Informe Sobre Unidades Por: Paulo Rossi. Cátedra: Sistemas Electromecánicos y Máquinas Eléctricas. Profesor: Néstor Mayer. Instituto Balseiro. Bariloche, Junio de 2006. Introducción: Cuando se debe presentar un trabajo de carácter científico, ya sea un informe, tesis, paper, monografía, estudio, nota, publicación, o cualquier texto surge el problema de cómo escribir correctamente las unidades, nombres de magnitudes, cifras, etc. La manera en que deben escribirse está normalizada y en este texto se informa sobre ello. Un hecho paradigmático: Un sistema de unidades es como un idioma: las operaciones indicadas por las fórmulas físicas siempre dan como resultado cantidades medidas en unidades del mismo sistema, así como una frase de un idioma debe expresarse con palabras de ese mismo idioma. De lo contrario, pueden cometerse errores. A continuación se da un ejemplo de las consecuencias que se pueden tener por la omisión de las unidades correspondientes: Un error de unidades hace fracasar una misión espacial: El Mars Climate Orbiter fue lanzado el 11 de diciembre de 1998 desde Cabo Cañaveral. Esta misión comprende dos naves lanzadas separadamente, el Mars Climate Orbiter (oficialmente Mars Surveyor '98 Orbiter) y el Mars Polar Lander (oficialmente Mars Surveyor '98 Lander). Estas dos misiones fueron diseñadas para estudiar el estado del tiempo marciano, el clima y los niveles de dióxido de carbono y agua. El Mars Climate Orbiter quedó destruido cuando un error de navegación debido a no convertir unidades inglesas en unidades métricas a la hora de mandarles los comandos para su inserción en la orbita marciana. Ello provocó que la nave tuviese una altitud menor entre 80 km y 90 km a lo planeado, lo que causó que el esfuerzo y la fricción destruyeran la nave. Dicha nave debía orbitar Marte en septiembre de 1999. El costo total del proyecto, incluyendo el desarrollo y construcción de la nave, el lanzamiento y las operaciones de la misión, estaba estimado en más de 300 millones de dólares. El 23 de septiembre de 1999, se informó que la nave estaba perdida a causa de un error de navegación. Al día siguiente, los controladores de vuelo de la NASA decidieron abandonar su rastreo. Finalmente, el 30 de septiembre, las investigaciones preliminares (luego confirmadas) indicaron que la causa principal de la pérdida de la nave fue una falla de traducción de datos de unidades inglesas (pulgadas, pies, libras) a las unidades métricas (metros, kilogramos) en un segmento del software relacionado con el control de la navegación. 1 El empleo de valores incorrectos de parámetros de navegación, a causa de una transferencia confusa que se realizó entre dos equipos de técnicos vinculados a una operación clave de la nave, sumada a la falla en los procedimientos de revisión que debieron detectarlos, afectó negativamente durante las maniobras para colocar la nave en órbita marciana. En el informe final del comité de investigación, se indicó que una de las causas del fracaso de la misión fue que “algunos canales de comunicación entre grupos de ingeniería del proyecto fueron demasiado informales”. Una informalidad como la de comunicar una cantidad omitiendo unidades correspondientes puede tener, en casos como este, graves consecuencias. 1.Datos históricos relevantes: El proceso de medir una magnitud física consiste en encontrar la relación de su valor al de alguna unidad de la magnitud. El moderno sistema métrico se conoce como Sistema internacional de unidades, cuya abreviación mundial es SI. El Sistema Internacional de Unidades adquiere autoridad internacional a partir de la convención métrica realizada en París por representantes de 17 países el 20 de mayo de 1875. El Sistema Internacional de Unidades tiene como antecedente directo el Sistema Métrico Decimal, establecido en 1795, que incluía la definición del metro en forma directamente vinculada a la longitud de un meridiano terrestre. En 1874 se obtuvo la materialización de esa definición, en forma de una barra de aleación de platino e iridio. La incertidumbre de ese patrón, del orden de 5 partes en 107, era adecuada a las necesidades científicas y tecnológicas de la época. En 1875 tiene lugar la Convención del Metro y la creación del Bureau Internationale des Poids et Mesures y en 1889 la primera Conferencia General de Pesas y Medidas, en la que se resuelve realizar réplicas del metro patrón para diseminarlas en los laboratorios de los países signatarios de la Convención del Metro. Tres factores modificaron la estructura del antiguo Sistema Métrico Decimal: el primero fue la expansión de las necesidades metrológicas hacia áreas imposibles de prever en los tiempos de su creación como la de Electricidad, el segundo, la necesidad tecnológica de patrones de medición con niveles de incertidumbre cada vez menores, y el tercero, el aporte de la Mecánica Cuántica permitiendo la determinación de constantes físicas de la naturaleza con niveles de incertidumbre compatibles con los requerimientos metrológicos. Estos factores llevaron en 1960 a la creación del SI, en el que se abandona la dependencia de las medidas materializadas como patrones primarios de longitud, lo que lleva a una definición del metro con incertidumbres del orden de 4 partes en 10 9, utilizando la lámpara de Kr 86 (XI Conferencia General de Pesas y Medidas). Reconociendo la importancia de incluir también las mediciones químicas, en 1971 se incorpora la unidad de cantidad de materia al SI. 2 En 1979 se redefine la unidad de intensidad luminosa, hasta ese momento vinculada a una medida materializada radiador planckiano. Nuestro país, signatario de la Convención del Metro, siguió esta evolución: el Art. 67 de la Constitución Nacional establece que Corresponde al Congreso adoptar un sistema uniforme de pesas y medidas para toda la Nación por la Ley 52 de 1863 se adopta el Sistema Métrico Decimal, por la Ley 845 de 1 877 se establece la prohibición de usar pesas y medidas de otros sistemas para cualquier transacción, y finalmente la Ley 19 511 de 1 972 y su Decreto reglamentario 1 157 del mismo año establece el uso obligatorio y exclusivo del Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA), en acuerdo con el SI, y la responsabilidad de la realización y mantenimiento de los patrones nacionales en el INTI (Instituto Nacional de Tecnología Industrial). En 1983 el SI vuelve a modificar la definición del metro, haciéndola dependiente de la unidad de tiempo y tomando a la velocidad de la luz en el vacío como un valor exacto por definición. En la República Argentina, con el objeto de establecer el sistema de unidades de acuerdo con el SIMELA estatuido por el decreto 878/89 y constituido por el SI y además otras unidades que no perteneciendo al mismo se han legalizado para satisfacer necesidades de ciertos campos de la ciencia y de la técnica; se elaboró la norma IRAM 2. Las reglas que se deben seguir, el conjunto de criterios que regulan el uso de las unidades considerado correcto está detallado en las normas que elabora el SI y los demás organismos. En ella se encuentran todos los avances tecnológicos y los enormes esfuerzos dedicados a una mejor comunicación, a una comunicación común para el lenguaje de la ciencia. Sin embargo, hay pocas instituciones en las que se les da a estas normas la importancia suficiente dando lugar a enormes errores debido a una mala notación o utilización de unidades no aceptadas por el SI En este informe se recopiló la escasa información a la cual se pudo acceder, en general desde Internet. Se consultó si tenían las normas en las instituciones de la ciudad sin tener resultados positivos, por lo cual no se pudo tener acceso a esta fuente principal de experiencia, avances tecnológicos y trabajo serio de años, que en las normas se encuentra. 3 2. Unidades: Hay siete unidades de base del SI (o sea que, de ellas dependen las demás): Unidades fundamentales que conforman el Sistema Internacional de unidades SI: En el campo de la mecánica se utilizan tres unidades: metro: [m] segundo: [s] kilogramo: [kg] Unidades básicas para el estudio de la termodinámica, electricidad, óptica, etc.: ampere: [A] kelvin: [K] mol: [mol] candela: [cd] Unidades derivadas del SI con nombres especiales: 4 En el pasado se utilizaron el radián y el estereoradián como unidades complementarias adimensionales que en 1995 fueron incorporadas también como derivadas. Son definidas como: radián: [rad] ángulo comprendido entre dos radios de una circunferencia y que determina en esta curva un arco de longitud igual a la de su radio. Es adimensional y por lo tanto equivalente a 1. estereoradián: [sr] ángulo sólido con un vértice en el centro de una esfera, y que intercepta en ésta una superficie cuya área es igual a la de un cuadrado con un lado igual al radio de la esfera. Múltiplos y Submúltiplos Todas estas unidades utilizan múltiplos y submúltiplos, para los casos en que los valores sean muy grandes o muy pequeños, logrando ampliar o reducir la unidad. Se obtienen aplicando, como factores, potencias del número 10. 3. Convenciones de estilo u ortografía técnica: Se usan sólo unidades del SI y las aceptadas para usar con el SI para expresar valores de cantidades. Valores equivalentes en otras unidades se colocan entre paréntesis seguidos del valor en unidades aceptables. l=25 m (82,0210 pies) Las fórmulas representadas con letras denotan símbolos de cantidades y de unidades. Los que representan magnitudes se escriben en tipo itálico (inclinados) mientras que las unidades y números se escriben en letra romana vertical. Por ejemplo: F = 15 N, t= 0,3 s Un símbolo de unidad es una entidad matemática, no es una abreviación ni una sigla. Por ejemplo: el símbolo para el segundo es s, no "seg" o "s.". Los símbolos para unidades que devienen de nombres propios se escriben 5 con mayúscula en la primera letra (no así las que son nombres simbólicos); pero los nombres mismos se escriben con minúscula. Por ejemplo: tesla, T; ampere, A; volt, V; newton, N; pascal, Pa, watt, W La ortografía y gramática de los nombres de las unidades que no derivan de nombres propios son específicos del lenguaje y no dependen del SI. Por ejemplo: nosotros escribimos: "kilogramo, metro", en inglés: "kilogram, meter", en francés: "kilogramme, metre"; pero kg y A son símbolos universales del SI. Los nombres de las unidades que derivan de nombres propios no se deben modificar con los diferentes idiomas. Por ejemplo se debe escribir para cualquier idioma: volt, ampere, newton; y no se debe escribir: voltio, amperio, niuton. Debe quedar claro a qué símbolo de la unidad pertenece el valor numérico y qué comportamiento matemático se aplica al valor de una cantidad. Por ejemplo: Es correcto: 56 cmx 23 cm 2 kHz a 20 kHz o (2 a 20) kHz 345 g ± 2 g o (345 ± 2) g 220 x (1 ± 10 %) V Es incorrecto: 56 x 23 cm 2 kHz- 20 kHz o 2 a 20 kHz 345 ± 2 g 220 V ± 10% Los nombres de las unidades llevan una s cuando se escriben en plural, excepto los que terminan en s, z o x. Los nombres de las unidades que corresponden a nombres de personas deben escribirse con idéntica ortografía que el nombre correspondiente pero con minúscula inicial. Los plurales de los nombres se forman de acuerdo a las reglas gramaticales propias del lenguaje. Por ejemplo: kilopascales, watts, etc. Los símbolos de unidades no se pluralizan. Por ejemplo: se escribe 3 kg y no 3 kgs. La palabra "grado" y su símbolo, º, se omite para las unidades de temperatura termodinámica T , donde se usa kelvin o K, no grado kelvin o ºK. Sin embargo el grado se usa para las unidades de temperatura Celsius t, definida como: t = T-T0 , donde T0 = 273,16 K; esto es grado Celsius, ºC. Los símbolos para los prefijos de los múltiplos de 106 o mayores se escriben con mayúscula, todos los otros van con letra minúscula. (ver tabla). No se intercala espacio entre el prefijo y la unidad. Se evitan los prefijos compuestos. Estos prefijos se colocan delante del símbolo de la unidad correspondiente sin espacio intermedio. El conjunto del símbolo más el prefijo 6 equivale a una nueva unidad que puede combinarse con otras unidades y elevarse a cualquier exponente (positivo o negativo). Por ejemplo: se escribe pF y no µµ F. Un exponente modifica toda la unidad incluyendo a su prefijo. Por ejemplo: cm3 = 10-6 m3. La escritura de los múltiplos y submúltiplos se hace con letra minúscula y completo. Por ejemplo: se escribe "megahertz" y no "Megahertz" o "Mhertz". El kilogramo es la única unidad base cuyo nombre, por razones históricas, contiene un prefijo; los nombres y los símbolos de los múltiplos y submúltiplos del kilogramo se forman adjuntando prefijos a la palabra "gramo" y al símbolo "g". La multiplicación de unidades se expresa mediante un punto elevado o con un espacio. Por ejemplo: N•m o N m. La división se puede expresar por una línea de cociente horizontal, inclinada o por exponente negativo. No se permite el uso repetido de líneas de cociente inclinada. Por ejemplo: m/s o m•s-1; m/s2 o m•s-2 pero no m/s/s. Para evitar confusiones en el caso que se presente más de una unidad en el denominador, se emplea un paréntesis o exponentes negativos. Por ejemplo: kg·m2 /(A·s2 ) o kg·m2 ·A-1 ·s-2 . Una expresión puede incluir prefijos en el numerador o denominador. Por ejemplo: mN/m, W/cm2 Los nombres de las unidades no se deben mezclar con las operaciones matemáticas. Por ejemplo: se escribe: "metro por segundo" y no: "metro/segundo" o "metro segundo-1". Cuando los nombres se incluyen en el producto de unidades, se recomienda la separación de un espacio (también se permite el empleo del guión centrado) pero nunca el punto elevado. Por ejemplo: "newton metro" o "newton-metro" pero no "newton•metro". Valores y cantidades se expresan en unidades aceptadas escritos en números arábigos; los símbolos se usan para las unidades. La información no se mezcla con los nombres o símbolos de unidades. Por ejemplo: Es correcto m = 8 kg la corriente es de 2 A el agua contiene 20 ml/kg Es incorrecto m = ocho kg u ocho kilogramos la corriente es de 2 amperes 20 ml. H2O /kg o 20 ml de agua /kg 7 En los casos que las cifras superen los tres dígitos, estas deben separarse con espacios y no con comas o puntos. Esto es debido a que en nuestro país se estableció la coma para separar los decimales y en otras naciones se utiliza el punto. Por ejemplo: 300 000 000 y no: 300,000,000 o 300.000.000 El valor numérico y el símbolo de la unidad se debe separar solamente con un espacio. Por ejemplo: 35 mm y no: 35mm o 35-mm. El cero se debe colocar delante del signo (de puntuación) separador de los decimales. Por ejemplo: 0,3 J o 0.3 J y no: ,3 J o .3 J. 4. Definición de los patrones de las unidades: metro: [m] es el patrón internacional de longitud. En un principio se lo representó como la diez millonésima (100 x 10-9) parte del cuadrante del meridiano que pasa por París, pero mediciones posteriores de mayor precisión demostraron que el valor difería en algunas centésimas. Luego se definió al metro patrón en función de la longitud de onda de una línea espectral determinada de un isótopo de kriptón de 1 650 763,73 longitudes de onda de esta luz. Actualmente se define como longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo igual a 1/299 792 458 s. segundo: [s] es el patrón internacional de tiempo. Originariamente se lo definió como 1/86 400 de un día solar medio, que es el tiempo medio en que la tierra da una vuelta sobre su eje, con relación al sol. La longitud de un día solar aumenta y disminuye gradualmente en el transcurso de un año, entonces la longitud del día solar se la promedia en un año obteniendo el día solar medio. Actualmente se lo define como la duración de 9 192 631 770 ciclos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. kilogramo: [kg] es el patrón internacional de masa. En un principio se intentó que fuese igual a 1 000 cm3 de agua pura a 4 ºC, pero se estandarizó en un cilindro de platino e iridio conservado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de París en Sèvres, Francia. ampere: [A] es el patrón internacional de corriente eléctrica. Se definió en 1946 como la corriente constante que, si se hace circular por dos conductores rectos paralelos de longitud infinita, cuya sección transversal circular sea despreciable, y separados por un metro en el vacío, produciría entre ellos una fuerza igual a 0,000 000 2 newton por metro de longitud. kelvin: [K] es el patrón internacional de temperatura termodinámica. Se definió en 1967 como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. mol: [mol] es el patrón internacional de cantidad de sustancia. Se definió en 1971 como la cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales 8 como átomos existen en 0,012 kilogramos de carbono-12. El número es: 6,022•1023 (constante de Avogadro). candela: [cd] es el patrón internacional de intensidad luminosa. Se definió en 1967 como la intensidad luminosa medida perpendicularmente a una superficie de 1/600 000 de metro cuadrado de un cuerpo negro, que se encuentre a la temperatura de solidificación del platino a una presión de 101 325 newton por metro cuadrado. Hoy se utiliza la intensidad luminosa en una dirección dada, correspondiente a una energía de 1.4641 mW/sr, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia: 540•1012 Hz. Todas estas unidades fundamentales conforman el Sistema Internacional de unidades SI. 5. Otros grupos de unidades: Uno de los objetivos del SI es evitar la proliferación de unidades innecesarias, a pesar de ello, existen tres grupos de unidades no pertenecientes al SI pero aceptadas para usar con él. El primer grupo incluye a las unidades aceptadas para usar con el SI, donde se presentan unas excepciones a las reglas de escritura. Los símbolos º, ' y '' para ángulos planos no están precedidos por un espacio; el símbolo del litro es L, es decir, en mayúscula para evitar confusiones con el número 1. El segundo grupo corresponde a las unidades aceptadas para usar con el SI donde todos los valores en unidades del SI se obtienen experimentalmente. El tercer grupo pertenece a las unidades corrientemente aceptadas para usar con el SI. 9 6. Los símbolos mas comunes para expresar diferentes magnitudes y sus unidades: Magnitud Símbolo Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura Intensidad luminosa Ángulo plano Ángulo sólido Área Volumen Frecuencia Densidad Velocidad Velocidad Angular Aceleración Aceleración Angular Fuerza Presión, esfuerzo Trabajo, Energía Potencia Cantidad de Electricidad Fuerza electromotriz, diferecia de potencial Intensidad de campo eléctrico l M t I T I٧ Símbolo de la Unidad m Kg s A K cd α ,β, γ Ω A V F ρ v ω a α rad sr m2 m3 s-1 Kg/m3 m/s rad/s m/s2 rad/s2 F p W P Q N N/m2 J W C V V E, ε V/m 10 Resistencia Eléctrica Capacitancia Eléctrica Flujo Magnético Intensidad de Campo Magnético Densidad de flujo Magnético Inductancia Fuerza Magnetomotriz R Ω C F Φ H Wb A/m B T L U H A 7. Cifras Significativas: En cualquier medición, las cifras significativas son los dígitos que se conocen con certeza más un dígito que es incierto. El dígito del extremo derecho siempre es un estimado. Siempre se escribe solamente un dígito estimado como parte de una medición. Se hay desarrollado reglas estándares para escribir y usar las cifras significativas, tanto en las mediciones como en valores calculados a partir de ellas. Regla 1: En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Ejemplos 3.1428 3.14 469 Número de cifras significativas 5 3 3 Regla 2: Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos Ejemplos 7.053 7053 302 Número de cifras significativas 4 4 3 Regla 3: Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. Ejemplos Número de cifras significativas 11 0.0056 0.0789 0.00001 2 3 1 Regla 4: En un número con dígitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha del último número diferente de cero son significativos. Ejemplos 43.0 43.00 0.00200 0.40050 Número de cifras significativas 3 4 3 5 Regla 5: En un número que no tiene punto decimal y que termina con uno o más ceros (como 3 600), los ceros con los cuales termina el número pueden ser o no significativos. El número es ambiguo en términos de cifras significativas. Ante4s de poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional acerca de cómo se obtuvo el número. si el número es resultado de una medición, los ceros probablemente no son significativos. Si el número ha sido perfectamente contado o definido, todos los dígitos son significativos. Se evitan confusiones expresando los números en notación científica. Cuando están expresados de esta forma, todos los dígitos se interpretarán como significativos. Ejemplos 3.6 x 105 3.60 x 105 3.600 x 105 2 x 103 2.0 x 10-5 2.00 x 10-5 Número de cifras significativas 3 3 4 1 2 3 Redondeo: Para eliminar dígitos no deseados (no significativos) hay tres reglas: Regla 1: Si el primer dígito que se va a eliminar es menor que 5, ese dígito y todos los dígitos que le siguen simplemente se eliminan. Ejemplo: 54.234 redondeado a tres cifras significativas se convierte en 54.3 12 Regla 2: Si el pirmer dígito que se va a eliminar es mayor que 5, o si es 5 seguido de dígitos diferentes de cero, todos los dígitos siguientes se suprimen y el valor del último dígito que se conserva se aumenta en una unidad. Ejemplo: 54.36, 54.359 y 54.3598 al ser redondeado a tres cifras significativas quedan todos como 54.4. Regla 3: Si el primer dígito que se va a eliminar es un 5 seguido sólo de ceros, se aplica la regla par-impar. Esta consiste en, si el último dígoto que se va a conservar es par, su valor no cambia, y tanto el 5 como los ceros que lo siguen se suprimen. Pero si el último dígito a conservar es impar, entonces su valor se aumenta en uno. La intensión de esta regla es promediar los efectos del redondeo. Ejemplos: 54.2500 con tres cifras significativas se vuelve 54.2. 54.3500 con tres cifras significativas se vuelve 54.4. Sifras significativas y cantidades calculadas: Existen dos reglas para cálculos elementales, una para la división y para la multiplicación y otra para la suma y la resta: Multiplicación y división: El resultado deberá tener el mismo número de cifras significativas que el dato inicial que tengan menos cifras significativas Ejemplos: 8.536 x 0.47=4.0 (Dos cifras significativas) 3840/285.3=13.5 (Tres cifras significativas) Suma y resta: El resultado no debe tener dígitos más allá de la posición del último dígito común a los dos números sumados o restados Ejemplos: 34.6+17.8+15=67 20.02+20.002+20.0002=60.02 645.56-245.5=100.1 13 ANEXO: Unidades no pertenecientes al SI: Hay una amplia gama de unidades que se utilizan, y cada rama de la ciencia o estudio en particular utiliza ciertas unidades, por ejemplo para astronomía se utiliza el Megaparsec (Mpc), unidad de distancia equivale a unos 3,26 millones de años luz. En un año la luz recorre 9,46 millones de millones de kilómetros ( 9,46 x 1012 Km). A esta distancia se le llama el año-luz y es muy útil para expresar las distancias entre cuerpos estelares. Cuando obtenemos los espectros de galaxias lejanas observamos que las líneas espectrales están desplazadas con respecto a las observadas en los laboratorios terrestres. Se define el desplazamiento al rojo z de una línea espectral como la diferencia entre las longitudes de onda observada (λo) y emitida (λe) en unidades de la longitud de onda emitida. 1 + z = λo/λe Es habitual convertir el desplazamiento al rojo en velocidad mediante la relación v=cz siendo c la velocidad de la luz, que es un aproximación para velocidades mucho menores que c y que coincide con la interpretación Doppler al desplazamiento al rojo en ese caso de velocidades pequeñas. La cosmología científica nació con la ley de Hubble, la primera observación con significado puramente cosmológico. Hubble obtuvo una relación lineal entre el desplazamiento al rojo z y distancia D c z = H0 D donde c es la velocidad de la luz y H0 es la constante de Hubble, expresada habitualmente en Km s-1Mpc-1. Esta relación aproximada para pequeños desplazamientos al rojo podría implicar, por extrapolación directa, una relación lineal entre la velocidad y la distancia que se cumpliera para cualquier distancia considerada. Una medida de peso es el kilogramo-fuerza se corresponde, aproximadamente, con el peso de una masa de 1 kilogramo situada en la superficie terrestre, a nivel del mar; es equivalente a 9,8067 N. Observe que la 14 definición sólo es correcta en la Tierra por cuanto interviene el valor de la gravedad. A continuación se muestran en tablas otras unidades con sus equivalencias: Longitudes: Áreas: Peso: 15 Volúmenes: Energía: Velocidades: 16 17