Soluciones a las actividades de cada epígrafe

1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 9
Pág. 1
Entrénate
1 a) ¿Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros?
)
)
–2; 1,7; √3; 4,2; –3,7 5; 3π; –2√5
b) Expresa como fracción aquellos que sea posible.
c) ¿Cuáles son irracionales?
a) No pueden expresarse como cociente: √3; 3π y –2√5.
)
)
b) –2 = – 4 ; 1,7 = 17 ; 4,2 = 42 – 4 = 38 ; –3,75 = – 375 – 37 = – 338 = – 169
2
10
9
9
90
90
45
c) Son irracionales: √3, –2√5 y 3π.
2 a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números:
)
√3 ; 0,8 7;
–√4; – 7 ; 1 ; 2π
3 √2
2
b) Ordénalos de menor a mayor.
c) ¿Cuáles son números reales?
)
a) Racionales: 0,87; – √4; – 7
Irracionales: √3 ; 1 ; 2π
3
2 √2
)
b) – 7 < – √4 < 1 < √3 < 0,87 < 2π
3
2
√2
c) Todos son números reales.
1 Sitúa cada uno de los siguientes números en los casilleros correspondientes. Ten en
cuenta que cada número puede estar en más de un casillero. (HAZLO EN TU CUADERNO).
)
107; 3,95; 3,95; –7; √20; 36 ;
9
NATURALES,
ENTEROS,
N
Z
FRACCIONARIOS
RACIONALES,
Q
IRRACIONALES
Unidad 1. Números reales
√ 49 ; –√36; 73 ; π – 3
107; 36/9 = 4
107; –7; 36/9 = 4; –√36 = – 6
)
3,95; 3,95; √4/9 = 2/3; 7/3
)
104; 3,95; 3,95; –7; 36/9 = 4; √4/9 = 2/3; –√36 = – 6; 7/3
√20 ; π – 3
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 11
Pág. 1
1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que
cumplen las condiciones indicadas en cada caso:
a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos.
[5, 6]
b) Mayores que 7.
(7, +@)
c) Menores o iguales que –5.
(– @, –5]
5
6
7
–5
2 Escribe en forma de intervalo y representa:
a) {x / 3 Ì x < 5}
[3, 5)
b) {x / x Ó 0}
[0, +@)
c) {x / –3 < x < 1}
(–3, 1)
d) {x / x < 8}
(–@, 8)
3
5
0
–3
0
1
8
3 Escribe en forma de desigualdad y representa:
a) (–1, 4]
{x / –1 < x Ì 4}
b) [0, 6]
{x / 0 Ì x Ì 6}
c) (– @, –4)
{x / x < –4}
d) [9, +@)
{x / x Ó 9}
–1
4
0
6
–4
9
4 Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números
que cumplen la desigualdad indicada en cada caso:
a) –3 Ì x Ì 2
a) [–3, 2]
–3
b) (–1, 5)
–1 0
c) (0, 7]
0
d) (–5, +@)
–5
Unidad 1. Números reales
c) 0 < x Ì 7
b) –1 < x < 5
0
2
5
7
0
d) x > –5
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
5 Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados.
b)
a)
–1 0
c)
–2
3
0
1
d)
5
0
a) [–1, 3]; –1 Ì x Ì 3
b) (1, 5]; 1 < x Ì 5
c) [–2, +@); x Ó –2
d) (– @, 4); x < 4
4
6 Indica cuáles de los números siguientes están incluidos en A = [–3, 7) o en
B = (5, +∞):
)
–3; 10; 0,5; 7; √5; 6, 3
)
–3; 0,5; √5; 6,3 están en A.
)
10; 7; 6,3 están en B.
Unidad 1. Números reales
Pág. 2
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 12
Pág. 1
Cálculo mental
1 Di el valor de k en cada caso:
a) ³√k = 2
b) √–243 = –3
c) 4√k = 2
3
d) √1 024 = 2
a) k = 23 = 8
b) –243 = (–3)5 8 k = 5
4
c) k = 24
3
d) 1 024 = 210 8 k = 10
k
k
2 Calcula las raíces siguientes:
a) ³√–8
b) 5√32
c) 5√–32
d) 8√0
e) 4√81
f ) ³√125
a) –2
b) 2
c) –2
d) 0
e) 3
f)5
1 Expresa en forma exponencial.
a) 5√x
b) ³√x 2
c) ¹5√a 6
e) 6√a 5
d) √a 13
a) x 1/5
b) x 2/3
c) a6/15
d) a13/2
e) a5/6
f ) a8/4 = a2
f ) 4√a 8
2 Calcula.
a) 41/2
b) 1251/3
c) 6251/4
d) 82/3
e) 645/6
f ) 363/2
a) 41/2 = √4 = 2
³ 125 = 5
b) 1251/3 = √
4 625 = 5
c) 6251/4 = √
³ 82 = 4
d) 82/3 = √
6 645 = 25 = 32
e) 645/6 = √
f ) 363/2 = √363 = 63 = 216
3 Expresa en forma radical.
a) x 7/9
b) n 2/3
c) b 3/2
d) a4/5
a) 9√x 7
³ n2
b) √
c) √b3
5 a4
d) √
4 Expresa en forma exponencial.
a) 5√x 2
b) √2
e) 5√(–3)3
f ) 4√a
g) (5√x –2 )
a) x 2/5
b) 21/2
c) 102
d) 201/2
e) (–3)3/5
f ) a1/4
g) x–6/5
h) a1/3
Unidad 1. Números reales
c) ³√106
3
d) 4√202
h) ¹5√a 5
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
5 Pon en forma de raíz.
Pág. 2
1/3
()
a) 51/2
b) (–3)2/3
c) 4
3
a) √5
³ (–3)2
b) √
c) 3 4
3
Unidad 1. Números reales
√
d) (a3)1/4
e) (a1/2)1/3
f ) (a –1)3/5
4 a3
d) √
e) ³√√a
5 a –3
f) √
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 13
Pág. 1
Halla con la calculadora:
1 a) √541
a) √541 = 23,259406…
2 a) 5√8,24
5 8,24 = 1,5247036…
a) √
3 a) 5√372
5 372 = 4,2391686…
a) √
b) 3272
c) ³√8,53
b) 3272 = 106 929
³ 8,53 = 2,0432257…
c) √
b) 6√586
c) 4√79,46
6 586 = 2,8927857…
b) √
4 79,46 = 2,9856379…
c) √
b) 4√2,15
c) ³√0,0082
4 2,15 = 2,5279828…
b) √
³ 0,0082 = 0,04
c) √
4 Calcula las raíces del ejercicio 2 utilizando la tecla ‰.
(Por ejemplo: 8,24 ‰ 5 Y
=).
5 Calcula las raíces del ejercicio 3 utilizando la tecla ‰.
(Por ejemplo: 37 ‰ 2 Å 5 =).
Unidad 1. Números reales
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 14
Pág. 1
Entrénate
1 Simplifica.
b) 6√23
a) 4√52
c) 8√34
e) ³√56
d) √74
4 52 = 52/4 = 51/2 = √5
a) √
6 23 = 23/6 = 21/2 = √2
b) √
8 34 = 34/8 = 31/2 = √3
c) √
d) √74 = 74/2 = 72
³ 56 = 56/3 = 52
e)√
4 118 = 118/4 = 112
f) √
f ) 4√118
2 Extrae factores.
a) √12
b) √50
c) ³√16
d) ³√24
e) √175
f ) 4√80
h) √300
g) √180
a) √12 = √22 · 3 = 2√3
b) √50 = √52 · 2 = 5√2
³ 16 = √
³ 24 = 2√
³2
c) √
³ 24 = √
³ 24 · 3 = 2√
³3
d) √
e) √175 = √52 · 7 = 5√7
4 80= √
4 24 · 5= 2√
45
f) √
g) √180 = √22 · 32 · 5 = 2 · 3 · √5
h) √300 = √22 · 3 · 52 = 2 · 5 · √3
3 Multiplica y simplifica.
a) √3 · √3
b) √2 · √5
c) √5 · √15
d) √5 · √20
e) √10 · √6
f ) √3 · √27
a) √3 · √3 = √3 · 3 = 3
b) √2 · √5 = √2 · 5 = √10
c) √5 · √15 = √5 · 3 · 5 = 5√3
d) √5 · √20 = √5 · 22 · 5 = 5 · 2 = 10
e) √10 · √6 = √2 · 5 · 2 · 3 = 2√15
f ) √3 · √27 = √3 · 33 = 32 = 9
4 Efectúa.
a) (³√2 )
3
b) (5√3 )
³2
a) (√
) = √³ 23 = 2
10
3
c) (√7
)3= √73 = 7 √7
³ 52 )2= √
³ 52·2 = 5 · √
³5
e) (√
Unidad 1. Números reales
c) (√7 )
3
d) (6√23 )
2
e) (³√52 )
2
53
b) (√
) = √5 310 = 310/5 = 32 = 9
10
6 23 ) = √
6 23·2 = 2
d) (√
2
4 22 )3= √
4 22·3 26/4 = 23/2 = 2 √2
f ) (√
f ) (4√22 )
3
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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Pág. 1
Entrénate
1 Escribe con solo una raíz.
a) √√5
³7
b) ³√√
c) ³√√10
45
a) √√5 = √
³ 7 = 9√7
b) ³√√
6 10
c) ³√√10 = √
2 Suma si es posible.
a) √2 + 7 √2
b) 3 √7 + √7
c) 2 √3 – √3
d) √2 + 5 √2 – 3 √3
a) √2 + 7 √2 = 8 √2
b) 3 √7 + √7 = 4 √7
c) 2 √3 – √3 = √3
d) √2 + 5 √2 – 3 √2 = 3 √2
3 Elimina el radical del denominador.
a) 1
√3
b) 2
√5
d) √2
√3
c) 3
√2
a) 1 = √3 = √3
3
√3 √3 · √3
b) 2 = 2 · √5 = 2 · √5
5
√5 √5 · √5
c) 3 = 3 · √2 = 3 · √2
2
√2 √2 · √2
d) √2 = √2 · √3 = √6
3
√3 √3 · √3
1 Simplifica.
a) ¹²√x 9
b) ¹²√x 8
c) 5√y10
d) 6√8
e) 9√64
4 x3
a) ¹²√x 9 = x 9/12 = x 3/4 = √
³ x2
b) ¹²√x 8 = x 8/12 = x 2/3 = √
5 y10 = y 2
c) √
68 =√
6 23 = 21/2 = √2
d) √
³4
e) 9√64 = 9√26 = 26/9 = 22/3 = √
8 81 = √
8 34 = 31/2 = √3
f)√
2 Saca del radical los factores que sea posible.
a) √x 3
b) ³√a5
c) √b5
d) ³√32x4
e) ³√81a3b5c
f ) 5√64
a) √x3 = x √x
³ a5 = a √
³ a2
b) √
c) √b5 = b2 √b
³ 32x 4 = √
³ 25x 4 = 2x √
³ 4x
d) √
³ 81a 3b5c = √
³ 34 a 3 b 5c = 3ab √
³ 3b 2c
e) √
5 64 = √
5 26 = 2 √
52
f) √
Unidad 1. Números reales
f ) 8√81
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
3 Multiplica y simplifica.
a) √2 √3 √6
b) ³√a ³√a2 ³√a4
Pág. 2
√ √ 53
d) 4 3
5
c) 6√x 6√x 2
4
a) √2 √3 √6 = √2 · 3 · 6 = √62 = 6
³a √
³ a2 √
³ a4 = √
³ a · a2 · a4 = √
³ a7 = a2 √
³a
b) √
6x √
6 x2 = √
6 x · x 2 = x 3/6 = x1/2 = √x
c) √
d) 4 3
5
√ √ 53 =√ 35 · 53 = √1 = 1
4
4
4
4 Extrae factores y suma si es posible.
a) √12 + √3
b) √18 – √2
c) √45 – √20
d) 2 √6 – √8
a) √12 + √3 = 2 √3 + √3 = 3 √3
b) √18 – √2 = 3 √2 – √2 = 2 √2
c) √45 – √20 = 3 √5 – 2 √5 = √5
d) 2 √6 – √8 = 2 √6 – 2 √2
Unidad 1. Números reales
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 16
Pág. 1
Cálculo mental
Expresa en notación científica los siguientes números:
a) 340 000
b) 0,00000319
c) 25 · 106
d) 0,04 · 109
e) 480 · 10–8
f ) 0,05 · 10–8
a) 340 000 = 3,4 · 105
b) 0,00000319 = 3,19 · 10–6
c) 25 · 106 = 2,5 · 107
d) 0,04 · 109 = 4 · 107
e) 480 · 10–8 = 4,8 · 10–6
f ) 0,05 · 10–8 = 5 · 10–10
Unidad 1. Números reales
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 17
Pág. 1
1 Escribe estos números en notación científica:
a) 13 800 000
b) 0,000005
c) 4 800 000 000
d) 0,0000173
a) 1,38 · 107
b) 5 · 10–6
c) 4,8 · 109
d) 1,73 · 10–5
2 Calcula mentalmente y comprueba con la calculadora.
a) (2 · 105) · (3 · 1012)
b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)
c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017)
d) (8 · 1012) : (2 · 1017)
e) (9 · 10–7) : (3 · 107)
f ) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)
g) (5 · 10–7) · (8 · 10–9)
a) 6 · 1017
b) 3 · 10–12
c) 6,8 · 109
e) 3 · 10–14
f) 2,2 · 1013
g) 4 · 10–15
d) 4 · 10–5
3 ¿Cuál de las siguientes medidas es más precisa (tiene menos error relativo)? Di, en
cada una, de qué orden es el error absoluto cometido:
a) Altura de Claudia: 1,75 m.
b) Precio de un televisor: 1 175 €.
c) Tiempo de un anuncio: 95 segundos.
d) Oyentes de un programa de radio: 2 millones.
a) Altura: 1,75 m 8 Error absoluto < 0,005 m
b) Precio: 1 175 € 8 Error absoluto < 0,5 €
c) Tiempo: 95 s 8 Error absoluto < 0,5 s
d) N.° de oyentes: 2 millones 8 Error absoluto < 500 000
La de menor error relativo es la b), porque tiene más cifras significativas.
4 Di una cota del error absoluto en cada una de estas medidas: 53 s; 18,3 s; 184 s; 8,43 s.
¿En cuál de ellas es mayor el error relativo?
53 s 8 Ea < 0,5 s
18,3 s 8 Ea < 0,05 s
184 s 8 Ea < 0,5 s
8,43 s 8 Ea < 0,005 s
El mayor error relativo se da en 53 s, porque es la medición que tiene menos cifras significativas.
Unidad 1. Números reales
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 18
■ Practica
Números reales
1
a) Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:
)
41 ; 49 ; 53,7;
3,2; √12; ³√5; π
√
2
13
b) ¿Alguno de ellos es entero?
c) Ordénalos de menor a mayor.
)
³ 5; π
Irracionales: √12 ; √
a) Racionales: 41 ; √49 ; 53,7; 3,2
2
13
b) El único entero es √49 (= 7).
³ 5 < 41 < 3,2 < √12 < √49 < 53,)7
c) π < √
2
13
2
Di cuáles de los siguientes números son irracionales:
)
–3 ; 1,73;
√3 ; π; √9 ; 1 + √5 ; 3,7
4
2
Son irracionales √3 , π y 1 + √5 .
2
3
Indica cuáles de los siguientes números pueden expresarse como cociente de
dos números enteros y cuáles no:
)
21,5; √7 ; 2,010010001…; ³√– 8; 2 + √3 ; 0,5; 2π – 1
Los números que pueden expresarse como cociente de dos números enteros son los racionales, y los que no, irracionales:
)
³ – 8; 0, 5
Racionales: 21,5; √
Irracionales: √7 ; 2,010010001…; 2 + √3 ; 2π – 1
4
Clasifica estos números en naturales, enteros, racionales y reales:
3
–3
7,23
–2
√2
4
1
³√–1
π +1
0
–4
3
11
2
2,48
18
√5
9
5√–2
–1
1
1,010203…
1 + √2
N 8 3; 0; 2; 18; 1
³ –1 ; √
5 –2
Z 8 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √
³ –1 ; √
5 –2; – 3 ; 7,23; 1 ; 11; 2,48
Q 8 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √
4
3 9
3
³ –1 ; √
5 –2; – ; 7,23; 1 ; 11; 2,48;
Á 8 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √
4
3 9
2;
π
+
1;
1
+
2;
1,010203…
√
√
Unidad 1. Números reales
Pág. 1
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
Intervalos y semirrectas
5
6
Pág. 2
Describe cuáles son los números que pertenecen a los intervalos siguientes:
A = (–2, 3)
B = [5, 10]
C = [0, 7)
D = (–1, 4]
E = (–∞, 2)
F = [3, +∞]
A = {x / –2 < x < 3}
B = {x / 5 Ì x Ì 10}
C = {x / 0 Ì x < 7}
D = {x / –1 < x Ì 4}
E = {x / x < 2}
F = {x / 3 Ì x}
Considera los números siguientes: 1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1
a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4).
b) ¿Y cuáles pertenecen al intervalo [2, 4]?
c) ¿Y cuáles al (2, +@)?
a) Al intervalo [2, 4) pertenecen el 2; 2,3; 3; 3,9.
b) En el intervalo [2, 4] están el 2; 2,3; 3; 3,9; 4.
c) En el intervalo (2, +@) se encuentran los números 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1.
7
Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen estas
condiciones, en cada caso:
a) 0 < x < 1
b) x Ì –3
c) x > 0
d) –5 Ì x Ì 5
e) x > –5
f)1Ìx<3
a) (0, 1)
0
b) (– @, –3]
e) (–5, +@)
f ) [1, 3)
8
0
–3
c) (0, +@)
d) [–5, 5]
1
0
0
–5
5
–5
0
1
3
Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:
a) (1; 2,5)
b) [–2, 3]
c) [–7, 0)
d) [–3, +@)
e) (2, +@)
f ) (–5, 2]
a) {x / 1 < x < 2,5}
b) {x / –2 Ì x Ì 3}
c) {x / –7 Ì x < 0}
–2
–2
–1
–1
00
2,5 33
22 2,5
11
33
00
00
–5
–5
22
00
–3
–3
e) {x / x > 2}
Unidad 1. Números reales
11
–7
–7
d) {x / –3 Ì x}
f ) {x / –5 < x Ì 2}
00
22
00
22
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
9
Expresa como intervalos y mediante desigualdades cada uno de los conjuntos
de números representados:
b)
a)
c)
a)
b)
–2
5
2
7
–2
5
c)
d)
10
d)
intervalo
3
2
7
–1
3
–1
desigualdad
[–2, 5)
{x / –2 Ì x < 5}
[3, +@)
{x / x Ó 3}
[2, 7]
{x / 2 Ì x Ì 7}
(–@, –1)
{x / x < –1}
Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso:
a) Menores o iguales que 3.
b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1.
c) Mayores que 2, pero menores que 3.
d) Mayores que 5.
a) (– @, 3]
b) (–1, 0]
3
–1 0
c) (2, 3)
d) (5, +@)
2
3
5
Potencias y raíces
11
Expresa en forma exponencial.
a) ³√52
e) √a –1
b) 5√a 2
f ) 4√a 2
c) 8√a 5
g) √a
d) ³√x
h) √2
a) 5 2/3
e) a –1/2
b) a 2/5
f ) a 2/4 = a 1/2
c) a 5/8
g) a 1/2
d) x 1/3
h) 2 1/2
12
Expresa en forma de raíz.
a) 32/5
b) 23/4
c) a 1/3
d) a 1/2
e) x 1/4
f ) a 3/2
g) x –1/2
h) x –3/2
5 32 = √
59
a) √
4 23 = √
48
b) √
³a
c) √
d) √a
4x
e) √
f ) √a 3
g) √x –1
h) √x –3
Unidad 1. Números reales
Pág. 3
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
13
Calcula.
Pág. 4
a) 251/2
b) 271/3
c) 1252/3
d) 813/4
e) 95/2
f ) 165/4
g) 493/2
h) 85/3
a) 25 1/2 = (5 2) 1/2 = 5 2/2 = 5
b) 27 1/3 = (3 3) 1/3 = 3 3/3 = 3
c) 125 2/3 = (5 3) 2/3 = 5 3 · 2/3 = 5 2 = 25
d) 81 3/4 = (3 4) 3/4 = 3 3 = 27
e) 95/2 = (32)5/2 = 32 · 5/2 = 35 = 243
f ) 165/4 = (24)5/4 = 24 · 5/4 = 25 = 32
g) 493/2 = (72)3/2 = 72 · 3/2 = 73 = 343
h) 85/3 = (23)5/3 = 23 · 5/3 = 25 = 32
14
Calcula las siguientes raíces:
a) 4√16
b) 5√243
c) 7√0
d) 4√1
e) ³√–1
f ) 5√–1
g) ³√–27
h) √144
i) 6√15 625
4 16 = √
4 24 = 2
a) √
5 243 = √
5 35 = 3
b) √
70 =0
c) √
41 =1
d) √
³ –1 = –1
e) √
5 –1 = –1
f) √
³ –27 = √
³ –(3)3 = –3
g) √
h) √144 = √122 = 12
6 15 625 = √
6 56 = 5
i) √
Unidad 1. Números reales
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 19
15
k
Pág. 1
Di el valor de k en cada caso:
√
k
e) ³√k = –1
k
b) k = (–2)3 8 k = –8
c) k = 3
2
k
e) k = (–1)3 8 k = –1
f)k
d) √–125 = –5
a) √35 = 3 8 k = 5
d) √(–5)3 = –5 8 k = 3
16
c) 4√k = 3
2
k
f ) 49 = 7
64 8
b) ³√k = –2
a) √243 = 3
Obtén con la calculadora.
b) ³√–173
c) 4√143
a) 5√9
d) 4√75,3
()
√( 78 )
e) 6√603
2
4
8 k = 81
16
= 7 8 k=2
8
f ) ³√0,062
5 9 = 9 1/5 ≈ 1,55
a) √
³ –173 ≈ –5,57
b) √
4 143 = 14 3/4 ≈ 7,24
c) √
4 75,3 ≈ 2,95
d) √
6 603 ≈ 2,91
e) √
³ 0,062 ≈ 0,15
f)√
17
Halla con la calculadora.
b) 81/2
c) 0,022/3
a) 283/4
a) 283/4 ≈ 12,17
d) 0,83/5 ≈ 0,87
d) 0,83/5
e) 125/2
b) 81/2 ≈ 2,83
e) 125/2 ≈ 498,83
f ) 3,51/5
c) 0,022/3 ≈ 0,07
f ) 3,51/5 ≈ 1,28
Radicales
18
Simplifica.
a) 6√9
19
d) 4√49
e) 6√125
69 =√
6 32 = 32/6 = 31/3 = √
³3
a) √
b) √625 = √252 = 25
5 24 = √
5 16
c) ¹5√212 = 212/15 = 24/5 = √
4 49 = √
4 72 = 72/4 = 71/2 = √7
d) √
6 125 = √
6 53 = 53/6 = 51/2 = √5
e) √
5 315 = 315/5 = 33 = 27
f)√
f ) 5√315
Simplifica los siguientes radicales:
a) ¹0√a 8
20
c) ¹5√212
b) √625
b) 4√a 12
c) ¹²√a 3
d) 8√a 2 b 2
e) ³√a 6 b 6
5 a4
a) a 8/10 = a 4/5 = √
b) a 12/4 = a 3
4a
c) a 3/12 = a 1/4 = √
4 ab
d) (ab)2/8 = (ab)1/4 = √
e) (ab)6/3 = (ab)2 = a 2b 2
³ ab 2
f ) a 2/6 · b 4/6 = a 1/3 · b 2/3 = √
Multiplica y simplifica el resultado.
b) ³√a · ³√a 2
c) √5 · √10 · √8
a) √2 · √3 · √6
f ) 6√a 2 b 4
d) √a · √a 3
a) √2 · √3 · √6 = √2 · 3 · 6 = √36 = 6
³a ·√
³ a2 = √
³ a · a2 = √
³ a3 = a
b) √
c) √5 · √10 · √8 = √5 · 10 · 8 = √400 = 20
d) √a · √a3 = √a · a3 = √a4 = a 2
Unidad 1. Números reales
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
21
Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:
a) ³√16
c) 4√210
b) √28
d) √8
e) √200
Pág. 2
f ) √300
³ 16 = √
³ 24 = 2 √
³2
a) √
b) √28 = √7 · 22 = 2 √7
4 210 = √
4 24 · 24 · 22 = 4 √
44
c) √
d) √8 = √23 = 2√2
e) √200 = √52 · 23 = 5 · 2 √2 = 10 √2
f ) √300 = √22 · 52 · 3 = 10√3
22
Reduce a un solo radical.
a) √√13
b) √³√2
c) 5√³√15
d) ³√4√25
e) √√33
f ) 5√√11
4 13
a) √
62
b) √
c) ¹5√15
d) ¹²√25
4 33
e) √
f ) ¹0√11
e) (√√2 )
f ) (³√√2 )
23
Calcula y simplifica en cada caso:
a) (√2 )
10
b) (³√2 )
4
c) (4√32)
8
d) 4√√8
10
a) 2 5 = 32
³ 24 = 2 √
³2
b) √
4 316 = 3 4 = 81
c) √
88
d) √
4 210 = √25
e) √
6 26 = 2
f) √
24
Resuelto en el libro de texto.
25
Expresa como un solo radical.
a) 2√45 – 3√20
b) 5√48 + √12
c) 3√28 – 5√7
6
d) ³√81 – ³√24
a) 2√45 – 3√20 = 2√32 · 5 – 3√22 · 5 = 2 · 3√5 – 3 · 2√5 = 6√5 – 6√5 = 0
b) 5√48 + √12 = 5√24 · 3 + √22 · 3 = 5 · 22 · √3 + 2√3 = 20√3 + 2√3 = 22√3
c) 3√28 – 5√7 = 3√22 · 7 – 5√7 = 3 · 2√7 – 5√7 = 6√7 – 5√7 = √7
³ 81 – √
³ 24 = √
³ 34 – √
³ 23 · 3 = 3√
³ 3 – 2√
³3 =√
³3
d) √
26
Efectúa.
a) 2√8 + 4√72 – 7√18
b) √12 + √75 – √27
c) √32 + 3√50 – 2√8
d) 3√2 + √18 – 3√8
a) 2√23 + 4√32 · 23 – 7√32 · 2 = 2 · 2√2 + 4 · 3 · 2√2 – 7 · 3√2 = 4√2 + 24√2 – 21√2 =
= (4 + 24 – 21)√2 = 7√2
b) √22 · 3 + √52 · 3 – √33 = 2√3 + 5√3 – 3√3 = (2 + 5 – 3)√3 = 4√3
c) √25 + 3√2 · 52 – 2√23 = 22 · √2 + 3 · 5√2 – 2 · 2√2 = 4√2 + 15√2 – 4√2 = 15√2
d) 3√2 + √32 · 2 – 3√23 = 3√2 + 3√2 – 3 · 2√2 = 3√2 + 3√2 – 6√2 = (3 + 3 – 6)√2 = 0
27
Suprime el radical del denominador y simplifica.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 3
√2
√6
√12
√15
a) 2 = 2√2 = √2
2
√2
c) 6 = 6√12 = √12 = 2√3 = √3
12
2
2
√12
Unidad 1. Números reales
b) 4 = 4√6 = 2√6
6
3
√6
d) 3 = 3√15 = √15
15
5
√15
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
28
Suprime el radical del denominador.
c) 1
b) 1
a) 3
³√5
8√a 5
³√x
Pág. 3
d) 5
4√2
³
³ 2
³ 2
a) 3 = 3 · √5 = 3 · √5 = 3√25
³5 ·√
³ 52
³ 53
³5
5
√
√
√
8 3
8 3
8 3
= √a = √a
b) 1 = √a
8 a5 · √
8 a3
8 a8
8 a5
a
√
√
√
³ 2
³ 2
³ 2
c) 1 = √x
= √x = √x
³x ·√
³ x2
³ x3
³x
x
√
√
√
4
4 3
4 3
d) 5 = 5 · √2 = 5√2 = 5√8
42 ·√
4 23
4 24
42
2
√
√
√
Números aproximados. Notación científica
29
Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del
error absoluto y otra del error relativo de la aproximación que des.
a) Oyentes de un programa de radio: 843 754
b) Precio de un coche: 28 782 €
c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,0375 segundos.
d) Gastos de un ayuntamiento: 48 759 450 €
°E.A. < 5 000
a) 840 000 oyentes ¢
£E.R. < 0,0059
°E.A. < 500
b) 29 000 € ¢
£E.R. < 0,017
°E.A. < 0,005
c) 0,04 segundos ¢
£E.R. < 0,13
°E.A. < 500 000
d) 49 000 000 € ¢
£E.R. < 0,01
30
31
Escribe en notación científica.
a) 752 000 000
b) 0,0000512
c) 0,000007
d) 15 000 000 000
a) 7,52 · 108
b) 5,12 · 10–5
c) 7 · 10–6
d) 1,5 · 1010
Expresa en notación científica.
b) 75 · 10–4
a) 32 · 105
d) 458 · 10–7
e) 0,03 · 106
c) 843 · 107
f ) 0,0025 · 10–5
a) 3,2 · 106
d) 4,58 · 10–5
c) 8,43 · 109
f ) 2,5 · 10–8
Unidad 1. Números reales
b) 7,5 · 10–3
e) 3 · 104
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 20
32
Pág. 1
Calcula mentalmente.
a) (1,5 · 107) · (2 · 105)
c) (4 · 10–7) : (2 · 10–12)
a) 3 · 1012
33
b) 1,5 · 10–5
b) (3 · 106) : (2 · 1011)
d) √4 · 108
c) 2 · 105
d) 2 · 104
Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora.
b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105)
a) (3,5 · 107) · (4 · 108)
d) (6 · 10–7)2
c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6)
a) 14 · 1015 = 1,4 · 1016
c) 0,24 · 1013 = 2,4 · 1012
b) 12,5 · 10–3 = 1,25 · 10–2
d) 36 · 10–14 = 3,6 · 10–13
■ Aplica lo aprendido
34
Halla el área total y el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de
altura. Da su valor exacto en función de π.
Área lateral = 2πR h = 2π · 5 · 12 = 120π cm2
12 cm
Área base = πR 2 = π · 52 = 25π cm2
Área total = 120π + 2 · 25π = 170π cm2
5 cm
Volumen = πR 2h = π · 52 · 12 = 300π cm3
35
En un círculo cuya circunferencia mide 30π m, cortamos un sector circular de
120° de amplitud. Halla el área de ese sector dando su valor exacto en función de π.
Radio del círculo: 2πR = 30π 8 R = 15 m
120°
Unidad 1. Números reales
360° 8 π · 152 °
120° · 152π = 75π m2
¢ Área =
360°
120° 8
x £
1
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
36
Calcula el área total y el volumen de un cono de 5 cm de radio y 10 cm de generatriz. Da el valor exacto.
Altura = √102 – 52 = √75 = 5√3 cm
Área lateral = πRg = π · 5 · 10 = 50π cm2
Área base = πR 2 = 25π cm2
Área total = 50π + 25π = 75π cm2
10 cm
5 cm
Volumen = 1 πR 2h = 1 π · 25 · 5√3 = 125√3π cm3
3
3
3
37
Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales.
4u
A
D
C
I
B
ABC
G
F
E
H
AC = √42 + 22 = √20 = 2√5; AB = √42 + 32 = 5; BC = √22 + 1 = √5
Perímetro de ABC = 2√5 + 5 + √5 = 5 + 3√5 u
DFE
DF = √42 + 42 = √32 = 4√2; DE = √42 + 32 = 5; FE = 1
Perímetro de DFE = 4√2 + 5 + 1 = 6 + 4√2 u
GHI
GH = √42 + 22 = √20 = 2√5; GI = GH = 2√5; HI = √22 + 22 = 2√2
Perímetro de GHI = 2√5 + 2√5 + 2√2 = 4√5 + 2√2 u
38
Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble
de la base cuya longitud es √3 cm. Expresa el resultado con radicales.
—
2√3
—
√3
Unidad 1. Números reales
Altura =
√( √ )
2 3
2
( )
– √3
2
2
=
√12 – 34 =√ 454 = 3√25 cm
Área = 1 · √3 · 3√5 = 3√15 cm2
2
2
4
Pág. 2
1
Soluciones a la Autoevaluación
PÁGINA 61
Pág. 1
¿Sabes clasificar los números en los distintos conjuntos numéricos?
1 Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales, irracionales y rea)
les: 7,53; √64; √7 ; –5; π ; 3,23; 7
4
11
2
)
Naturales 8 √64
Enteros 8 √64 ; –5 Racionales 8 √64 ; –5; 7,53; 3,23; 7
11
Reales 8 Todos
Irracionales 8 √7 ; π
2 4
¿Conoces y utilizas las distintas notaciones para un intervalo?
2 a) Escribe como intervalo y representa –3 < x Ì 5.
b) Escribe como desigualdad y representa (–@, 8].
c) Escribe en forma de intervalo y representa “los números mayores que –1”.
d) Expresa como una desigualdad el conjunto de números representado:
–5
a) (–3, 5]
c) (–1, +@)
–3
2
b) x Ì 8
5
8
d) [–5, 2]
–1
¿Sabes identificar una raíz con una potencia y manejar las operaciones con radicales?
3 Halla el valor de k en cada caso:
k
a) ³√k = 7
b) √–125 = –5
c) √625 = k
a) k = 73 8 k = 343
b) –125 = –53 8 k = 3
c) k = 25
4 Simplifica y, si es posible, extrae factores:
a) ³√215
b) 8√610
c) ³√60 · ³√18
d ) √³√64
³ 215 = 215/3 = 25
a) √
4 65 = 6√
46
b) 610/8 = 65/4 = √
³5
c) (22 · 3 · 5)1/3 · (2 · 32)1/3 = (23 · 33 · 5)1/3 = 6√
d ) [(26)1/3]1/2 = (26)1/6 = 2
5 Opera: a) 4√3 – 5√3 – 2√3
b) √12 + √48 – √27 – √75
a) 4√3 – 5√3 + 2√3 = √3
b) √22 · 3 + √24 · 3 – √33 – √3 · 52 = 2√3 + 4√3 – 3√3 – 5√3 = –2√3
6 Suprime el radical del denominador y simplifica.
b) 14
a) 3√5
4√7
√3
a) 3√5 · √3 = 3√15 = √15
3
√3 · √3
Unidad 1. Números reales
4 3
4 3
4 73
b) 14 · √7 = 14 · √7 = 2√
4√7 · √
4 73
7