estudio de una bobina de rogowski como sonda detectora de pulsos

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
DOCTORADO EN INGENIERIA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA
ESTUDIO DE UNA BOBINA DE ROGOWSKI
COMO SONDA DETECTORA DE PULSOS DE
ALTA FRECUENCIA
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
MARTA ARGÜESO MONTERO
Departamento de Ingenierı́a Eléctrica
Directores:
Dr. D. Javier Sanz Feito
Dr. D. Guillermo Robles Muñoz
Febrero 2005
Índice general
1. Introducción
5
1.1. Objetivos y estructura del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. La bobina de Rogowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
8
2.1. Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2. Modelos de la bobina de Rogowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.1. Modelo de parámetros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.2. Modelo de parámetros distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.3. Modelo de la bobina autointegradora . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3. Respuesta en frecuencia teórica de la bobina . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3.1. Influencia de la impedancia de terminación, Z . . . . . . . . . .
16
2.3.2. Influencia de los parámetros eléctricos del modelo de parámetros
concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3. Cálculo teórico de los parámetros eléctricos
3.1. Cálculo teórico de la sensibilidad y del ancho de banda de la bobina . .
21
24
4. Diseño de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta
frecuencia
25
4.1. Especificaciones de la bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
25
ÍNDICE GENERAL
4.2. Implementación de la bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Resultados experimentales
2
27
30
5.1. Medida de señales senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.2. Medida de pulsos de un calibrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6. Conclusiones
6.1. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
34
Lista de sı́mbolos
a diámetro interior del núcleo de la bobina
A sección transversal de la bobina
b diámetro exterior del núcleo de la bobina
B inducción magnética
Cc capacidad del modelo de parámetros concentrados
Cd capacidad del modelo de parámetros distribuidos
d diámetro del hilo de la bobina
dl elemento de longitud infinitesimal
fres frecuencia de resonancia de la bobina
g distancia entre espiras
H intensidad de campo magnético
i corriente medida
l longitud del núcleo de la bobina
Lc inductancia del modelo de parámetros concentrados
Ld inductancia del modelo de parámetros distribuidos
Lesp longitud de una espira
lCu longitud del hilo de la bobina
M inductancia mutua
N número de espiras
r radio de la sección del núcleo de la bobina
R radio medio del núcleo de la bobina
Rc resistencia del modelo de parámetros concentrados
Rcir resistencia por la que circula la corriente, en los experimentos realizados
Rd resistencia del modelo de parámetros distribuidos
3
Rout resistencia de terminación o de medida
vcoil tensión inducida total
vespira tensión inducida en una espira
vout tensión medida
W altura del núcleo de la bobina
Z impedancia de terminación o de medida
α ángulo formado entre la dirección del campo magnético y la dirección de dl
∆Q carga desplazada en una descarga
0 permitividad eléctrica del aire
κ sensibilidad de la bobina
µ0 permeabilidad magnética del aire
ρ resistividad del cobre
τ constante de tiempo del sistema
Φ flujo magnético
4
Capı́tulo 1
Introducción
En las últimas décadas, debido al desarrollo de la electrónica de potencia, se ha
extendido el uso de inversores de alta frecuencia para el control de motores eléctricos.
La tecnologı́a IGBT (Insulated-Gate Bipolar Transistor, o transistor bipolar de puerta
aislada) puede proporcionar pulsos muy rápidos, con un tiempo de subida de hasta 20
ns, y con una frecuencia de conmutación de 20 KHz. Cuando estas ondas con frentes
de subida tan rápidos se desplazan desde el inversor hasta el motor, se produce una
reflexión debido al desajuste de impedancias entre el cable y el motor. Esta onda
reflejada regresa hacia el inversor, donde se induce otra reflexión debido al desajuste
de impedancias entre el cable y el inversor. Estas se suman a la tensión original, con
lo que, en los terminales del motor, se genera una sobretensión en el frente de la onda
de tensión. En función de la longitud del cable, la magnitud de la sobretensión puede
llegar a ser de hasta tres veces la tensión nominal.
Por tanto, el aislamiento de los motores alimentados mediante inversores estará sometido a esfuerzos mayores que cuando alimenta mediante tensión senoidal.
Si la tensión en los terminales del motor supera la tensión de aparición de descargas
parciales (PDIV, Partial Discharge Inception Voltage) del aislamiento, se pueden producir descargas parciales (DP) en los huecos del aislamiento. Las DP son uno de los
fenómenos más influyentes en el envejecimiento de los sistemas de aislamiento. Ası́ pues,
su detección durante el funcionamiento de los motores puede ser un buen método para
conocer el estado del aislamiento del motor.
1.1.
Objetivos y estructura del documento
El objetivo de este trabajo de investigación es estudiar las posibilidades de
aplicación de una bobina de Rogowski para medir pulsos de alta frecuencia como los
5
1. Introducción
6
que se producen en las DP.
Para ello, es necesario hallar la respuesta en frecuencia de la bobina y la sensibilidad
que puede proporcionar. Además, se debe tener en cuenta cómo afectan sobre ambos
diversos factores de construcción de la bobina.
Este documento comienza explicando brevemente, en el capı́tulo 2, el principio de
funcionamiento de la bobina de Rogowski y exponiendo los modelos planteados en la
bibliografı́a para explicar su comportamiento. En el último apartado de este capı́tulo,
se expone cuál es la respuesta en frecuencia teórica de la bobina. En el capı́tulo 3
se calcula el valor teórico de los parámetros eléctricos de la bobina, ası́ como de su
sensibilidad y ancho de banda. Con los resultados obtenidos, se diseñó una bobina que
cumpliese las especificaciones requeridas para medir pulsos de alta frecuencia, según
se expone en el capı́tulo 4. Los resultados experimentales se resumen en el capı́tulo 5.
Finalmente, en el capı́tulo 6 se recogen las conclusiones de este trabajo.
1.2.
La bobina de Rogowski
Una bobina de Rogowski [1] es esencialmente un solenoide toroidal que rodea un
conductor por el que circula la corriente que se pretende medir. La bobina está acoplada
magnéticamente al conductor y, por ello, se induce una tensión proporcional al cambio
en el tiempo de la corriente medida.
La implementación de una bobina se puede hacer de diversas formas. El conductor
se arrolla sobre un núcleo no ferromagnético. Este núcleo puede ser simplemente un
toroide rı́gido, o también, puede ser flexible y no cerrado, de modo que pueda ser abierto
para colocarse alrededor del conductor en el que se va a medir la corriente. Algunos
autores [2] señalan que aquellas bobinas devanadas sobre un núcleo rı́gido ofrecen mejor
precisión. Por el contrario, aquellas que pueden abrirse son propensas a cambiar sus
caracterı́sticas debido al desplazamiento de las espiras.
El diseño más simple de una bobina de Rogowski consiste en un devanado de una
sola capa, como el que se muestra en la Figura 1.1.
El avance a lo largo del toroide del devanado helicoidal sumado a lo largo de toda
la circunferencia crea una vuelta perpendicular al eje del toroide. En caso de que exista
algún flujo magnético paralelo a la bobina, éste inducirá una tensión que se sumará a
la inducida por el flujo creado por la corriente que se pretende medir. Para compensar
este efecto indeseado, el devanado de la bobina se hace con una vuelta de retorno por
el eje central de las espiras y en dirección opuesta al avance del devanado helicoidal.
Como está conectado eléctricamente en serie con la salida de la bobina, si existen flujos
paralelos al eje de la bobina se induce una tensión igual y opuesta en polaridad a la
1. Introducción
7
Figura 1.1: Esquema de una bobina de Rogowski de una sola capa, con vuelta de
retorno, [2].
inducida por el avance del devanado helicoidal, de modo que se compensa.
Las ventajas de una bobina de Rogowski para la medida de pulsos de corriente,
respecto a los transformadores de corriente, son:
Linealidad. La medida es lineal debido a que el núcleo es de un material no
ferromagnético y, por tanto, no se producen fenómenos de saturación o histéresis.
Esto significa que la misma bobina se puede utilizar para medir un amplio rango
de corrientes.
Aislamiento galvánico. Por tanto, el circuito de medida está aislado del circuito
de potencia. Esto constituye una gran ventaja cuando se quieren medir grandes
intensidades.
Buen ancho de banda. En la bibliografı́a [3] hay ejemplos de bobinas que pueden
medir corrientes de frecuencias de algunos Hz hasta cientos de KHz.
Facilidad de uso, ya que no requieren un montaje especial.
Capı́tulo 2
Funcionamiento y modelado de la
bobina de Rogowski
2.1.
Principio de funcionamiento
Una bobina de Rogowski es un transformador de corriente. Consiste básicamente
en una bobina con núcleo de aire de forma toroidal a través de la cual se hace circular
la corriente que se desea medir.
Su uso como medidor de corrientes variables en el tiempo fue planteado por
Rogowski y Steinhaus [1] en 1912. Su principio de operación es muy sencillo y aparece
descrito en la bibliografı́a [4] [5]. Se basa, esencialmente, en que la corriente que se
pretende medir crea un campo magnético alrededor del conductor por el que circula.
Al situar la bobina rodeando este conductor, el campo magnético induce una diferencia
de potencial entre los extremos de la bobina.
Tensión inducida
La bobina de Rogowski puede ser considerada como un ejemplo de las leyes de
Ampère y de Faraday. La primera describe cómo es el campo magnético que se crea
alrededor de un conductor por que el circula una corriente. En concreto, dice que la
circulación del campo magnético sobre un camino cerrado γ es igual a la corriente total
que atraviesa cualquier superficie apoyada en la curva. Matemáticamente se expresa de
la siguiente forma:
i=
I
→
−
→−
H dl =
Z
0
8
l
H cos αdl
(2.1)
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
9
donde:
H es la intensidad de campo magnético
dl es un elemento de longitud infinitesimal a lo largo del camino cerrado
α es el ángulo formado entre la dirección del campo magnético y la dirección de dl,
como se ve en la Figura 2.1
La ley de Faraday-Lenz explica cómo este campo magnético crea una diferencia
de potencial entre los extremos de la bobina debido a la variación del flujo de campo
magnético. En concreto, dice que la f.e.m. inducida en un circuito estacionario cerrado
es igual y de signo contrario a la variación del flujo magnético que atraviesa el circuito
respecto del tiempo.
En la Figura 2.1 se muestra una bobina helicoidal, con n vueltas por metro y una
sección transversal A, que rodea a un conductor por el que circula la corriente i que se
pretende medir.
Figura 2.1: Elemento infinitesimal de longitud dl de la bobina, [6].
El flujo magnético que atraviesa la sección en un elemento infinitesimal de longitud
dl es dΦ. Éste se obtiene a partir de la integral de superficie de la inducción magnética
~ en la superficie de la sección del núcleo. La tensión inducida en dl se obtiene, según
B
la ley de Faraday-Lenz, como la derivada respecto del tiempo del flujo magnético.
vespira
Z
Z
−
→ −
→
−
→ −
→
dΦ
d
d
dH
=−
= − ( B d S ) = − ( µ0 H d S ) = −µ0 A
cos α
dt
dt S
dt S
dt
(2.2)
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
10
Integrando a lo largo de la longitud de toda la bobina se obtiene la expresión de la
tensión inducida total.
l
dH
vespira N dl = −µ0 AN
cos αdl =
0 dt
0
Z
d l
di
= −µ0 AN
dH cos αdl = −µ0 AN
dt 0
dt
vcoil =
Z
l
Z
(2.3)
Ası́, queda establecida la relación entre la corriente que se pretende medir y la
tensión inducida en la bobina. De forma general, se puede decir que el campo magnético
producido por la variación de corriente que circula por el conductor induce en la
bobina una tensión proporcional al cambio de la corriente, di/dt, siendo la constante de
proporcionalidad la inductancia mutua de la bobina, M . El resultado queda expresado
en la siguiente ecuación:
vcoil = −M
di
dt
(2.4)
siendo la inductancia mutua M igual a:
M = µ0 AN
(2.5)
La integral de lı́nea de la ley de Ampère requiere una bobina con una sección
transversal nula. En ese caso, la tensión proporcionada a la salida de la bobina de
Rogowski serı́a independiente de la forma del camino cerrado y de la posición del
conductor respecto de la bobina. Sin embargo, el devanado helicoidal de la bobina
se realiza sobre un núcleo que tiene una sección transversal no nula, por lo que se
crea un volumen que sólo se aproxima al requerimiento estricto de la ley de Ampère.
Por tanto, la bobina tendrá un error de posición asociado. Este error se puede hacer
mı́nimo si todas las vueltas se realizan con la misma sección transversal y se distribuyen
uniformemente alrededor de una trayectoria circular.
Integración de la tensión inducida
Como se ha visto, la tensión inducida en la bobina es proporcional a la derivada de
la corriente que se pretende medir. Por tanto, para obtener una señal proporcional a
la corriente hay que integrar la tensión medida.
En la bibliografı́a se plantean varias alternativas:
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
11
Circuito integrador pasivo, utilizando resistencias y condensadores [3], como se
ve en la Figura 2.2. Este tipo de integración se utiliza para frecuencias elevadas
ya que integra a partir de una década por encima del polo del sistema.
Circuito integrador activo, mediante el uso de amplificadores operacionales, como
el de la Figura 2.3. Mediante modificaciones de este circuito [7] se pueden obtener
anchos de banda desde muy bajas frecuencias hasta frecuencias altas (del orden
de algunos MHz).
Autointegración [4], que aprovecha la inductancia de la bobina y, por tanto,
no requiere un circuito integrador externo. Esta técnica proporciona un ancho
de banda limitado pero permite realizar medidas a frecuencias muy elevadas.
Dado que para la aplicación que se le quiere dar a la bobina de Rogowski se
necesita medir frecuencias del orden de decenas MHz, esta es la opción elegida
para integrar. Más adelante, se explica su funcionamiento a distintas frecuencias.
Figura 2.2: Modelo del circuito integrador pasivo, [3].
2.2.
Modelos de la bobina de Rogowski
Para estudiar el comportamiento teórico de la bobina, tanto en tiempo como en
frecuencia, se han empleado dos modelos: el modelo de parámetros concentrados [8],
[3], [6] y el modelo de parámetros distribuidos [4].
12
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
Figura 2.3: Modelo del circuito integrador activo mediante el uso de amplificadores
operacionales, [3].
2.2.1.
Modelo de parámetros concentrados
Este modelo resulta más sencillo e intuitivo que el de parámetros distribuidos. Se
considera que la bobina es equivalente al circuito de la Figura 2.4 donde Rc es la
resistencia de la bobina, Lc su inductancia y Cc la capacidad parásita. Según la fuente
consultada, el modelo tiene en cuenta [6] o no [3] la resistencia serie de la bobina Rc .
Rc
Lc
+
vcoil=M di/dt
+
−
Cc
Z
vout
-
Figura 2.4: Modelo de parámetros concentrados, [6].
Si a la salida de la bobina se coloca una impedancia de medida Z la función de
transferencia de este modelo queda:
vout
Z
=
2
vcoil
Lc ZCc s + (Lc + Rc ZCc )s + Rc + Z
(2.6)
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
2.2.2.
13
Modelo de parámetros distribuidos
En este modelo, desarrollado en 1963 por Cooper [4], se considera la bobina
como una lı́nea de parámetros distribuidos de longitud infinitesimal. Las ecuaciones
resultantes se integran a lo largo de toda la longitud de la bobina para obtener las
magnitudes macroscópicas. Los componentes del elemento diferencial se representan
en la Figura 2.5. Ldx y R0 dx representan la inductancia y la resistencia de la bobina
propiamente dicha y Rdx representa la resistencia del hilo de retorno. La capacidad
entre las espiras de la bobina y la vuelta de retorno se representa por el elemento Cdx.
Además, se representa dos tensiones:
vdx que es la tensión por unidad de longitud inducida por el campo magnético creado
por la corriente i.
v 0 dx que es la tensión por unidad de longitud inducida por los campos magnéticos
perpendiculares al plano de la bobina y que se contrarresta con la vuelta de
retorno.
Figura 2.5: Circuito equivalente del modelo de parámetros distribuidos, [4].
Las ecuaciones que rigen el comportamiento del elemento diferencial descrito son
las siguientes:
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
∂v1
∂x
∂v2
∂x
∂i1
∂x
δi1 + δi2
= −L
∂i1
− u1 R 0 + v + v 0
∂x
= −i2 R + v 0
= −C
∂
(v1 − v2 )
∂t
= 0
14
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Si se parte de estas ecuaciones y se integran a lo largo de la longitud de la bobina,
suponiendo que el hilo por el que circula la corriente está centrado en el lazo de la
bobina, se obtiene la tensión en bornes de la bobina. Para ello, hay que tener en cuenta
las siguientes condiciones de contorno:

 vout = V (0)
x = 0 i1 (0) = vout
Z

v2 (0) = 0
i1 = −i2
x = l
V (l) = 0
siendo vout = v1 − v2 .
De este modo, cuando se conecta a la bobina una impedancia de terminación Z la
tensión vout entre sus extremos en función de la tensión inducida queda:
vout
1
=
vcoil
l 1+
Z
sLd +Rd
−2γl
Z
· 1+e
Z0 1−e−2γl
(2.11)
donde l es la longitud de la bobina y Z0 y γ se definen como:
p
(sLd + Rd )/sCd
Z0 =
p
γ =
sCd (sLd + Rd )
2.2.3.
Modelo de la bobina autointegradora
A partir del modelo de parámetros distribuidos, Cooper [4] explicó el comportamiento de la bobina autointegradora. Consiste en la integración de la señal de tensión que
realiza la inductancia de la propia bobina junto con la impedancia de terminación
cuando ésta cumple unas determinadas caracterı́sticas.
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
15
Si la impedancia Z es mucho menor que la impedancia caracterı́stica de la bobina
(Z Z0 ), el denominador de la ecuación 2.11 tiende a 1 y la función de transferencia
queda de la siguiente forma:
vout
1
Z
=
vcoil
l sLd + Rd
(2.12)
La bobina integra si la constante de tiempo del sistema, τ = Ld /Rd , es mayor que
el pulso de corriente que se pretende medir.
En ese caso, Rd se puede despreciar frente a sLd y la ecuación 2.12 queda:
vout
1 Z
=
vcoil
l sLd
(2.13)
Si tomamos Z como un elemento resistivo puro la bobina se comporta como un
integrador. En este caso, para medir corrientes de alta frecuencia no es necesario utilizar
un circuito externo a la bobina.
En el siguiente apartado, donde se explica el comportamiento en frecuencia de
la bobina, se verá que si en el modelo de parámetros concentrados se conecta una
impedancia de terminación Z suficientemente pequeña la bobina integra en una banda
de frecuencias.
2.3.
Respuesta en frecuencia teórica de la bobina
Para comparar los distintos modelos de la bobina y contrastar su equivalencia en el
rango de frecuencias en el que se quieren medir pulsos de corriente, se analizará la
influencia de la impedancia de terminación en la respuesta de la sonda y de los
parámetros eléctricos del modelo.
Se supondrán unos valores iniciales de los parámetros de la bobina. De este modo,
se puede estudiar también su influencia en la respuesta en frecuencia. Se partirá, por
tanto, de los siguientes valores:
Rc = 0,1 Ω
Lc = 0,1 µH
Cc = 1 pF
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
16
Resumiendo lo expuesto en apartados previos, las funciones de transferencia de los
modelos considerados eran:
Modelo de parámetros distribuidos
vout
1
=
vcoil
l 1+
Z
sLd +Rd
−2γl
Z
· 1+e
Z0 1−e−2γl
(2.14)
donde l es la longitud de la bobina, y Z0 y γ se definen como:
p
Z0 =
(sLd + Rd )/sCd
p
sCd (sLd + Rd )
γ =
Modelo de parámetros concentrados
vout
Z
=
2
vcoil
Lc ZCc s + (Lc + Rc ZCc )s + Rc + Z
(2.15)
Suponiendo que en los extremos de la bobina se ha conectado una resistencia
Z = Rout = 1 Ω, los diagramas de Bode correspondientes a ambos modelos son los de la
Figura 2.6, donde la lı́nea de puntos corresponde al modelo de parámetros concentrados,
y la lı́nea continua corresponde al modelo de parámetros distribuidos.
Ambas funciones de transferencia son equivalentes, tanto en fase como en frecuencia,
hasta 10 GHz. A partir de entonces, en la gráfica correspondiente al modelo de
parámetros concentrados, aparece un segundo polo. De cualquier modo, se consigue
integrar en la banda de frecuencias de interés. En el resto del documento se
trabajará con el modelo de parámetros concentrados, ya que éste resulta más sencillo
y además es más restrictivo en cuanto a la banda de frecuencias en la que integra.
2.3.1.
Influencia de la impedancia de terminación, Z
Según el modelo de parámetros distribuidos, la bobina es autointegradora cuando
la impedancia de terminación es suficientemente pequeña, Z Z0 .
En el caso del modelo de parámetros concentrados se puede obtener la expresión
2.16, correspondiente a los polos del sistema. A partir de ésta se deduce que, en función
del valor de Z, los polos serán reales y distintos, reales e iguales o imaginarios.
17
Ganancia (dB)
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
0
−100
−200
2
4
10
10
6
8
6
8
10
10
Frequencia (Hz)
10
12
10
10
Fase (º)
0
−50
−100
−150
−200
2
4
10
10
10
10
Frequencia (Hz)
10
12
10
10
Figura 2.6: Diagramas de Bode de los dos modelos, para una resistencia de terminación
de Rout = 1 Ω.
s=
donde Ze =
−(1 +
Rc Z
)
Ze2
±
q
1+
Rc2 Z 2
Ze4
2Lc
−
2Rc Z
Ze2
2
− 4 ZZ 2 Z 2
e
e
Z
(2.16)
p
Lc /Cc .
Los polos serán:
Imaginarios si Z Ze .
Reales e iguales si se anula el discriminante, es decir, si Z =
Rc ±2Ze
.
(Rc /Ze )2 −4
Reales y distintos si Z Ze .
En el primer caso el sistema resulta oscilante. Si los polos son reales e iguales, el
sistema está crı́ticamente amortiguado y no integra la señal de entrada. Por último, si
los polos son reales y distintos, existe una banda de frecuencias en las que el sistema
integra la señal de entrada. De hecho, cuanto menor sea Z, mayor es la banda en la que
se puede integrar. Todo esto queda reflejado en diagrama de Bode de la Figura 2.7.
18
Ganancia (dB)
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
Z = 2e5 ohms
0
Z = 0.2 ohms
−100
Z = Z0
−200
2
10
4
10
6
8
10
10
Frecuencia (Hz)
10
10
12
10
0
Fase (º)
Z = 2e5 ohms
Z = Z0
−50
Z = 0.2 ohms
−100
−150
−200
2
10
4
10
6
8
10
10
Frecuencia (Hz)
10
10
12
10
Figura 2.7: Diagramas de Bode del modelo de parámetros concentrados, con diferentes
impedancias de terminación.
2.3.2.
Influencia de los parámetros eléctricos del modelo de
parámetros concentrados
A continuación se estudia cómo influye el valor de los parámetros eléctricos en
la respuesta en frecuencia de la bobina. El estudio se ha hecho para el modelo de
parámetros concentrados. La extrapolación al modelo de parámetros distribuidos se
puede hacer considerando que en éste último sólo aparece el primero de los polos.
Para el desarrollo de los diagramas se han fijado dos de los parámetros concentrados
y se varı́a el tercero. Los valores de los parámetros fijos son los del apartado anterior.
En todos los casos se ha considerado una resistencia de terminación de Rout = 1 Ω.
Influencia de la resistencia, Rc
En la gráfica de la Figura 2.8 se representan los diagramas de Bode correspondientes
a Rc =0.01, 0.02, 0.05, 1, 2, 5 y 100 Ω. La flecha señala hacia dónde se desplaza el
diagrama de Bode a medida que aumenta Rc . Se observa que la frecuencia del primer
polo aumenta y, por tanto, el ancho de banda disminuye.
19
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
−50
−100
Rc aumenta
−150
−200
0
Phase (deg)
−45
−90
Rc aumenta
−135
−180
6
10
8
10
10
10
Frequency (rad/sec)
12
10
14
10
Figura 2.8: Variación en el diagramas de Bode ante un cambio de Rc .
Influencia de la inductancia, Lc
En la Figura 2.9 se representan los diagramas de Bode correspondientes a Lc =
0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5 y 1 µH. Se observa que el aumento de Lc supone una
disminución en la frecuencia del primer polo, mientras que el segundo polo no varı́a.
Esto conlleva un aumento del ancho de banda pero también una disminución de la
sensibilidad en la banda de integración.
Influencia de la capacitancia, Cc
En este caso, se han representado los diagramas de Bode correspondientes a Cc =
1, 2, 5, 10, 20, 50 y 100 pF . Como se puede ver en la Figura 2.10 cuando aumenta Cc
es la frecuencia del segundo polo la que disminuye. Esto supone una disminución del
ancho de banda.
20
2. Funcionamiento y modelado de la bobina de Rogowski
0
Magnitude (dB)
Lc aumenta
−50
−100
−150
−200
0
Lc aumenta
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
4
6
10
8
10
10
10
10
12
10
14
10
Figura 2.9: Variación en el diagramas de Bode ante un cambio de Lc .
Magnitude (dB)
0
−50
Cc aumenta
−100
−150
−200
0
Phase (deg)
−45
Cc aumenta
−90
−135
−180
6
10
8
10
10
10
12
10
14
10
Figura 2.10: Variación en el diagramas de Bode ante un cambio de Cc .
Capı́tulo 3
Cálculo teórico de los parámetros
eléctricos
Para obtener los parámetros caracterı́sticos de ambos modelos, se calcularán los
parámetros concentrados de la bobina. A partir de ellos, y suponiendo una distribución
homogénea de parámetros distribuidos a lo largo de la longitud de la bobina, se
obtendrán éstos dividiendo por la longitud de la lı́nea media del núcleo de la bobina.
Se deben tener en cuenta las siguientes caracterı́sticas geométricas de la bobina y
los materiales empleados:
El diámetro interior y exterior y la altura del núcleo de la bobina: a, b y W
La longitud y el diámetro del hilo de cobre que forma la bobina: lCu y d
El número de espiras: N
La resistividad del cobre: ρ = 1,56 · 10−8 Ω · m
La permeabilidad magnética del núcleo de la bobina, que se aproximará a la del
vacı́o: µ0 = 4π · 10−7 H/m
La permitividad eléctrica del núcleo de la bobina, que también se aproxima a la
del vacı́o: 0 = 8,85 · 10−12 F/m
En la Figura 3.1 se identifican claramente las caracterı́sticas geométricas del núcleo
de la bobina definidas.
21
22
3. Cálculo teórico de los parámetros eléctricos
Figura 3.1: Dimensiones del núcleo de la bobina.
Resistencia, Rc
La resistencia Rc representa la oposición al paso de la corriente eléctrica. Depende de
las dimensiones del hilo conductor y de la resistividad del material con que esté hecho,
en este caso cobre. Su valor viene dado por la siguiente expresión:
Rc = ρ
lCu
πd2
(3.1)
Inductancia propia, Lc
La inductancia propia Lc representa la influencia del campo magnético creado por
las corrientes que circulan por la bobina sobre la tensión inducida. Se calcula teniendo
en cuenta la geometrı́a del núcleo de la bobina, su permeabilidad y el número de vueltas.
En este caso, se trabajará con un núcleo de sección rectangular, con lo que queda:
Lc =
µ0 N 2 W
b
ln
2π
a
(3.2)
23
3. Cálculo teórico de los parámetros eléctricos
Capacidad, Cc
La capacidad Cc también depende de las caracterı́sticas geométricas del núcleo de
la bobina, ası́ como de la permitividad dieléctrica del núcleo, que se ha considerado
equivalente a la de vacı́o, 0 .
Se deben tener en cuenta las dos capacidades que aparecen en la bobina: la
capacidad entre espiras de la bobina, dada por la expresión 3.3, y la capacidad entre
las espiras y el hilo de retorno, dada por la expresión 3.4.
Cc =
donde:
N
ln( dg
π0 Lesp
p
+ ( dg )2 − 1)
(3.3)
Lesp = 2 · ( b−a
+ W ) es la longitud de una espira.
2
g=
2π a+b
N 2
es la distancia entre espiras.
Cc =
2π0 l
ln Rr
(3.4)
donde
l = 2πR es la longitud del núcleo de la bobina.
R=
r=
a+b
2
b−a
2
es el radio medio del núcleo de la bobina.
es el radio de la sección del núcleo de la bobina.
Influye más la capacidad entre la vuelta de retorno y el resto de las espiras (ecuación
3.4).
Inductancia mutua, M
La inductancia mutua M representa la influencia de los campos magnéticos creados
por corrientes externas a la bobina, en concreto, por la corriente i que se pretende
medir. Este parámetro está ı́ntimamente relacionado con la sensibilidad de la sonda.
Su valor depende, de nuevo, de la geometrı́a del núcleo y de la permeabilidad magnética
y se puede calcular mediante la siguiente expresión:
3. Cálculo teórico de los parámetros eléctricos
M=
µ0
b
N W ln
2π
a
24
(3.5)
Dada su relación con la sensibilidad de la sonda, el cálculo de M también se puede
hacer experimentalmente a partir de los resultados de los ensayos.
3.1.
Cálculo teórico de la sensibilidad y del ancho
de banda de la bobina
La sensibilidad es el factor de proporcionalidad entre la señal de tensión obtenida y
la corriente que se desea medir y se expresa en V /A. Para calcularla hay que recordar
las ecuaciones 2.4 y 2.13. Si se expresa la primera de ellas en el dominio de la frecuencia
queda:
1 Rout
Rout
Rout
· vcoil =
· M si =
M i = κi
l sLd
sLc
Lc
de modo que la sensibilidad de la bobina, κ, es igual a:
vout =
κ=
Rout
M
Lc
(3.6)
(3.7)
El ancho de banda donde la bobina es autointegradora abarca desde una década
por encima del primer polo hasta una década por debajo del segundo. El valor de los
polos del sistema se calcula mediante la expresión 2.16.
Capı́tulo 4
Diseño de una bobina de Rogowski
para detectar pulsos de alta
frecuencia
Conocido el funcionamiento y los modelos a partir de los que se estudia su
comportamiento, se puede pasar al diseño e implementación de una bobina de Rogowski
que permita detectar pulsos de alta frecuencia, como los que se producen en las
descargas parciales.
4.1.
Especificaciones de la bobina
El diseño de la bobina debe hacerse teniendo en cuenta el uso que se le quiere
dar. Se pretende medir pulsos del tipo de las descargas parciales (DP). Las DP tienen
tı́picamente una duración de 5 a 500 ns, por lo que para su detección y medida se
requiere una instrumentación con un ancho de banda de 640 KHz a 64 MHz.
Por otro lado, la sensibilidad de la bobina debe ser suficientemente elevada para
que su detección sea posible. Las DP generan una carga aparente de, al menos, 300 pC.
Suponiendo una duración estándar de 5 ns, este movimiento de carga supone una
corriente de i = ∆Q/∆t = 60 mA. Para poder detectar esta corriente, es necesario que
la sensibilidad de la bobina sea unos 0,08 V /A, de modo que se induzcan unos 5 mV
en los extremos de la bobina, que pueden ser medidos por el osciloscopio disponible y
distinguidos del ruido que aparece durante el proceso de medida.
Se deben estudiar, por tanto, los parámetros que influyen en el ancho de banda
y en la sensibilidad de la bobina. Ası́, se puede elegir una geometrı́a acorde a las
25
4. Diseño de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia
26
especificaciones expuestas.
Análisis del ancho de banda
El ancho de banda de la bobina en el modelo de parámetros concentrados
como bobina autointegradora (es decir, cuando su resistencia de terminación es
suficientemente pequeña) está definido por la frecuencia de los polos del sistema. Se
pueden calcular mediante la expresión 2.16. Se pretende que sea lo mayor posible y que
abarque las frecuencias de interés, es decir, de unos 600 KHz a unos 100 MHz.
Anteriormente, se vio cómo afectaban los parámetros eléctricos al ancho de banda.
Se dedujo, de acuerdo a los diagramas de Bode calculados, que el ancho de banda es
mayor cuanto mayor sea Lc y menores sean Rc y Cc .
En las expresiones 3.1, 3.2 y 3.4, que se muestran de nuevo a continuación, se aprecia
cómo influyen los factores geométricos en los parámetros Rc , Lc y Cc .
lCu
πd2
µ0 N 2 W
b
=
ln
2π
a
2π0 l
=
ln Rr
Rc = ρ
Lc
Cc
Para incrementar Lc , el número de espiras N y la anchura del núcleo de la bobina
W deben aumentar. También debe aumentar el cociente b/a, lo que supone incrementar
el diámetro exterior b y disminuir el diámetro interior a.
Por otro lado, para que disminuya Cc deberı́a disminuir el radio medio del núcleo, R
o aumentar el cociente R/r, aunque este segundo factor es menos determinante, puesto
que es el argumento de un logaritmo.
Por tanto, para aumentar el ancho de banda debe disminuir R e incrementar N y
W.
Análisis de la sensibilidad
Según las estimaciones expuestas, la sensibilidad de la bobina debe ser de 0,08 V /A
aproximadamente. Los parámetros que influyen en ella se pueden deducir a partir de
la ecuación 3.7.
4. Diseño de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia
κ=
27
Rout
M
Lc
Si se quiere aumentar la sensibilidad κ, con resistencia de terminación Rout dada,
debe disminuir Lc . Para ello, según la fórmula 3.2 se deberı́an disminuir N , W y el
cociente b/a.
Si se modifica la geometrı́a de la bobina en un sentido de modo que aumente la
sensibilidad, el ancho de banda disminuirá, y viceversa. Por tanto, es necesario adoptar
una solución de compromiso.
4.2.
Implementación de la bobina
En primer lugar, se elige un núcleo no ferromagnético que cumpla las especificaciones expuestas. La construcción de la bobina consiste básicamente en arrollar 12
espiras de hilo de cobre sobre el núcleo, haciéndolo retornar en una vuelta perpendicular a todas las espiras para compensar la inducción de tensión debido a cualquier flujo
paralelo a la bobina que exista. En la Figura 4.1 se muestra una foto con el aspecto
final de la bobina fabricada, que tiene las dimensiones expuestas en la Tabla 4.1.
Tabla 4.1: Geometrı́a del núcleo de la bobina.
Parámetro geométrico
Diámetro interior, a
Diámetro exterior, b
Altura, W
Número de vueltas, N
Especificación
13 mm
50 mm
50 mm
12
Parámetros esperados
Teniendo en cuenta las ecuaciones 3.1 a 3.5, y según las caracterı́sticas geométricas
elegidas, el valor de los parámetros eléctricos del modelo de parámetros concentrados
se especifican en la Tabla 4.2.
A partir de estos datos, se pueden calcular la sensibilidad y el ancho de banda que
teóricamente deberı́a proporcionar la bobina.
Dado que se quiere una sensibilidad de unos 0,08 V /A, de acuerdo con la ecuación
3.7, la resistencia de terminación debe ser aproximadamente Rout = 1 Ω.
4. Diseño de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia
28
Figura 4.1: Bobina fabricada.
Tabla 4.2: Parámetros eléctricos calculados para el modelo de parámetros concentrados.
Parámetro
Rc
Lc
Cc
M
Especificación
0.23 Ω
1.94 µH
15 pF
0.16 µH
A partir de la expresión 2.16, se calculan los polos del sistema para obtener el ancho
de banda de la bobina. Con los parámetros calculados teóricamente, las frecuencias en
las que la bobina es autointegradora son las que están entre 100 KHz y 7.7 GHz, con
lo que se cumplen las especificaciones anteriormente expuestas.
Parámetros obtenidos
Los parámetros eléctricos del modelo de parámetros concentrados se pueden
obtener experimentalmente mediante el medidor de impedancias SOLARTRON SI
1260, disponible en el Laboratorio de Alta Tensión. Este equipo aplica una tensión
conocida de distintas frecuencias, registrando la corriente que circula por la impedancia.
Mediante el software proporcionado por el fabricante, se pueden ajustar estas medidas
a un modelo determinado, con lo que se obtienen el valor de los parámetros de
ese modelo. Si se ajustan los datos obtenidos al circuito equivalente del modelo de
parámetros concentrados (Figura 2.4) para tensiones entre 10 Hz y 10 MHz, el valor
de la resistencia, inductancia y capacidad de la bobina son los que se muestran en la
Tabla 4.3.
4. Diseño de una bobina de Rogowski para detectar pulsos de alta frecuencia
29
Tabla 4.3: Parámetros eléctricos obtenidos por el medidor de impedancias.
Parámetro
Rc
Lc
Cc
Especificación
0,2746 ± 0,0004 Ω
3,083 ± 0,005 µH
25,2 ± 0,4 pF
Al comparar estos valores con los obtenidos teóricamente se observa que el valor de
Rc resulta bastante similar en ambos casos. En cambio, el valor de Lc y de Cc , aunque
del mismo orden de magnitud, presentan una discrepancia apreciable. En el caso de la
capacidad Cc puede ser debido a que la permitividad relativa del plástico del núcleo
es 3 o 4 y no 1 como se ha supuesto en los cálculos. En cuanto a Lc , puede deberse a
la suposición de que el toroide tiene un devanado uniforme de muchas vueltas, y las
lı́neas de flujo magnético están confinadas en el interior del toroide, suponiendo cero la
densidad de flujo magnético B en el exterior.
Capı́tulo 5
Resultados experimentales
La bobina construida se sometió a varios ensayos en los que se trataba de medir la
corriente que circula por una resistencia. Se midieron dos tipos de señales: senoidales
y pulsos. Las resistencias de terminación utilizadas se eligieron para cumplir lo
expuesto
2.3.1: deben ser menores que la impedancia caracterı́stica
p en el apartado
p
Ze = Ll /Cl = Lc /Cc = 360 Ω para que la bobina sea autointegradora.
5.1.
Medida de señales senoidales
El esquema utilizado para la medida de corrientes senoidales se muestra en la Figura
5.1. La corriente i que se pretende medir es la que circula por la resistencia Rcir = 1 KΩ
alimentada por el generador de funciones. La bobina de Rogowski se sitúa rodeando al
conductor que alimenta la resistencia Rcir .
Para comparar la corriente real que circula por esta resistencia con la señal captada
por la bobina de Rogowski, se mide en el canal 1 del osciloscopio la tensión en Rcir .
En el canal 2 se mide la caı́da de tensión vout que se produce en Rout promediándola
mediante una de las funciones del osciloscopio.
Se realizaron medidas con varias resistencias de terminación Rout . En la Figura 5.2
se representan las ondas obtenidas con una tensión de alimentación de 9 V de pico y
10 MHz para dos resistencias de terminación:
Rout = 1 Ω
Rout = 10 Ω
30
31
5. Resultados experimentales
Figura 5.1: Esquema para la medida de señales senoidales.
En la Figura 5.2 se observa que, al medir con la resistencia de 10 Ω, la señal de
tensión de salida se retrasa unos 30o , aunque su amplitud es mucho mayor que la
tensión medida con la resistencia de 1 Ω. El desfase con esta última se hace nulo, con
lo que se confirma que con una resistencia de terminación suficientemente pequeña la
bobina es autointegradora.
La sensibilidad κ es de 0.5 V /A y 0.06 V /A para Rout = 10 y 1 Ω, respectivamente.
Esto concuerda con la proporcionalidad que debe existir entre las dos sensibilidades,
de acuerdo con la expresión 3.7.
El valor de M que se deduce según la expresión 3.7, a partir de la sensibilidad
obtenida, es:
M=
κLc
≈ 0,1 µH
Rout
(5.1)
El valor calculado teóricamente era de 0,16 µH. El error es del 50 %, pero la
magnitud es del mismo orden.
5.2.
Medida de pulsos de un calibrador
En la medida de pulsos, el esquema de medida es el que se muestra en la Figura
5.3. En este caso, el generador de funciones es sustituido por un calibrador que genera
32
5. Resultados experimentales
0.01
0.008
0.006
Vout
Rout = 1 ohms
I (A), Vout (V)
0.004
0.002
0
−0.002
−0.004
Vout
Rout = 10 ohms
−0.006
−0.008
−0.01
I
0
0.2
0.4
0.6
tiempo (s)
0.8
1
−6
x 10
Figura 5.2: Medidas obtenidas con dos resistencias de terminación diferentes: 1 Ω y
10 Ω.
pulsos con un tiempo de subida de 50 ns. En este caso es necesario medir la tensión
en Rcir de modo diferencial ya que no existe una referencia de tierra en el generador.
Por ello, la corriente i se calcula restando las entradas que se señalan como Ch1 y Ch2
en la Figura 5.3 y dividiendo por el valor de Rcir . Teniendo en cuenta los resultados
obtenidos en la medida de ondas senoidales, la resistencia de terminación utilizada es
Rout = 1 Ω para evitar que exista desfase.
El pulso de salida se mide en el canal 3 del osciloscopio. En la señal original aparece
una oscilación de unos 100 MHz superpuesta al pulso. Ray [7] indica que este tipo de
oscilación a la frecuencia de resonancia de la bobina aparece cuando la corriente medida
presenta discontinuidades o asimetrı́as, como ocurre al medir un pulso. La frecuencia
de resonancia de la bobina es:
1
fres = √
= 92,7 MHz
2 Lc Cc
(5.2)
Para eliminar la oscilación que aparece en el pulso original a la frecuencia de
resonancia se ha empleado un filtro matemático. Este filtro se basa en la convolución
en frecuencia de las componentes espectrales de la señal y una función de valor unidad
en todo el espectro, salvo en la banda de frecuencias que se quiere suprimir, en donde
su valor es nulo. Es decir, se aplica una ventana a la parte de la señal que interesa y el
resto se elimina. El filtro es ideal porque la ventana es cuadrada. Esto implica subidas
y bajadas muy bruscas en frecuencia que se traducen en señales infinitamente largas
33
5. Resultados experimentales
Figura 5.3: Esquema para la medida de pulsos.
en el tiempo. La realización fı́sica de este filtro ideal es imposible pero se puede hacer
un cálculo matemático de la respuesta del filtro.
Después de procesar la salida con este filtro, los pulsos obtenidos son los que se
muestran en la Figura 5.4.
Excitation Current (A)
0.08
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−6
x 10
−3
Output Voltage (V)
3
x 10
2
1
0
−1
−2
−3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time (s)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−6
x 10
Figura 5.4: Pulso medido con una resistencia de terminación Rout = 1 Ω.
Capı́tulo 6
Conclusiones
Con este trabajo de investigación se ha hecho el estudio previo necesario para el
desarrollo de una sonda capaz de medir descargas parciales.
Se ha construido una sonda capaz de medir pulsos de alta frecuencia. Ası́, se tiene
un método simple y barato para detectar descargas parciales.
De este modo, es posible registrar la forma de los pulsos de DP en un osciloscopio,
para poder estudiar cambios en las caracterı́sticas de los pulsos a medida que el
dieléctrico envejece.
Se ha deducido cuál es la influencia de los parámetros geométricos del núcleo de la
bobina sobre su respuesta en frecuencia, pudiéndose comprobar que el cambio de los
parámetros que mejoran la sensibilidad, empeoran el ancho de banda y viceversa.
Experimentalmente, se ha verificado la equivalencia entre los dos modelos que
aparecen en la bibliografı́a estudiada, ya que se vio que ambos predicen la misma
respuesta de la bobina hasta una frecuencia muy elevada. A partir de ésta no se han
podido deducir conclusiones, puesto que no se disponı́a de ningún medio para generar
señales de esas frecuencias.
6.1.
Publicaciones
Este estudio ha dado lugar a un artı́culo que en estos momentos está siendo revisado
para su publicación en Review of Scientific Instruments, cuyo tı́tulo es Implementation
of a Rogowski coil for the measurement of partial discharges.
34
Índice de figuras
1.1. Esquema de una bobina de Rogowski de una sola capa, con vuelta de
retorno, [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1. Elemento infinitesimal de longitud dl de la bobina, [6]. . . . . . . . . .
9
2.2. Modelo del circuito integrador pasivo, [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3. Modelo del circuito integrador activo mediante el uso de amplificadores
operacionales, [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4. Modelo de parámetros concentrados, [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.5. Circuito equivalente del modelo de parámetros distribuidos, [4]. . . . .
13
2.6. Diagramas de Bode de los dos modelos, para una resistencia de
terminación de Rout = 1 Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.7. Diagramas de Bode del modelo de parámetros concentrados, con
diferentes impedancias de terminación. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.8. Variación en el diagramas de Bode ante un cambio de Rc . . . . . . . . .
19
2.9. Variación en el diagramas de Bode ante un cambio de Lc . . . . . . . . .
20
2.10. Variación en el diagramas de Bode ante un cambio de Cc . . . . . . . . .
20
3.1. Dimensiones del núcleo de la bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.1. Bobina fabricada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.1. Esquema para la medida de señales senoidales. . . . . . . . . . . . . . .
31
35
ÍNDICE DE FIGURAS
36
5.2. Medidas obtenidas con dos resistencias de terminación diferentes: 1 Ω y
10 Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.3. Esquema para la medida de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.4. Pulso medido con una resistencia de terminación Rout = 1 Ω. . . . . . .
33
Bibliografı́a
[1] W. Rogowski and W. Steinhaus, “Die Messung der magnetische Spannung”, Arch
Electrotech, vol. 1, pp. 141–150, 1912.
[2] J. D. Ramboz, “Machinable Rogowski coil. Design and calibration”, IEEE
Transactions on Instrumentation and Measurement, vol. 45, no. 2, pp. 511–515,
April 1996.
[3] W. F. Ray and C. R. Hewson, “High performance Rogowski current transducers”,
IEEE - IAS Conf. Proc., Sept. 2000.
[4] J. Cooper, “On the high-frequency response of a rogowski coil”, Plasma Physics
(Journal of Nuclear Energy. Part C), vol. 5, pp. 285–289, 1963.
[5] W. F. Ray, “Wide bandwidth rogowski current transducers. part i: The rogowski
coil”, EPE Journal, vol. 3, no. 1, pp. 51–59, March 1993.
[6] D. A. Ward and J. La T. Exon, “Using rogowski coils for transient current
measurements”, Engineering Science and Education Journal, pp. 105–113, June
1993.
[7] W. F. Ray, “Wide bandwidth rogowski current transducers. part ii: The integrator”,
EPE Journal, vol. 3, no. 2, pp. 116–122, June 1993.
[8] D. G. Pellinen, M. S. Di Capua, S. E. Sampayan, H. Gerbracht, and M. Wang,
“Rogowski coil for measuring fast, high-level pulsed currents”, Rev. Sci. Instrum.,
vol. 51, no. 11, pp. 1535–1540, Nov. 1980.
37