3. PROGRAMA DE SIMULACION MULTICUERPO

3 - PROGRAMA DE SIMULACIÓN MULTICUERPO
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CAPÍTULO 3
PROGRAMA DE SIMULACIÓN
MULTICUERPO
SIMULON_MATLAB
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3.1. GENERALIDAD PROGRAMA. ÁNGULOS Y PARÁMETROS DE EULER
La implementación de la formulación con sistemas de referencia de la trayectoria parte
del código denominado MBMatlab, desarrollado por el departamento de Ingeniería Mecánica y
de los Materiales de la Universidad de Sevilla en el lenguaje de programación del software
comercial Matlab.
El código estaba inicialmente desarrollado para la simulación de mecanismos con
sistemas de referencia global y con parámetros de Euler. Por tanto, debido a las características
de la formulación empleada, ha sido necesaria una modificación que permita el empleo o no, de
sistemas de referencia de la trayectoria y de ángulos de Euler, dando lugar al código
denominado Simulon_Matlab.
Al permitir la utilización de sistema de referencia global o de la trayectoria, y de
ángulos ó parámetros de Euler, se ha aumentado con el código implementado, la generalidad del
análisis de sistemas multicuerpo.
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MODELO DE SIMULACIÓN FERROVIARIA CON TABLAS PRECALCULADAS Y CINEMÁTICA SIMBÓLICA
3.2. ESTRUCTURA PROGRAMA
El programa se estructura a partir de un archivo de entrada de datos proporcionado por
el usuario, que engloba todas las características del modelo en una variable estructura llamada
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀, la cual contiene la información necesaria del modelo para permitir al programa
ensamblar las matrices cinemáticas y dinámicas necesarias para la resolución de las ecuaciones
del movimiento del mismo. Un esquema de la estructura del programa se muestra en la tabla
3.1.

Archivo de Entrada de datos
o
2D o 3D
o
Ángulos o Parámetros de Euler
o
Sistema Referencia Global o TCS

Cálculos Cinemáticos

Formulación

o
Ecuaciones del movimiento de Baumgarte
o
Generalized Coordinate Partitionning
o
Augmented Lagrange Projections
Cinemática de las restricciones
o
o
Pares cinemáticos

Pares de Revolución

Pares Cilíndricos

Pares Esféricos

Pares Prismáticos

Barras fijas

Parámetros de Euler
Restricciones definidas por el usuario


Fuerzas
o
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𝐶𝐶(𝑞𝑞, 𝑡𝑡), 𝐶𝐶𝑞𝑞 (𝑞𝑞, 𝑡𝑡), 𝐶𝐶𝑡𝑡 (𝑞𝑞, 𝑡𝑡), 𝐶𝐶𝑞𝑞̇ (𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ , 𝑡𝑡), 𝐶𝐶𝑡𝑡̇ (𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ , 𝑡𝑡)
Matriz de Masa
3 - PROGRAMA DE SIMULACIÓN MULTICUERPO

o
Fuerza Centrífuga
o
Fuerza Peso
o
Fuerzas Muelle-Amortiguador
o
Fuerzas de Contacto

Contacto elástico

Contacto con restricciones y tablas precalculadas

Fuerzas de Creep:
•
Kalker, Kalker lineal, Heurístico no lineal (raíl)
•
Fórmula Mágica Pacjeka (neumáticos)
o
Fuerzas Elásticas
o
Fuerzas Definidas por el usuario
Resolución Ecuaciones del Movimiento
Tabla 3.1. Estructura Simulon_Matlab
3.2.1.
ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS.
El archivo de entrada de datos debe contener todas las características del modelo
multicuerpo que se va a simular, es decir:
•
Dimensión del problema.
o

Coordenadas de orientación
o

2D o 3D.
Ángulos de Euler o Parámetros de Euler
Sistema de Referencia global
o
Inercial o TCS.

Nº de Sólidos.

Nº Pares Cinemáticos:
o
Revolución, Cilíndricos, Cinemáticos, Esféricos.
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MODELO DE SIMULACIÓN FERROVIARIA CON TABLAS PRECALCULADAS Y CINEMÁTICA SIMBÓLICA

Restricciones
o
Contactos con restricciones, restricciones con tablas precalculadas, restricciones
definidas por el usuario.

Nº de Muelles - Amortiguadores.

Nº de Ejes con tablas precalculadas.

Nº de Contactos elásticos

Nº de Fuerzas externas.
Además se deben incluir las características específicas de cada modelo multicuerpo como son:

Propiedades Inerciales de los sólidos.
o

Propiedades mecánicas de los materiales en contacto.
o

Masa, centro de gravedad en locales, y tensor de inercia
Coeficiente de fricción, coeficiente de poisson, módulo de Young.
Definición de las parejas de muelles - amortiguadores.
o
Características mecánicas y geométricas. Puntos de unión.

Coordenadas y velocidades iniciales generalizadas.

Geometría de los sólidos en contacto.

Formulación a emplear en el cálculo de las fuerzas de contacto.

Geometría de la trayectoria.
3.2.2.
CÁLCULOS CINEMÁTICOS
Esta parte del programa es la que ensambla todas los vectores y matrices cinemáticas
necesarias para la resolución de las ecuaciones del movimiento, en función de la formulación
empleada y de las coordenadas y sistemas de referencia establecidos en la variable de entrada
MBody.
La definición de estas funciones permitirá poder expresar las ecuaciones del
movimiento como función de las coordenadas generalizadas del problema como podrá el lector
comprobar en el capítulo 4 del presente trabajo (Ecuaciones Dinámicas del Movimiento),
estando la mayoría de estas funciones desarrolladas para simplificar las expresiones de las
ecuaciones de movimiento y hacer genérico el programa.
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3 - PROGRAMA DE SIMULACIÓN MULTICUERPO
3.2.3.
CINEMÁTICA DE LAS RESTRICCIONES
En esta sección, el programa genera las restricciones cinemáticas asociadas tanto a los
pares cinemáticos como a las restricciones definidas por el usuario (tabla 3.2).



Restricciones a los pares cinemáticos
o
Par cilíndrico
o
Par de Revolución
o
Par Prismático
o
Par Esférico
Jacobianos de los pares cinemáticos
o
JacobCilin
o
JacobRotula
o
JacobPrism
o
JacobEsferica
Derivadas temporales de los pares cinemáticos
o
DtJac_Cilin
o
DtJac_Rotula
o
DtJac_Prism
o
DtJac_Esferica
Tabla 3.2. Restricciones Cinemáticas en Simulon_Matlab
La definición tanto de los pares cinemáticos como de sus jacobianos y derivadas
temporales puede encontrarse en la bibliografía especializada en análisis de sistemas
multicuerpo. Se propone su consulta en [8].
3.2.4.
FORMULACIONES
Esta parte del programa es la que ensambla las ecuaciones del movimiento atendiendo a
una formulación determinada. Inicialmente están disponibles las siguientes formulaciones:

Método de Baumgarte

Generalized Coordinates Partitioning.

Augmented Lagrange Projections.
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MODELO DE SIMULACIÓN FERROVIARIA CON TABLAS PRECALCULADAS Y CINEMÁTICA SIMBÓLICA
En especial, para el desarrollo de este proyecto, se ha seguido la formulación impuesta
por el método de Baumgarte que se caracteriza por escribir las ecuaciones del movimiento
según la expresión 3.1. siendo:



𝑀𝑀 es la matriz de masa 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 dependiente de las coordenadas.
𝑞𝑞 es el vector de 𝑛𝑛 coordenadas generalizadas
𝑄𝑄 es el vector de 𝑛𝑛 fuerzas generalizadas, incluyendo las las externas y las debidas a
los actuadores muelle - amortiguador.





𝑄𝑄𝑣𝑣 es el vector de fuerzas de inercia cuadráticas en velocidad.
𝐶𝐶 es el vector de restricciones algebraicas
𝐶𝐶𝑞𝑞 es la matriz jacobiana del vector de restricciones
𝜆𝜆, es el vector de multiplicadores de Lagrange.
𝛼𝛼, 𝛽𝛽, son los parámetros de la estabilización de Baumgarte.
𝑀𝑀 𝑞𝑞̈ + 𝐶𝐶𝑞𝑞𝑇𝑇 𝜆𝜆 = 𝑄𝑄𝑣𝑣 + 𝑄𝑄
𝐶𝐶𝑞𝑞 𝜆𝜆 + 𝐶𝐶𝑞𝑞̇ 𝑞𝑞̇ + 𝐶𝐶𝑡𝑡̇ + 2𝛼𝛼�𝐶𝐶𝑞𝑞 · 𝑞𝑞̇ + 𝐶𝐶𝑡𝑡 � + 𝛽𝛽 2 𝐶𝐶(𝑞𝑞, 𝑡𝑡) = 0
Que en forma matricial
�
𝑀𝑀
𝐶𝐶𝑞𝑞
𝑄𝑄𝑣𝑣 + 𝑄𝑄
𝐶𝐶𝑞𝑞𝑇𝑇 𝑞𝑞̈
�� � = � ̇
�
̇
−𝐶𝐶𝑞𝑞 𝑞𝑞̇ − 𝐶𝐶𝑡𝑡 − 2𝛼𝛼�𝐶𝐶𝑞𝑞 · 𝑞𝑞̇ + 𝐶𝐶𝑡𝑡 � − 𝛽𝛽 2 𝐶𝐶(𝑞𝑞, 𝑡𝑡)
0 𝜆𝜆
(3.1. 𝑎𝑎)
(3.1. 𝑏𝑏)
(3.1. 𝑐𝑐)
Esta formulación, cuya fácil implementación es una de las causas de su amplia
utilización, genera las matrices de las ecuaciones del movimiento en función de los datos del
archivo de entrada de datos, en donde emplea la cinemática del apartado anterior.
Existe la peculiaridad de poder obtener las fuerzas de reacción gracias al cálculo de los
multiplicadores de Lagrange 𝜆𝜆 (expresión 3.2). Se remite al lector al capítulo 4 en donde podrá
encontrar mayor información sobre ésta formulación.
−𝐹𝐹𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐶𝐶𝑞𝑞𝑇𝑇 𝜆𝜆
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(3.2)
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3.2.5.
FUERZAS
Esta sección del programa, es llamada por la formulación empleada (en este caso, el
método de Baumgarte), y es la encargada de ensamblar los vectores de fuerzas asociados a cada
sólido. Entre ellos destaca:

Fuerza Centrífuga

Fuerza Muelle Amortiguador

Fuerza Peso

Fuerza Elástica

Fuerza Contacto

Fuerzas definidas por el Usuario
En el caso especial de la fuerza de Contacto, debido a las restricciones de tablas
precalculadas,
se impone la localización de los puntos de contacto, y por tanto, se ha
introducido una modificación sustancial. Se remite al lector al capítulo 5 para mayor
información.
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