Funciones Marginales

CAPÍTULO 10
Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas
Introducción
En la economía, la variación de alguna cantidad con respecto a otra puede ser descrita por un
concepto promedio o por un concepto marginal.
El concepto de promedio expresa la variación de una cantidad sobre un rango específico de valores
de una segunda cantidad. Mientras que el concepto marginal es el cambio instantáneo en la
primera cantidad que resulta de un cambio muy pequeño en la segunda cantidad.
La derivada como razón de cambio
En nuestro dinámico mundo, todo está sujeto a cambios y por lo tanto interesa saber cuál es la
razón de estos cambios.
La velocidad con que se realizan los cambios no siempre es uniforme, especialmente cuando se
relacionan entre sí dos o más cantidades.
Razón de Cambio Promedio
Considere f : I → IR, f ( x) = y , una función continua en el intervalo real I.
Cuando x cambia de un valor inicial x1 a un valor final x2 , la diferencia x2 − x1 se llama
incremento de la variable en [ x1 , x 2 ] . La diferencia f ( x 2 ) − f ( x1 ) se llama incremento de la
función en [ x1 , x 2 ] . Al cociente del incremento de la función y el incremento de la variable se le
llama razón de cambio promedio de la función f con respecto a x.
f ( x 2 ) − f ( x1 )
∆ f
=
∆ x
x 2 − x1
A éste cociente también se le conoce como cociente de diferencias.
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Ejemplo
Si C ( x) = 0.5 x 2 + x + 2 denota la función de costo total de x unidades de un producto, encontrar la
razón de cambio promedio del costo total con respecto a x, al cambiar la producción de 5 a 10
unidades.
Solución
Aquí tenemos que x1 = 5, x 2 = 10 y la función es C (x) , calculamos entonces
∆ C C (10) − C (5) 62 − 19.5
=
=
= 8.5
∆x
10 − 5
5
El concepto de razón de cambio promedio se aplica en muchos modelos donde interesa saber
velocidades ya sean de móviles, crecimiento, etc.
Ejemplo
Una persona inicia un viaje en auto a las 8am y llega a su destino a las 5pm. Al salir su automóvil
registraba 30000km recorridos, mientras que al llegar la cifra era 30450km.
¿Cuál fue su
velocidad media?
Solución
Se sabe que la velocidad media corresponde con la razón de cambio promedio de la distancia d con
respecto al tiempo t. En este caso
Velocidad Media =
∆ d 30450 − 30000
=
= 50 ( km / h)
∆t
17 − 8
Lo anterior no quiere decir que el auto viajó siempre a 50 km/h, algunas veces disminuyó su
velocidad y algunas otras la aumentó, pero en promedio viajó a 50 km/h.
196
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Se puede notar que aunque los promedios son útiles, no dan el comportamiento exacto en un
instante particular. Por ejemplo, el saber que el auto viajó a una velocidad promedio de 50 km/h
no permite determinar la velocidad exacta a la 1pm. Lo que se necesita no es la velocidad
promedio, sino una velocidad instantánea.
Razón de Cambio Instantánea
Igual que antes sea f : I → IR, f ( x) = y , una función continua en el intervalo real I.
La razón de cambio instantánea (razón de cambio) de f con respecto a x en el instante a, con a ∈ I
, corresponde con el siguiente límite, si existe:
df (a )
f ( x ) − f (a)
= lim
x
→
a
dx
x− a
El anterior límite representa la derivada en un punto de f, f ' (a ) , por lo tanto se puede utilizar la
derivada de una función en un punto para calcular la razón de cambio instantánea en ese punto.
Razones Relacionadas
En muchos problemas prácticos, se da una cantidad como una función de una variable y ésta a su
vez puede escribirse como una función de una segunda variable. Usando la regla de la cadena,
podemos calcular la razón de cambio de la cantidad original con respecto a la segunda.
Ejemplo
En cierta fábrica, el costo total de fabricación
de x artículos diariamente es de
C ( x) = 0.2 x 2 + x + 900 . Según la experiencia, se ha determinado que durante las primeras t horas
del trabajo de producción diario se fabrican aproximadamente
(t
2
+ 100t
) artículos.
197
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a) Encuentre una fórmula para la tasa de cambio del costo total con respecto al tiempo
b) ¿Cuál es la tasa de cambio una hora después de que empiece la producción?
Solución
a) La tasa de cambio del costo con respecto al tiempo es
dC
, aplicando la regla de la cadena
dt
tenemos
dC dC dx
=
= ( 0.4 x + 1)( 2t + 100 )
dt
dx dt
Como x representa el número de artículos producidos y la producción durante las primeras t horas
es exactamente
(t
2
)
+ 100t , para expresar
[ (
)
dC
en términos de t se sustituye x por
dt
(t
2
)
+ 100t :
]
dC
= 0.4 t 2 + 100t + 1 ( 2t + 100 ) = 0.8t 3 + 120t 2 + 4002t + 100
dt
b) Tomando t = 1 tenemos
dC
= 0.8 + 120 + 4002 + 100 = 4222.8
dt
Así que después de una hora el costo total estará creciendo a una tasa de 4222.8 unidades
monetarias por hora.
Ejemplo
Un fabricante determina que m empleados producirán un total de x unidades por día, donde
x=
100m
m + 19
2
. Si la ecuación de demanda para el producto es p =
4500
.
x + 10
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a) Determine una fórmula para la razón de cambio del ingreso total con respecto a los
trabajadores.
b) ¿Cuál es la tasa de cambio del ingreso cuando se cuenta con nueve trabajadores?
Solución
a) El ingreso total está dado por I ( x) = x p( x) =
4500 x
.
x + 10
La tasa de cambio del ingreso con respecto a los trabajadores es
dI
, aplicando la regla de la
dm
cadena tenemos
2m


100 m 2 + 19 − 100m


dI
dI dx  4500( x + 10 ) − 4500 x  
2 m 2 + 19 
=
= 

dm dx dm 
m 2 + 19

( x + 10) 2





Como x representa el número de artículos producidos y la producción con m empleados es
x=
100m
m + 19
2
, para expresar


dI 
= 
dm  
 

dI
en términos de m se sustituimos x para obtener
dm



45000
2
 
100m
+ 10  
2
m + 19
 

100m 2 
2
100
m
+
19
−


m 2 + 19 



m 2 + 19




Esta relación se conoce como Producto del Ingreso Marginal, pronto nos referiremos con más
detalle a las funciones marginales.
b) Aquí evaluamos
dI
con m = 9 :
dm
dI  45000   1000 − 810 
= 
 = ( 4.5) (1.9) = 8.55

dm  ( 90 + 10 ) 2  
100

199
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Concluimos que PIM = 8.55.
200
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Funciones Marginales Económicas
Función de Costo Marginal
Si C (x) representa el costo total de producir x unidades de cierta mercancía, entonces el costo
marginal cuando se producen a unidades está dado por C ' (a) , si ésta existe. La función C ' ( x) se
llama la función de Costo Marginal.
C ' (a ) puede interpretarse como la razón de cambio del costo total por cambio unitario en la
cantidad producida cuando se producen a unidades.
La curva de Costo Marginal de una empresa guarda una relación única con su curva de Costo
Medio.
Cuando el Costo Medio disminuye al aumentar la producción, el Costo Marginal será menor que
el Costo Medio. Cuando el Costo Medio aumenta al aumentar la producción, el Costo Marginal
será mayor que el Costo Medio. Se deduce que si el Costo Medio no aumentara ni disminuyera
con los cambios en la producción, el Costo Marginal ( C Mg ) y el Costo Medio ( C Me ) serían iguales.
Por lo tanto, cuando el Costo Medio es decreciente se tiene C Mg < C Me , y cuando el Costo Medio
es creciente C Mg > C Me .
De lo anterior se deduce que C Mg = C Me en el punto donde el Costo Medio es mínimo.
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Función de Ingreso Marginal
Si I (x ) representa la función de ingreso total obtenido cuando se demandan x unidades de cierta
mercancía, entonces el ingreso marginal cuando se producen a unidades está dado por I ' (a ) , si
ésta existe. La función I ' ( x) se llama la función de Ingreso Marginal.
La curva de ingreso marginal de la industria muestra en cuánto se incrementa el ingreso total por la
venta de cada unidad adicional, por unidad de tiempo. Es siempre decreciente, dada la curvatura
del ingreso total. Puede ser positiva, negativa o cero.
Función de Utilidad Marginal
La utilidad bruta de una empresa corresponde con la diferencia existente entre ingresos totales y
sus costos totales
U ( x) = I ( x ) − C ( x)
Si derivamos con respecto a x
U ' ( x) = I ' ( x ) − C ' ( x)
La función así obtenida se define como utilidad marginal.
Note que U ' ( x) > 0 ⇔ I ' ( x) > C ' ( x) , lo cual quiere decir que la ganancia es creciente si y sólo si
el ingreso marginal es mayor que el costo marginal (la tasa de cambio del ingreso es mayor que la
tasa de cambio del costo).
Para determinar qué nivel de producción es necesario para obtener la máxima utilidad, se hace
U ' ( x ) = 0 , ya que allí si U ' ( x) existe, U tendrá un máximo relativo.
Recordemos que el dominio de la función de utilidad es el intervalo [ 0, d ] , donde el valor d >0
está determinado por la ecuación de demanda del artículo. En los extremos del intervalo no habrá
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ganancia, así que el valor máximo absoluto de U ocurre en un valor de x donde U tiene un valor
máximo relativo.
EJERCICIOS
1) Sea p = 100 − q 2 la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la razón de
cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q . ¿Qué tan rápido está cambiando el
precio con respecto a q cuando q = 5 ?. Suponga que p está en dólares.
2) Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas
de cierto fertilizante está dado por C ( x) = 20000 + 40 x dólares y el ingreso obtenido por la venta
de x toneladas está dado por R ( x) = 100 x − 0.01x 2 . La compañía actualmente produce 3100
toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por
semana. Determine la razón de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras
producidas.
3) Un
fabricante
descubre
que
el
costo
de
producir
x
artículos
está
dado
por
C ( x) = 0.001x 3 − 0.3x 2 + 40 x + 1000 . Determine la razón de cambio promedio por unidad
adicional si se incrementa la producción de 90 a 100 unidades.
4) Sea la función de costo C ( x) = 0.001x 3 − 0.3x 2 + 40 x + 1000 . Determine el costo marginal como
una función de x . Evalúe el costo marginal cuando la producción esta dada por:
a) x = 50 , b) x = 100 , c) x = 150 .
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Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I
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5) Calcule el costo marginal de las siguientes funciones de costo:
a)
C ( x ) = 100 + 2 x
b)
C ( x ) = 0.0001x 3 − 0.09 x 2 + 20 x + 1200
c)
C ( x ) = 40 + (ln 2) x 2
d)
C ( x ) = 0.000001x 3 − 0.3 x 2 + 36 x + 2000
6) Si la función de ingreso está dada por R ( x) = 10 x − 0.01x 2 en donde x es el número de artículos
vendidos, determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando x = 200 .
7) Calcule el ingreso marginal de las siguientes funciones de Ingreso.
a)
R ( x) = x − 0.01x 2
b)
R ( x) = 0.1x − 0.001x 2 − 0.00001x 5 / 2
c)
R ( x) = 5 x − 0.01x 5 / 2
d)
R ( x) = 100 x − (log 5) x 3 (1 +
x)
8) Si la ecuación de demanda es x + 4 p = 100 , calcule el ingreso marginal R´(x ) .
9) Si la ecuación de demanda es
x + p = 10 , calcule el ingreso marginal.
10) Si la ecuación de demanda es x 3 / 2 + 50 p = 1000 , calcule el ingreso marginal cuando p = 16 .
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11) En una Sala de Belleza se fija una cuota de $4 por corte de cabello. Esto advierte que el número
de clientes que atiende en una semana es de 100, en promedio. Al elevar la tarifa a $5, el número
de clientes baja a 80. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de
clientes, determine la función de ingreso marginal. Encuentre entonces el precio que produce un
ingreso marginal igual a cero.
12) Un fabricante determina que m empleados producirán un total de q unidades de un producto por
10m 2
día, donde q =
(m 2 + 19)
. Si la ecuación de demanda para el producto es p =
900
determine
q+ 9
el producto del ingreso marginal cando m = 9 .
13) Sea q el número total de unidades producidas por día por m empleados de un fabricante y p es el
precio de venta por unidad. En cada caso encuentre el producto del ingreso marginal para el
valor dado de m.
a)
q = 2m; p = − 0.5q + 20; m = 5 .
b)
q=
c)
q=
d)
q=
200m − m 2
; p = − 0.1q + 70; m = 40 .
20
10m 2
(m 2 + 9)
;p=
10m
(m + 19)
2
;p=
525
;m = 4.
q+ 3
4500
;m = 9.
q + 10
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14) Suponga que p = 100 −
(q 2 + 20) es una ecuación de demanda para el producto de un
fabricante.
a)
Encuentre la razón de cambio de p con respecto a q .
b)
Calcule la razón de cambio relativa de p con respecto a q .
c)
Determine la función de ingreso marginal.
15) Si la función de costo total para un fabricante está dada por C ( x) =
5q 2
(q 2 + 3)
+ 5000 . Encuentre
la función de costo marginal.
16) Un empresario que emplea m trabajadores encuentra que ellos producen: q = 2m(2m + 1) 3 / 2
unidades de producto diariamente. El ingreso total (en dólares) está dado por r =
50q
(1000 + 3q )
a)
¿Cuál es el precio por unidad (al centavo más cercano) cuando hay 12 trabajadores?
b)
Determine el ingreso marginal cuando hay 12 trabajadores.
c)
Determine el producto del ingreso marginal cuando m = 12 .
.
17) La función de consumo de cierto nación está dada por C ( I ) = 4 + 0.36 I + 0.48 I 3 / 4 . Encuentre
P.M.C. y P.M.S. si el ingreso nacional es de 16 mil millones de unidades monetarias.
18) Determine la P.M.C. y P.M.S. si la función de consumo está dada por C =
5(2 I 3 + 3)
, cuando
I + 10
el ingreso es de 100 mil millones.
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Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I
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19) Para U.S.A (1922-1942) la función de consumo se estimó por la ecuación, C = 0.672 I + 113.1 .
Encuentre la P.M.C.
20) Encuentre P.M.C. y P.M.S. para las siguientes funciones de consumo nacional y para el ingreso
dado
a)
C = 2+ 2 I;I = 9
b)
C= 6+
c)
C=
d)
C=
3I
I
−
; I = 25
4
3
16 I + 0.8 I 3 − 0.2 I
I + 4
20 I + 0.5 I 3 − 0.4 I
I + 5
; I = 36
; I = 100
21) Suponga que la función de consumo de un país es dado por C =
10 I + 0.7 I 3 − 0.2 I
I
donde C
e I están en miles de millones de dólares
a)
Encuentre la P.M.S. cuando el ingreso es de 25000 millones de dólares.
b)
Determine la razón de cambio relativa de C con respecto a I cuando el ingreso es de
25000 millones de dólares.
22) Suponga que la función de ahorro de un país es S =
I−
I − 6
I + 2
. Hallar P.M.C. y P.M.S. cuando
I = 16000 millones.
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