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Matemáticas Discretas
INFERENCIA Ó
DEDUCCIÓN
Inferencia
Inferir
conclusión a partir de premisas
aplicando reglas de inferencia
Premisas: hipótesis, supuestos básicos
Conclusión: proposición a probar
Reglas de Inferencia: medio para
extraer conclusiones a partir de
premisas
Inferencia
Prueba formal: aplicación de reglas de
inferencia para derivar la conclusión
Conclusión válida: conclusión a la que
se llega aplicando reglas de inferencia
Inferencia
Mecanismos de inferencia o deducción
Tablas de verdad
Procedimiento de resolución
Reglas de inferencia
....
Deducción natural
Reglas Básicas
Regla P: Una premisa se puede
introducir en cualquier paso de la
deducción
Regla T: Una fórmula S se puede
incorporar en la deducción, si S está
tautológicamente implicada por una o
más fórmulas anteriores en la deducción
Deducción natural
Reglas Básicas
Regla PC
Si una fórmula s se pude deducir de otra
fórmula r y un conjunto de premisas,
entonces el enunciado (r → s) se puede
deducir a partir del conjunto de premisas
unicamente
(p ∧ r ) → s ≡ p → (r → s)
Reglas de Deducción natural
Simplificación
(p ∧ q) → p ( p ∧ q ╞ p)
(p ∧ q) → q ( p ∧ q ╞ q)
Adición
p→p∨q
q→p∨q
Conjunción
(p) ∧ (q) → (p ∧ q)
Reglas de Deducción natural
Modus Ponens
(p ∧ (p → q)) → q
Modus Tollens
(¬q ∧ (p → q)) → ¬p
Silogismo Hipotético
[(p→q) ∧ (q →r)] → (p →r)
Silogismo Disyuntivo
[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q
Reglas de Deducción natural
Resolución
[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r )] → (q ∨ r)
Dilema
[(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r
Argumentos válidos: Ejemplo
Si llueve mucho, el viaje será dificil. Si los
estudiantes llegan a tiempo entonces el viaje no
fué dificil. Los estudiantes llegaron a tiempo.
Por tanto, no llovió mucho
p: llueve mucho
q: el viaje es dificil
r: los estudiantes llegaron a tiempo
Argumentos válidos: Ejemplo
deducción natural
Premisas: p → q, r → ¬q, r
Conclusión: ¬p
Argumento
Razón
1. p → q
Regla P
2. ¬q → ¬p
contrareciproca de 1
3. r → ¬q
Regla P
4. r → ¬p
Silogismo Hipotético (2,3)
5. r
Regla P
6. ¬p
Modus Ponens (4,5)
Argumentos válidos: Ejemplo
Refutación
Premisas: p → q, r → ¬q, r
Conclusión: ¬p
1. p q
2. r q
3. r
4. p
5. q
Resolvente(1,4)
6. r
Resolvente (2,5)
7. □
Resolvente (3,6)
Ejemplo
Si me mandas un e-mail entonces acabaré de escribir el
programa. Si no me mandas un e-mail me iré a la cama
temprano y si me voy a la cama temprano, me levantaré
descansado. Por lo tanto, si no acabo de escribir el
programa, me levantaré descansado.
p: me mandas un e-mail
q: acabaré de escribir el programa
r: me iré a la cama temprano
s: me levantaré descansado
Ejemplo
1.
2.
3.
4.
p→ q
¬p→ r
r→ s
¬q→ s
Ejemplo: refutación por resolución
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
pq
pr
rs
q
s
p
r
s
□
Resol(1,4)
Resol(2,6)
Resol(3,7)
Resol(5,8)
Argumentos válidos: Ejemplo deducción
natural
Premisas: p → q, ¬p → r, r → s
Conclusión: ¬q → s
Argumento
Razón
1. p → q
Hipótesis
2. ¬q → ¬p
contrareciproca de 1
3. ¬ p → r
Hipótesis
4. ¬q → r
Silogismo Hipotético (2,3)
5. r → s
Hipótesis
6. ¬q →s
Silogismo Hipotético (4,5)
Inferencia en LP: Algunas Reglas
Particularización Universal
p(c) es verdadera, c es un elemento del dominio
cuando la premisa ∀x p(x) es verdadera
∀x p(x)
p(c)
Inferencia en LP: Algunas Reglas
Generalización Universal
Se afirma que ∀x p(x) es verdadera, dada la
premisa que p(c) es verdadera para todo
elemento c del dominio.
p(c), para un c arbitrario
∀x p(x)
Inferencia en LP: Algunas Reglas
Particularización Existencial
es posible afirmar que p(c) es verdadera,
cuando ∃ x p(x) es verdadera
∃x p(x)
p(c) para algún elemento c
Inferencia en LP: Algunas Reglas
Generalización Existencial
es posible concluir que ∃x p(x) es verdadera,
cuando se conoce un elemento particular c con
p(c) verdadera
p(c) para algun elemento c
∃x p(x)
Ejemplo de razonamiento
Todos los hombres son mortales. Sócrates es
hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal
mortal(x): x es mortal hombre(x): x es hombre
∀x (hombre(x)→mortal(x)) ∧ hombre(s) ╞ mortal(s)
Ejemplo de razonamiento
∀x (hombre(x)→mortal(x)) ∧ hombre(s) ╞ mortal(s)
Premisas: ∀x (hombre(x)→mortal(x)) , hombre(s)
Conclusión: mortal(s)
Argumento
Razón
1.
∀x (hombre(x)→mortal(x)) Hipótesis
2.
hombre(s)→mortal(s))
Particularizac. Universal(1)
3.
hombre(s)
Hipótesis
4.
mortal(s)
Modus Ponens (2,3)
Ejemplo
Un estudiante de esta clase sabe cómo escribir
programas en JAVA. Todo el que sepa cómo
escribir programas en JAVA puede conseguir un
trabajo bien pagado. Por lo tanto, alguien en
esta clase puede conseguir un trabajo bien
pagado
Simbolización
c(x): x está en clase, j(x): x sabe cómo escribir
programas JAVA, t(x):x puede conseguir un
buen trabajo.
Hipótesis
∃x(c(x) ∧ j(x))
∀x (j(x)→ t(x))
Conclusión
∃x(c(x) ∧ t(x))
Prueba
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
∃x(c(x) ∧ j(x))
Hipótesis
c(a) ∧ j(a)
Particularización existencial (1)
c(a)
Simplificacion (2)
j(a)
Simplificación (2)
∀x (j(x)→ t(x))
Hipótesis
j(a)→ t(a)
Particularización Universal
t(a)
Modus Ponens (4,6)
c(a) ∧ t(a)
Conjunción (3,7)
∃x(c(x) ∧ t(x))
Generalización Existencial