Chapter 1 Fuerzas

Chapter 1
Fuerzas
En Estática es muy usual tener un cuerpo u objeto que tiene varias fuerzas aplicadas. Es por esto
que solucionar un problema de estática en pocas palabras quiere decir calcular cuánto vale alguna de
esas fuerzas. Para esto lo primero que tenemos que recordar es: ¿Qué es Fuerza? o a que se llama
Fuerza.
FUERZA: Son muchos los significados que se conocen acerca de este término es difı́cil y poco
práctico dar una sola definición; teniendo en cuenta uno de los primeros escritos que dio Newton es
que ‘Fuerza es a veces la presión de un cuerpo sobre otro’, ‘Fuerza es cualquier interacción entre dos o
más cuerpos, teniendo en cuenta que ésta definición hace referencia a las cuatro interacciones fundamentales de la natutaleza interacción gravitatoria, interacción electromagnética, interacción nuclear
fuerte e interacción nuclear débil ’; pero en un lenguaje más popular tenemos que es ‘La acción que
se ejerce con la mano cuando uno empuja algo o tira de algo’.
Por ejemplo:
Si empujas una nevera, al empujarla se ejerce una fuerza. Esta fuerza se representa ası́:
Figure 1.1: Representación de Fuerza
1
1.1
Peso
Entre las fuerzas más comunes y que siempre aparece en los problemas de estática esta la fuerza
PESO. La atracción que ejerce un cuerpo es llamada Fuerza de gravedad o peso, y esta varı́a según
la masa del cuerpo. Por ejemplo, si sueltas un bloque, éste cae. En ese caso la representación de la
fuerza peso serı́a:
Figure 1.2: Representación de la Fuerza peso
Como se observa en la figura 1.2. el peso W esta definido como:
W = mg
(1.1)
donde g es la gravedad tomada como una constante ≡9.81m/s2 y m es la masa del bloque, de manera
similar la masa y el peso poseen varias unidades de medida pero la más utilizada es el Newton(N ),
el cual es una unidad derivada, cuando la masa se encuentra en Kg y además la aceleración de la
gravedad esta en (m/s2 ).
1.2
Fuerzas de contacto
Las fuerzas de contacto entre dos superficies, es una fuerza que posee dos componentes, una componente perpendicular a la supeficie de contacto denomina fuerza Normal(N ) y otra paralela a la
superficie de contacto denomina fuerza de fricción(fr ).
La fuerza de rozamiento es una fuerza que es directamente proporcional a la fuerza normal, donde
la costante de proporcionalidad entre la fuerza de fricción y la fuerza normal es conocida como coeficiente de fricción, este coeficiente de fricción existe en dos condiciones diferentes estática y en
movimiento, en el primer caso se conoce como coeficiente de fricción estático µe y en el segundo caso
como coeficiente de fricción cinético µc , y las fuerzas de fricción correspondientes, fuerza de fricción
estática y cinetica respectivamente.
Experimentalmente resultan las propiedades de las fuerzas de fricción:
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Fuerzas
Figure 1.3: Peso y fuerzas de contacto
1. µc es menor que µe .
2. µc depende de la velocidad relativa de las superficies, pero para velocidades comprendidas en
el intervalo de 1cm/s a varios metros, µc es aproximadamente constante
3. µc depende de la naturaleza de las superficies, pero es independiente del área macroscópica de
contacto.
Una aplicación importante del algebra vectorial, es la utilización de fuerzas, sin importar el tipo de
fuerza, como sabemos la fuerza es un vector la cual tiene magnitud y dirección; luego podemos operar
dichas fuerzas, (suma, resta y producto). Existen diferentes combinaciones de fuerzas entre ellas:
1.2.1
Fuerzas Concurrentes
Las fuerzas concurrentes son aquellas que se encuentran aplicadas sobre un mismo punto,es decir,
(cuando todas las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo PASAN POR UN MISMO PUNTO);
la resultante de un conjunto de fuerzas de éstas caracterı́sticas es la suma vectorial, y el punto de
aplicación es el punto donde están aplicadas éstas fuerzas.
La resutante de un conjunto de fuerzas, es una fuerza que reemplazará a todas las fuerzas actuantes,
es decir produce el mismo efecto de traslación y rotación que el conjunto de fuerzas.
→
→
→
→
Si se tiene un cinjunto de fuerzas concurrentes F1 , F2 , F3 ..., Fn ; la resultante de este conjunto de
fuerzas concurrentes es:
→
→
→ X →
→ →
Fi
R=F1 + F2 + F3 ...+ Fn =
(1.2)
i
Ejemplo 1: Calcular la resultante del siguiente sistema de fuerzas concurrentes.
Solución: Son dos los métodos que existen para dar solución al ejercicio; método grafico y método
analı́tico. Utilizando la suma de fuerzas analiticamente tenemos:
3
Figure 1.4: Sistema de Fuerzas
1.Tomo un par de ejes x - y con el origen puesto en el punto por el que pasan todas las fuerzas.
2.Descompongo cada fuerza en 2 componentes. Una sobre el eje x Fx y otra sobre el eje y Fy .
3.Hallo la suma de todas las componentes en el eje x y en el eje y
Es decir, lo que estamos haciendo es calcular el valor de la resultante en x Rx y el valor de la resultante en y Ry .
Los ángulos con respecto al eje positivo de las X de cada fuerza son: 0o , 60o , 160o , 160o y 230o
respectivamente.
Luego:
F1x = 300 ∗ cos 0o = 300
F1y = 300 ∗ sin 0o = 0
F2x = 400 ∗ cos 60o = 200
F2y = 400 ∗ sin60o = 346.41
F3x = 300 ∗ cos 160o = −281.91
F3y = 300 ∗ sin 160o = 102.61
F4x = 600 ∗ cos 230o = −385.7
F4y = 600 ∗ sin230o = −459.63
La componente en x - y de la resultante del conjunto de fuerzas concurrentes es:
Rx = F1x + F2x + F3x + F4x = −167.61
Ry = F1y + F2y + F3y + F4y = −10.61
→
Es decir, la fuerza resultante
la magnitud y dirección de la
p es R= −167.61î − 10.61ĵ por loRtanto
y
fuerza resultante es: R = Rx2 + Ry2 = 167.95 N , y tan θ = Rx de donde θ =4o .
Ejemplo 2: Calcular la fuerza resultante del conjunto de fuerzas concurrentes que actúa sobre la
torre, debido a los cables que la sostienen, la tensión del cable AD es 500N , la tensión del cable BD
4
Fuerzas
es 600N y la tensión del cable CD es 650N .
Figure 1.5: Ejemplo 2. Fuerzas Concurrentes
Solución: Las fuerzas de tensión que actúan en una cuerda o cable se dirigen a lo largo de la cuerda;
→
→
→
primero se deben calcular las direcciones de las fuerzas y calculamos los vectores DA, DB y DC,
como:
→
DA= (2.5 − 0) î + (0 − 0) ĵ + (0 − 10 k̂) [m]= 2.5î − 10k̂ [m]
→
DB= (−2 − 0) î + (1 − 0) ĵ + (0 − 10 k̂) [m]=−2î + ĵ − 10k̂ [m]
→
DC= (−2 − 0) î + (3 − 0) ĵ + (0 − 10 k̂) [m]=−2î + 3ĵ − 10k̂ [m]
Los vectores unitarios que son las direcciones de cada una de las tensiones son:
→
UDA =
→
UDB =
→
UDC =
√2.5î−10k̂ = 2.5î−10k̂
10.307
2.52 +102
−2î+ĵ−10k̂
î+ĵ−10k̂
√
= −210.246
22 +12 +102
√2î+3ĵ−10k̂ = 2î+3ĵ−10k̂
113
2.2 +32 +102
Las
tensiones de cada fuerza son:
→
î−10k̂
î−5000k̂
TDA = 500N ∗ √2.5
= 125010.307
= 121.28î − 485.107k̂
2.52 +102
→
TDB = 600N ∗
→
TDC = 650N ∗
−2î+ĵ−10k̂
√
22 +12 +102
2
√ î+3ĵ−10k̂
2.2 +32 +102
=
−1200î+600ĵ−6000k̂
10.246
= −117.119î + 58.56ĵ − 585.6
=
1300î+1950ĵ−6500k̂
113
= 11.504î + 17.26ĵ − 57.52k̂
La resultante del conjunto de tensiones es:
→
→
→
→
R=TDA + TDB + TDC = 15.665î + 75.82ĵ − 158.013k̂
La magnitud de la tensión resultante es 175.961 [N ], la dirección se puede expresar de dos formas,
con el vector unitario y con los ángulos directores; por ejemplo el vector unitario es:
→
UR =
√15.665î+75.82ĵ−158.013k̂
15.6652 +75.822 −158.0132
= 0.09î + 0.431ĵ − 0.9k̂
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1.3
Torque o momento de una fuerza
Consideremos una fuerza F que actúa en un cuerpo C, a la capacidad de rotación que se hace sobre
C se llama Torque o momento de la Fuerza con respecto al punto O; por ende tenemos que entre
más lejos se hace más torque, luego el torque es proporcional a la distancia d y a la fuerza F como
se observa en la figura 1.5
τ = Fd
(1.3)
Figure 1.6: Momento de una fuerza con respecto al punto O
Ası́, en el sistema MKSC el torque de una fuerza se expresa en newton-metro o N m; de igual manera
se utilizan unidades como Kgf m o lbf pie.
Ahora si ejercemos la fuerza de manera perpendicular tenemos:
Figure 1.7: Relación vectorial entre el torque, la fuerza y el vector posición
donde:
τ = rF sin θ
6
(1.4)
Fuerzas
concluyendo podemos decir que el torque de una fuerza puede considerarse como una cantidad vectorial dada por:
τ =r×F
(1.5)
Ejemplo 1. Calcular el torque de la fuerza F sobre la varilla, con respecto al punto O.
Figure 1.8: Torque de una fuerza
Este torque se puede calcular de dos formas; la forma escalar y la forma vectorial, en la forma escalar
se busca la componente perpendicular a la varilla debido a que la fuerza paralela no ejerce torque; la
F ⊥ es:
F ⊥ = 10 cos (20o + 45o ) [N ] = 16.47; luego el torque es:
τ = F ⊥ • 2m = 32.94 [N m];
y la dirección se puede expresar en la direción de las manecillas del reloj; luego:
→
τ = 32.94 ←- (esta flecha indica la dirección).
→
→
Para la forma vectorial del torque se calcula r y F como:
→
r = 2 cos 45o î + 2 sin 45o ĵ = 1.41î + 1.41ĵ
→
F = 10 cos 20o î + 10 sin 20o ĵ = 9.4î + 3.4ĵ; lo que produce:
î
ĵ
k̂
→ →
τ = r × F = 1.41 1.41 0
9.4 3.4 0
= k̂(4.194 − 13.254) = −9.06k̂
7
1.3.1
Torque de un conjunto de fuerzas concurrentes
Cuando se tienen fuerzas concurrentes, el torque de éstas fuerzas se puede calcular teniendo en
→
cuenta de que como son concurrentes el vector r es el mismo para todas las fuerzas.
→
→
→
→
→
→
→
τ = r × F1 + r × F2 +...+ r × Fn
(1.6)
de donde;
→
→
→
→
→
→
τ = r × F1 + F2 +...+ Fn = r × F R
→
(1.7)
→
donde F R es la suma de todas las fuerzas.
1.4
Tensión superficial
La tensión superficial es una propiedad originada por las fuerzas de atracción entre las moléculas.
como tal, se manifiesta solo en lı́quidos en una interfaz, casi siempre una interface lı́quido-gas. Las
fuerzas entre las moléculas en la masa de un lı́quido son iguales en todas las direcciones, y en
consecuencia, ninguna fuerza neta es ejercida por las moléculas. Sin embargo, en una interfaz las
moléculas ejercen una fuerza que tiene una resultante en la interfaz. Esta fuerza mantiene una gota
de agua suspendida de una varilla y limita el tamaño de una gota de agua que puede ser sostenida.
También provoca que las pequeñas gotas de un rociador o atomizador asuman formas esféricas.
1.5
Fuerza centrı́peta
En el movimiento circular uniforme, el vector aceleración está dirigido hacia el cntro de la
circunferencia, y u valor es ac = v 2 /R, donde R es el radio de la circunferencia y v es la velocidad
lineal del objeto en movimiento, está aceleración hacia el centro se llama aceleración centrı́peta, la
fuerza resultante hacia el centro de está circunferencia se llama fuerza centrı́peta, la cual está dada
por
Fc = m
1.6
v2
R
(1.8)
Fuerza elástica
Cuando un resorte sujeto a un soporte por uno de sus extremos y con el otro unido a un objeto, la
posición del objeto, cuando el resorte está sin estirar se conoce como posición de equilibrio, sea x la
posición del objeto en cualquier momento con respecto a la posición de equilibrio, es decir x
representa la compresión o estiramiento del resorte. Para muchos resortes se cumple que la
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Fuerzas
magnitud de la fuerza que ejerce es proporcional a su deformación x, este comportamiento es
descrito por la llamada ley de Hooke
Fs = −kx
donde Fs , es la fuerza que ejerce el resorte sobre el objeto y k es la constante de elasticidad del
resorte, en caso de referirnos a la fuerza que se debe realizar para deformar el resorte el signo de la
ley de Hooke es positivo.
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