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DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
(ELECTRÓNICA INDUSTRIAL)
SEPTIEMBRE 07
CUESTIÓN 1
Desarróllese uno de los dos temas que a continuación se indican:
1) Oscilación amortiguada y forzada. Resonancia
2) Magnetización (o imanación), y susceptibilidad magnética de un material
CUESTIÓN 2
Una barra homogénea AB de peso P está suspendida horizontalmente del
techo por medio de dos hilos verticales fijos en los extremos de la barra.
Hallar la tensión de uno de los hilos en el instante de rotura del otro. Dato:
1
3
momento de inercia de una varilla respecto a su extremo I = ML2
CUESTIÓN 3
Si se produce un calentamiento global, es probable que una parte de los hielos se derrita y que el agua se
distribuya de manera que haya más agua cerca del ecuador. ¿Cómo cambiaría esto el momento de inercia
de la Tierra? La duración de un día, ¿aumentaría o disminuiría?
CUESTIÓN 4
Está incidiendo luz desde el aire sobre un líquido con un ángulo de 58º respecto de la normal. Se observa
que los rayos reflejado y refractado son mutuamente perpendiculares. a) ¿Cuál es el índice de refracción
del líquido? b) Si el haz incidiera desde el líquido hacia el aire ¿cuál es el ángulo crítico para la reflexión
total interna?
PROBLEMA 1
Un bloque de 0.5 kg de masa comienza a descender por una pendiente
inclinada 30º respecto de la horizontal hasta el vértice O en el que deja de tener
contacto con el plano. Suponiendo que no hay rozamiento con el plano.
a) Determínese la velocidad del bloque en dicha posición.
b) Hállese el punto de impacto del bloque con en el plano inclinado 45º, que
pasa 2 m por debajo de la vertical de O, tal como se indica en la figura.
c) Hállese el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano
inclinado hasta el punto de impacto).
d) Hállese las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura
0.6 s después de iniciarse el vuelo.
PROBLEMA 2
Una cuerda metálica de masa M=250mg, longitud L’=35cm y diámetro
D=0.2mm, tiene un módulo de Young E=2·1011 N/m², está sujeta por
ambos extremos y vibra con una frecuencia de resonancia (primer
armónico o armónico fundamental) f=400Hz. Calcúlese: a) la longitud
y velocidad de onda del armónico principal; b) la tensión de la cuerda;
c) la longitud L de la cuerda antes de tensarla.
L’
1
PROBLEMA 3
De un resorte elástico con fuerza recuperadora de constante ke=45 N/m, colgamos una masa de 5 kg,
sumergida en un líquido que a dicha masa le produce un amortiguamiento débil, con coeficiente c de
valor inferior al crítico. Cuando está en su posición de equilibrio le producimos una percusión que le hace
comenzar, con velocidad inicial v(0)=60 cm/s, un movimiento vibratorio amortiguado, observándose que
el periodo de éste es T=2.81 s.
Se desea saber; 1) el periodo natural de la oscilación que se hubiera producido caso de no haber
amortiguamiento, 2) la energía de dicho hipotético movimiento vibratorio armónico simple, 3) la
pulsación del movimiento vibratorio amortiguado, 4) el tiempo de relajación, τ, de dicho movimiento, 5)
el coeficiente de amortiguamiento, 6) la expresión de la elongación del movimiento resultante en función
del tiempo.
RESOLUCIÓN CUESTIÓN 2
En el equilibrio dinámico que se produce en ese instante (Principio de d'Alembert), aparece una fuerza
hacia arriba en el cdm de valor ma que deberemos considerar. Por ello T A = P − ma . Por otro lado, con
L
origen de momentos en A, podemos escribir M = Iα . Teniendo en cuenta que el momento es M = P ,
2
a
3
que I es lo indicado arriba y que α =
, vemos que a = g , por lo que
L
4
2
3
1
T A = P − ma = P − mg = P
4
4
RESOLUCIÓN CUESTIÓN 3
Al haber más masa en el ecuador el momento der inercia de la Tierra, I, se haría mayor con lo que, por
r
conservación del momento angular (o cinético), L = Iω , la velocidad angular disminuiría y, por tanto, el
periodo de rotación aumenta, es decir la duración del día sería mayor.
RESOLUCIÓN CUESTIÓN 4
Solución
Si hacemos un dibujo, vemos que por la ley de Snell, podemos
escribir
sin iˆ n 2
, o sea que
=
sin rˆ 1
sin 58º
n2 =
= 1.6
sin 32º
Si incidiera por debajo, para que rˆt = 90º , necesitaríamos un iˆt :
sin iˆt
1
,
=
1
1 .6
lo que implica
iˆt = 38.68º
RESOLUCIÓN PROBLEMA 1
a)
Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección del plano:
m g Sen(30)= ma → a=g Sen(30)=4.9m/s2
Las ecuaciones de cinemática nos permiten calcular la velocidad en el punto O:
S=(1/2) a t2 → 20 =(1/2) 4.9 t2 → t=2.857s;
2
v=at=4.9 2.857=14m/s
b y c) Elegimos como sistema de referencia: origen en O, eje x, horizontal hacia la derecha ; eje y
vertical hacia arriba. Las ecuaciones del movimiento son:
x=v0 Cos(30)t → x=12.124t
y=-v0 Sen(30) t – (1/2) g t2 → y=-7t-4.9t2
Ecuación plano → y=-2-x → -7t-4.9t2=-2-12.124t → t=1.348s
x=12.124·1.138 =16.34m
y=-7·1.348-4.9·1.3482=-18.34m
d)
Las ecuaciones cinemáticas son:
r=(12.124t, -7t-4.9t2)m
v=dr/dt=(12.124, -7-9.8t)m/s
a=dv/dt=(0, -9.8)m/s2 → a=|a|=9.8m/s
Para t=0.6s tenemos:
v=(12.124, -12.880)m/s → v =|v|=17.689m/s
at=a·v/v=7.135m/s2
a2=at2+an2 → an=6.717 m/s2
ρ=v2/an=46.58m
RESOLUCIÓN PROBLEMA 2
a)
λ = 2 L ' = 2 ⋅ 0'35 = 0'7 m


v = λ ⋅ f = 0'7 ⋅ 400 = 280 m / s 
F
v=
b)
µ=
µ


−3

2 5 ⋅ 10
= 56 N
 → F = 280 ⋅
7
5·10 −3 
=
7 
→ F = v2 ⋅ µ
m 250 ⋅10 −6
=
0'35
L'
El cable se ha estirado bajo la acción de la fuerza F, por lo que la deformación unitaria ε es:
c)
ε=
56
F/S
=
= 8'91⋅10 −3
−4 2
11
E
π ⋅ (1⋅10 ) ⋅ 2 ⋅10
L' = L(1 + ε ) → 0'35 = L ⋅ 1'00891
→ L=0’3469m =34’69cm , lo que significa que la cuerda se tuvo que estirar 3’1 mm para alcanzar la
tensión deseada
RESOLUCIÓN PROBLEMA 3
ω0 =
T0 =
ke
= 3 rad / s
m
2π
ω0
= 2.1 s
1 2
1
mv max = 5 × 0.6 2 = 0.9 J
2
2
(teniendo en cuenta que en el instante inicial sólo tiene energía cinética)
E=
3
2π
2π
=
= 2.236 rad / s
T
2.81
γ = ω 02 − ω 2 = 2 rad / s
ω=
τ=
1
= 0.5 s
γ
c = 2mγ = 20 kg / s
La ecuación del movimiento es:
x = De −γt sen(ωt + ϕ ) = De −2t sen(2.236t + ϕ )
busquemos ahora D y ϕ, para ello tenemos en cuenta las condiciones iniciales:
x(0) = 0 = Dsen(ϕ )
[
]
v(0) = D − γsenϕ + ω0 − γ 2 cosϕ = −γx(0) + ω0 − γ 2 D 2 − x 2 (0)
2
2
luego...
v(0) = 0.6 = −2 x(0) + ω0 − γ 2 D2 − x 2 (0) = D ω0 − γ 2 = 2.236D
2
2
0.6
= 0.268 m
2.236
Por lo que la ecuación resulta ser...
x = 0.268e −2t sin (2.236t )
Por lo que ϕ = 0 , y D =
4