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Normas de Vectores y Matrices
Curso 2016-17
1
Definición y propiedades básicas
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una función
ν : V −→ R es una norma en V si ν satisface las siguientes
propiedades:
(i) x 6= 0 ⇒ ν(x) > 0.
(ii) ν(αx) = |α|ν(x), ∀α ∈ F.
(iii) ν(x + y ) ≤ ν(x) + ν(y ), ∀x ∈ V (desigualdad triangular)
Primeras propiedades
1
ν(0) = 0 porque ν(0) = ν(0x) = 0ν(x) = 0.
2
ν(−x) = ν(x) porque ν(−x) = | − 1|ν(x) = ν(x)
3
|ν(x) − ν(y )| ≤ ν(x − y )
2
Ejemplos: Normas `p o de Hölder
La norma `1 : MATLAB: norm(x,1)
n
P
|xi |.
kxk1 =
(a)
i=1
(b)
kxk2
La norma `2 os
norma euclı́dea:
n
P
=
|xi |2 .
MATLAB:
i=1
norm(x),norm(x,2)
(c)
La norma `∞ : MATLAB: norm(x,inf)
kxk∞ = máx |xi |.
1≤i≤n
(d)
La norma `p
norm(x,p)
n
1/p
P
kxkp =
|xi |p
.
i=1
general: MATLAB:
3
Equivalencia de normas
Definición
Sean µ y ν normas definidas en V , espacio vectorial sobre F. Se dice que
µ y ν son equivalentes si existen números reales positivos c1 y c2 tales que
c1 µ(x) ≤ ν(x) ≤ c2 µ(x), ∀x ∈ V .
Teorema
Todas las normas definidas en un espacio vectorial de dimensión finita
son equivalentes.
Consecuencia: Todas las normas definidas en un espacio vectorial de
dimensión finita generan la misma topologı́a. Es decir, los abiertos
respecto de una norma lo son respecto de cualquier otra .
4
Normas de matriz
Definición
Sean µ, ν y ρ normas definidas en Fm×n , Fn×p y Fm×p . Se dice
que µ, ν y ρ son consistentes si para todas matrices A ∈ Fm×n y
B ∈ Fn×p se verifica
ρ(AB) ≤ µ(A)ν(B).
En particular una norma ν definida en Fn×n se dice que es
consistente si ν(AB) ≤ ν(A)ν(B) para todas A, B ∈ Fn×n .
Una norma ν definida en Fn×n consistente también se dice que es
multiplicativa o submultiplicativa.
Una norma definida en Fn×n se dice que es una norma de matriz
si es consistente.
Si µ es una norma en Fn×n y ν en Fn entonces, µ es consistente o
compatible con la norma de vector ν si para toda A ∈ Fn×n y todo
vector x ∈ Fn
ν(Ax) ≤ µ(A)ν(x)
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La norma de Frobenius

1
2
m X
n
X
k A kF = 
| aij |2  MATLAB: norm(A,’fro’)
i=1 j=1
Norma de matriz: A ∈ Fm×n , B ∈ Fn×p
p
p
m P
m P
P
P
i
2
2
k AB kF =
|a bj | =
|ci∗ bj |2
i=1 j=1
i=1 j=1
p
m P
P
(C − S)
(kci k2 kbj k2 )2 ,
(cik = āik )
i=1 j=1
!
m n
n p
P P
P P
=
| aik |2
| bkj |2 =
≤
= k
i=1 k=1
A k2F k B
k=1 j=1
k2F .
Otras definiciones:
p
a) k A kF = tr(A∗ A)
b) k A k2F =k a1 k22 + k a2 k22 + . . . + k an k22 ,
6
Normas de matriz inducidas (Normas de Operador)
A ∈ Fm×n :
f (A) =
g (A) =
sup
k Ax km
k x kn
sup
k Ax km .
06=x∈Fn
kxkn =1
f (A) = g (A) para cada A ∈ Fm×n
f (A) =
máx
kxkn =1
k Ax km =
máx n
06=x∈F
k Ax km
.
k x kn
7
Un teorema importante
Teorema
Sea k · kn y k · km normas definidas en Fn y Fm , respectivamente.
a) La función real f definida en Fm×n por
f (A) =
máx
kxkn =1
k Ax km =
máx n
06=x∈F
k Ax km
k x kn
es una norma que denotaremos con k · km,n .
b) Si A ∈ Fm×n y B ∈ Fn×p entonces
kABkm,p ≤ kAkm,n kBkn,p .
En particular, si m = n entonces la norma k · kn,n es una
norma de matriz.
c) Las normas k · km,n , k · km y k · kn son consistentes.
d) Si µ es cualquier otra norma de matriz consistente con k · km
y k · kn , entonces k A km,n ≤8 µ(A), ∀A ∈ Fm×n .
Las normas inducidas `1 , `2 y `∞
1
La norma inducida por `1 :
k A k1 =
2
máx
1≤j≤n
n
X
i=1
máx
1≤j≤n
k aj k1 , MATLAB: norm(A,1)
La norma inducida por `∞ :
k A k∞ = máx
1≤i≤n
3
|aij | =
n
X
j=1
|aij |, MATLAB: norm(A,inf)
La norma inducida por `2 : Se le llama Norma Espectral.
MATLAB: norm(A)=norm(A,2)
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Sucesiones y series de matrices
Proposición
P∞
Si la serie numérica j=0 kAj k converge para alguna norma de matriz,
P∞
también converge la serie matricial j=0 Aj .
P∞
P∞
En particular, j=0 aj Aj es convergente si lo es j=0 |aj | kAkj .
∞
P
Si f (z) =
aj z j para |z| < R y hay una norma de matriz para la que
j=0
P∞
kAk < R, la serie j=0 |aj | kAkj converge y podemos definir
f (A) =
∞
X
aj Aj .
j=0
Por ejemplo
eA
sen(A)
cos(A)
P∞ 1 j
A , ∀A ∈ Fn×n . MATLAB: expm(A)
j=0
j!
P∞ (−1)j
=
A2j+1 , ∀A ∈ Fn×n . MATLAB: sin(A)
j=0
(2j + 1)!
P∞ (−1)j 2j
=
A , ∀A ∈ Fn×n . MATLAB: cos(A)
j=0
(2j)!
=
10
Una proposición útil (y previsible)
Proposición
Si A ∈ Fn×n y kAk < 1 para alguna norma de matriz, entonces
∞
P
−1
Aj y
In − A es invertible. En tal caso (In − A) =
j=0
k(In − A)−1 k ≤
1
.
1 − kAk
11