EL PODER DE LA DIVERSIFICACIÓN Y SUS LÍMITES

EL PODER DE LA DIVERSIFICACIÓN Y SU LÍMITE
Definimos la varianza de un portafolio de n activos como:
n
n
 p   wi wk ik
2
(1)
i 1 k 1
En la expresión anterior separamos los términos que contienen a las varianzas de los que
contienen a las covarianzas para quedar como:
n
2
n
wi
p
2
n
2
wi wk
i
i 1
ik
(2)
i 1k 1
k i
Ahora consideramos una diversificación “ingenua”, es decir, asignándole a cada uno de
los activos la misma proporción dentro del portafolio; esto es cada activo tiene una
ponderación igual a 1/n. Por lo tanto, para todo i y para todo k, se tiene:
wi  wk 
1
n
Entonces podemos escribir (2) como:
p
n
2
11 2 n n 11

 i  
 ik
i 1 n n
i 1 k 1 n n
k i
(3)
1 n 1 2 n n 11
   i  
 ik
n i 1 n
i 1 k 1 n n
k i
Definimos la varianza promedio de los n activos que componen la cartera como:
n
1
n
    i2
2
i 1
(4)
Y también tenemos que:
1 1 n1
1

nn
n n( n  1)
1
Escribimos (3) con la siguiente fórmula:
2
p
1 n
ni 1
2
n
n
1
n
n
1
1)
1 n( n
ik
(5)
i 1k
k i
Puesto que en un modelo con n activos tendremos n (n – 1) covarianzas, podemos
definir el promedio de las covarianzas como:
n
n
ik
ik
i 1 k 1 n( n
k i
1)
(6)
Introduciendo (6) en (5), la varianza del portafolio es igual a:
p
2
1 n 2 n1
  
 ik
n i 1
n

1
1

 2   1    ik

n i 1
n

n
(7)
Vemos en (7) que el primer término de la varianza del portafolio disminuye a medida
que aumenta el número de activos en el portafolio, mientras que el segundo término no
puede eliminarse aumentando el número de activos. Por esta razón, al primer término se
le denomina riesgo diversificable y al segundo riesgo no diversificable..
Si elevamos la diversificación (ingénua) incorporando un número muy grande de
activos, esto es, haciendo que n   , es claro que la parte diversificable del riesgo se
hace cero, mientras que la parte no diversificable es igual a la covarianza promedio.
Esto es:
lim  p 2   ik
n
Es decir, bajo las condiciones establecidas de diversificación ingenua, la varianza de un
portafolio tiende al promedio de las covarianzas cuando n   . Por más que
aumentemos el número de activos la varianza del portafolio no podrá estar por debajo
del promedio de las covarianzas. En otras palabras, el poder de la diversificación tiene
un límite inferior igual al promedio de las covarianzas de los activos.
Bibliografía: Bodie, Kane y Marcus, Investments, McGraw-Hill Internacional Editions,
Cuarta Edición, 1999, Capítulo 8.
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