capitulo 6_tipos de errores

Topografía 1
II semestre, 2013
José Francisco Valverde Calderón
Email: [email protected]
Sitio web: www.jfvc.wordpress.com
Topografía 1
II Ciclo, 2013
Profesor:
José Francisco Valverde C
•Cualquier actividad técnica donde se requiera recopilar información
espacial, requiere algún proceso de medición. Pero por mas que se afine la técnica
de medición, hay que tener en cuenta que toda medición esta afectada por errores.
Definición de error
•Según la Real Academia española, un error es “la diferencia entre el valor
observado y el valor verdadero de una cantidad.”
Tipos de error:
1.Errores Groseros
2.Errores sistemáticos
3.Errores aleatorios
Tipos de error, según la fuente:
1.Errores personales
2.Errores instrumentales
3.Errores naturales
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Errores groseros
•Los errores groseros son equivocaciones que pueden ser fácilmente
detectadas si se realizan observaciones de control.
•Se responsabiliza de estos errores al observador, que por descuido o
confusión, efectúo mal la lectura, la anotó mal el valor de la
observación, hizo puntería al punto incorrecto, etc.
Errores sistemáticos
•Los errores sistemáticos afectan las mediciones de forma
constante, con la misma magnitud y el mismo signo.
•Generalmente se conocen las leyes que las originan, por lo que las
observaciones pueden ser corregidas.
•Son causados por una inadecuada o nula calibración de los equipos o
una metodología no adecuada.
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Errores aleatorios
•Los errores aleatorios se presentan de una manera muy irregular. Su
magnitud y sentido no se puede pronosticar.
•Una vez que una observación ha sido “liberada” de errores groseros y
sistemáticos, este el error que sigue afectando esta observación.
•Por
ende,
son
el
resultado
de
las
imperfecciones
humanas, instrumentales y el efecto de otros elementos no modelables
o predecibles sobre las observaciones.
•Son usualmente pequeños y ocurren en iguales cantidades con signo
positivo o negativo, al azar, sin seguir ninguna ley física y por lo tanto
deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad.
•Es imposible evitar los errores aleatorios en las mediciones
•La distribución de los errores aleatorios, cuando se tienen grandes
series de mediciones, sigue una distribución normal y se puede describir
la distribución de estos por medio de la campana de Gauss
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Tipos de errores
ERROR
ERROR
ERROR
GROSERO
SISTEMATICO
ALEATORIO
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Errores personales
•Estos errores aparecen debido a nuestras limitaciones como seres
humanos, tales como la habilidad para leer un micrómetro o centrar la
burbuja de un nivel,
•El tamaño de estos errores depende de la habilidad personal para ver
y maniobrar con destreza.
•Estos factores pueden estar influenciados adicionalmente por la
temperatura, insectos y otras condiciones físicas o ambientales
Errores instrumentales
•Estos errores ocurren por imperfecciones en la construcción de los
instrumentos de medición o su ajuste,
•Por ejemplo, la graduación en una mira para efectuar nivelaciones o
la variación en la frecuencia con la cual un equipo EDM determina la
distancia entre dos puntos.
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Errores ambientales
•Estos errores son causados por condiciones cambiantes en el medio
ambiente al momento de efectuar la medición.
•Incluye variaciones en la presión atmosférica, la temperatura, el
viento y los campos magnéticos, entre otros.
Definición de estadística
•Según la Real Academia Española, estadística es:
•El “Estudio de los datos cuantitativos de la población…”
•La “Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos
numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de
probabilidades.”
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José Francisco Valverde C
•La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del
estudio
de
una
determinada
característica
en
una
población,
recogiendo
los
datos,
organizándolos
en
tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para obtener
conclusiones de dicha población.
•De esta forma, se distingue comúnmente dos tipos de estadísticas:
•La estadística descriptiva, que se refiere a los métodos aplicables
para describir un conjunto de observaciones (cuantitativas o
cualitativas), por medio de la tabulación y presentación de datos
(Quintana, C. 1996)
•Ejemplo: Red geodésica oficial de Costa Rica
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Condición vértices visitados
120
100
80
60
Buen estado
40
Destruidos
20
0
Primero
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Segundo
Tercero
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•La estadística inferencial, que comprende los métodos y
procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una
población, a partir de una parte de la misma, que llamamos muestra.
•Así, la inferencia proporciona instrumentos estadísticos para obtener
conclusiones y hacer generalizaciones válidas de la población en
estudio, con base a la información obtenida en el muestreo.
•Por ejemplo, se hace el reconocimiento de 7 vértices de la red
geodésica de primer orden, seleccionados al azar**.
•Con base a los resultados de las visitas, se determina la cantidad de
vértices en buen y mal estado y se hace una inferencia sobre el estado
de la red geodésica.
•Nota:
la inferencia estadística requiere el diseño de
experimentos, los cuales se realizan con diferentes tipos de
muestreos, que no se estudian en el curso.
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Elementos de estadística
•Se habla de variables, cuando se hace referencia a características
cuantitativas de la unidad estadística en estudio.
•Una variable aleatoria discreta, es una variable X la cual no puede tener
resultados intermedios, toma valores aislados.
•Por ejemplo, al tirar un dado, no se puede obtener 3,5.
•Una variable aleatoria continua, es una variable X que, dentro de un
determinado intervalo, su medición, puede dar lugar a cualquier
valor, ósea, la variable puede tomar infinito número de valores en el
intervalo .
•La aplicación de la teoría de errores a la topografía y la geodesia, implica
el estudio de variables continuas.
•Es común que para determinar una determinada cantidad, se hagan una serie de
observaciones de esa cantidad, por lo que se define el vector de observaciones l:
l = [l1 l2
T
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l3 .... ln ]
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•De esta forma, los valores li se encontrarán en un intervalo a,b, de forma
que:
i
a£l £b
•n es el tamaño de la serie de mediciones.
•Debido a los errores aleatorios presentes en la mediciones, una medición
repetida de la misma cantidad dará como resultado diferentes valores
•Discrepancia ® la diferencia algebraica entre dos mediciones de la
misma cantidad
•Las medidas precisas no son necesariamente valores exactos
•La precisión de una medición se da cuando aparecen pequeñas
discrepancias entre mediciones repetidas.
•En general se supone que existen únicamente errores aleatorios. De esta
forma, la tendencia es a dar mayor credibilidad a tales datos y llamar las
medidas como precisas (aunque puedan que no sean exactas).
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•Precisión: grado de consistencia entre un grupo de mediciones.
•Se basa en los tamaños de las discrepancias en una serie de datos.
•Exactitud: medida de la aproximación absoluta de la cantidad medida con su
valor verdadero.
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•Se nota que aunque los promedios de las mediciones hechas con
cinta y con equipo electrónico son muy parecidas, la serie de valores
medidos con equipo electrónico tiene discrepancias menores, lo que
indica que estas mediciones fueron hechas con mayor precisión
•Sin embargo, esta mayor precisión no necesariamente garantiza que
el promedio de las distancias medidas electrónicamente es más exacto
que el promedio de las mediciones hechas con cinta
•Por ejemplo, las mediciones con EDM podrían estar influenciadas por
errores sistemáticos
•Debido a las grandes discrepancias en las mediciones a pasos, es
poco probable que el promedio de estos valores sea tan exacto como
los otros dos promedios obtenidos
•Sin embargo, este promedio podría ser más exacto si existieran
grandes errores sistemáticos o errores groseros en las mediciones
electrónicas o con cinta.
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Muestra y población
•Población: Una población es el conjunto de todas las unidades
estadísticas. Este puede ser una población finita, como la cantidad de
participantes inscritos en un evento o infinita.
•Muestra: Una muestra es un subconjunto de datos tomados de una
población. Se selecciona con propósitos de efectuar estudios e inferir
resultados.
•Medidas de tendencia central
•Hay tres métodos comunes para identificar el centro de un conjunto
de datos:
•La media (poblacional o muestral);
•La mediana;
•La moda;
•A estos valores se les conoce como “valores de posición”.
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Media poblacional
X 1 + X 2 + X 3 + ...... + X n
m=
n
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Media muestral
X 1 + X 2 + X 3 + ...... + X n
X=
n
n
Xi
m =å
i =1 n
Xi
X =å
i =1 n
1 n
m = å Xi
n i =1
1 n
X = å Xi
n i =1
n
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Medidas de variabilidad y otras definiciones
•Valor verdadero: Es el valor exacto de una magnitud. Es un valor
teórico y salvo algunos casos especiales, en general no se conoce.
•Error verdadero: Es la diferencia entre una medida individual y el
valor verdadero.
h = l - L%
•Valor mas probable: Es el valor de una cantidad que basado en la
serie de mediciones realizadas, tiene la más alta probabilidad de
ocurrencia.
•Grados de libertad: es el número de observaciones superabundantes
o redundantes, que sobre determinan un problema.
•Residuo: es la diferencia entre cualquier valor medido y el valor más
probable de una cantidad. Se debe aclarar que un residuo NO es un
error.
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Varianza de una población s2:
X1 - m ) + ( X 2 - m ) + ( X 3 - m )
(
s =
2
2
2
2
+ .... + ( X n - m )
2
n
n
s =å
2
i =1
( Xi - m )
2
n
n
1
2
2
s = å( Xi - m )
n i =1
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Desviación estándar de una población s:
s =± s
( X1 - m ) + ( X 2 - m ) + ( X 3 - m )
2
s =±
2
2
+ .... + ( X n - m )
2
n
s =±
n
å
i =1
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2
( Xi - m )
2
n
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Varianza de una muestra s2:
s
2
X
(
=
- X ) + ( X 2 - X ) + ( X 3 - X ) + .... + ( X n - X )
2
1
2
2
2
n -1
n
s =å
2
i =1
(X
i
-X)
2
n -1
n
2
1
2
s =
Xi - X )
(
å
n - 1 i =1
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Desviación estándar de una muestra s:
s=±
(X
- X ) + ( X 2 - X ) + ( X 3 - X ) + .... + ( X n - X )
2
1
2
2
2
n -1
s=±
n
å
(X
i
-X)
2
n -1
i =1
n
2
1
s=±
Xi - X )
(
å
n - 1 i =1
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Desviación estándar de un promedio
•Debido a que todos los valores medidos contienen errores, el
promedio que se calcula para una muestra también contendrá un
error, el cual se estima mediante el cálculo de la desviación estándar
del promedio:
s
sX = ±
n
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