Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de

Caracterización
del conjunto Pareto óptimo
en el sentido de Smale
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CIUDAD JUÁREZ
Ricardo Duarte Jáquez
Rector
David Ramírez Perea
Secretario General
Manuel Loera de la Rosa
Secretario Académico
Juan Ignacio Camargo Nassar
Director del Instituto de Ciencias Sociales y Administración
Luis Enrique Gutiérrez Casas
Coordinador General de Investigación y Posgrado
Ramón Chavira Chavira
Director General de Difusión Cultural y Divulgación Científica
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CIUDAD JUÁREZ
Caracterización
Del conjunto Pareto óptimo
en el sentido de Smale
Rubén Germán Almanza Rodríguez
Cely Celene Ronquillo Chávez
Ciencias Sociales y Administrativas
Coordinación General de Investigación y Posgrado
Lisbeily Domínguez Ruvalcaba
Coordinadora de la colección
Almanza Rodríguez, Rubén Germán; Ronquillo Chávez, Cely Celene.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale /
Rubén Germán Almanza Rodríguez, Cely Celene Ronquillo Chávez.
Ciudad Juárez, Chih. : Universidad Autónoma de Ciudad Juárez,
2013. (Colección Reportes Técnicos de Investigación)
40 p.; 30 cm.
Incluye bibliografía
Colección Reportes Técnicos de Investigación Isbn: 978-607-7953-80-7
Serie ICSA, Vol. 12. isBn: 978-607-520-004-0
Contenido:
1.– Introducción. 2.– Planteamiento. 3.– Metodología. 4.– Resultados.
5.– Conclusiones. 6.– Referencias.
D. R. © Almanza Rodríguez, Rubén Germán; Ronquillo Chávez, Cely Celene.
La edición, diseño y producción editorial de este documento estuvo a cargo de la Dirección
General de Difusión Cultural y Divulgación Científica, a través de la Subdirección de
Publicaciones
Índice
Resumen
Abstract
Palabras clave Usuarios potenciales
Reconocimientos
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13
I. Introducción
1.1. Antecedentes
1.2. Planteamiento de Debreu
1.3. Respuesta de Smale
15
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II. planteamiento
2.1. Espacio de bienes y función de utilidad
Definición 1
Observación 1
Definición 2
2.2. Economía de intercambio
Definición 3
2.3. Modelo matemático
2.4. El espacio W como una n variedad
2.5. Función multi-objetivo y punto Pareto óptimo
Definición 4 (Pareto óptimo)
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III. Metodología
3.1. Supuestos de una economía de intercambio puro
23
3.2. Cálculo en variedades
Definición 5 (homeomorfismo)
Definición 6 (n-variedad)
Teorema
3.3. Topología diferencial
Teorema
3.4. Álgebra lineal
Teorema
23
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24
24
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24
VI. Resultados
4.1. Cono convexo
Definición 7 (cono)
Definición 8 (cono convexo)
Definición 9 (hemi-espacio)
Figura 5: Cono convexo en el espacio tangente TxiW
Observación 2
4.2. Curva que maximiza la utilidad
Observación 3
Observación 4
4.3. Conjunto Pareto crítico
Definición 11 (Pareto crítico)
Proposición 1
Demostración
Corolario 1
Definición 12 (crítico estable)
4.4. Condición necesaria
Teorema (condición necesaria)
Demostración
Observación 6
Observación 7
4.5. Hessiano generalizado
Definición 13 (hessiano generalizado)
4.6. Condición suficiente
Teorema (condición suficiente) Observación 8
4.7. Ejemplos de funciones multi-objetivo
Ejemplo 4 Figura 6: Gráfica de las funciones u1(x,y) y u2(x,y) donde x0 = 5
Ejemplo 5
Figura 7: Conjunto θ estable
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33
V. Conclusiones
VI. Referencias
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Resumen
n el periodo de 1973 a 1975, S. Smale presentó tres artículos, en donde aborda el problema de optimización de una función de utilidad multi-objetivo u
: W → Rm con dim (W) = n ≥ m. Las publicaciones (Smale, 1973) y (Smale,
1975a) son de carácter expositorio y carentes formalización, en donde se
presentan condiciones necesarias para que la función de utilidad sea Pareto óptima,
en el artículo [Sma75b] demuestra las condiciones de suficiencia. El trabajo principal de este artículo es dar los argumentos que justifican las definiciones de Smale y
presentamos las demostraciones completas de los teoremas y ejemplos que mencionamos. En nuestras demostraciones utilizamos argumentos de sistemas dinámicos,
topología diferencial, cálculo superior y álgebra lineal. Este reporte técnico consiste
de cinco secciones:
I. Introducción: Presentamos los antecedentes históricos del problema de optimización de varias funciones de utilidad. Mencionamos brevemente los avances técnicos
y conceptuales que se han desarrollado en la teoría de optimización de una función de
utilidad y en la teoría de equilibrio general. También mencionamos el planteamiento
del problema principal, i.e. la pregunta planteada a S. Smale por G. Debreu. Posteriormente discutimos la respuesta de Smale al planteamiento de Debreu, en la que
la teoría de análisis global es la herramienta principal en la solución del problema de
optimización de varias funciones de utilidad, más aún Smale tuvo que hacer cambios
considerables en algunos conceptos clásicos de economía; por ejemplo la relación de
orden en la función de utilidad y formalización en los axiomas de una economía de
intercambio puro.
II. Planteamiento: Esta sección es la parte fundamental en nuestro trabajo,
porque exponemos las hipótesis necesarias en el problema de optimización de varias
funciones de utilidad. Discutimos los elementos que asignan la topología del espacio
euclideano de dimensión n, al espacio de Bienes, posteriormente la relación de preorden de la función de utilidad. Finalizamos esta sección con la definición de conjunto
Pareto óptimo en un contexto más general.
9
10
III. Metodología: En esta parte del reporte mencionamos los teoremas de matemáticas que utilizamos para abordar el problema de optimización de varias funciones de utilidad y los axiomas de economía de intercambio puro. También damos una
lista importante de referencias en donde se discuten generalidades de los teoremas
que utilizamos.
IV. Resultados: Esta sección es la aportación principal de nuestro reporte. Introducimos cuatro definiciones fundamentales en el estudio de optimización de varias
funciones de utilidad en una economía de intercambio puro. El primero de estos conceptos es Cono Convexo que está definido en términos de función de utilidad; más
precisamente, definimos el cono convexo como un subconjunto en el espacio tangente
del espacio de bienes. Esta definición asegura los supuestos de una economía de intercambio puro. Curva que maximiza la utilidad, matemáticamente este es un argumento utilizado en topología diferencial que lo introducimos en el planteamiento del
problema, porque es un argumento fuerte en la demostración de los teoremas principales. Además la curva que maximiza la utilidad aporta una idea sobre una trayectoria en el espacio de bienes que converge al punto óptimo y esta se puede entender
como una negociación entre los distintos agentes que lleva al punto Pareto óptimo.
El conjunto Pareto crítico, es una definición más general que el concepto utilizado en
la teoría clásica y tiene los elementos necesarios para abordar el problema principal,
presentemos dos resultados que caracterizan topológica y analíticamente a este conjunto que son importantes en la demostraciones de los teoremas que representamos,
El Hessiano Generalizado es la última definición que introducimos, en realidad es un
concepto utilizado en teoría de singularidades que se estudian con una generalización
del concepto clásico y aplicado en variedades de dimensión alta, el hessiano generalizado los utilizamos para dar la condición análoga al criterio de la segunda derivada
en cálculo elemental. Finalmente presentamos dos teoremas, Teorema de Condición
Necesaria que es el análogo a encontrar el punto crítico para una función de una
variable, solo que en este caso consideramos el conjunto Pareto crítico. Finalmente,
enunciamos el Teorema de Suficiencia, que involucra al Hessiano generalizado.
V. Conclusiones: Finalizamos este reporte enunciando solo tres resultados que
consideramos relevantes. El primero que son los teoremas de condiciones necesarias
y suficientes, que responden a la pregunta de Debreu y los otros dos son conceptos
matemáticos que se introducimos para abordar el problema principal y pensamos que
son de gran importancia en la teoría económica.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
D
Abstract
uring the years of 1973 to 1975, S. Smale published three papers, about
the problem of “optimizing” a multi-objetive utility function u : W → Rm
such that dim (W) = n ≥ m. the Smale paper’s (Smale, 1973) and (Smale,
1975) are only expository and with out formalization, he give a sketch of a
sufficient condition for a multi-objective function be Pareto optimum, in the paper we
show the complety proof and necessary definitions involve into the Smales theorems
and examples. In our proof we use theorems of dynamical systems, differential topology and linear algebra.
I. Introduction: We give the historical antecedents of optimization of several
utility functions problem. We discuss briefly technical and conceptual progresses
which have been developed into the theory of optimization utility function and theory
of general equilibrium. Moreover we discuss the statement of the main problem, i.e.
the question proposed to S. Smale by G. Debreu. After that we discuss the answer of
Smale to the question of Debreu, where the global analysis theory is the principal
mathematical tool in the solution of optimization of several utility functions, moreover Smale had made fundamental exchange into the classical concept in economy
theory; like order relation in the utility function, and he introduces a more formal
definition of a pure exchange economy.
II. Approach: This section is fundamental part of our work, because we explain
the necessary hypothesis of the optimization of several utility functions. We discuss
the elements that give the topology of a n dimentional Eucliden Space to the commodity space, after that the pre-order relation into the utility function. We finished this
section with the definition of Pareto optimum set in a more general sense.
III. Methodology: In this part of the report we discuss the mathematical theorems which are used into the resolution of the optimization of several utility functions and axioms of the pure exchange economy. Also we give an important reference
of principal book that attended the theorems of the subject we used in the main proof
of our result.
11
12
IV. Results: This section is the main contribution in this report. We introduce four
definitions which are fundamental in the study of optimization of several utility functions into a pure exchange economy. The first of them is convex cone which is defined in
terms of the utility function; more precisely, we defined the convex cone like a subset
in the tangent space of the commodity space. This definition assure the assumptions
of a pure exchange economy. Curve that maximize the utility, mathematically this is
an argument used in differential topology and we introduced into the approach of the
main problem, because is a strong argument in the proof of the main theorems. Moreover, the curve that maximize the utility function introduces an idea of a path that
converge into the optimum point in the commodity space and we may thought this
curve as a trade that lead the Pareto optimum point to our agents whose are playing
in this economy. The Pareto critical set, is a more general definition that the one used
in the classical theory, our definition have the needs to deals with the main problem,
we also prove two statements one is a topological characterization of this set and the
other is an analytical characterization of set, both of them are very important in the
proof of our theorems. The Generalized Hessian is the last definition we introduced,
actually this is an framework in the theory of singularities which is studied like a
generalization of the classical definition and is applied into high dimensional algebraic manifolds, but we used to give an analogous condition of the second derivative
used in elemental calculus. Finally we introduce two theorems, Necessary conditions
theorem which is the analogous to find a critical point for a one variable function,
upto in this case we are concerning with the Pareti critical set. The last statement is
the Sufficient condition theorem which involves the generalized Hessian.
V. Conclusions: We finish this report putting forward the results we consider economically relevant. The first is the theorems of necessary and sufficient conditions,
which are the answer to the Debreu’s question and the others are a mathematical
concepts that we introduced to deal whit the main problem and we though those are
very important in economic theory.
Palabras clave
Pareto óptimo, función multiobjetivo, funciones de utilidad.
Usuarios potenciales
Investigadores en las áreas de: Economía Matemática, Métodos cuantitativos de
economía, Teoría de Equilibrio General, Matemáticas Aplicadas, Optimización; estudiantes de Economía con particular interés en modelos matemáticos aplicados en
economía; estudiantes de físico-matemáticas interesados en aplicaciones.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
Reconocimientos
Expresamos nuestros más profundo agradecimiento al comité organizador del
XLIV Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, y al Dr. Leobardo
Plata coordinador de la sección Matemáticas Financiera, Economía Matemática y
Administración de Riesgos, por habernos permitido espacio para presentar por vez
primera en un foro de especialistas estos avances. También estamos en deuda con
nuestras estudiantes: Erika Herminia Arredondo García y Maritza Rodríguez Gutiérrez, y nuestro muy apreciado amigo Enoch Montaño Raygoza, quienes valientemente aceptaron ayudarnos a darle el formato requerido por la Coordinación General de
Investigación y Posgrado de la UACJ ya que nosotros elaboramos este trabajo con el
editor de Texto Científico LaTex.
13
I. Introducción
1.1. Antecedentes
El estudio de la optimización o eficiencia de los mercados, es un tema que se ha
estudiado desde principio del siglo XX. El italiano Vilfredo Pareto cf. [Par09], fue
el pionero en estudiar matemáticamente un escenario donde E es una economía y
cada punto Pareto óptimo1 x0 ∈ W está asociado con el vector de precios P, de modo
que x0 es un punto de equilibrio relativo a P, entonces el conjunto de precios adquiere importancia y permite encon­trar el conjunto Pareto óptimo aplicando teoremas
elementales de cálculo diferencial en la función de utilidad u : W → R. Posterior a
los trabajos de Pareto, en la década de 1940, Oskar Lange (Lange, 1942) y Maurice
Allais (Allais, 1943) formalizaron las ideas de Pareto en un contexto más amplio; sin
embargo, fue hasta la década de 1950 cuando Kenneth Arrow (Arrow, 1951) y Gerard
Debreu (Debreu, 1951) observaron que este problema se puede resolver utilizando
Análisis Convexo, y con esta teoría dieron una demostración más rigurosa, más gene­
ral y más simple que las primeras demostraciones de cálculo diferencial. Sin embargo, el análisis convexo introducido por Arrow y Debreu, se volvió un recurso básico en
el estudio de equilibrio general, más precisamente el análisis convexo es un recurso
indispensable en la teoría de optimización.
1.2. Planteamiento de Debreu
En el verano de 1968, G. Debreu planteó a S. Smale el problema sobre la optimización de varias funciones de utilidad cf. (Debreu, 1993), (Smale, 1973) y (Smale,
1984). La idea de optimizar a la vez varias funciones de utilidad no se había con­
siderado hasta ese momento. El contexto matemático en el que se plantea el problema es bastante riguroso y nada trivial. Más precisamente, Debreu planteó a Smale
el siguiente escenario.
15
16
Consideremos una economía formada por l distintos bienes y m agentes dotados
cada uno de un conjunto P i de estos bienes, el índice i denota la dotación del agente
i ésimo, con i = 1, 2,..., m; los bienes los intercambian entre ellos y así buscan obtener
la mayor ganancia/satisfacción.
Sea W =1Pi P2 ×···×Pm el conjunto de todos los bienes de esta economía. Si cada
agente determina su preferencia con una función de utilidad
ui : Pi → R, para cada i = 1,2,...,m.
Asumiendo que la función de utilidad satisface las hipótesis de una economía de
intercambio puro. ¿Es posible optimizar todas las funciones de utilidad de manera
simultánea en el espacio W?, i.e. ¿hay alguna manera de obtener el punto Pareto que
optimiza simultáneamente todas las funciones
ui : W → Rm, con i = 1, 2,..., m
1.3. Respuesta de Smale
Entre los años de 1973 a 1975, S. Smale publicó tres artículos (Smale, 1973), (Smale, 1975) y (Smale, 1975), con los que da respuesta a la pregunta planteada por G.
Debreu. Los artículos de Smale están centrados en la teoría de Análisis Global, la
aplicación de estos teoremas en el problema de Debreu llevó a definir en un lenguaje
más formal algunos conceptos de la teoría económica como: función de utilidad, el
conjunto Pareto óptimo y los axiomas de economía de intercambio puro. Una discusión más amplia sobre Análisis Global se puede consultar en (Smale, 1969).
Una idea fundamental para introducir la teoría de análisis global a la teoría económica fue cambiar la relación de preferencia x x' en la fun­ción de utilidad por la <
∼
relación de pre-orden usual en R ui (x) ≤ui (x') para elementos x ∈ W. Con este planteamiento, las preferencias de los agentes son cuantificables en el campo de los números reales R. Más aún, la repre­sentación en R de la función de utilidad asigna una
estructura topológica al espacio de bienes W, lo cual permite estudiar al espacio W y
las funciones de utilidad desde la perspectiva de análisis global. De modo que la funciones de utilidad se pueden identificar como la función multi-objetivo
u : W → Rm, con dim(W)= n ≥ m,
donde la función u es el vector
u= (u1, u2,...,um) con ui: W → R
V. Pareto introdujo la idea de optimización de una función de utilidad, en el sentido de la preferencia del consumidor.
Para conseguir esto utilizó una relación de preorden definida en el espacio de bienes W.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
E
II. planteamiento
n esta sección exponemos los elementos que intervienen en el problema
de optimización de varias funciones de utilidad, esta exposición es en un
lenguaje formal hacemos uso de elementos de cálculo superior, álgebra
lineal, topología diferencial y microeconomía.
2.1. Espacio de bienes y función de utilidad
Consideramos una economía donde existen ı número de bienes y que el mercado
de cada uno de los bienes ha definido una unidad de medida específica para cada
bien, de tal modo que cada bien es cuantificable y se corresponde con un número
real. Estamos considerando únicamente los bie­nes que se poseen; es decir, sólo R1
consideramos montos positivos. Denotamos R1+:= {x∈Rx > 0} el ortante positivo de
yP al espacio de bienes,2 por lo tanto, P se identifica con un subconjunto abierto de
R1+, i.e. existe un mapeo
ı : P→ R1+ que es una inclusión.
La coordenada x ∈ P representa un conjunto de bienes3 que le pertenecen o desea obtener un
consumidor entre los distintos ı bienes a escoger.
Supongamos que existen m agentes, denotamos xi al conjunto de bienes que pertenecen al i-ésimo agente, de modo que xi∈ P para i = 1,2,... ,m denota la propiedad
del i-ésimo agente. El estado real de la economía consi­derando los bienes de los m
agentes, lo representamos con el punto x ∈ Pm; es decir, el estado de la economía toma
en cuenta el producto cartesiano de los m espacios de bienes. En el modelo económico
que planteamos supone­mos que los recursos son agotables y como éstos son cuantificables; podemos definir el siguiente espacio.
Nos referimos como “espacio de bienes” lo que en lengua inglesa se le conoce como “commodity space”, esto es el
conjunto de productos que el consumidor puede adquirir en la economía £, en nuestro estudio consideramos / distintos
bienes.
3
En la lengua inglesa se le llama “bundle of commodities”.
2
17
18
Definición 1
Sea p ∈ P el total de recursos que los agentes pueden obtener, llamamos espacio de
recursos alcanzables4 al conjunto
m
W= {x∈ pm | ∑ xi = p} donde x= (x1, x2...Xm),
i-1
en este espacio intervienen los m agentes y representa el espacio total de posibilidades de consumo/elección.
Observación 1
El espacio W denota el total de recursos que los distintos agentes desean obtener.
Recordemos que W está identificado con Rm donde3 n = l · m; por lo tanto, podemos
considerar a W una n variedad. Una pro­piedad de W como espacio topológico es que
tiene cerradura compacta. El teorema de Heine-Borel muy básico en análisis matemático cf. (Apostol, 1983) dice que: en Rn los conjuntos compactos son cerrados y acotados. El significado económico de este teorema en el espacio W, es que: los bienes de
cualquier agente pueden aumentar o disminuir en forma equitativa, hasta obtener o
agotar la combinación de bienes deseada.
Cada agente está dotado de una función con la cual representa su prefe­rencia en
el espacio de bienes, recordemos que la preferencia es cuantificable; por lo tanto, la
preferencia está representada con el pre-orden usual en R. Esto nos permite estudiar
la preferencia de cada agente en términos de la siguiente función de utilidad.
Definición 2
La preferencia del i-ésimo agente está definida por la función de utilidad
ui : P → R donde
ui (x') u (x) denota la preferencia absoluta de x' sobre x y
ui (x') ≥i u (x) denota que el bien x' satisface igual o más que x.
En la siguiente sección presentamos las hipótesis de contexto económico que estamos asumiendo en nuestro estudio.
2.2. Economía de intercambio
Los resultados de optimización que presentamos asumen los supuestos de una economía de intercambio puro, en esta sección no vamos a discutir los elementos de una
economía de intercambio, estos se pueden consultar en (Debreu, 1959), (Moore, 2007),
4
En la literatura de lengua inglesa se le llama “attainable space”.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
(Varian, 1978). Sólo mencionaremos las condiciones necesarias en una economía de
intercambio, que son el contexto teórico de los teoremas que vamos a mencionar.
Sea W el espacio de recursos alcanzables, asumimos que la función de utilidad
u : W →R es al menos de clase C2.
(1)
Para c∈R+ definimos la superficie de inferencia u-1 (c) ⊂ W, este con­junto representa
los distintos bienes que los agentes pueden obtener utilizando c∈ R. Sea g{x) el vector
normal unitario orientado a la superficie de inferen­cia u-1 (c) en x, donde u(x) = c. Observemos que g(x) es el mapeo definido por
g: W Sn-1 tal que g (x)= grad (u(x)) .
|| grad (u(x))||
El mapeo g(x) es un elemento importante en el estudio de la teoría de de­manda y
preferencias del consumidor cf. (Debreu, 1972).
La siguiente condición es una versión fuerte de diferenciabilidad, también conocido
como monoticidad; cuyo significado en la teoría económica es la libre adquisición o
“más bienes, es mayor satisfacción”, esto es
g(x) ∈W ∩ Sn-1 = int(s-1) para cada x ∈ W.
(2)
∂u(x)
la notación int(S-1) significa que > 0 ∂xi para toda i = {1,2,...,n}. Denotamos g(x)⊥
al complemento ortogonal de g(x), y consideramos el mapeo lineal
Dg(x) : Rn → g(x)⊥,
g(x)⊥ se puede pensar como:
• el espacio tangente T g(x) (S n-1),
• o la hipersuperficie tangente a la superficie de indiferencia en x.
La figura 1 representa la acción de estos mapeos. La restricción
Dg (x): g(x)⊥ → g(x) es un mapeo lineal simétrico.
La convexidad es una condición necesaria en la teoría de optimización, aquí presentamos una versión fuerte en términos de la diferenciabilidad de g{x)
Dg (x): g(x)⊥ → g(x)⊥ tiene eigenvalores negativos.
(3)
La condición anterior es conocida en la literatura clásica como “diferencia­bilidad
convexa” cuando se enuncia en términos del Hessiano o la segunda derivada, i.e.
II. Planteamiento
19
20
D2u(x) : W → R, es una matriz definida negativa. (3)
g(x)
Tg(x) S n-1
g(x)⊥
W
x
u(x) = c
Figura 1: Acción de g(x) y g(x)⊥ en W.
La última condición en u es sobre la frontera de Rn+.
La curva de inferencia u-1 (c) es cerrada en Rn para cada c. (4)
Esta condición se puede interpretar de modo que cada agente desea mantener al
menos poco en cada bien disponible en W cf. (Debreu, 1959), (Debreu, 1972) y (Smale,
1981).
Definición 3
Una economía de intercambio puro consiste de lo siguiente:
ɶɶ existen m agentes que son comerciantes y están asociados al mismo espacio de
bienes W,
ɶɶ el agente i para i = {1, 2,..., m} tiene una preferencia representada por la función de utilidad ui: P→R que satisfacen las condiciones (1) a (4).
ɶɶ Además el i agente le pertenece una dotación ei∈P, de modo que en el sistema
de precios p ∈ Rn+ el ingreso o bienestar del i agente es p · ei.
Este modelo lo podemos interpretar como una economía donde cada agen­te busca
negociar su dotación de productos, a partir de un vector de bienes con el cual busca “mejorar” o incluso “maximizar” su satisfacción (contrario a los modelos de restricción).
2.3. Modelo matemático
El contexto teórico en el que planteamos el problema de optimizar a la vez varias
funciones de utilidad es bastante riguroso teóricamente; pero la aplica­ción matemá-
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
tica resulta muy interesante ya que este planteamiento envuelve a varias teorías
matemáticas. Por otra parte, el problema de optimización de varias funciones es de
interés no solo en economía, también es interesante en otras áreas de las ciencias
sociales como: elección racional, administración gerencial, comportamiento social, por
mencionar algunas. En ingeniería es un problema de estudio la optimización de recursos; por lo tanto, aunque solo vamos a presentar el problema de optimización para
varias funciones de utilidad (en contexto de teoría económica), los resultados que se
presentan son generales y en lenguaje abstracto, de modo que se pueden adecuar al
contexto de estudio que satisfaga las hipótesis de los teoremas. Enseguida presentamos el contexto general del planteamiento del problema.
2.4. El espacio W como una n variedad
Hemos denotado por W al espacio de recursos alcanzables, existe un homeomorfismo h : W → U, donde U es un subconjunto abierto del ortante positivo de Rn. Por lo
tanto, el homeomorfismo h induce la topología de Rn en W. Suponemos una economía
de l bienes y m agentes que intervienen en ella, además cada agente cuenta con una
dotación P de los l bienes, el producto cartesiano Pm = P×···×PP denota la colección de
bienes que los m agentes poseen, por lo tanto existe una inclusión natural ı : W →
Pm y los respectivos homeomorfismos ϕn : Pm →U y ϕ : P→ V, donde U y V son abiertos
del ortante Rn y Rl respectivamente. Denotamos las proyeccio­nes canónicas πi : Pm →
P que representa el espacio de bienes del i ésimo agente y pi : Rm → R que denota la
preferencia del i ésimo agente. Por lo tanto, los mapeos de estudio son u{x) = ũ o h(x)
y ui(x) = ũi o ˜�i o h(x), que actúan como en el diagrama (5).
i
Pm
ϕn
W
h
U ⊂ Rn+
u
ũ
Rm
˜i
π
πi
P
ϕ
V ⊂ Rl+
pi
ũi
II. Planteamiento
R
21
22
2.5. Función multi-objetivo y punto Pareto
óptimo
Por lo tanto, W es una n variedad y buscamos optimizar en el sentido de Pareto la
función multi-objetivo
u: W → Rm, donde m ≥ dim(W), con u al menos de tipo C2 (6)
La función u(x) se puede descomponer como una función vectorial de modo
ui: P → R donde u{x) = (u1 , u2 ,...,um)(x)
con ui al menos de tipo C2 para toda i = 1, 2,..., m. Finalmente, se asume que u(x)
satisface las propiedades (1) a (4) de la sección §2.2.
El planteamiento anterior nos permite dar la siguiente definición.
Definición 4 (Pareto óptimo)
Diremos que el punto x ∈W es Pareto óptimo, si no existe un x' ∈ W tal que ui (x') ≥
ui (x) ≥ ui para todo 1 < i < m, y (x') > uj(x ) para algún j. Si existe una vecindad5 U(x) ⊂
W de x, donde x es Pareto óptimo, entonces llamaremos a x Pareto óptimo local. Estos
conjuntos los denotaremos simplemente como PO y POL respectivamente.
En una función multi objetivo como en la ecuación (6), el punto Pareto óptimo no es
único, forma un conjunto que generalmente no es conexo y por lo tanto los supuestos
de convexidad requeridos en la función de utilidad no4 siempre se satisfacen para las
funciones multi-objetivo y consecuentemente, el conjunto Pareto óptimo tampoco las
satisface. En general el conjunto PO es disconexo de dimensión menor que dim(W).
4 Abusando de la notación denotaremos U a un conjunto abierto y U(x) a una vecindad del punto x, en caso de que en
el texto no haya ambigüedad denotaremos a la vecindad simplemente como Ux.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
III. Metodología
El problema que estudiamos es un modelo matemático que responde a un problema de teoría económica; por lo tanto, abordamos el problema en lenguaje matemático
y la metodología utilizada es la siguiente.
3.1. Supuestos de una economía
de intercambio puro
El problema es: optimizar a la vez varias funciones de utilidad planteadas en la
ecuación 6, asumiendo los supuestos de una economía de intercambio puro expuestas
en la sección §2.2.
3.2. Cálculo en variedades
Un elemento importante para abordar el problema de optimización fue dotar de
una topología de n variedad al espacio de bienes alcanzables, y de esta manera aplicamos a la función multi-objetivo un teorema de cálculo en variedades que mencionamos enseguida. Antes damos la definición de una variedad.
Definición 5 (homeomorfismo)
Sean X y Y dos subconjuntos, si el mapeo ϕ: X → Y es biyectivo con ϕ-1: Y → X continua, entonces lo llamamos homeomorfiso.
Si dos conjuntos son homeomorfos significa que “son parecidos” geométri­camente.
En un contexto más amplio significa que ambos conjuntos tienen las “mismas propiedades” o características que les identifica.
23
24
Definición 6 (n-variedad)
Sea W un conjunto, consideramos una colec­ción {Vj} de subconjuntos abiertos tales
que W ⊂UVj , llamamos n-variedad a W si existen homeomorfismos ϕ-1: Vj → Uj para
todo i, con Rn ⊂ UUi⋅
Si W es una n-variedad significa que “localmente” el espacio W se puede “pensar”
como el espacio Rn; más aún, significa que W adquiere de manera local las propiedades de Rn, por lo tanto podemos aplicar en W los teoremas que conocemos para Rn. El
siguiente teorema es fundamental en los resultados que presentamos, la demostración de éste se puede consultar en (Spivak, 1965).
Teorema
Sea f : Rn → RP diferenciable y continua en un subconjunto abierto que contiene el
punto x0 , donde p ≤ n. Si f(x0) = 0 y la matriz m×p (Di . fi (x0) tiene rango p entonces
existe un conjunto abierto U ⊂ Rn y una función diferenciable h : U → Rn con inversa
diferenciable tal que
f o h ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x n -( p+ i),...,x n ).
3.3. Topología diferencial
En topología diferencial hay una versión más fuerte del teorema anterior y se ajusta mejor al planteamiento de nuestro problema, aquí hacemos mención del teorema y
los detalles se pueden consultar en (Guillemin-Pollack, 2010).
Teorema
Si las funciones f1, f2,… fn definidas en X son independientes en cada punto donde
se anulen, entonces el conjunto Z de ceros comunes es una subvariedad de X con dimensión igual a dim(X) — n.
3.4. Álgebra lineal
En la definición del Hessiano Generalizado es fundamental el uso del primer teorema de isomorfismos, enseguida lo enunciamos y los detalles se pueden consultar en
(Roman, 2005).
Teorema
Sean G y H espacios vectoriales, y ϕ: G → H un homomorfismo. Entonces:
i) Ker(ϕ) es un subgrupo normal de G,
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
ii) la imagen de ϕ es un subgrupo de H, y
iii) la imagen de ϕ es isomorfa al espacio cociente G/Ker(ϕ).
VI. Resultados
4.1. Cono convexo
En este trabajo asumiremos que W es una n variedad y consideramos la función
de utilidad u : W → Rm, donde u = (u1, u2,...,um) y ui : W → R son funciones al menos de
clase C2 para toda i = l,2,...m, y asumimos m ≤ dim(W). Sea Du(x) la derivada en el
punto x ∈ W y el operador diferencial en x lo denotamos por
Du(x) : Tx W → Rm.
Definición 7 (cono)
Sea V un espacio vectorial, subconjunto C ⊂ V es un cono, si es cerrado bajo multiplicación por un escalar no negativo; en otras palabras, C es un cono si
λ x ∈ C para todo x λ C y todo λ ≥ 0.
Más aún, si el cono C es cerrado bajo adición, i.e.
x + y ∈ C para todo x , y ∈ C,
entonces llamaremos cono convexo a C.
La función de utilidad tiene codominio en el cono positivo Pos ⊂ Rm, i.e., denotamos
Pos := {y ∈ Rm|yi > 0 para todo i = 1,2,..., m}.
Definición 8 (cono convexo)
25
26
Para cada x G W definimos al conjunto
Cx := {v ∈TxW| Du(x) ⋅ v ∈ Pos},
en otros términos Cx = Du(Pos)-1 para cada x ∈ W. Como el operador Du(x) es lineal
y Cx es la preimagen del cono Pos, llamamos cono convexo correspondiente a x al conjunto Cx.
Para caracterizar a Cx introducimos un concepto de Álgebra lineal.
Definición 9 (hemi-espacio)
En un espacio vectorial V de dimensión finita, decimos que el conjunto de vectores {v1 , v2 ,...,vn} ∈V pertenece al mismo hemi-espacio, si existe una aplicación lineal
p : V →R tal que p(vi) > 0 para toda i; donde el hemi-espacio es p_1(0, ∞).
Figura 5: Cono convexo en el espacio tangente TxiW
Du(x)
Pos
x1
Tx1 W T W
x2
x3 x
4 x5
x2
Tx3 W Tx4 W
Rm
Tx5 W
Observación 2
Decir que existe v G TXW tal que Du(x) ⋅ v ∈ Pos, i.e. D ui (x)⋅ v> 0 para todo i, equivale a decir que el conjunto {Dui (x)} pertenece al mismo hemi-espacio del espacio
cotangente Tx*W para todo i.
El conjunto Cx puede ser vacío; por ejemplo si Du(x) = 0 para x ∈ W, entonces no
existe v ∈ Tx W tal que Du(x) ⋅ v ∈ Pos. Por lo tanto, existe un mapeo implícito x → Cx
que define un campo de conos6 en W, para cada x tal que Cx≠Ø.5
4.2. Curva que maximiza la utilidad
Enseguida introducimos un objeto muy utilizado en geometría diferencial.
6
El campo de conos está definido de manera análoga a un campo vectorial sobre una variedad diferenciable.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
Definición 10 (Curva admisible). Sea ϕ : [0,1) → W una función inyectiva, llamamos
curva admisible a ϕ si
d ui (ϕ (t) >0 para todo t ∈[0,1) y toda 1 ≤ i ≤ m.
dt
Diremos que la curva admisible comienza en x y termina en x0 si
ϕ(0) = x y
limϕ(t) = x0
t→1
Observación 3
Una curva admisible define una trayectoria donde la función de utilidad es estrictamente creciente; esto también lo podemos describir en términos del cono convexo,
diremos que la curva ϕ : [0,1) → W es admisible si el vector tangente a ϕ (t) se encuentra en el campo de conos correspon­diente a ϕ (t), i.e. ϕ'(t) ∈ Cϕ(t). El hecho de que ϕ (t)
es inyectiva, excluye la posibilidad de que la curva tenga auto-intersecciones, i.e. ϕ (s)
≠ ϕ (t) para todo s,t ∈[0,1].
Podemos entender a una curva admisible como una “comercialización” en la que,
iniciando con el bien x ∈ W se alcanza el bien x0 , el cual da una mayor utilidad que x;
i.e., el límite limϕ(t) = x0 donde ϕ(0) = x, define una sucesión continua en la que el bien
x converge al Pareto óptimo local x0, de modo que u(x0) > u(x) para todo x ∈ U(x0).
Observación 4
Resulta obvio que si x0 es un punto Pareto óptimo de cual­quier naturaleza (óptimo
u óptimo local), entonces no existe curva admisible que pase por x0, i.e. ϕ(t) ≠ x0 para
todo t ∈ [0,1); más aún, la observación 3 permite expresar de manera natural esta
propiedad en términos del cono convexo. Esta característica permite hacer un estudio infinitesimal del con­junto Pareto óptimo; de hecho Smale generaliza el conjunto
Pareto óptimo de manera siguiente.
4.3. Conjunto Pareto crítico
Definición 11 (Pareto crítico)
Llamamos conjunto Pareto crítico al conjunto
θ:= {x ∈ W | Cx = 0}.
Observemos que existe una contención natural en los conjuntos Pareto que hemos
definido. Si x ∈ PO, entonces no existe x' ∈ U(x) tal que uj (x') > uj (x) para algún j, por
lo tanto x ∈ POL.
VI. Resultados
27
28
Ahora, si x ∈ POL se tiene que no existe una curva admisible que pase por x y por
lo tanto x ∈ θ.
Esto muestra que
PO ⊂ POL ⊂ θ
Por otra parte, así como un punto x ∈ POL no necesariamente es Pareto óptimo, se
sigue también que un x ∈ θ no es necesariamente un Pareto ópti­mo; por ejemplo, si u’i
(x) = 0 para todo 1 ≤ i ≤ m, entonces x ∈ θ, i.e. θ contiene los puntos críticos de u y no
todos los puntos críticos de u son puntos óptimos.
Comenzamos caracterizando la topología del conjunto θ.
Proposición 1
El conjunto θ es cerrado en W.
Demostración
Supongamos lo contrario, i.e. para todo x ∈ θ existe una vecindad U(x) ∈ W tal
que U(x) ⊂ θ. Sea x0 ∈ U(x), en el caso de que ui(x0) ≥ ui (x0) para algún 1 ≤ i ≤ m, se
sigue que ui(x0)=ui(x)para todo i, ya que x,x0 ∈ θ donde ui son funciones de utilidad no
constantes. Sea ϕ : [0,1] → W una curva tal que (0) = x y ϕ(1) = x0. El teorema de Rolle
sugiere que existe uní £ (0,1) tal que )) > 0; i.e. si ϕ(t) = xt y vt es el vector tangente
en ϕ (t), por lo tanto Du(xt ) · vt ∈ Pos. De tal modo que existe CXt ≠ 0 para xt ∈ θ. Esto
contradice la existencia de un abierto en θ para cualquier x ∈ θ. De la proposición
anterior se sigue el siguiente resultado.
Corolario 1
Si x ∈ θ entonces Im (Du(x)) ∩ Pos = 0.
Para describir el conjunto θ consideremos los siguientes ejemplos.
Análogamente a cálculo elemental, una condición necesaria para que x0 ∈W sea
Pareto óptimo es que x0 ∈θ sea Pareto crítico. Como se ha mostrado en los ejemplos 4
y 5, el conjunto Pareto crítico θ es bastante grande y contiene puntos que no son necesariamente Pareto óptimo; por lo tanto, es necesario refinar o excluir de θ los puntos
que no satisfacen la condición Pareto óptimo. Para lograr este propósito, Smale utiliza
herramientas de sistemas dinámicos e introduce la noción de estabilidad de un punto
para estudiar el comportamiento de las curvas admisibles en la vecindad de un punto
Pareto crítico, una noción más amplia de estabilidad se puede consultar en (Smale,
1967).
La idea es simple, una curva admisible es una trayectoria ϕ(t)∈W de puntos x=ϕ(t)
que convergen a x0∈PO i.e. ϕ(t) → x0 para t → 1 con : x0 Pareto óptimo. Por otra parte, si
existe una vecindad U(x0)∈W de x0∈θ que captura todas las curvas admisibles entonces x0 es PO.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
Definición 12 (crítico estable)
Decimos que x0 ∈θ es crítico estable si para cada vecindad U (x0)⊂ W de x0, existe
una vecindad V(x0)⊂ U(x0) también de x0, tal que para cada curva admisible ϕ:[0,1) →
W con ϕ(0) ∈ v(x0) se satisface ϕ(t) ∈ U(x0) para todo t ∈ [0,1); más aún ϕ(t) → PO
cuando t → 1. Denotamos al conjunto crítico estable como θE·
Resulta fácil observar que en el ejemplo 4 se tiene θ = θE y en el ejemplo 5 se tiene θE =θ +. Naturalmente el conjunto θE· tiene una gran importancia en el modelo
económico, ya que θE· contiene al conjunto de puntos de acumulación de las curvas
admisibles y esto representa el conjunto de bienes en donde la función de utilidad se
máximiza.
Observación 5. En el caso dim(W) = 1 se verifica que θ es el conjunto de puntos
críticos de la función u : W→R, y el conjunto θE· corresponde a los puntos máximos
locales de u.
Se han mencionado una condición necesaria para que x ∈ W sea un punto Pareto
óptimo. En la siguiente sección vamos a enunciar las condiciones necesarias y suficientes para que x sea Pareto óptimo.
4.4. Condición necesaria
La idea para optimizar una función multiobjetivo es bastante simple pero nada trivial, la condición necesaria consiste en tomar el operador diferencial de primer orden
para identificar el conjunto Pareto crítico y la condición de suficiencia es aplicar el
operador diferencial de segundo orden para distinguir los puntos Pareto óptimos.
En los siguientes teoremas vamos a considerar la función suave u : W →Rm, donde
u = (u1, u2,...,um), con ui : W → R y W es una n variedad diferenciable con n ≥ m y para x
∈W.
Teorema (Condición Necesaria)
x∈θ si y sólo si
i) el conjunto {D i(x)
}m
i=1
gente Tx*W·
no pertenecen al mismo hemí-espacio del es­pacio cotan-
ii) Existen λi para i = { 1 , 2 , . . . , m} no todos cero, tales que
(7)
m
Σλ iD i(x)=0·
i=1
Demostración
La parte (i) del teorema resulta de la definición 8 y la obser­vación 2. En el caso (ii),
por definición se tiene que x ∈θ si y sólo si x es punto crítico (en el sentido clásico) para
más de una función de utilidad ui, por lo tanto existen λi≥ 0 (no todos cero) tales que
VI. Resultados
29
30
Σ m λiDui =0. Por otra parte,de (i) se tiene que el conjunto {du
(x)} m pertenece a diferentes
i=1
i
i=1
hemi-espacios del espacio cotangente, esto significa que grad (ui) apunta en diferentes direcciones para todo i, de modo que se pueden escoger λi ≥ 0 no todos cero, tales
que satisfacen la condición (ii).
Observación 6
La parte (ii) del teorema implica que el conjunto {Dui(x)} es linealmente dependiente y por lo tanto los vectores {Dui(x)} son opuestos entre sí. Una consecuencia
inmediata del álgebra lineal es que Du(x) visto como una transformación lineal no es
sobreyectiva.
Observación 7
Como una métrica riemanniana es un forma bilineal del espacio tangente, por lo
tanto para cualquier métrica riemanniana en W se tiene
mmm
Σ 〈grad (ui), v= Σ Dui (x).v= Σλi Dui (x),
i=1 i=1 i=1
donde 〈,〉 es el producto interno inducido por la métrica Riemanniana, v∈ TxW con
v = (λ1, λ2,...,λm). Esto da un sentido geométrico al teorema anterior, induciendo que el
m
conjunto {grad (ui)} i=1 apuntan en direcciones opuestas, los ejemplos 4 y 5 muestran
que esto es cierto para dim(W) = 2 y (ii) del teorema anterior muestra que esto se
satisface en general.
4.5. Hessiano generalizado
El siguiente resultado hace referencia a la Segunda Derivada Intrínseca, esta es
una herramienta de la teoría de singularidades introducida por I.
Porteous y J. Mather (Porteous, 1971) y (Mather, 1971). Antes de introducir este
con­cepto vamos a mencionar un corolario del Teorema de la Función Implícita (Spivak, 1984)
Teorema. Sea u : W → Rm una función de tipo al menos Cl, donde dim(W) = n ≥ m
para n ≥ 2, con rango de Du(x) : TxW → Rm igual a m. Entonces, existe una vecindad Ux
-1
R⊂ W de x tal que Ux ∩ u (u(x) )es una subvariedad suave de W de codimensión m; i.e.
-1
M = Ux ∩ u (u(x) ) tiene dimensión (n — m).
Denotamos Kx al kernel del mapeo Du(x) : TxW → Rm, i.e.
m
Kx := ∩ ker {Dui (x): TxW → R} TxW·
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
i=1
31
Por otra parte, el primer teorema de isomorfismos c.f. (Roman, 2005) permite definir el siguiente mapeo
D2u(x) : KX × Kx Rm / Im (Du(x))·
Una condición importante en el teorema de suficiencia es cuando el rango de Du{x)
es m — 1 (i.e. corank(Du(x)) = 1); por lo tanto, si x θ se sigue que lm(Du(x)) ∩ Pos =
0, y esto induce un rayo canónico positivo en el espacio Rm/lm(Du(x)); más aún, si el
rango de Du(x) es m — 1, el Teorema de la Imagen Inversa (Guillemin; Pollack, 2010)
sugiere que dim(Rm/ImDu(x)) = 1. De lo anterior queda definida una forma bilineal,
que precisamos enseguida.
Definición 13 (hessiano generalizado)
Llamamos hessiano generali­zado a la forma bilineal simétrica inducida por (8) y
que denotamos
Hx : Kx ×Kx →R .
4.6. Condición suficiente
Antes de enunciar el teorema de suficiencia denotamos la frontera del conjunto
Pareto crítico por
∂θ = {x ∈θIm Du(x)∩{cl(Pos) / 0}≠ 0},
donde cl(Pos) denota la cerradura de Pos.
Teorema (condición suficiente).
Sea x ∈θ∉, x ∉∂θ y corank(Du(x)) = 1, entonces
i) si el hessiano Hx es negativo definido, entonces x∈θE ·
ii) Sea Xi > 0, para i = 1 , 2 , . . . ,m como en el teorema de la condición necesaria;
entonces (salvo escalar positivo)
Σ
Hx =
m
i=1
λiD2ui(x), en ker Du(x).
La demostración de este teorema se encuentra en [Sma75b].
Observación 8
El hessiano generalizado o segunda derivada intrínseca como lo introducen inicialmente Porter y Mather (c.f. (Porter-Mather, 1971)) es un invariante diferencial; pero
VI. Resultados
32
además nos proporciona información dinámi­ca, i.e. Hx describe el comportamiento
atractor/repulsor que tiene la curva admisible en la vecindad de un punto crítico,
estos conceptos se pueden con­sultar en (Smale, 1967).
4.7. Ejemplos de funciones multi-objetivo
Ejemplo 4
Sea W = R2, consideremos ui: R2 →R donde
ui (x, y) = —x2 —y2, y u2 (x, y) = — (x — x0)2 — y2, con x0 > 0.
Se tiene que
D ui (x, y) = grad(ui) = (—2x, — 2y) y Du2(x, y) = grad(u2) = (—2{x— x0 ), — 2y).
Buscamos las parejas (x,y) ∈ R2 tales que C(x,y) = 0, por lo tanto
Du1{x,y) ⋅ v = {—2x, —2y) ⋅ (v1,v2) = — 2x ⋅ v1 — 2y ⋅ v2,
Du2{x, y) ⋅ v = (—2(x — x0 ), —2y) ⋅ (^1,^2) = —2{x —x0 ) · v1 — 2y ⋅ v2.
Es decir, buscamos (x, y) ∈ R 2 que no pertenecen al mismo hemiplano para
—2x ⋅ v1 — 2y ⋅ v2 > 0, —2{x — x0) ⋅ v1 — 2y ⋅ v2 > 0.
Por lo tanto
θ = { (x,y) ∈ R2 0 < x < x0, y y=0}.
Figura 6: Gráfica de las funciones u1(x,y) y u2(x,y) donde x0 = 5
5
0
grad(u1)
-5
grad(u2)
-50
-100
5
0
5
10
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale
Observemos que los puntos 0, x0 ∈ θ son puntos críticos y puntos Pareto ópti­mo de
u1 y u2 respectivamente, además grad(ui) son colineales pero apuntan en direcciones
opuestas.
Ejemplo 5
Consideremos la esfera unitaria de dimensión 2, i.e.
S2 := {(x, y, z) ∈ R3| x2 + y2 + z2 = 1}
y u : S2 →R2 la proyección (x,y,z)  (x,y). Se sigue que grad(u) = (1,1), por lo tanto
las ternas (x,y,z) ∈ S2 para las que no existe v ∈ T(x,y,z)S2 tal que
grad(u) • v = v1 + v2 > 0, i.e > — 1,
v1
v2
es el conjunto
θ = {(x,y, z) ∈ S2 | z = 0, xy >0} = { θ+ ∪ θ- },
donde θ+ = {(x,y) ∈ S1|(x,y) > (0,0)} y θ- = {(x,y) ∈ S1|(x,y) < (0,0)} corresponden al primer y
tercer cuadrante de R2 respectivamente. Observemos que θ+ es el conjunto Pareto óptimo; más aún
si consideramos u = (u1,u2), donde u i es la proyección sobre su coordenada, entonces grad (ui)
apunta en direcciones opuestas.
Figura 7: Conjunto θ estable
0+
0-
grad (u2)
VI. Resultados
33
V. conclusiones
Los avances que presentamos responden al problema de optimización de varias
funciones de utilidad, en donde los argumentos de demostración que presentamos son
más simples que las ideas que plantea Smale en sus artículos. Además, de los resultados que hemos presentado es importante señalar los siguientes puntos que son que
tienen relevancia en la teoría económica:
ɶɶ Los teoremas de condición necesaria y condición suficiente son análo­gos a los
teoremas de cálculo elemental, en el sentido que para f : R → Rn, la condición
necesaria para que x0 sea Pareto óptimo es que f'(x0) = 0, que equivale a la ecuación 7. La condición suficiente es que f"(x0) < 0 que equivale a la condición (i) en
el teorema de condición suficiente.
ɶɶ La curva admisible cf. definición 10, induce una “trayectoria” donde los bienes forman una secesión que converge al punto Pareto óptimo. Esto se puede
entender como la existencia de una “negociación” que lleva al Pareto óptimo
dentro del espacio de elementos alcanzables.
ɶɶ La definición de conjunto Pareto crítico cf. definición 11, es una ge­neralización
de la definición clásica, es más interesante ya que además de la teoría de Cálculo en Variedades y Topología Diferencial, permite introducir la teoría de Sistemas Dinámicos que en las últimas décadas ha tenido importantes avances
teóricos y si seguimos por esta línea de investigación podríamos incorporar
algunos elementos de estabilidad estructural y esto aportaría predicciones más
confiables en los modelos económicos.
35
Referencias
M. Allais. A la recherche d'une discipline economique, volume 5.
Imprimerie Nationale, 1943.
Tom M. Apostol. Análisis Matemático. Addison-Wesley, 1983.
K. J. Arrow. An extension of the basic theorems of classical welfare economics. In J.
Neyman, editor, Proc. Second Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., pages
507–532, Berkeley, 1951. University of California Press.
G. Debreu. The coefficient of resource utilization. Econométrica, 19:273–292, 1951.
G. Debreu. Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Cowles
Foundation Monograph, 1959.
G. Debreu. Smooth preference. Econometrica, Vol. 40(No. 4):603 – 615, 1972.
G. Debreu. Economic theory in the mathematical mode. The American Economic Review, Vol. 74(No. 3):267 – 278, 1984.
G. Debreu. Sthepen Smale and the economic theory of general equilibrium. In From
Topology to Computation: Proc. of the Smale Fest (Berkeley, CA. 1990), pages
131–146, New York, 1993. Springer.
V. Guillemin and A. Pollack. Differential Topology. AMS Chelsea Publishing, 2010.
O. Lange. The foundations of welfare economics. Econometrica, (10):215–228, 1942.
J.N. Mather. Stability of C∞ mappings VI: The nice dimensions. In Proccedings of
Liverpool Singularities Sysposium (1969/70), vo-lume 192 of Lecture Notes in
Math, pages 207 – 253. Springer, Berlin, 1971.
J. C. Moore. General Equilibrium and Welfare Economics: An Introduction. Springer,
2007.
V. Pareto. Manuel d’ Economie Politique. Giard, Paris, 1909.
I.R. Porteous. Simple singularities of maps. In Proccedings of Li­verpool Singularities
Sysposium (1969/70), volume 192 of Lecture Notes in Math, pages 286 – 307.
Springer, Berlin, 1971.
S. Roman. Advanced Linear Algebra. Number 135 in GTM. Springer, 2005.
S. Smale. Differentiable dynamical systems. Bulletin of the Ame­rican Mathematical
Society, (Num. 73):747 – 817, 1967.
37
38
S. Smale. What is global analysis? The Amer. Math. Mont., Vol. 76(No. 1):4–9, 1969.
S. Smale. Global Analysis and Economics: Pareto Optimum and a Generalization of
Morse Theory. In M. Peixoto, editor, Dynamical Systems, pages 531–544, New
York, 1973. (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador. 1971), Academic Press.
S. Smale. Optimizing Several Functions. In Manifolds and Related Topics, pages 69–
75, Tokyo, 1975. (Proc. of Inter. Conf. on Manifolds and Related Topics in Topology), Univ. Tokyo Press.
S. Smale. Sufficient Conditions for an Optimum. In Dynamical Sys­tems: Warwick
1974, volume 468 of Lecture Notes in Mathematics, pages 287 – 292, Berlin,
1975. Proc. of a Symp. of Application of Topology and Dynamical Systems,
Springer.
S. Smale. Global Analysis and Economics. In K. J. Arrow and M. D. Intriligator, editors, Handbook of Mathematical Economics, volume 1, chapter 8, pages 331–
370. Noth - Holland, Amsterdam, 1981.
S. Smale. Gerard Debreu wins the Nobel Prize. The Mathematical Intelligencer, Vol.
6(No. 2):
61 – 62, 1984.
M. Spivak. Calculus on Manifolds. Benjamin, New York, 1965.
H. R. Varian. Microeconomic Analysis. Norton, New York, 1978.
E. R. Weintraub. How Economics Became a Mathematical Science. Duke University
Press Books, 2002.
Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale