2.2 Aplicaciones Lin..

Aplicaciones lineales
Bloque 2
Lección 2.2.-
“Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales”
Programa:
0.- Concepto de Homomorfismo. Propiedades. Homomorfimos de grupos, anillos y cuerpos.
1- Concepto de aplicación lineal entre espacios vectoriales f: E: →F Ejemplos.
Condición Necesaria y Suficiente de aplicación lineal. Propiedades derivadas.
2- Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Rango de una aplicación lineal
Teorema 1.- Si L es subespacio de E , entonces f(L) es un subespacio de F.
Teorema 2.- Im(f) es un subespacio vectorial de F.
Teorema 3.- Ker(f) es un subespacio vectorial de E.
Teorema 4.- Teorema de las dimensiones: dim (ker(f)) + dim Im(f)= dim E.
Teorema 5.- f inyectiva ⇔ ker(f)= {OE}.
Teorema 6.- f es suprayectiva ⇔ rango (f)=dim F.
Corolario.- Si dim (E)= dim(F): f inyectiva ⇔ f suprayectiva.
Teorema 7.- Si f es suprayectiva → rango (f)= dim E.
Teorema 8.- Si dim E=n, entonces E≈Kn.
3.- Aplicaciones lineales y la dependencia e independencia lineal.
Teorema 1.- Si {gi} i=1, ......,n es un sistema de generadores de E entonces {f(gi)} i=1,.....,n
es un sistema de generadores de f(E).
Teorema 2.- Si {x1,..... ,xn} son l.d. → {f(x1),___,f(xn)} son l.d.
Teorema 3.- Si f es inyectiva y {xi} i=1,.....,n son l.i. → {f(xi)} i=1,.....,n también son l.i.
4.- Expresión analítica de una aplicación lineal. Matriz de un homomorfismo.
Matriz de la suma, producto por un escalar y composición de aplicaciones
5.- Estructura algebraica de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales.
Bibliografía .“Álgebra Lineal” Juan de Burgos (cap VI).
“Problemas de Álgebra” A. de la Villa (cap IV)
“Álgebra lineal y Geometría” (López-Pellicer y García García
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1.- CONCEPTO DE APLICACIÓN LINEAL. PROPIEDADES.
Definición: Sean dos k-espacios vectoriales, E y F, decimos que la aplicación f: E → F es una
aplicación lineal u homomorfismo cuando:
1) f (x + y) = f(x) + f(y)
2) f(α·x) = α·f(x) ∀ α∈K,
∀ x,y ∈ E
Nota:
Cuando F = K se llama forma lineal.
Ejemplos:
1.- f: R → R
2.- f: P2(x) → P1(x) /
f(x)=3x es una aplicación lineal entre los R-espacios
vectoriales (R,+,·k).
∀ p(x) ∈P2 f(p(x)) = p´(x)
3.- f: R2 → R3 f(x,y)=(x-y ,2x ,x+y)
4.- f: V → V
f(x)= k·x
k∈K (Homotecia)
5.- V = {funciones reales integrales} F: V → W = R
……….
F(φ) = ∫ab φdx
Teorema. (Condición necesaria y suficiente de aplicaciones lineales).
Sea E, F dos K- espacios vectoriales:
F es aplicación lineal ⇔ f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
∀ α,β∈K y ∀ x,y∈V
Demostración:
→
f(αx + βy) = f(αx) + f(βy) = αf(x) + βf(y)
←
tomando α=1=β → f(x+y) = f(x) + f(y)
∀ α,βєk y ∀ x,yєE
tomando α=1,β=0 → f(αx + 0y) = αf(x) + 0f(y)
c.q.d.
Definición: Si f es:
1. Inyectiva → el homomorfismo se llama monomorfismo.
2. Suprayectiva → el homomorfismo se llama epimorfismo.
3. Biyectiva → el homomorfismo se llama isomorfismo.
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Propiedades:
1.-
f(0E) = 0F
En efecto, x + 0 = x → f(x + 0) = f(x) → f(x) + f(0) = f(x) → f(0E) = 0F
2.-
f(-x) = -f(x) ∀ xєE
x +(-x) = 0 →f(0) = f((x) + f(-x)) = f(x) + f(-x) = f(0) =0F
f(x-y) = f(x) – f(y)
3.-
→ f(-x) = -f(x) c.q.d.
∀ x,y ∈ E
por 2) f(x-y) = f(x+(-y)) = f(x) + f(-y) = f(x) + (-f(y)) = f(x) – f(y)
……….
2.- NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL.
Definición 1: Sea f:(E,+,.K) → (F,+,.K) llamamos imagen de la aplicación lineal y lo denotamos
por Im(f) al conjunto:
f(E) = Im (f) = {y∈F / ∃x x∈E, f(x) = y} ⊂ F
Definición 2: Sea f: E → F aplicación lineal definimos el núcleo del homomorfismo, y lo
denotamos por Ker(f) a:
Ker(f) = N(f) = { x∈E / f(x) = 0F } ⊂ E
Teorema 1: Sea f: E → F donde E, F son dos K-espacios vectoriales entonces, si L ⊂ E es un
subespacio de E ⇒ f(L) es subespacio de F.
Demostración:
q.d.
∀ α,β, y ∀ y1,y2∈f(L) } → αy1 + βy2∈f(L)
y1 ∈ f(L) → ∃ x1∈L / f(x1) = y1
y2 єf(L) → ∃ x2∈L / f(x2) = y2
Como L es subespacio:
∀ α,βєk
αx1 + βx2∈L → f(αx1 + βx2) ∈f(L) → αf(x1) + βf(x2) ∈f(L)
αy1 + βy2 ∈f(L) c.q.d.
→
Teorema 2: Im(f) es subespacio vectorial de F.
Demostración: Es consecuencia del teorema 1 pues Im(f) = f(E).
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Teorema 3: Ker(f) es subespacio vectorial de E.
Demostración:
q.d. ∀ x,y∈Ker(f) y ∀ α,β∈k } → αx +βy ∈ ker(f)
Si x,y ∈Ker(f) → f(x) = f(y) = 0F → αf(x) + βf(y) = 0F → f(αx + βy) = 0F → αx + βy ∈Ker(f).
Observación: Por la propia definición de Ker(f), también se escribirá Ker(f) = f-1({0F}).
Teorema 4: Sea f: E → F y sea V´ un subespacio vectorial de F siendo: f-1(V´) = {x ∈E / f(x)
∈V´}.
Corolario: Ker(f) es subespacio vectorial. En efecto pues Ker(f) = f-1(0F).
Definición: Rango de una aplicación lineal es la dimensión de la imagen o sea rg(f) = dim(Im(f))
= dim(f(E)).
Teorema de las dimensiones.Sea f: E → F una aplicación lineal se verifica que:
dim E = dim(Ker(f)) + dim (Im(f)).
Demostración:
Sea n = dim E y sea {x1, x2,…, xr} base de Ker(f), por el teorema de la ampliación de la
base podemos encontrar n-r vectores xr+1, xr+2,…,xn de forma que {x1,x2,…,xn} sean base de E.
a) {f(x1),f(x2),…,f(xn)} es un sistema generador de f(E) = Im(f), en efecto, si y∈Im(f) → ∃
x ∈E / f(x) = y como x ∈E → x = α1x1 + α2x2 + …+ αnxn → f(x) = ∑ni=1αif(xi) → y = ∑ni=1αif(xi) →
{f(x1),…,f(xn)} es sistema generador de Im(f).
b) Se puede suprimir f(x1),f(x2),…,f(xh) pues son 0.
Veamos que {f(xr+1),…,f(xn)} es un sistema l.i. o sea dim(Im(f)) = n – r con lo que quedará
demostrado el teorema pues dim E = h
dim f(E) = n – h.
Probemos pues que {f(xr+1),f(xr+2),…,f(xn)} son l.i.
Sea αr+1f(xr+1) +…+ αnf(xn) = 0F → f(∑i=r+1nαixi) = 0F → ∑nr+1αixi ∈N(f) → ∑nr+1αixi = β1x1 +…+
βrxr → β1x1 + β2x2 +...+ βrxr – αr+1xr+1 -…- αnxn = 0E ( como {x1,x1,…,xn} base de E) →
β1=β2=...βr=αr+1=…=αn=0 → {f(xi)}ni=r+1 es l.i. → Por tanto {f(xi)}ni=h+1 es base de Im(f) con lo
que queda demostrado el teorema.
Teoremas 5: Si f: E → F aplic. lineal entonces: f inyectiva ⇔ N(f) ={0E}
Demostración:
→
Sea x ∈N(f) → f(x) = 0F como f(0E) = 0F → f(x) = f(0E) →
←
Si x ∈N(f) → x = 0E ( por hipótesis ahora).
x = 0E
Sea f(x) = f(y) → f(x-y) = 0F → x – y ∈Ker(f) → x – y = 0E → x = y
→ f inyectiva.
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Teorema 6: Sea f: E →F, f es suprayectiva ⇔ rango f ≡ dim F
Corolario 1.- Si dim E = dim F entonces:
f suprayectiva ⇔ f inyectiva
Demostración:
→
En efecto, por el tª. de las dimensiones: dim E = dim Ker(f) + dim(Im(f)) y como f
suprayectiva → dim(Im(f)) = dim F → dim Ker(f) = 0 → f inyectiva.
←
f inyectiva → dim Ker(f) = 0 → dim Im(f) = dim E = dim F → f suprayectiva.
Corolario 2.- Dos espacios isomorfos tienen iguales dimensiones.
Demostración: En efecto si E ≈ F → E f inyectiva y suprayectiva.
f inyectiva → dim Ker(f) = {0} como f es suprayectiva → dim Im(f) = dim F } dim E =
dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) → dim E = 0 + dim (Im(f)) = dim F c.q.d
Teorema 7: Si f es suprayectiva → rango(f) = dim V
Teorema 8: Si dim V = n → V≈ Kn
3.- APLICACIONES LINEALES Y COMBINACIONES LINEALES. PROPIEDADES.
Teorema 1: Si {g1,g2,…,gn} son generadores de E → {f(g1),f(g2),…,f(gn) es un sistema de
generadores de f(E).
Demostración: Sea y∈f(E) → E x∈E / f(x) = y, donde x = ∑
aplico f → f(x) = ∑ni=1αif(gi) →
y = ∑ni=1αif(gi) es decir {f(gi),…,f(gn)} es un sistema generador de f(E).
n
i=1αigi
Teorema 2: Si {x1,x2,…,xn} son l.d. → {f(x1),…,f(xn)} son l.d.
Demostración: Sea α1f(x1) +…+ αnf(xn) = 0F q.d. ∃ αi≠0 para cierto i. Pero como xi son l.d. →∃ i
/ αi≠0 , ∑ni=1αixi = 0 → f(∑ni=1αixi )=∑ni=1αif(xi)) = f(0) = 0F.
Teorema 3:
Sea f inyectiva, si {x1,x2,…xn} es l.i. → {f(x1),…,f(xn)} es l.i..
n
Demostración: Sea ∑
i=1αif(xi)
= 0F → f(∑ni=1αixi) = 0F → ∑ni=1αixi ∈ Ker(f) y como si f es
inyectiva Ker(f)={ 0E } ∑ni=1αixi = 0E y como los {xi} son l.i. entonces αi = 0
∀i,
……………
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4.- EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN HOMOMORFISMO. MATRIZ DE UN
HOMOMORFISMO.
Sea f una aplicación lineal de Vn → V´n y sean dos bases
Bn = {ē1,ē2,…,ēn} de Vn
y
B´n = {ē´1,…,ē´m}
base de V´m.
Sea x∈Vn pretendemos hallar f(x) ∈ V´m
(su expresión analítica)
Si x∈Vn a sus coordenadas le llamamos x = ∑ni=1αiēi , a su imagen le llamamos
f(x) = ∑nj=1α´jē´j
Veamos:
x∈Vm , x = ∑ni=1αiēi → f(x) = ∑ni=1αif(ēi)
o sea que conociendo los transformados de una base de Vm tenemos la imagen de cualquier vector
xєVn.
Supongamos, pues que nos dan las coordenadas de las imágenes de una base de Vn:
f(ē1) = a11ē´1 + a12ē´2 + … + a1mē´m
f(ē2) = a21ē´1 + a22ē´2 + … + a2mē´m
…………………………………………
f(ēn) = an1ē´1 + an2ē´2 + … + anmē´m
⇔ f(ēi) = ∑mj=1aijē´j , i=1, …n.
Entonces dado
x∈Vn →
f(x) = ∑ ni=1αif(ēi) = ∑ ni=1 αi( ∑ mj=1aijē´j) =
(α1a11+α2a21+…+αnan1)ē´1+(α1a12+α2a22+…+αnan2)ē´2+………….+ +(α1a1m+α2a2m+…+αnanm)ē´m.
Pero como llamamos antes f(x) = ∑mj=1α´jē´j y las coordenadas son únicas tenemos
Ecuaciones paramétricas del homomorfismo f, respecto de las bases {ēi}ni=1
{ē´i}mi=1
α´1 = α1a11+α2a21+…+αnan1
α´2 = α1a12+α2a22+…+αnan2
……………………………
α´n = α1a1m+α2a2m+…+αnanm
donde (f(x))B´ = (α´1,α´2,…,α´m), xB = (α1,α2,…,αn) y
{aij} son las coordenadas de f(ēi) respecto de {ē´i}.
Se puede poner también en forma matricial de la forma:
(α´1,α´2,…,α´m) =
⎡ a11
⎢
⎢a 21
(α1,α2,…,αn) ⎢ ...
⎢
⎢
⎢a
⎣ n1
a12
a 22
...
an2
... ... a1m ⎤
⎥
... ..
⎥
... ... ... ⎥
⎥
⎥
a nm ⎥⎦
donde cada fila es la imagen de los
vectores {ei}
En forma simplificada una aplicación lineal es : Y = X. M(f)
Siendo Y la imagen de X y M(f) es la matriz de f respecto de la bases elegidas en E y F.
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Nota.- También se puede expresar en forma de columna:
(f(x))t = (M(f))t · x
…………..
5. - ESTRUCTURAS DE LAS APLICACIONES LINEALES.
Teorema 1:
El conjunto de las aplicaciones lineales de E en F con la suma de funciones y producto
por un escalar tiene estructura de Espacio Vectorial.
Demostración: Sea L(E,F;K) = {aplicaciones lineales E → F, e.v. sobre K}
Definimos la l.c.i.
(f,g) → f +g.
L(E,F;K) x L(E,F;k) → L(E,F;K)
(f+g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x∈E
a)
b)
llamada “suma”.
Es l.c.i. ↔ (f+g) ∈ L(E,F;K) (f+g)(αx+βy) ≡ α(f+g)(x) + β(f+g)(y).
Propiedades:
• Asociativa.
• Elemento neutro: f(x)=0F ∀ x∈E, f∈L(E,F;K).
• Elemento simétrico: f∈L(E,F;K) ∃ –f ∈L(E,F;K) / f+(-f)≡0
• Conmutativa: f+g≡g+f
Por tanto: (L(E,F;K),+,.K) es un grupo abeliano.
Definimos la l.c.e. ( producto por un escalar):
K x L(E,F;K) → L(E,F;K)
(α,f) → α·f
α·f es la aplicación definida:
∀x∈E (α·f)(x) = α·f(x)
Es ley de composición externa:
1. (α+β)·f ≡ α·f + β·f
2. α·(f+g) = α·f + α·g
3. α·(β·f) = (α·β)·f
4. 1·f ≡ f
5.
O sea (L(E,F;K),+,.K) es un espacio vectorial.
Teorema 2:
Los endomorfismos de un K-espacio vectorial E tienen estructura de Álgebra.
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Demostración: Sea E un K-e.v. y sean todas aplicaciones de E en si mismo f: E→E. End(E)={f: E
→E / f aplicación lineal}. Por el teorema 1 tenemos que (End(E),+,·k) es Espacio Vectorial.
Dotamos al conjunto End(E) de la l.c.i. gof definida:
f
g
E→E→E
(gof)(x) = g(f(x)) ∈ E ∀ x∈E
(End(E),o) es semigrupo
1. gof ∈End(E) pues (gof)(αx+βy) = g(αf(x)+βf(y)) = α(gof)(x) + β(gof)(x)
α,β∈k
2. Asociativa por serlo la composición de aplicaciones.
3. Elemento unidad I(x) = x
f o I = I o f = f ∀ f ∈ End(E)
Por tanto: (End(E),o) es semigrupo.
Además se da la propiedad distributiva:
f o (g+h) = (f o g) + (f o h)
∀ x,y∈E, ∀
∀ f,g,h ∈ End(E)).
Por ello (End(E),+,o) es un anillo y (End(E),+,.K) es un espacio vectorial
A ( End(E),+,.K ,o) se le dice que tiene estructura de Álgebra.
………
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