y para t=5 s 5  0,15 v
dt
La fem desde 5 hasta 10 s es



0  3·10 3  15·10 3·5
F  O




 0,0156 v
t
t
5
E
5
10
t
14*. Una vagoneta metálica de 100 kg se mueve por una vía que forma un ángulo de 12º con la
horizontal. La distancia entre los raíles es de 1,5 m y están unidos al final por una barra
conductora. Calcular la velocidad máxima que alcanzará la vagoneta si en esa situación la
resistencia eléctrica del circuito es 10 ohmios, el coeficiente de rozamiento es 0,2 y todo el
sistema está en una zona en la que hay un campo magnético vertical de 0,3 T.
La línea del vagón y los raíles forman una espira. Cuando baja el
B
I
vagón, el flujo que la atraviesa disminuye, por lo que la
intensidad debe circular como se indica en la figura. Esa
12º
1,5 m
intensidad está en una zona en la que hay un campo magnético
que ejerce sobre ella una fuerza FM.
FM  IL  B  ILBsen90  I·1,5·0,3  0,45·IN
5
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I
0,3·1,5·v cos12

1 d
1 d
1


(BL v t cos )   BL v cos   
 4,4·10 2 v
R
R dt
R dt
R
10
Luego FM  0,45·0,044·v  1,98·10 2 v
N
Si lo miramos de perfil y dibujamos las fuerzas que actúan, en el
FR
FM
eje vertical:
N  P cos   FM sen  1000 cos12  1,98·10 2 v sen12 
12º
 978,15  4,12·10 3 v
Y en el horizontal: Psen  FM cos   FR  m·a  0
Si la velocidad es la máxima, es constante y la aceleración es cero.
1000 sen12  1,98·10 2 v cos12  0,2(978,15  4,12·10 3 v)
12,28  2,02·10 2 v  v  607,92m·s 1
15. Una espira de 10 cm de radio se coloca en un campo magnético uniforme de 0,4 T y se la
hace girar con una frecuencia de 20 Hz. En el instante inicial el plano de la espira es
perpendicular al campo.
a) Escriba la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo y
determine el valor máximo de la fem inducida.
b) Explique cómo cambiarían los valores máximos del flujo magnético y de la fem inducida si se
duplicase el radio de la espira. ¿Y si se duplicara la frecuencia de giro?
La velocidad angular es   2  f  40  s1 ,
el flujo es   BS cos t  0,4··0,01 cos 40  t
y la   
d
 0,4··0,01·40  sen40  t cuyo máximo es MAX  16 2 ·102 v
dt
Si se duplica el radio, la superficie es cuatro veces más grande y los valores máximos del
flujo y de la fem inducida se multiplican por cuatro. Si se duplica la frecuencia de giro, el
flujo máximo es el mismo pero la fem máxima se duplica.
16. Una bobina formada por 100 espiras circulares de 6 cm de radio está girando con velocidad
constante de 200 rpm perpendicularmente a un campo magnético de 3 T. Calcular la fem
inducida en la bobina.
  200rpm 
40
 rad·s1
6

d
d
d
40 
  NBS cos t    100·3·  ·0,06 2 cos
t 
dt
dt
dt 
6 
40
40
 100·3·  ·0,062
sen
t  70,99·sen 20
t
3
6
6
6
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17. Una espira tiene una superficie de 20 cm2 está colocada en una zona en la que hay un campo
magnético perpendicular uniforme de 0,5 T. Calcular:
a) El flujo magnético que atraviesa la espira
b) Cómo varía el flujo si la espira gira 45º.
c) Si el giro anterior lo hace en 0,002 s ¿cuál es la fem inducida?
d) ¿Y si hubiera girado en sentido contrario?
El flujo es   B·S cos   0,5·20·104  103 Wb
Si gira 45º el nuevo flujo es   B·S cos   0,5·20·104
3
2
10 2  10
  O
y la fem que se induce es    F

t
0,02
2
2
 103
2
2
Wb
3
 0,015 v
Si gira en sentido contrario el ángulo es -45 en lugar de 45 el flujo final es el mismo puesto que
cos 45  cos(45) y la fem vuelve a ser 0,015 v.
18. Una espira circular de 0,2m de radio se coloca en un campo magnético uniforme de 0,5T con
su eje paralelo a la dirección del campo. Determina la fuerza electromotriz inducida en la espira
si en 0,2 s y de manera uniforme:
a) Se duplica el valor del campo.
b) Se reduce el valor del campo a cero.
c) Se invierte el sentido del campo.
d) Se gira la espira un ángulo de 90º en torno a un eje perpendicular a B.
  O
B  BO

 F
 F
S
t
t
t
  O
B  BO
1  0,5
 F
 F
S
0,04  0,1 v
t
t
0,2
  O
B  BO
0  0,5
 F
 F
S
0,04  0,1 v
t
t
0,2
  O
B  BO
0,5  0,5
 F
 F
S
0,04  0,2  v
t
t
0,2
  O
  BOS
0  0,5·0,04 
 F
 F

 0,1 v
t
t
0,2
La fem es   
a)
b)
c)
d)
19. Una bobina de sección circular gira alrededor de uno de sus diámetros en un campo
magnético uniforme perpendicular al eje de giro. El valor máximo de la fem inducida es de 50 V
cuando la frecuencia es de 60 Hz. Determinar el valor máximo de la fem inducida si:
a) La frecuencia es 180 Hz en presencia del mismo campo magnético.
b) La frecuencia es 120 Hz y el campo magnético es doble.
La fem es   
d
d
  (BS cos t)  BS  sen t   MAX  BS   BS 2 f
dt
dt
Con los datos iniciales BS 
 MAX
50

 0,133 T·m2
2  f 2  60
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a) MAX  BS   BS 2 f  0,133·2·180  150 v
b) MAX  BS   BS 2 f  2·0,133·2·120  200 v
20*. Tenemos un hilo conductor por el que circula una corriente I. En el mismo plano del hilo se
encuentra una espira rectangular de 2x5 cm con el lado mayor paralelo al hilo. La espira tiene
una resistencia de 0,01 ohmios y su centro está a 10 cm del hilo. Movemos la espira con
velocidad constante de 5 m/s hasta que su centro está a 20 cm del hilo y medimos una
circulación de cargas de 5·10-8 culombios. Calcular la intensidad que circula por el hilo y la que
circula por la espira en función del tiempo.
La espira recorre 0,10 m en 0,02 s y es recorrida
I
por una intensidad media de
0,10
IESP 
5 m/s
q 5·10 8

 2,5·10 6 A
t
0,02
El flujo que atraviesa la espira el principio es:
0,09
B
0,20
0 IH
 I
 d  B·dS  0 H 0,05·dx
2x
2x
x  0,11
x  0,11
0 IH
0 IH
x  0,11
dx 0 IH
 0   d  
0,05·dx 
0,05 

0,05 Ln x x 0,09  2·10 9 ·IH
2x
2
x
2
x 0,09
x 0,09
El flujo que atraviesa la espira al final es:
x 0,21
x 0,21
0 IH
0 IH
x 0,21
dx 0 IH
F   d  
0,05·dx 
0,05 

0,05 Ln x x 0,19  1·10 9 ·IH
2x
2
x
2
x  0,19
x  0,19
La fem inducida en la espira durante el desplazamiento es:
F   0
1·10 9 IH  2·10 9 IH




 5·10 8 IH
t
t
0,02
La intensidad media que circula por la espira es IESP  2,5·10 6 
 5·10 8 IH

 IH  0,5 A
R
0,01
Supongamos que el lado más próximo de la espira está a una distancia x del hilo. El flujo que
atraviesa la espira en cualquier instante es:
   d 
IESP
x  0,02

x
0 IH
 I ·0,05 x  0,02 dx 0 IH ·0,05 x  0,02
x  0,02
0,05·dx  0 H

Ln
 5·10 9 Ln

2x
2
x
2
x
x
x
5·10 9
1 d
1 d
x  0,02 
x
vx  v(x  0,02)
9


5·10 Ln




R dt
0,01 dt 
x
0,01 x  0,02
x2

0,09  v t 0,02 v
5·10 8
5·10 8
 5·10


0,11  v t (0,09  v t)2 (0,11  5t)(0,09  5t) 25t2  0,20·t  9,9·10 3
7
8
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21. Tres hilos conductores, de resistencia despreciable, forman una U. Un cuarto conductor, de
longitud 1m y resistencia 15  se apoya sobre dos de los conductores anteriores, formando una
espira rectangular. Esta espira está dentro de un campo magnético uniforme perpendicular de
0,4 T. Calcular la fuerza necesaria para desplazar el cuarto lado con una velocidad de 2 m/s.
I
I
B
B
B
B
Al desplazar el hilo móvil hacia la derecha aumenta el flujo, la
FMOV
flujo y circula en sentido horario. El campo magnético hace una
corriente inducida crea un campo que se opone a la variación de
FMAG
I
fuerza sobre el hilo móvil que va hacia la izquierda.
I
La fem inducida en la espira es:


 BL v 0,4·1·2
 BL v  I  

 0,053 A
t
R
R
15
Para que el hilo se desplace con velocidad constante:
FMOV  FMAG  I·L·B  0,053·1·0,4  2,12·10 2 N
9
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