Unidad 7 Anualidades diferidas

Unidad 7
Anualidades diferidas
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Calcularáelmontoproducidoporunaanualidaddiferida.
• Calcularáelvalorpresenteoactualdeunaanualidaddiferida.
• Calcularáelvalordelarentadeunaanualidaddiferida.
• Calcularáeltiempooplazodeunaanualidaddiferida.
Introducción
E
n la actualidad estamos muy acostumbrados a promociones en tiendas departamentales,
donde nos ofrecen mercancía, para pagar con mensualidades fijas durante 3 o 6 meses,
realizando el primer pago tres meses después de realizada la compra, o promociones en agencias
de viajes que ofrecen paquetes de viaje, con el eslogan “viaje ahora y pague después”; pues bien,
situaciones como éstas, desde el punto de vista de las matemáticas financieras, se conocen como
anualidades diferidas.
Revisaremos a lo largo de esta unidad los elementos de las anualidades diferidas,
asimismo estudiaremos cómo calcular el valor de las rentas, el número de pagos y el valor
presente de la anualidad.
7.1. Cálculo del monto
En la unidad 5 se definieron las anualidades diferidas como una serie de pagos iguales
realizados en periodos de tiempos iguales, siempre que el primer pago se efectúe cierto tiempo
después de la firma del convenio, por ejemplo: cuando se adquiere un compromiso de pago
el día de hoy, mediante abonos mensuales, pero realizando el primero de ellos dentro de 6
meses, esto lo podemos apreciar mejor si observamos la gráfica 7.1.
Firma del
contrato
R
R
R
R
R
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
Figura 7.1.
209
matemáticas Financieras
Si observas con cuidado la figura 7.1, podrás darte cuenta que los pagos se inician cierto
tiempo después de pactada la operación. Al tiempo que se deja antes de pagar se le conoce como
tiempo de aplazamiento, el cual representaremos con la letra m, y para efecto de operaciones,
debe estar expresado en las mismas unidades de tiempo que los pagos, es decir, si los pagos
son mensuales el tiempo de aplazamiento debe expresarse en meses.
Al igual que en el caso de las anualidades anticipadas, su monto y algunos otros de sus
valores, se pueden calcular por medio de las fórmulas para anualidades vencidas. La figura 7.2
nos permite visualizar la relación entre las anualidades vencidas y las diferidas.
Anualidad vencida
Firma del
contrato
R
R
R
R
R
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
Figura 7.2.
Si observas la figura 7.2, cuando se calcula el monto, el tiempo de
¿Por qué no
afecta el tiempo
de aplazamiento
para el cálculo
del monto?
aplazamiento no afecta el resultado, debido a que, al tratarse de tiempo
previo a los depósitos, durante ese tiempo no se ganaron y ni se pagaron
intereses, lo que nos permite definir el monto de una anualidad diferida
de la misma forma que el de una anualidad vencida; aunque en la realidad
es poco usual el cálculo del monto de una anualidad diferida, se puede
realizar con la misma fórmula que para una anualidad vencida:
(1+ i ) n −1
M =R
i
210
Donde:
M es el monto de la anualidad
R es la renta
i es la tasa por periodo de capitalización
n es el número de pagos
uniDaD
7
Ejemplos
1. Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas “Compre ahora
y pague hasta agosto”. El señor Gómez decidió aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes que
le entregaron inmediatamente. Si acordó pagar mediante 4 mensualidades de $975 cada
una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible mensualmente, ¿cuál es
el precio que se tendría que haber pagado por sus trajes si se comprara en la misma fecha
que se realizará el último pago?
Solución
Se identifican los datos:
R=$975
i=
0.18
= 0.015
12
n=4 pagos mensuales
Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones,
M=R
(1 + i)n − 1
i
M = 975
M = 975
(1 + 0.015)4 − 1
0.015
(1.015)4 − 1
0.015
= 975
1.061363551 − 1
0.015
= 975
0.061363551
0.015
= 975(4.0909034)
M = 3 988.63
Los trajes tendrán un costo de $3 988.63 para cuando termine de pagarlos.
2. Armando Rodríguez adquirió un equipo de cómputo, para lo cual le dieron la
oportunidad de liquidar con 5 pagos mensuales de $2 700 cada uno, realizando el primero
211
matemáticas Financieras
de ellos 6 meses después de efectuada la compra. Si Armando liquidara su equipo con un solo
pago el día que corresponde al último pago, ¿con cuánto pagará su deuda, considerando una
tasa de interés de 18% anual compuesto mensualmente?
Solución
Se identifican los datos:
R=$2 700
i=
0.18
= 0.015
12
n=5 pagos mensuales
Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
M=R
(1 + i)n − 1
i
M = 2 700
M = 2 700
(1 + 0.015)5 − 1
0.015
(1.015)5 − 1
0.015
= 2 700
1.077284004 − 1
0.015
= 2 700
0.077284004
0.015
=
= 2 700(5.152266933)
M = 13 911.12
El equipo tendrá un costo de $13 911.12 para cuando termine de pagarlos.
7.2. Cálculo del valor presente
Para el caso del valor presente, se considera como si se tratara de una anualidad vencida,
sin embargo es de suma importancia no perder de vista el tiempo diferido, que en este caso
212
uniDaD
7
genera intereses en este periodo, ya que el dinero se trasladó en el tiempo hacia el pasado, lo
cual podemos observar de manera sencilla en la figura 7.3.
Firma del
contrato
Anualidad vencida
R
R
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
R
R
R
Pagos
Figura 7.3.
Si obtenemos el valor presente como si se tratara de una
anualidad vencida, tendríamos después que trasladar dicho valor al
momento del inicio de la anualidad, es decir, a la fecha de la firma
del convenio, lo cual podemos lograr realizando un traslado de
valores tal como lo hicimos en la unidad 4 (ecuaciones de valor),
utilizando la fórmula para el cálculo del valor presente de una
¿Cómo afecta
el valor del tiempo
diferido para
calcular el valor
presente de una
anualidad diferida?
cantidad dada:
C=
M
= M(1 + i)− n
(1 + i)n
Donde n en realidad corresponde al tiempo diferido, el cual, como ya se mencionó,
se identifica con la letra m, y el monto (M) está determinado por el valor presente de una
1 − (1 + i)− n
anualidad vencida ( R
)
i
Se sustituyen estos elementos (monto y m) en la fórmula para valor presente:
C=M(1+i)–n
213
matemáticas Financieras
C=R
1 − (1 + i)− n
(1 + i)− m
i
Donde:
C=R
1 − (1 + i)− n
(1 + i)− m
i
C es el valor presente de la anualidad
R es la renta
i es la tasa por periodo de capitalización
n es el número de pagos
m es el número de periodos diferidos
Para poder definir el valor de m (periodos diferidos), es necesario trazar la gráfica
de tiempo.
Ejemplos
1. Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 años,
si el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si consideramos una tasa de 32%
capitalizable semestralmente.
Solución
Se identifican los datos y se traza la gráfica del tiempo (figura 7.4) para determinar
el valor de m:
R=$3 200
i=
0.32
= 0.16
2
n=6 (2)=12 pagos semestrales durante 6 años
m=2 semestres
214
uniDaD
Valor
actual
7
Anualidad vencida
m=2
0
1
R3
R2
R1
R4
R11
R12
Semestres
2
n = 12
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
Figura 7.4.
Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
C=R
1 − (1 + i)− n
(1 + i)− m
i
C = 3 200
C = 3 200
1 − (1 + 0.16)−12
(1 + 0.16)−2
0.16
1 − (1 .16)−12
(1 + 0.16)−2
0.16
C = 3 200
C = 3 200
1 − (0.168462844)
0.16
0.831537156
0.16
(0.743162901)
(0.743162901) = 3 200 (5.197107225) (0.743162901) =
.
C = 12 359.35
Significa que el valor actual es $12 359.35.
2. ¿Cuál es el precio de contado de una recámara que se compró con pagos mensuales
de $2 150 durante 24 meses, comenzando a pagarlos 6 meses después de entregada, con una
tasa de interés de 19.2% anual capitalizable mensualmente?
215
matemáticas Financieras
Solución
Se identifican los datos y se traza la gráfica del tiempo (figura 7.5) para determinar
el valor de m:
R=$2 150
i=
0.192
= 0.016
12
n=24
m=5
Valor
actual
Anualidad vencida
m=5
R1
0
1
2
3
4
5
R2
R3
R4
R23
R24
Meses
6
n = 24
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
Figura 7.5.
Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
C=R
1 − (1 + i)− n
(1 + i)− m
i
C = 2 150
C = 2 150
216
1 − (1 + 0.016) −24
(1 + 0.016)−5
0.016
1 − (1.016)−24
(1.016)−5
0.016
uniDaD
C = 2 150
C = 2 150
1 − (0.683204957)
0.016
0.316795043
0.016
7
(0.923701098)
(0.923701098)
C = 2 150(19.79969019) (0.923701098)=39 321.34
El precio de contado de la recámara es $39 321.34.
Ejercicio 1
1. La Señora Gómez pretende realizar 8 depósitos bimestrales de $8 000 en el banco,
realizando el primero de ellos dentro de 10 meses. ¿Cuál será el saldo en la cuenta después de
realizar el último depósito si el banco le paga 12% anual capitalizable bimestralmente?
2. Un ganadero estima que su ganado comenzará a producir dentro de seis meses,
con una producción con valor de $120 000 mensuales y que se mantendrá durante 10
años. ¿Cuál es el valor actual de la producción si se fija una tasa de 16% anual capitalizable
mensualmente?
3. Si se compra una camioneta mediante un programa de financiamiento que consiste
en realizar 48 pagos mensuales de $5 400 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses
después de entregada la camioneta, ¿cuál es el precio de contado del automóvil si la tasa de
interés es de 18% anual capitalizable mensualmente?
4. Adrián compró un equipo de sonido el cual se comprometió a liquidar con 10
pagos mensuales de $1 200 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses después de
adquirido el equipo, con una tasa de interés de 24% anual convertible mensual. ¿Cuál es
el precio de contado del equipo?
5. ¿Cuánto ahorrará una persona que realiza 20 depósitos mensuales de $9 000 cada
uno, si realiza el primero dentro de 8 meses en un banco que paga un interés de 30%
anual con capitalización mensual?
217
matemáticas Financieras
7.3. Cálculo de la renta
¿Cómo se puede
determinar el valor
de la renta de una
anualidad diferida?
Como ocurre con las anualidades vencidas y las anticipadas, en
las anualidades diferidas se presentan situaciones en las que se
requiere conocer el valor de las rentas a realizar, esto se puede
determinar despejándolo de las fórmulas para calcular el monto,
o calcular el valor presente, esto en función de los datos con
que se cuente; aunque ya se ha mencionado que en el caso de las anualidades diferidas
la mayoría de los cálculos se realizan en función del valor presente, por lo cual en esta
parte nos limitaremos a explicar el cálculo del valor de las rentas cuando se conoce el
valor presente de la anualidad.
Ejemplos
1. El señor Ramírez deposita el día de hoy $370 000 en una institución bancaria
que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de año y medio pueda
disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 años. ¿Cuál es el valor
de cada retiro mensual?
Solución
Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.6):
Valor
actual
Anualidad vencida
R1
0
1
16
17
R2
R3
R4
n = 36
Figura 7.6.
218
R36
Meses
18
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
m = 17
R35
uniDaD
7
C=$370 000
i=
0.18
= 0.015
12
n=36
m=17
Se sustituyen los datos en la fórmula:
C=R
1 − (1 + i ) − n
(1 + i ) − m
i
370 000 = R
370 000 = R
370 000 = R
1 − (1 + 0.015)−36
(1 + 0.015)−17
0.015
1 − (0.585089735)
0.015
0.414910265
0.015
(0.77638526)
(0.77638526)
370 000= R(27.6606843)(0.77638526)
370 000= R(21.4753476)
R=
370 000
21.4753476
= 17 229.06
Lo que significa que se pueden realizar retiros de $17 229.06.
.
2. Ana Patricia González contrajo una deuda con valor actual de $742 000, la cual
se comprometió a cubrir con 24 pagos bimestrales, realizando el primero de ellos un año
después de adquirida la deuda. Si la tasa de interés pactada es de 13.8% anual convertible
bimestralmente, ¿cuánto pagaría Ana Patricia cada bimestre?
Solución
Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.7):
219
matemáticas Financieras
Valor
actual
Anualidad vencida
R1
0
1
4
R2
R3
R4
n = 24
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
m=5
Figura 7.7.
C=$742 000
i=
0.138
= 0.023
6
n=24
m=5
Se sustituyen los datos en la fórmula:
C= R
1 − (1 + i)− n
(1 + i)− m
i
742 000 = R
742 000 = R
742 000 = R
1 − (1 + 0.023)−24
(1 + 0.023)−5
0.023
1 − (0.579408405)
0.023
0.420591595
0.023
(0.892527962)
(0.892527962)
742 000 = R(18.28659109)(0.892527962)
742 000 = R(16.32129388)
R=
742 000
16.32129388
= 45 462.08
Los pagos deben ser de $45 462.08 cada uno.
220
R
Bimestres
6
5
R
uniDaD
7
Ejercicio 2
1. Ricardo Pereira solicita un crédito para comprar una casa con valor de $1 536 000.
Si acuerda liquidarlo con pagos mensuales durante 15 años, y el banco le permite iniciar
sus pagos 6 meses después de otorgado el crédito, con una tasa de interés de 21% anual
convertible mensual, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual?
2. Lupita decide comprar un equipo de cómputo con valor de $28 750. La tienda ofrece
una promoción que consiste en realizar 18 pagos mensuales, iniciando los pagos 3 meses
después de realizada la compra. ¿Cuál es el importe de cada pago si la tienda aplica una tasa
de interés de 18% anual capitalizable mensualmente?
3. Una persona que se va a jubilar dentro de 6 años actualmente tiene depositados
$250 000 en una cuenta bancaria que le paga 15% de interés anual convertible semestralmente.
¿Cuánto podrá retirar semestralmente durante los 15 años siguientes a su jubilación?
4. Al realizar un estudio acerca del rendimiento de una plantación de café, se estima que
ésta tardará 4 años en producir, manteniendo dicha producción durante 20 años. Si el dueño de
la plantación considera que actualmente tiene un valor de $150 000 000, y se supone una tasa
de interés de 7% anual con capitalización anual, ¿de cuánto será la producción anual de dicha
plantación de café durante los 20 años que se mantendrá la producción?
5. Una inmobiliaria ofrece unos departamentos con valor de $520 000 en preventa,
mediante un crédito que consiste en mensualidades fijas durante 30 años, las cuales se
comenzarán a pagar cuando se entregue el departamento, lo cual se espera sea 10 meses
después de la firma del convenio. Si la inmobiliaria trabaja con una tasa de interés de 24%
anual compuesto mensualmente, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual?
7.4. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad
diferida
Cuando se requiere conocer el número de pagos o plazo de una anualidad diferida se puede
recurrir a las fórmulas para calcular su valor presente o el monto, sin embargo, tal como
ocurre con el valor de la renta, el monto se comporta como una anualidad vencida, por lo
tanto, la mayoría de los cálculos se enfocará al valor presente; en nuestro caso nos referiremos
únicamente a cálculos en los cuales el valor presente es un dato conocido.
221
matemáticas Financieras
Para determinar el número de rentas, simplemente despejaremos su valor de la fórmula
1 − (1 + i)− n
del valor presente C = R
(1 + i)− m
i
Ejemplo
1. Rosario Luna guarda en una cuenta bancaria $240 000 con una tasa de interés de
15% anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuántos retiros bimestrales de $12 000 podrá
realizar, comenzando dentro de 2 años?
Solución
Se identifican los datos y se realiza la gráfica de tiempo (figura 7.8):
C=$240 000
R=$12 000
i=
0.15
= 0.025
6
m=11 bimestres
Valor
actual
Anualidad vencida
R1
0
1
10
11
R2
R3
R4
Bimestres
12
n
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
m = 11
Figura 7.8.
222
Rn
uniDaD
7
Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo de una anualidad diferida:
C= R
1 − (1 + i)− n
(1 + i)− m
i
240 000 = 12 000
1 − (1 + 0.025)− n
(1 + 0.025)−11
0.025
240 000 1 − (1.025)− n
(1.025)−11
=
12 000
0.025
20 =
1 − (1.025)− n
(0.762144782)
0.025
20
0.762144782
=
26.24173316 =
1 − (1.025)− n
0.025
1 − (1.025)− n
0.025
(26.24173316)(0.025)=1–(1.025)–n
(1.025)–n=1–0.656043329
(1.025)–n=0.343956671
Ya que esto es una ecuación exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la
igualdad y se utilizan sus propiedades:
log(1.025)–n=log 0.343956671
(–n)log1.025=log 0.343956671
−n =
log 0.343956671
log 1.025
=
− 0.463496263
0.010723865
= − 43.22
multiplicando por –1:
n=43.22
Se requieren aproximadamente 44 pagos.
223
matemáticas Financieras
nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se
redondea el número de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizará el ajuste del
último pago, simplemente se redondeará el número de pagos al entero inmediato.
Otra opción es despejar primero el valor de n de la fórmula para calcular el valor
presente de la anualidad, obteniendo con esto una fórmula que nos permita calcular de
manera directa el número de rentas.
De esta forma el despeje quedaría:
C= R
R
1 − (1 + i)− n
(1 + i)− m
i
1 − (1 + i)− n
C
=
(1 + i)− m
i
1 − (1 + i)− n
C
=
i
R (1 + i)− m
−(1 + i)− n =
Ci
R (1 + i)− m
−1
Multiplicando por –1 y aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad obtenemos:


Ci
−n
− 1 (−1)
 −(1 + i) =
−m
R (1 + i)


(1 + i)− n = 1 −
Ci
R (1 + i)− m

log (1 + i)− n  = log 1 −

Ci
R (1 + i)
−m





Ci
(− n) log(1 + i) = log 1 −
−m 
 R (1 + i) 
(− n) =
224

log 1 −

Ci
R (1 + i)
log(1 + i)
−m



uniDaD
7
Multiplicando por –1 para que n sea positiva se tiene que:
n=−

log 1 −


−m 
R (1 + i ) 
Ci
log (1 + i )
Donde:
n es el número de pagos
C es el valor presente de la anualidad
R es la renta
i es la tasa por periodo de capitalización
m es el número de periodos diferidos
Ejemplo
Regina Luna compró una videograbadora con valor de $2 700, la cual acordó
pagar mediante pagos mensuales de $350 cada uno con un interés de 24% capitalizable
mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales se deben realizar para liquidar la videograbadora,
si el primero se realiza 3 meses después de haberla adquirido?
Solución
Se identifican los datos y se traza la gráfica de tiempo (figura 7.9):
C=$2 700
R=$350
i=
0.24
= 0.02
12
m=2
Valor
actual
Anualidad vencida
m=2
R1
0
1
2
R2
R3
Rn
R4
3
n
Meses
Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento
Figura 7.9.
225

 −

matemáticas Financieras
Se sustituyen en los datos en la fórmula que tiene despejado el número de rentas:
n=−

log 1 −



54
log  1 −


350 (1 + 0.02) 
350 (0.961168781) 

=−
=−
2 700 (0.02) 
log(1 + 0.02)
−2


961168781) 
log(1 − 0.160518857 )
n =−
−
log 1.02
log 1.02
n=−
log(0.839481143)
log 1.02
=−
− 0.075989054
0.008600171762
= − (−8.84) = 8.84
Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 9 pagos.
Ejercicio 3
1. La Señora Flores compra un automóvil con valor de $195 620, mediante un crédito
que se liquidará con pagos bimestrales de $11 500 cada uno con una tasa de interés de 18%
compuesto bimestralmente, con el acuerdo de realizar el primer pago un año después de
otorgado el préstamo. ¿Con cuántos pagos saldará su deuda la señora Flores?
2. Si solicitas un crédito por $150 000, el cual te comprometes a pagar mediante
abonos trimestrales de $9 750 cada uno y realizar el primero de ellos 6 meses después de
otorgado el crédito, con una tasa de interés de 20% anual compuesto trimestralmente, ¿con
cuántos pagos se saldará tu deuda?
3. Una empresa comercializadora requiere comprar una bodega para almacenaje, la
cual tiene un precio de $750 000. Si le otorgan un crédito hipotecario, la empresa pagará
con mensualidades de $8 750 cada una con una tasa de interés de 10.8% capitalizable
mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para liquidar el crédito si además acuerda
realizar el primero 8 meses después de entregada la bodega?
4. Para pagar una sala que tiene un costo de $18 000 se debe realizar una serie de
pagos mensuales por $6 500 cada uno, iniciando 6 meses después de la compra. ¿Cuántos
pagos se deben realizar para liquidar la sala si la tasa de interés es de 15% anual convertible
mensualmente?
226
uniDaD
7
5. La señora Martínez compró una cocina con valor de $35 000 mediante un crédito
que consiste en pagos mensuales de $4 500 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses
después, con una tasa de interés de 10.2% anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos
hay que realizar para saldar la deuda?
Problemas resueltos
1. Durante el mes de noviembre una tienda departamental anuncia su promoción anual
“compre ahora y pague hasta febrero”. La señora Urquiza decidió aprovechar la oferta y
comprar ropa que le entregaron inmediatamente (en noviembre). Si acuerda pagar mediante
6 mensualidades de $523 cada una (iniciando en febrero por la promoción), con un cargo de
21% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por la
ropa si se comprara en la misma fecha en que se realizará el último pago?
Solución
Se identifican los datos:
R=$523
i=
0.21
= 0.0175
12
n=6 pagos mensuales
Como se pide determinar el valor de la ropa en el momento del último pago, significa que se
debe calcular el monto de las rentas, por lo tanto el tiempo diferido no afecta para nada.
Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
M=R
(1 + i)n − 1
i
M = 523
(1 + 0.0175)6 − 1
0.0175
227
matemáticas Financieras
M = 523
(1.0175)6 − 1
0.0175
= 523
1.109702354 − 1
0.0175
= 523
0.109702354
0.0175
= 523(6.268705943)
M = 3 278.53
La ropa tendrá un costo de $3 278.53 para cuando termine de pagarla.
2. Calcula el valor actual de una renta semestral de $8 645 efectuada durante 10
años, si el primer pago se debe realizar dentro de 4 años y consideramos una tasa de 18%
capitalizable semestralmente.
Solución
Se identifican los datos y se traza la gráfica del tiempo (figura 7.10) para determinar
el valor de m:
R=$8 645
i=
0.18
= 0.09
2
n=10 (2)=20 pagos semestrales durante 10 años
m=7
Anualidad vencida
Valor
actual
R1
0
1
6
7
R2
R3
R4
R19
R20
Semestres
8
n = 20
Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento
m=7
Figura 7.10.
Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
228
uniDaD
C=R
1 − (1 + i)− n
i
C = 8 645
C = 8 645
C = 8 645
C = 8 645
7
(1 + i)− m
1 − (1 + 0.09)−20
0.09
1 − (1 .09)−20
0.09
(1 + 0.09)−7
(1 .09)−7
1 − (0.178430889)
0.09
0.821569111
0.09
(0.547034244)
(0.547034244) = 8 645(9.128545678)(0.547034244) =
C = 43 169.91
Significa que el valor actual es $43 169.91.
3. Alberto deposita el día de hoy $150 000 en una cuenta bancaria que le paga
18% anual convertible trimestralmente, para que dentro de 5 años pueda disponer de
una cantidad trimestral fija para gastos personales durante 7 años. ¿Cuál es el valor de
cada retiro trimestral?
Solución
Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.11):
Anualidad vencida
Valor
actual
R1
0
1
18
19
R2
R3
R4
R27
R28
Trimestres
20
n = 7(4) = 28
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
m = 19
Figura 7.11.
229
matemáticas Financieras
C=$150 000
i=
0.18
= 0.045
4
n=28
m=19
Se sustituyen los datos en la fórmula:
C=R
1 − (1 + i)− n
i
150 000 = R
150 000 = R
150 000 = R
(1 + i)− m
1 − (1 + 0.045)−28
0.045
(1 + 0.045)−19
1 − (0.291570691)
0.045
0.708429309
0.045
(0.433301788)
(0.433301788)
150 000 = R(15.74287353)(0.433301788)
150 000 = R(6.82141525)
R=
150 000
6.82141525
= 21 989.57
Lo que significa que se pueden realizar retiros de $21 989.57.
4. ¿Cuántos retiros bimestrales de $10 420 se podrán realizar, comenzando dentro
de año y medio, si la cuenta tiene actualmente $240 000 y gana un interés de 18% anual
capitalizable bimestralmente?
Solución
Se identifican los datos y se realiza la gráfica de tiempo (figura 7.12):
230
uniDaD
7
C=$240 000
R=$10 420
i=
0.18
= 0.03
6
m=8
Anualidad vencida
Valor
actual
R1
0
1
7
8
R2
R3
R4
Rn
Bimestres
9
n
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
m=8
Figura 7.12.
Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo de una anualidad diferida:
C=R
1 − (1 + i)− n
i
240 000 = 10 420
240 000
10 420
=
(1 + i)− m
1 − (1 + 0.03)− n
1 − (1.03)− n
0.03
23.03262956 =
23.03262956
0.789409234
29.17704603 =
0.03
(1.03)−8
1 − (1.03)− n
0.03
=
(1 + 0.03)−8
(0.789409234)
1 − (1.03)− n
0.03
1 − (1.03)− n
0.03
231
matemáticas Financieras
(29.17704603) (0.03) = 1–(1.03)–n
(1.03)–n = 1–0.87531138
(1.03)–n = 0.12468862
Ya que esto es una ecuación exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la
igualdad y se utilizan sus propiedades,
log(1.03)–n = log0.1248862
(–n)log 1.03 = log0.12468862
−n =
log 0.1248862
log 1.03
=
− 0.904173181
0.012837224
= −70.43
Multiplicando por –1:
n=70.43
Se requieren aproximadamente 71 pagos.
nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se
redondea el número de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizará el ajuste del
último pago, simplemente se redondeará el número de pagos al entero inmediato.
5. Una empresa compró equipo con valor de $985 620, el cual acordó liquidar mediante
pagos semestrales de $250 000 cada uno, con un interés de 32% capitalizable semestralmente.
¿Cuántos pagos se necesitan realizar para liquidar el equipo, si el primero de ellos se realiza
18 meses después de haberlo adquirido?
Solución
Se identifican los datos y se traza la gráfica de tiempo (figura 7.13):
C=$985 620
R=$250 000
232
uniDaD
i=
7
0.32
= 0.16
2
m=2
Valor
actual
Anualidad vencida
m=2
0
1
R3
R2
R1
Rn
R4
Semestres
3
2
n
Periodos diferidos o
tiempo de aplazamiento
Figura 7.13.
Recuerda que puedes sustituir los valores en la fórmula para determinar el valor presente
de la anualidad, y posteriormente se despeja el número de rentas (tal como el ejercicio anterior)
o bien se sustituyen los datos en la fórmula que tiene despejado el número de rentas, que
es lo que se presenta a continuación:
n=−
n=−

log 1 −


R (1 + i)
log(1 + i)
log 1 −

Ci
−m






157 699.2
log  1 −


250 000 (1 + 0.16) 
250 000 (0.743162901) 

=−
=−
985 620 (0.16)
log(1 + 0.16)
−2


743162901) 
log(1 − 0.848800174)
=−
−
log 1.16
log 1.16
n=−
log(0.151199826)
log 1.16
=−
−0.820448708
0.064457989
= −(−12.73) = 12.73
Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 13 pagos.
233
matemáticas Financieras
Problemas propuestos
1. Se estima que un pozo petrolero comenzará a producir dentro de 2 años, con
una producción con valor de $982 000 anuales y que se mantendrá durante 32 años.
¿Cuál es el valor actual de la producción, si se fija una tasa de 19% anual capitalizable
anualmente?
2. ¿Cuál es el monto de una deuda que se cubre con 10 pagos semestrales de $16 500,
si el primero de ellos se realiza 2 años después de formado el convenio con una tasa de interés
de 15% anual compuesto semestralmente?
3. La señora Martínez pretende realizar 7 depósitos de $68 000 trimestrales en
el banco, realizando el primero de ellos dentro de 12 meses. ¿Cuál será el saldo en la
cuenta después de realizar el último depósito si el banco le paga 24% anual capitalizable
trimestralmente?
4. Una persona que se jubilará dentro de 8 años actualmente tiene depositados $1 250 000
en una cuenta bancaria que genera 25% de interés anual convertible semestralmente. ¿Cuánto
podrá retirar semestralmente durante los 30 años siguientes a su jubilación?
5. El señor Fernández compra un automóvil con valor de $216 585, mediante un crédito
que se liquidará con pagos mensuales de $14 500 cada uno con una tasa de interés de 12%
anual compuesto mensualmente, acordando realizar el primer pago 6 meses después de que le
entregan el automóvil. ¿Con cuántos pagos saldará su deuda el señor Fernández?
234
uniDaD
7
Respuestas a los ejercicios
ejercicio 1
1. $68 663.75
2. $6 704 567.55
3. $170 641.90
4. $10 360.54
5. $229 901.92
ejercicio 2
1. $30 666.18
2. $1 889.86
3. $46 899.59
4. $17 345 308.95
5. $12 438.93
ejercicio 3
1. 31 pagos, aproximadamente.
2. 34 pagos, aproximadamente.
3. 193 pagos, aproximadamente.
4. 4 pagos, aproximadamente.
5. 9 pagos, aproximadamente.
235
matemáticas Financieras
Respuestas a los problemas propuestos
1. $4 326 603.32
2. $233 426.94
3. $570 780.96
4. $915 120.72
5. 18 pagos, aproximadamente.
236

Matemáticas inancieras
Unidad 7. Anualidades diferidas
Nombre:
Grupo:
Número de cuenta:
Profesor:
Campus:
Autoevaluación
1. El señor Ramírez piensa depositar $500 mensuales en una cuenta de ahorros comenzando
dentro de 8 meses. Si el banco paga 18% de interés anual capitalizable mensualmente, la cantidad que
habrá reunido después de 15 depósitos es:
a ) $6 341.04
b) $7 341.07
c ) $8 341.07
d) $9 341.07
2. Alberto compró un equipo de sonido en una promoción de compre ahora y comience a
pagar dentro de seis meses, con 12 pagos mensuales de $378. Si la tasa de interés es de 21% anual
con capitalización mensual, el precio actual del equipo de sonido que compró Alberto es:
a ) $3 722.25
b) $4 222.25
c ) $4 722.25
d) $5 222.25
3. Indica el número de pagos semestrales por $3 000 que se requieren para liquidar una deuda
de $50 243.64, si la tasa de interés es de 9.1% convertible semestralmente y si el primer pago se realiza
2 años después de autorizado el crédito:
a ) 44 pagos.
b) 45 pagos.
c ) 46 pagos.
d) 47 pagos.
237
4. El señor Martínez desea pagar un crédito con valor actual de $570 000 mediante 20 pagos
trimestrales, realizando el primero dentro de dos años. Si la tasa de interés es de 28% anual con
capitalización trimestral, el valor de los depósitos es:
a ) $86 397.41
b) $863 974.14
c ) $96 397.41
d) $963 974.14
5. ¿Cuántos pagos mensuales por $8 960 se requieren para pagar un automóvil con valor
de $258 300, si la agencia concede al comprador realizar el primer pago 7 meses después de que le
entregan el automóvil y una tasa preferencial de 12% anual compuesta mensualmente?
a) 34 pagos.
b) 35 pagos.
c) 36 pagos.
d) 37 pagos.
238