Juegos, invariantes y coloraciones

Juegos, invariantes y coloraciones
José Miguel Manzano
8 de noviembre de 2010
P1. En cada una de las casillas de una cuadrı́cula 3 × 7 se coloca una ficha azul o una ficha roja.
Demostrar que siempre podemos encontrar un rectángulo cuyos vértices son cuatro fichas del mismo
color.
P2. Sobre un tablero de ajedrez se colocan 41 torres. Demostrar que:
a) Siempre podemos elegir cinco de forma que cualquiera de ellas ataque a las demás.
b) Siempre podemos elegir cinco de forma que ninguna de ellas se ataque entre sı́.
P3. En una reunión de 2009 personas, demostrar que hay dos personas que le han dado la mano
al mismo número de personas.
P4. Si a un tablero de ajedrez (8 × 8) le quitamos las casillas de dos esquinas opuestas, ¿es posible
rellenar las 62 casillas restantes con fichas de tamaño 2 × 1?
P5. Sobre los vértices de un hexágono regular, se colocan, en sentido antihorario, los números
{1, 0, 1, 0, 0, 0} y se permite realizar la siguiente operación: sumarle o restarle 1 a dos vértices
consecutivos. ¿Se puede, usando reiteradamente esta operación, llegar a que en todos los vértices
haya un cero?
P6. ¿Pueden separarse los números del 1 al 100 en doce subconjuntos de forma que cada uno de
ellos esté formado por términos de una misma sucesión geométrica?
P7. Consideremos los seis vértices de un hexágono regular y coloreemos los segmentos que determinan de dos colores. Demostrar que siempre podemos encontrar tres vértices de forma que los tres
lados del triángulo que determinan tienen el mismo color.
P8. Supongamos que, dentro de un cuadrado de lado uno, dibujamos nueve puntos. Probar que
siempre hay tres tales que el área del triángulo que determinan es menor o igual que 18 .
1
P9. Consideremos el siguiente tablero
-1
1
1
1
1
1
-1
1
1
1
1
-1
1
1
1
1
Se permite cambiar de signo cualquier fila, columna o diagonal principal tantas veces como se
quiera. ¿puede conseguirse que todos los elementos acaben siendo positivos?
P10. Miguel y Vı́ctor están jugando al siguiente juego: sobre una circunferencia hay dibujados 34
puntos y cada uno en su turno une dos de los puntos con un segmento (que no estuvieran unidos
antes). El que en su turno se encuentre con que cualquier punto está unido con otro, pierde.
Demostrar que si empieza Vı́ctor, e independientemente de lo que Vı́ctor haga, Miguel puede usar
una estrategia para ganar siempre.
P11. En un tablero 7 × 7 se colocan 8 fichas. ¿Pueden elegirse siempre dos de ellas que no estén
ni en la misma fila ni en la misma columna ni en la misma diagonal?
P12. En las casillas de una tabla 3 × 3 se escriben sin repetir los números del 1 al 9 y se suman los
seis números de tres cifras que se forman en las filas (de izquierda a derecha) y en las columnas
(de arriba abajo).
a) ¿Pueden colocarse los números al principio de manera que esa suma sea 2007? ¿y 2010?
b) Hallar los valores máximo y mı́nimo de esta suma.
P13. En un tablero de ajedrez colocamos 24 fichas ocupando las 3 filas superiores. Podemos cambiar
la posición de las fichas haciendo saltar una por encima de otra a un hueco libre en cualquier
dirección (horizontal, vertical o diagonal). ¿Se puede conseguir ası́ llevar las 24 fichas a las tres
filas inferiores?
P14. Consideremos un tablero 6 × 6 que se ha rellenado con fichas de dominó de tamaño 2 × 1.
a) Demostrar que cualquier eje vertical u horizontal de la cuadrı́cula atraviesa a un número par
de fichas.
b) Demostrar que al menos uno de esos ejes no atraviesa a ninguna ficha.
P15. Escogemos n + 1 números distintos desde el 1 al 2n. Demostrar que:
a) Entre esos números siempre hay dos que son primos entre sı́.
b) Entre esos números simpre hay uno que es múltiplo de otro.
¿Son ciertas las afirmaciones anteriores si sólo tomamos n números?
P16. Se llama tetraminó a cualquier figura compuesta por cuatro cuadrados del mismo tamaño
unidos entre sı́ por algunos de sus lados y de forma que no se solapen (como puede verse en la
figura).
2
a) Hallar todos los posibles tipos de tetraminó.
b) Para cada uno de los tetraminós encontrados responder a la siguiente pregunta: ¿Para qué valores de n ∈ N, se puede rellenar un tablero n × n con figuras de este tipo?
P17. ¿Se puede rellenar un tablero 10 × 10 con 25 tetrominós de cualquier tipo, excepto del “tipo
cuadrado” (el de la esquina superior derecha de la figura anterior)?
P18. Sea M el conjunto de puntos de Rn con coordenadas racionales y supongamos que podemos
movernos entre dos puntos de M siempre que éstos se ecuentren a distancia uno. ¿Para qué valores
de n todos los puntos de M se pueden alcanzar desde el origen mediante este tipo de movimientos?
P19. El intervalo [0, 1] se divide en subintervalos y éstos se pintan de rojo y azul de forma que no
1
hay dos puntos rojos que disten exactamente 10
. Demostrar que la longitud total de los subintervalos
1
azules es al menos 2 .
P20 (15 OIM, p5). Hay un montón de 2000 piedras y dos jugadores se turnan para quitar
alternadamente piedras respetando las siguientes reglas:
a) En cada jugada se pueden retirar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras.
b) No se puede retirar la misma cantidad de piedras que quitó el otro jugador la vez anterior.
En estas condiciones, ¿hay alguna estrategia que permita ganar a uno de ellos independientemente
de lo que haga el otro?
P21. Partiendo de que 0 < y1 < x1 , consideramos la sucesión definida por
xn + yn 2xn yn
(xn+1 , yn+1 ) =
,
2
xn + yn
Calcular los lı́mites de las sucesiones {xn } e {yn }.
P22. En un tablero n × n tenemos en cada casilla un cero y tenemos la siguiente jugada: elegir
una casilla y sumarle uno a cada elemento de su fila y su columna (ası́, en cada jugada sumamos
2n − 1 unos).
i) Probar que mediante la reiteración de estas jugadas puede conseguirse que en todas las casillas
haya un número impar
ii) Hallar en función de n el número mı́nimo de jugadas para lograr que en todas las casillas
haya un número impar.
3
P23. Sea n un número natural que no sea múltiplo de 2 ni de 3 y consideremos un tablero cuadrado
n × n. Probar que se puede escribir en cada casilla un número del 1 al n de forma que no haya dos
números iguales en ninguna fila, columna o diagonal.
P24. Sean a, b, c números naturales y consideremos el conjunto de puntos de coordenadas enteras
del cubo [1, a]×[1, b]×[1, c] ⊆ R3 (es decir, una cuadrı́cula tridimensional con a·b·c puntos). ¿Para
qué valores de (a, b, c) se puede encontrar un camino cerrado que una todos los puntos, formado
por segmentos paralelos a algún eje y de forma que cada uno de estos segmentos una dos de los
puntos?
P25. Supongamos que coloreamos cada punto de R2 usando tres colores distintos.
a) Probar que existen necesariamente dos puntos del mismo color a distancia 1.
b) Dar un número de colores para el que no existan puntos del mismo color a distancia 1.
P26. En un recinto cuadrado tenemos cuatro perros colocados en los vértices y un lobo en el
centro. El lobo se puede mover en cualquier dirección a una velocidad de 40 km/h, mientras que
cada perro se puede mover a 60km/h pero sólo se puede mover por los lados del cuadrado. Si el lobo
se encuentra a un perro puede matarlo sin problemas pero si se encuentra a dos, éstos lo matan.
¿Tiene el lobo una estrategia para escapar del recinto cuadrado? ¿Tienen los perros una estrategia
para que el lobo no escape sin morir en el intento?
P27 (16 OIM, p5). En un tablero de 2000 × 2001 las casillas tienen coordenadas (x, y) con
x, y ∈ Z, 0 ≤ x < 1999 e 0 ≤ y < 2000. Una nave en el tablero se mueve de la siguiente manera:
antes de cada movimiento, la nave está en una posición (x, y) y tiene una velocidad (h, v) donde
h, v ∈ Z. La nave escoge una nueva velocidad (h0 , v 0 ) de forma que h0 − h sea igual a −1, 0 ó 1
y v 0 − v sea igual a −1, 0 ó 1. La nueva posición de la nave será (x0 , y 0 ) donde x0 es el resto de
dividir x + h0 entre 2000 e y 0 es el resto de dividir y + v 0 entre 2001.
Hay dos naves en el tablero: la marciana y la terrestre (que quiere atrapar a la marciana).
Inicialmente cada nave está en una casilla del tablero y tiene velocidad (0, 0). Primero se mueve la nave terrestre y continúan moviéndose alternadamente. ¿Existe una estrategia que siempre
le permita a la nave terrestre atrapar a la nave marciana, cualesquiera que sean las posiciones
iniciales?
P28. Supongamos que un suelo embaldosado m × n está cubierto con baldosas de tamaños 2 × 2
y 1 × 4. En un momento dado, se rompe una de las baldosas 2 × 2 y el albañil que va a repararlo
se da cuenta de que sólo tiene repuestos de tamaño 1 × 4. ¿Puede reordenar las baldosas del suelo
sustituyendo la baldosa rota 2 × 2 por una nueva 1 × 4 sin romper ninguna de ellas?
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