5. Capitalización, actualización y equivalencia financiera en

Capitalización, actualización
y equivalencia financiera
en capitalización compuesta
En esta Unidad aprenderás a:
1
Describir los efectos esenciales
de la capitalización compuesta.
2
Resolver problemas financieros
en capitalización compuesta.
3
Diferenciar entre interés
nominal e interés efectivo.
4
Calcular operaciones
de descuento de efectos
comerciales en capitalización
compuesta.
5
Resolver problemas
de equivalencia de capitales
en capitalización compuesta.
05
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.1 Capitalización compuesta
5.1 Capitalización compuesta
Llamamos capitalización compuesta a la ley financiera
según la cual los intereses producidos por un capital en
cada periodo se agregan al capital para calcular los
intereses del periodo siguiente, y así sucesivamente,
hasta el momento de cierre de la operación financiera.
En la práctica financiera, la capitalización y la actualización compuesta se utilizan en aquellas operaciones
financieras con una duración superior al año.
Como I2 = C1 · i, entonces:
C2 = C1 + C1 · i = C1 (1 + i)
Como C1 = C0 · (1 + i), entonces:
C2 = C0 · (1 + i) (1 + i) = C0 · (1 + i)2
• Al final del 3.er año:
C3 = C2 + I3
Como I3 = C2 · i, entonces:
C3 = C2 + C2 · i = C2 · (1 + i)
Si denominamos:
C0 : Capital inicial.
n : Duración de la operación.
i : Tipo de interés anual en tanto por uno. Representa la cantidad de dinero que se obtiene
anualmente por euro invertido.
Cs : Montante del año s, o capital final en el año s.
Como C2 = C0 · (1 + i)2, entonces:
C3 = C0· (1 + i)2 (1 + i) = C0 · (1 + i)3
Y así sucesivamente; por aplicación del método concurrente llegamos a la conclusión de que al final del año
n:
Cn = Cn−1 + In
Como In = Cn−1 · i, entonces:
Is : Intereses del año s, cuyo valor será Cs−1 · i.
Cn = Cn−1 + Cn−1 · i = Cn−1 · (1 + i) =
IT : Interés total, IT = I1 + ... + In.
= C0 (1 + i)n−1 · (1 + i) = C0 (1 + i)n
Cn = C0 · (1 + i )n
Cn : Capital final o montante.
A. Capital final o montante
Partiendo de la definición anterior, la capitalización compuesta consiste en un proceso de acumulación de los
intereses al capital para producir conjuntamente nuevos
intereses, periodo tras periodo, hasta llegar al momento
final de la operación financiera. Por tanto, para determinar el valor del capital final es necesario ir calculando los
sucesivos montantes al final de cada año.
Expresión que nos permite calcular el montante o capital final partiendo del capital inicial.
Gráficamente, obtendremos una curva exponencial al
relacionar años y montante (véase la Figura 5.1).
Cn = C0 (1 + i)n
Cn
IT
• Al final del 1.er año:
I2
C1 = C0 + I1
I1
como I1 = C0 · i, entonces:
C1 = C0 + C0 · i = C0 (1 + i)
• Al final del 2.º año:
C2 = C1 + I2
C1
C0
0
1
Cn
C2
2
n
Fig. 5.1. Representación gráfica del montante.
61
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.1 Capitalización compuesta
Casos prácticos
1
La señora Sancho deposita en un banco 10 000 euros, a
plazo fijo durante tres años a un interés compuesto del
4 % anual.
Halla la cantidad que recibirá al cabo de los tres años que
dura la operación financiera.
Cn = C0 (1 + i )n
Sustituyendo:
Cn = 10 000 · (1 + 0,04)3 = 10 000 · 1,043 = 11 248,64
Cn = 11 248,64 €
Solución
C0 = 10 000 € ; n = 3 años
i = 0,04 por uno anual ; Cn = ?
B. Capital inicial
C. Cálculo de los intereses totales
Sabiendo que Cn = C0 (1 + i )n y despejando C0 resulta que:
C0 =
Cn
(1 + i )n
o bien:
Partiendo de Cn = C0 + IT los intereses generados serán
la diferencia entre el capital final y el capital inicial:
IT = Cn − C0 = C0 (1 + i)n − C0 = C0 [(1 + i)n − 1]
C0 = Cn (1 + i )–n
La expresión (1 + i)–n recibe el nombre de factor de
actualización, puesto que al aplicarla sobre el capital
final obtenemos el valor del capital inicial o actual.
IT = C0 [(1 + i )n − 1]
O bien, IT = Cn − C0 ; de donde C0 = Cn − IT en el
supuesto de conocerse los intereses.
Casos prácticos
2
Calcula el capital inicial que, colocado a un interés del 4
% anual durante cinco años, produjo un montante o capital final de 100 000 euros.
Solución
C0 = ? ; n = 5 años
i = 0,04 por uno anual ; Cn = 100 000 €
62
C0 = Cn (1 + i )–n
Sustituyendo:
C0 = 100 000 (1 + 0,04)−5 = 82 192,71
C0 = 82 192,71 €
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.1 Capitalización compuesta
Casos prácticos
3
IT = ?
Determina la cantidad que tendrá que ingresar el señor
Blasco en concepto de intereses por un préstamo de
100 000 euros dentro de cuatro años en un banco, si el
tipo de interés compuesto pactado es del 4,5 % anual.
IT = C0 [(1 + i)n − 1]
Sustituyendo:
IT = 100 000 [(1 + 0,045)4 − 1] = 19 251,860
Solución
C0 = 100 000 €
IT = 19 251,86 €
i = 0,045
n = 4 años
D. Cálculo del tipo de interés
A partir de la fórmula del capital final o montante,
vamos a despejar i:
C n = C 0 (1 + i )n ;
Cn
= (1 + i )n ;
C0
n
Cn
=1+i
C0
E. Cálculo del tiempo
Del mismo modo que en el apartado anterior, y partiendo de Cn = C0 (1 + i)n, tomando logaritmos:
log Cn = log C0 (1 + i)n
Y desarrollando la expresión:
De donde:
log Cn = log C0 + n · log (1 + i)
i=
n
Cn
−1
C0
⎛C ⎞
o bien i = ⎜ n ⎟
⎝ C0 ⎠
1
n− 1
Despejando n:
n=
log C n − log C 0
(
log 1 + i
)
Casos prácticos
4
⎛C ⎞ 1
i = ⎜ n ⎟ n− 1
⎝ C0 ⎠
Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados
90 000 euros durante cuatro años, si se convirtieron en
107 327 euros.
Sustituyendo:
Solución
C0 = 90 000 € ; i = ?
n = 4 años ; Cn = 107 327 €
1
⎛ 107 327 ⎞
4 − 1 = 0, 045
i=⎜
⎝ 90 000 ⎟⎠
Interés = 4,5 %
63
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.1 Capitalización compuesta
Casos prácticos
5
¿Cuántos años han pasado desde que en una entidad
financiera se depositaron 500 000 euros, al 5 % de interés
compuesto, si hoy se reciben 670 047,80 euros?
n=
log C n − log C 0
log (1 + i )
Sustituyendo:
Solución
log 670 047,80 − log 500 000
=
log (1 + 0,05)
n=
C0 = 500 000 €
i = 0,05 por uno anual
=
n=?
5,8261058 − 5,69897
=6
0,021189299
Cn = 670 047,80 €
6
Tiempo = 6 años
Calcula el tiempo necesario para que un capital colocado
al 4 % de interés compuesto se duplique.
Sustituyendo:
2 C0 = C0 (1 + 0,04)n ;
2 = (1 + 0,04)n
Solución
Tomando logaritmos:
Cn = 2 C0
log 2 = n · log (1,04)
i = 0,04
n=
n=?
log 2
= 17, 6729
log 1, 04
n = 17 años + 0,6729 años
Cn = C0 (1 + i)n
1 año
12 meses ⎫
0,6729
x meses ⎭
⎬
x=
12 ⋅ 0, 6729
= 8,0748 meses
1
x = 8 meses + 0,0748 meses
Cn
1 mes
30 días ⎫
0,0748
x días ⎭
⎬
x=
C0
30 ⋅ 0, 0748
= 2 días
1
x = 2 días
n = 17 años, 8 meses y 2 días
64
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.2 Comparación entre capitalización compuesta y simple
5.2 Comparación entre capitalización
compuesta y simple
Según hemos visto en los apartados anteriores, los
montantes obtenidos en la capitalización compuesta y
simple son:
Capitalización compuesta
Cn = C0 (1 +
Capitales
n=0
Cn (simple) = Cn (compuesta)
n=1
Cn (simple) = Cn (compuesta)
0<n<1
Cn (simple) > Cn (compuesta)
n>1
Cn (simple) < Cn (compuesta)
Capitalización simple
Cn = C0 (1 + n · i)
i)n
Como se puede observar, estas dos expresiones se diferencian entre sí por los factores de capitalización:
(1 + i)n para la capitalización compuesta, y (1 + n · i)
para la capitalización simple.
Si damos valores a ambas fórmulas, comprobamos que
para n = 0 y n = 1 el valor de Cn coincide, siendo diferente para los restantes valores. En el caso de que n
esté comprendida entre 0 y 1, observa la Figura 5.2.
Cn
Tiempo
Cn (compuesto) = C0 (1 + i ) n
Cn (simple) = C0 (1 + n ⋅ i )
Tabla. 5.1. Comparación de sistemas de capitalización.
Casos prácticos
7
Calcula el capital final en capitalización compuesta y simple de
100 000 euros colocados a un tipo de interés del 5 % anual. Primero, si el periodo de capitalización es de seis meses; segundo,
si es de un año, y tercero, si el periodo de capitalización es de
cinco años.
Solución
C0 = 100 000 euros
i = 0,05
C0 (1 + i )
n = 0,5 año, 1 año y 5 años
C0
Cn = ?
0
1
Número de años
Capitalización
simple
Cn = C0 (1 + n · i )
Capitalización compuesta
Cn = C0 (1 + i)n
6 meses
Cn = 100 000 (1 + 0,5 ·
·0,05) = 102 500 euros
Cn = 100 000 (1 + 0,05)0,5 =
= 102 469,51 euros
1 año
Cn = 100 000 (1 + 1·
·0,05) = 105 000 euros
Cn = 100 000 (1 + 1 + 0,05)1 =
= 105 000 euros
5 años
Cn = 100 000 (1 + 5 ·
·0,05) = 125 000 euros
Cn = 100 000 (1 + 5 + 0,05)5 =
= 125 000 euros
Fig. 5.2. Comparación de los montantes en interés
compuesto y simple para valores de n entre 0, 1 y más.
Tiempo
De la comparación anterior podemos decir que el montante de capitalización es mayor en la capitalización
simple en periodos inferiores al año, igual para un año
y menor en periodos superiores al año.
Por tanto, las operaciones financieras superiores a un
año utilizarán el interés compuesto, en operaciones a
un año será indiferente el uso de un sistema de capitalización u otro y en las operaciones inferiores a un año,
habitualmente, se adoptará la capitalización simple.
65
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.3 Tantos equivalentes en interés compuesto
5.3 Tantos equivalentes en interés compuesto
Habitualmente, en las operaciones financieras corrientes se fija el tipo de interés anual aplicable, y el
momento de hacer efectivo el interés se corresponde
casi siempre con fracciones de año. En las operaciones
financieras siempre debe aparecer la Tasa Anual Equivalente (TAE), aunque los periodos de capitalización
estén fraccionados en semestres, trimestres, meses,
etcétera.
Al realizar el cálculo matemático, el tipo de interés y
la duración de la operación financiera deben estar
medidos en las mismas unidades de tiempo.
Tantos equivalentes son aquellos que, aplicados a un
mismo capital, producen idéntico montante o capital
final durante el mismo tiempo, aunque se refieran a
periodos diferentes de capitalización.
i (m) =
J ( m)
m
m : Frecuencia de fraccionamiento o número de veces
que está incluido el periodo de referencia en un
año (meses, trimestres, semestres).
En todo contrato financiero deben aparecer tanto el
interés nominal como el efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE).
B. Interés efectivo o Tasa Anual
Equivalente (TAE)
A. Interés nominal
Entendemos por interés nominal el tanto proporcional
anual (J (m)); se obtiene multiplicando m veces el tipo
de interés de un periodo fraccionado (i(m)).
J (m) = m · i(m)
Casos prácticos
8
De donde, si queremos calcular el tipo de interés de la
fracción de año a que corresponde, debemos simplemente dividir el interés nominal entre el número de
veces que estén incluidos los periodos de abono o cargo
de intereses en el año (m).
Halla el interés nominal anual correspondiente al 2 % efectivo
semestral.
El interés efectivo o Tasa Anual Equivalente es el tipo
de interés i realmente abonado o cargado a las operaciones financieras en un año.
Por ejemplo, un euro invertido un año al tanto i proporciona un capital final igual a Cn = C0 (1 + i)1. El mismo
euro invertido durante el mismo periodo de tiempo, pero
con frecuencias de capitalización referidas al tanto i(m),
proporciona un capital final igual a (1 + i(m))m.
Para que el tanto i sea equivalente financieramente a
i(m), los dos capitales finales, por definición, han de ser
iguales, por lo que:
(1 + i) = (1 + i(m))m
Solución
Si realizamos una serie de operaciones matemáticas,
podemos obtener:
i(2) = 0,02
m=2
J (m) = ?
J (m) = m · i(m)
i = (1 + i(m))m − 1
Sustituyendo:
J (m) = 2 · 0,02 = 0,04
J (m) = 4 %
66
a) El tipo de interés efectivo anual o Tasa Anual de
Equivalencia (TAE), en función del tipo fraccionado:
b) O bien el tipo de interés efectivo de un periodo
fraccionado en función del tipo de interés efectivo anual (TAE):
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.3 Tantos equivalentes en interés compuesto
(1 + i) = (1 + i(m))m ;
m
(1 + i ) = m (1 + i (m) )m
Casos prácticos
(1 + i)1/m = 1 + i(m)
9
Calcula la TAE correspondiente al 2 % efectivo semestral.
Despejando i(m):
Solución
i(m) = (1 + i)1/m − 1
i (2) = 0,02 ; m = 2
i=?
i = (1 + i (m))m − 1
Sustituyendo:
i = (1 + 0,02)2 − 1 = 0,0404
i
TAE
i = 0,0404
J (m)
10
i (m)
¿Cuál será el interés efectivo semestral si la TAE es del 6 %?
Solución
Fig. 5.3. Comparación entre tipo de interés nominal
efectivo y de un periodo fraccionado.
i = 0,06 ; m = 2 ; i(2) = ?
i (m) = (1 + i)1/m − 1
C. Comparación entre el tipo
de interés nominal y el efectivo
Sustituyendo:
i(2) = (1 + 0,06)1/2 − 1 = 0,029563
Dado que en algunos documentos mercantiles se
expresa el tipo de interés nominal solamente, es necesario poder calcular el tipo de interés efectivo en función del nominal.
i(2) = 0,029563
11
Para ello basta con sustituir en la fórmula de equivalencia
de tantos el valor i(m) por el correspondiente nominal:
i = (1 +
i(m))m
−1 ;
i (m)
J(m)
=
m
Calcula la tasa anual equivalente si el tipo de interés nominal
anual es del 8 %. Capitalización mensual.
Solución
J(m) = 0,08 ; m = 12 ; i = ?
De donde:
⎛
J(m) ⎞
i = ⎜1 +
m ⎟⎠
⎝
⎛
J(m) ⎞
i = ⎜1 +
m ⎟⎠
⎝
m
−1
Si comparamos la Tasa Anual Equivalente, i, y el tipo de
interés nominal, J (m), podemos observar que: i > J (m)
El tanto real anual (TAE) es el que debemos conocer
para comparar diferentes operaciones financieras con
distintos periodos de capitalización.
m
−1
Sustituyendo:
⎛
0, 08 ⎞
i = ⎜1 +
12 ⎟⎠
⎝
12
− 1 = 0, 082995
TAE = 8,29995 %
67
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.4 Capitalización fraccionada
5.4 Capitalización fraccionada
Se entiende por capitalización fraccionada cuando el
periodo de capitalización no es anual, como, por ejemplo, semestres, bimestres, meses.
En este caso, hemos de trabajar con un tipo de interés
referido al periodo de capitalización (tanto fraccionado), ya que, como sabemos, el tanto fraccionado
debe venir medido en la misma unidad de tiempo; por
ejemplo, periodo de capitalización semestral, tanto
semestral y el tiempo expresado en semestres.
La fórmula del capital final o montante para capitalización fraccionada será:
Cn = C0 (1 +
A. Capitalización en tiempo
fraccionado
Entendemos la capitalización compuesta en tiempo
fraccionado como la operación financiera en la que el
tiempo de capitalización no es un número exacto de
periodos (años). Para calcular el capital final en este
tipo de capitalización existen las soluciones siguientes:
• Convenio exponencial. El cálculo del capital final se
realiza mediante la aplicación de la fórmula general
de capitalización compuesta.
Cn = C0 (1 + i)n + m
i(m))n·m
• Convenio lineal. Capitaliza a interés compuesto un
número exacto de años y a interés simple la fracción
restante.
C0 : Capital inicial.
i (m) : Tanto fraccionado, referido al periodo de
capitalización.
Cn = C0 (1 + i)n (1 + m · i)
n · m : Tiempo total de la operación, medido en la
misma unidad que el tanto fraccionado.
Casos prácticos
12
Halla el montante de capitalización de 400 000 euros
colocados al 3 % de interés semestral con capitalización
mensual durante cuatro años.
Cn = C0 (1 + i (m))n·m
Hemos de poner el tanto de interés y el tiempo, con referencia al periodo de capitalización.
Solución
C0 = 400 000 €
i(2) = 0,03
n = 4 años
m = 12 meses
Cn = ?
68
(1 + i (2))2 = (1 + i (12))12
Si efectuamos una serie de operaciones matemáticas,
obtenemos:
i (12) = (1 + i(2))1/6 − 1
i (12) = (1,03)1/6 − 1 = 0,0049386
Cn = 400 000 (1 + 0,0049386)4·12 = 506 707,4993
Cn = 506 707,50 €
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.5 Actualización compuesta o descuento compuesto
Casos prácticos
13
Calcula el montante de 300 000 euros al 5 % de interés
compuesto anual durante tres años y seis meses. Convenio exponencial y lineal.
Cn = 300 000 (1 + 0,05)3+0,5 = 355 863,7914
Solución
• Convenio lineal: Cn = C0 (1 + i)n (1 + m · i)
Cn = 355 863,79 €
C0 = 300 000 € ; i = 0,05
Cn = 300 000 (1 + 0,05)3 (1 + 0,5 · 0,05) =
355 969,6875
Tiempo = 3 años y 6 meses ; Cn = ?
Cn = 355 969,69 €
• Convenio exponencial: Cn = C0 (1 + i)n+m
5.5 Actualización compuesta o descuento
compuesto
La actualización o descuento compuesto es toda operación financiera consistente en la sustitución de un
capital futuro por otro con vencimiento presente. Es,
por tanto, una operación inversa a la capitalización
compuesta, existiendo una completa identidad entre
ambas, por lo que todas las particularidades que hemos
estudiado en la capitalización compuesta son aplicables a la actualización (véase la Figura 5.4).
Dr = Cn − C0
Dr = C0 (1 + i)n − C0 = C0 [(1 + i)n − 1]
Dr = C0 [(1 + i)n − 1]
Si sustituimos C0 en la fórmula anterior por su valor en
función del nominal, según
C0 =
Llamaremos:
Cn
(1 + i )n
entonces:
D : Descuento.
Cn : Nominal o cantidad a pagar en el vencimiento.
DT =
C0 : Efectivo o cantidad pagada realmente.
Cn
(1 + i )
n
n
⋅ ⎡⎣(1 + i ) − 1⎤⎦ ; Dr = Cn [1 − (1 + i)–n]
D = Cn − C0
A. Descuento racional
compuesto (Dr)
Es la cantidad que en concepto de intereses genera el
efectivo desde su pago hasta el vencimiento del nominal. Por tanto, el cálculo de los intereses se hará sobre
el efectivo:
Descuento
C0
0
Cn
n
Fig. 5.4. Descuento compuesto.
69
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.5 Actualización compuesta o descuento compuesto
Si expresamos el descuento en función del nominal:
B. Descuento comercial
compuesto (Dc)
Dc = Cn − Cn (1 − d)n = Cn [1 − (1 − d)n]
Es la cantidad que en concepto de intereses genera el
nominal desde el momento del pago del efectivo hasta
su propio vencimiento. Por tanto, el cálculo de los intereses se hará sobre el nominal.
Dado un nominal Cn, al que se le aplica un descuento por
periodo en tanto por uno de d, en el momento Cn−1, habrá
disminuido Cn· d, por lo que podremos escribir:
Cn–1 = Cn − Cn · d = Cn (1 − d)
Cn–2 = Cn–1 − Cn–1 · d = Cn–1 (1 − d) =
= Cn (1 − d) (1 − d) = Cn (1 − d)2
Cn–3 = Cn–2 − Cn–2 · d = Cn–2 (1 − d) =
= Cn (1 − d)2 (1 − d) = Cn (1 − d)3
Siguiendo sucesivamente:
C0 = C1 − C1 · d = C1 (1 − d) =
= Cn (1 − d)n−1 (1 − d) = Cn (1 − d)n
C0 = Cn (1 − d)n
Dc = Cn [1 − (1 − d)n]
Ahora se pueden obtener el tanto de descuento y el
tanto de interés equivalentes; para ello, bastará con
hacer Dc = Dr .
Los tantos i y d serán equivalentes cuando, al ser aplicados a los mismos capitales durante el mismo periodo
de tiempo, dan valores actuales o efectivos iguales, o
lo que es lo mismo, tienen el mismo descuento.
Cn [1 − (1 − d)n] = Cn [1 − (1 + i )–n]
De donde, simplificando:
(1 − d )n =
1
(1 + i )n
Eliminando exponentes: 1 − d =
d=
i
1+i
e
1
, por lo que:
1+i
i=
d
1−d
Independientemente de cuál sea el valor de n.
Casos prácticos
14
La empresa Rozas, S.A., tiene en este momento una letra
de cambio de 50 000 euros pendiente de pago, con vencimiento dentro de dos años. ¿Cuál será el importe que
recibirá Rozas, S.A., en caso de que se quiera descontar
dicha letra en una financiera que trabaja al 8,1 % anual
de descuento a interés compuesto?
C0 = Cn − Dr
C0 = 50 000 − 7 212,33 = 42 787,67
C0 = 42 787,67 €
b) Descuento comercial:
Dc = Cn [1 − (1 − d)n]
Solución
Cn = 50 000 € ; n = 2 años ; i = 0,081 ; C0 = ?
a) Descuento racional:
Dr = Cn [1 − (1 + i )–n]
Sustituyendo:
Dr = 50 000 [1 − (1 + 0,081)−2] = 7 212,332
70
Sustituyendo:
Dc = 50 000 [1 − (1 − 0,081)2] = 7 771,95
C0 = Cn − Dc
C0 = 50 000 − 7 771,95 = 42 228,05
C0 = 42 228,05 €
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.6. Tanto medio en capitalización compuesta
Casos prácticos
15
1−
¿Qué tanto a interés compuesto se aplicó en una operación de descuento que duró tres años y que supuso un
descuento comercial de 1 000 000 de euros para un montante de 5 000 000 de euros?
1
= (1 − d)3 ; 0,8 = (1 − d)3
5
3
0, 8 = 1 − d
d = 1 − 0,92831777 = 0,07168223
Solución
Tanto de descuento ≅ 7,17 %
Cn = 5 000 000 € ; n = 3 años ; Dc = 1 000 000 €
• Tanto de interés:
• Tanto de descuento:
i=
Dc = Cn [1 − (1 − d)n]
d
1−d
Sustituyendo:
Sustituyendo:
1 000 000 = 5 000 000 [1 − (1 − d)3]
i=
0, 07168223
= 0, 077217341
1 − 0, 07168223
1
= 1 − (1 − d )3
5
Tanto de interés ≅ 7,72 %
5.6 Tanto medio en capitalización compuesta
Dados los capitales C1, C2, ..., Ck, colocados durante el
mismo tiempo n, pero a los tipos i1, i2, ..., ik, existe un
tipo ih que, aplicado a dichos capitales durante el
mismo tiempo, produce un idéntico montante total.
Este tipo recibe el nombre de tanto medio.
Desarrollando:
k
(1 + ih )n ∑ C s =
s =1
k
∑ C s (1 + i s )n
s =1
k
Matemáticamente:
C1 (1 +
ih)n
+ C2 (1 + ih + ... + Ck (1 + ih =
)n
)n
(1 + ih )n =
∑ C s (1 + i s )n
s =1
k
∑ Cs
s =1
= C1 (1 + i1)n + C2 (1 + i2)n + ... + Ck (1 + ik)n
Despejando ih:
Simplificando la expresión:
k
k
s =1
s =1
∑ C s (1 + ih )n = ∑ C s (1 + i s )n
⎛ k
⎞
n
⎜ ∑ C s (1 + i s ) ⎟
⎟
ih = ⎜ s = 1 k
⎜
⎟
⎜
∑ Cs ⎟
⎝
⎠
s =1
1
n
−1
71
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.7. Equivalencia de capitales en capitalización compuesta
Casos prácticos
16
El señor Jiménez, que posee tres inversiones en diferentes entidades financieras a interés compuesto durante dos
años, desea saber cuál es la rentabilidad media de las mismas. Calcula dicha rentabilidad sabiendo que las inversiones son:
8 700 euros al 4 % anual.
10 000 euros al 5 % anual.
12 300 euros al 6 % anual.
Cs
(1 + is)n
Cs (1 + is)n
8 700
10 000
12 300
1,0816
1,1025
1,1236
9 409,92
11 025,00
13 820,28
31 000
⎛ 34 255, 20 ⎞
ih = ⎜
⎝ 31 000 ⎟⎠
Solución
⎛ k
⎞
n
⎜ ∑ C s (1 + i s ) ⎟
⎟
i h = ⎜ s =1
k
⎜
⎟
⎜
⎟
C
∑
s
⎜⎝
⎟⎠
s =1
34 255,20
1
n
1
2
− 1 = 0, 511929
Tanto medio ≅ 5,12 %
−1
5.7 Equivalencia de capitales
en capitalización compuesta
Diremos que dos o más capitales son equivalentes si sus
valores actuales son equivalentes para un mismo tipo
de interés, referidos a un mismo momento.
Supongamos dos capitales, C1 y C2, con vencimiento en
n1 y n2, respectivamente; para que sean equivalentes
en capitalización compuesta ha de ocurrir que
C1(1 + i)–n1, que es el valor actual del primer capital,
sea igual a C2 (1 + i )–n2, que es el valor actual del
segundo capital, referidos al momento 0; es decir, tal
como aparece en la Figura 5.5.
C1 (1 + i
n1
0
)–n1
= C2 (1 +
i)–n2
n1
n2
C1
C2
n2
Fig. 5.5. Capitales equivalentes.
72
Para buscar otro momento de equivalencia cualquiera
n, procederemos a multiplicar ambos términos de la
igualdad anterior por (1 + i)n:
C1(1 + i)–n1 (1 + i)n = C2(1 + i)–n2 (1 + i)n
Operando:
C1(1 + i)n–n1 = C2(1 + i)n–n2
El valor de n puede ser:
a) Inferior a n1 y n2: en este caso, la expresión anterior
se convierte en la actualización de ambos capitales
desde su vencimiento hasta n (véase la Figura 5.6).
n
n1 –n
n1
C1
n2 – n
Fig. 5.6. Capitales equivalentes.
n2
C2
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.8 Sustitución de varios capitales por uno único
b) Intermedio entre n1 y n2: en este caso, la expresión
anterior se convierte para el primer término de la
igualdad en el montante producido por C1 entre su
vencimiento y n, y para el segundo en la actualización de C2 desde su vencimiento hasta n (véase
la Figura 5.7).
c) Superior a n1 y n2: en este caso, la expresión representa el montante de C1 y C2 desde su vencimiento
hasta n (véase la Figura 5.8).
n1
C1
n1
n–n1
C1
n2 –n
n
n–n2
Fig. 5.8. Capitales equivalentes.
n2
n
n–n1
n2
C2
C2
De lo visto hasta ahora se puede concluir que, en capitalización compuesta, para un tipo de interés dado, dos
capitales equivalentes en un momento cualquiera lo
son también en cualquier otro.
Fig. 5.7. Capitales equivalentes.
5.8 Sustitución de varios capitales por uno único
Dados los capitales C1, C2, C3, ..., Ck con vencimiento en
n1, n2, ..., nk, se pueden sustituir por un único Cn con
vencimiento en n siempre que exista una equivalencia
financiera.
Para su cálculo partimos de:
Cn
C1
C2
Ck
=
+
+ ... +
(1 + i )n (1 + i )n1 (1 + i )n2
(1 + i )nk
Casos prácticos
17
Si la sociedad Rizos, S.A., tiene tres capitales de 30 000, 40 000
y 60 000 euros, con vencimiento a los dos, tres y cuatro años,
respectivamente, y se desean sustituir por un único capital con
vencimiento a los cinco años, ¿cuál deberá ser el importe del
mismo si el tipo de interés aplicado es del 5 % compuesto anual?
Cn =
Cn(1 + i)–n =
k
∑ C s (1 + i )n− n
s
s =1
= C1(1 + i )–n1 + C2(1 + i)–n2 +…+ Ck(1 + i)–n k
Solución
Abreviando y despejando:
k
C n (1 + i )– n = ∑ C s (1 + i )−ns
s =1
Cs
(1 + i )n–ns
Cs (1 + is)n–ns
30 000
40 000
60 000
(1 + 0,05)5−2
(1 + 0,05)5−3
(1 + 0,05)5−4
34 728,75
44 100,00
63 000,00
k
∑ C s (1 + i )−n
s
Cn =
s =1
(1 + i )−n
o Cn =
141 828,75
k
∑ C s (1 + i )n− n
s
s =1
Cn = 141 828,75 €
73
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.9 Vencimiento común
5.9 Vencimiento común
k
Hablamos de vencimiento común cuando en un momento n se produce la sustitución de un conjunto de
capitales con diferentes vencimientos por uno único.
log C n = log ∑ C s (1 + i )−ns – log (1 + i )– n
Hay que despejar n de la fórmula del apartado anterior.
log C n – log ∑ C s (1 + i )−ns = n log (1 + i )
s =1
k
s =1
Tomando logaritmos:
Y despejando n:
k
k
∑ C s (1 + i )− n
s
log C n = log
s =1
n=
(1 + i )− n
log C n − log ∑ C s (1 + i )− ns
s =1
log(1 + i )
Casos prácticos
18
Calcula el vencimiento común de tres capitales de
3 000 000, 5 000 000 y 7 000 000 de euros, con vencimiento a los tres, cuatro y cinco años, respectivamente, si
se desea sustituirlos por uno único de 17 000 000 de euros,
aplicando un 4% anual en capitalización compuesta.
n=
log 17 000 000 − log 12 694 499, 80
= 7,446 años
log 1, 04
n = 7,446 años
1 año
12 meses ⎫
0,446
x meses
Solución
Cn = 17 000 000 €
Cs
3 000 000
5 000 000
7 000 000
(1 + i)–ns
Cs (1 + is)–ns
1 mes
30 días
0,88899636
0,85480419
0,82192711
2 666 989,08
4 274 020,95
5 753 489,77
0,352
x días
12 694 499,80
⎬ x = 5,352 meses
⎭
⎫
⎬ x ≅ 11 días
⎭
n = 7 años, 5 meses y 11 días
5.10 Vencimiento medio
Cuando en un caso de vencimiento común la suma de
los nominales de los capitales a ser sustituidos es igual
al nominal del capital que los sustituye, se puede
hablar de vencimiento medio.
74
k
n=
Es decir, si:
C1 + C2 + … + C k = C n
Entonces:
k
;
∑ C s = Cn
s =1
k
log ∑ C s − log ∑ C s (1 + i )− ns
s =1
s =1
log (1 + i )
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
5.10 Vencimiento medio
Casos prácticos
19
¿Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de
100 000, 200 000 y 300 000 euros, con vencimiento a tres,
cuatro y cinco años, respectivamente, aplicando un 4,5 %
en capitalización compuesta?
Solución
k
n=
k
log ∑ C s − log ∑ C s (1 + i )
s =1
Cs
(1 + i )–ns
100 000
200 000
300 000
0,87629660
0,83856134
0,80245105
1 año
12 meses ⎫
0,321
x meses
1 mes
30 días
Cs (1 + is)–ns
0,852
x días
87 629,660
167 712,268
240 735,315
⎬ x = 3,852 meses
⎭
⎫
⎬ x = 26 días
⎭
n = 4 años, 3 meses y 26 días
496 077,243
(1 + i )–ns
Cs
¿Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de
47 500, 21 250 y 42 300 euros, con vencimiento a un año
y tres meses el primero, un año y nueve meses el segundo
y dos años el tercero, sabiendo que se aplica capitalización trimestral a interés compuesto y una TAE del
8,244 %?
47 500
21 250
300 000
111 050 =
0,9057308
0,8705601
0,8534903
3
∑ Cs
s =1
Solución
Cs (1 + is)–ns
a) Cálculo del tipo trimestral
43 022,21
18 499,40
36 102,64
i(4) = (1 + i )1/4 − 1 = 1,082441/4 − 1 = 0,02
b) Resolución
3
n=
log 600 000 − log 496077, 243
= 4, 321
log 1, 045
s =1
log (1 + i )
600 000
20
− ns
n=
97 624,25 =
3
s =1
log (1 + i )
s
s =1
log ∑ C s − log ∑ C s (1 + i )− ns
s =1
3
∑ C s (1 + i )− n
n=
log 111050 − log 97624, 25
= 6,506 trimestres
log (1, 02)
n = 6,506 trimestres o 1 año, 7 meses y 15 días
75
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
Actividades
Conceptos básicos
Capitalización compuesta. Es la ley financiera según la cual
los intereses de cada periodo se agregan al capital para
calcular los intereses del periodo siguiente, y así sucesivamente, hasta el momento de cierre de la operación financiera.
Tantos equivalentes. Son aquellos que, aplicados a un mismo
capital, producen idéntico montante o capital final durante el
mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a diferentes
periodos de capitalización.
Interés nominal. Es el tanto proporcional anual; se obtiene multiplicando m veces el tipo de interés de un periodo fraccionado.
Equivalencia de capitales. Dos o más capitales son equivalentes cuando sus valores actuales son equivalentes para un
mismo tipo de interés, referidos a un mismo momento.
Fig. 5.6.
n1
n–n1
n2
n
C1
n2 –n
C2
Cuando n (momento de equivalencia) es inferior a n1 y n2
Fig. 5.7.
Interés efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE). Es el tipo
de interés realmente abonado o cargado a las operaciones
financieras en un año.
Capitalización compuesta en tiempo fraccionado. Es la operación financiera en la que el tiempo de capitalización no es
un número exacto de periodos (años).
n1
n–n1
n2
C2
C1
n
n–n2
Cuando n es intermedio a n1 y n2
Fig. 5.8.
n
n1 –n
n1
C1
n2
C2
n2 – n
Cuando n es superior a n1 y n2
i
TAE
J (m)
i (m)
76
Sustitución de varios capitales por uno único. Dados los
capitales C1, C2, C3, ..., Ck, con vencimiento n1, n2, n3, ..., nk,
se puede sustituir por uno único Cn con vencimiento en n
siempre que exista una equivalencia financiera.
Fig. 5.9. Comparación entre tipo de interés nominal efectivo y de
un periodo fraccionado.
Vencimiento común. Es el momento en el que se produce la
sustitución de un conjunto de capitales con diferentes vencimientos por uno único.
Actualización o descuento compuesto. Es toda operación
financiera consistente en la sustitución de un capital futuro
por otro con vencimiento presente. Es la operación inversa de
la capitalización.
Vencimiento medio. Es un caso específico del vencimiento
común que se da cuando la suma de los nominales de los capitales a ser sustituidos es igual al nominal del capital que lo
constituye.
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
Actividades
Capitalización y actualización compuesta
Cn = C0 + IT
i = (1 + i (m))m – 1
C0 = Cn (1 + i)n
i (m) = (1 + i)1/m − 1
C0 = Cn (1 +
⎛
J(m) ⎞
i = ⎜1 +
m ⎟⎠
⎝
i)–n
IT = C0 [(1 + i)–n −1]
Cn = C0 (1 + i)n+m
Cn = C0 (1 + i)n (1 + m · i)
log C n − log C 0
log (1 + i )
Dr = Cn [1 − (1 + i)−n]
n
J (m) = m · i (m)
i (m) =
Dc = Cn [1 − (1 − d)n]
J(m)
m
⎛ k
⎞
n
⎜ ∑ C s (1 + i s ) ⎟
⎟
i h = ⎜ s =1
k
⎜
⎟
⎜
⎟
Cs
∑
⎜⎝
⎟⎠
s =1
−1
log C n − log ∑ C s (1 + i )− ns
s =1
log (1 + i )
d=
i
1+i
i=
d
1−d
1
n
k
k
n=
−1
Cn
−1
C0
i=
n=
m
∑ C s (1 + i )−n
s
Cn =
s =1
(1 + i )−n
77
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
Actividades
Actividades
1. La señora Blasco deposita en un banco 150 000 euros, a
plazo fijo durante dos años a un interés compuesto del
4 % anual. Calcula la cantidad que recibirá al cabo de los
dos años que dura la operación financiera.
R: 162 240 €
R: 11,2 %
9. ¿Cuántos años han pasado desde la colocación en una
entidad financiera de 5 000 000 de euros, al 4,5 % de
interés compuesto, si hoy se reciben 5 962 593 euros?
R: 4 años
2. El señor Ruedas desea saber la cantidad que recibirá dentro de cuatro años, si en este momento deposita en un
banco 100 000 euros al 4 % de interés compuesto anual.
R: 116 985,9 €
3. Calcula el capital inicial que, colocado a un interés del
3 % anual durante cuatro años, produjo un montante o
capital final de 140 000 euros.
10. Si un capital de 140 000 euros al 5 % se ha convertido en
170 000 €, ¿cuánto tiempo duró la operación financiera?
R: 3 años, 11 meses y 22 días
11. Calcula el tiempo necesario para que un capital colocado
al 3 % de interés compuesto se duplique.
R: 23 años, 5 meses y 12 días
R: 124 388,19 €
4. Halla el capital inicial que produjo un montante de
13 400,96 euros al 4 % anual durante seis años.
R: 10 590,97 €
5. Calcula la cantidad que tendrá que ingresar el señor
Jiménez en concepto de intereses por un préstamo de
200 000 euros dentro de cinco años en un banco, si el
tipo de interés compuesto pactado es del 5 % anual.
R: 55 256,32 €
12. Halla el capital final en capitalización compuesta y simple de 1 000 000 de euros, colocados a un tipo de interés del 4 % anual; en primer lugar, si el periodo de capitalización es de seis meses; en segundo, si el periodo de
capitalización es de un año, y en tercero, si el periodo
de capitalización es de seis años.
R: Realiza el cuadro correspondiente
13. Determina el interés nominal anual correspondiente al
1,8 % efectivo semestral.
R: 3,6 %
6. La sociedad MIGAS, S.A., firma un contrato con una entidad financiera por el que recibe 2 000 000 de euros, que
debe devolver a los cuatro años. ¿Qué cantidad entregará
en concepto de intereses si el tipo es del 8 % anual?
14. Calcula la TAE correspondiente al 1,8 % efectivo semestral y con el 1 % efectivo mensual.
R: 3,63 % y 12,68 %
R: 720 978,92 €
7. Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados
800 000 euros durante tres años si se convirtieron en
899 891,2 euros.
R: 4 %
8. Halla el tipo de interés que transformó un capital inicial
de 400 000 € en 550 015 € al cabo de los tres años.
78
15. ¿Cuál será el interés efectivo semestral y mensual si la
TAE es del 4,5 %?
R: 2,22 % y 0,36 %
16. Calcula la Tasa Anual Equivalente si el tipo de interés
nominal anual es del 6 %. Capitalización mensual.
R: 0,06168 por uno
5. Capitalización, actualización y equivalencia
financiera en capitalización compuesta
Actividades
17. Halla el montante de capitalización de 300 000 euros
colocados al 2 % de interés semestral con capitalización
mensual durante cuatro años.
R: 351 497,81 €
18. Determina el montante de 300 000 euros al 4 % de interés compuesto anual durante cuatro años y seis meses.
Convenio exponencial y lineal.
R: 357 907,90 y 357 976,72 €
19. La empresa Limusinas, S.A., tiene en este momento una
letra de cambio de 50 000 euros, pendiente de pago, con
vencimiento dentro de tres años. ¿Cuál será el importe
que recibirá Limusinas, S.A., en caso de que se quiera
descontar dicha letra, en un banco que trabaja al 6 %
anual de descuento a interés compuesto?
R: 41 529,20 €
20. ¿Qué tanto a interés compuesto se aplicó en una operación de descuento que duró dos años y que supuso un descuento de 100 000 €, para un montante de 500 000 €?
R: 10,55 %
21. La empresa Castaños, S.L., adeuda un efecto comercial
de 400 000 euros con vencimiento dentro de tres años.
Dado que se desea adelantar el pago, ¿cuánto deberá
entregar si el acreedor accede aplicando el descuento
comercial con un tipo del 8 % anual?
R: 4,97 %
23. Si la sociedad Risas, S.A., tiene tres capitales de
400 000, 800 000 y 1 000 000 de euros, con vencimiento
a los dos, tres y cuatro años, respectivamente, y se
desean sustituir por un único capital con vencimiento a
los cinco años, ¿cuál deberá ser el importe del mismo si
el tipo de interés aplicado es del 6 % compuesto anual?
R: 2 435 286,4 €
24. Tres capitales de 300 000 euros cada uno, con vencimiento a los dos, tres y cuatro años, respectivamente,
van a ser sustituidos por uno único dentro de un año.
¿Cuál habrá de ser su importe si se aplica un tipo de
interés del 6 % anual?
R: 801 903,585 €
25. Calcula el vencimiento común de tres capitales de
60 000, 50 000 y 90 000 euros, con vencimiento a los
dos, tres y cinco años, respectivamente, si se desea sustituirlos por uno único de 180 000 euros, aplicando un
4,5 % anual en capitalización compuesta.
R: 1 año y 2 meses
26. ¿Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de
1 000 000, 2 500 000 y 5 000 000 de euros, con vencimiento a tres, cuatro y cinco años, respectivamente,
aplicando un 4,75 % en capitalización compuesta?
R: 4 años, 5 meses y 15 días
R: 311 475,20 €
22. El señor Juan Tenorio, que posee tres inversiones en
diferentes entidades financieras a interés compuesto
durante tres años, desea saber cuál es la rentabilidad
media de las mismas. Calcula dicha rentabilidad sabiendo
que las inversiones son:
27. La señora Manuela coloca 25 000 euros en una cuenta de
alta remuneración. Calcular el saldo disponible en la
cuenta corriente al cabo de 8 meses si las únicas anotaciones mensuales corresponden a los abonos de intereses de la cuenta con una TAE del 6 %.
R: 25 990,27 €
— 18 000 euros al 4 % anual.
— 20 000 euros al 5 % anual.
— 32 300 euros al 5,5 % anual.
79