MATEMÁTICAS EMPRESARIALES FEB 2000 1−. CONTESTAR RAZONADAMENTE • Sean u1,u2,u3 tres vectores independientes de !3. Indicar si {u1,u2−u3,u1+u2+u3} es una base de !3. • Sean u, v, w, tres vectores de un espacio vectorial ". Sea x un vector de " tal que x = u + v +w y x = 3u−2w. ¿Pueden ser u, v, w, independientes? • Sea f:!3!4 una aplicación lineal.¿Es posible que img(F) sea de dimensión 2 y que el Ker(f)={x/x1−x2+x3=0} • Sea f:"!3 una aplicación lineal inyectiva y u y v dos vectores independientes.¿Es Posible que f(u)=(−1,2,1) y f(w)=(3,−6,−3)? • Sea f un endomorfismo de !4, =−2,=3,=−1 tres autovalores, con vectores propios asociados a=(a1,a2,a3,a4) b=(b1,b2,b3,b4),c=(c1,c2,c3,c4) respectivamente?. Hallar el rango de la matriz M: a1 a2 a3 a4 M = b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 2−. Sea M2x2 el espacio vectorial de las matrices 2x2 y H el subespacio formado por las matrices que conmutan con la matriz A. −1 0 A = 1 1 H ={x"M2x2/A X =X A} • Probar que H es subespacio de M2x2 y hallar su dimensión y una base. • Sean: a + b −2a −a + 2b a L = b a + b M = b a + 4b Estudiar si L o M son suplementarios de H. 3−. Sea f un endomorfismo de !3 tal que: f(1,0,0)=(3,2,2) f(0,1,0)=(2,2,0) 1 6 es autovalor de f y £{=6}=£{(2,2,1)} • Calcular la matriz de f en la base canónica. • Calcular la dimensión y una base del Ker(f) e Img(f). • Estudiar la posible diagonalización de f mediante una base ortonormal. • Calcular An. RESOLUCIÓN DEL EXAMEN: 1−. 1a) Serán base si son independientes: 2 formas de resolución: 1ª forma: au1 + b( u1 − u3 ) + c( u1 + u2 + u3 ) = 0 (a + b + c)u1 + cu2 + ( −b + c )u3=0 a+b+c=0 c=0c=b=a=0 −b + c = 0 2ª forma: Hallando el rango 100 1 0 −1 111 = número de independientes " 2 /M/=1"0 indep. base 1b) u + v + w = 3u − 2w −2u + v + 3w = 0 combinación lineal de los vectores iguales a 0 sin ser 0 los coeficientes. Son dependientes 1c) 2 Para que sea así se tiene que cumplir esta condición: dim Img(f) + dim Ker(f) = dim !3=3 x1=x2−x3 x1=− x2= £{(1,1,0)(−1,0,1)} x3= Hallamos la dimensión: 110 dim= −1 0 1 =2 dim Img(f) + dim Ker(f) = dim !3=3 2 + 2 " 3 No es posible 1d) Las aplicaciones inyectivas transforman vectores independientes a dependientes a veces. No es posible porque las aplicaciones lineales inyectivas conservan la independencia lineal y a dos vectores independientes les ha transformado en vectores dependientes. 1e) A autovalores distintos les corresponden autovalores independientes: Hallamos el rango de la matriz: a1 a2 a3 = b1 b2 b3 =3 c1 c2 c3 2−. 2a) 1º Si x1, x2 "!x1,x2" 2º si x " !x 1º Hipótesis Tesis A x1 = x1 A A (x1 + x2)=(x1 + x2) A 3 A x2 = x2 A Demostración A (x1 + x2)=Ax1+Ax2=(por hipótesis)x1A+x2A=(x1 + x2) A 2º Hipótesis Tesis A x = x a A(x)=(x)A Demostración A(x)=Ax=(por hipótesis) xA=(x)A Dimensión y base: ab x=cd −1 0 a b a b −1 0 11cd=cd11 −a = −a + b b=0 −b = b d=a+2c a + b = −c + d El conjunto H es el conjunto que tiene la forma a 0 b + d = d c a+2c a01000 H= c a+2c = £ 0 1 1 2 1001 dim H== 0 0 1 2 =2 2b) a+b −2a −a+2b a L = b a+4b M= b a+4b H+L=M2x2 H"L=0 1 −2 1 0 −1 1 2 0 4 L=£ 0 1 1 1 M=£ 0 1 1 4 1 0 0 0 1 −2 1 0 H+L = £ 0 1 1 2 0 1 1 1 1001 0012 dim H+L= 1 −2 0 1 =4 1011 "3 1000 0012012 //= 1 −2 0 0 = 2 0 0 " 0 1010010 dim H+L=M2x2 dim H+L + dim H"L= dim H +dim L 4+x=2+2 Si son suplementarios. 1 0 0 0 −1 1 2 0 H+M=£01120114 1001 0012 dim H+M= −1 1 0 1 2014 "3 101 //= − 0 1 2 " 0 214 5 dim H+M" M2x2 No son suplementarios 3−. 3a) 3 2 a f:A 2 2 b 20c f(x)=x Ax=x 3 2 a 2 2 22b1=61 20c22 8+2a=12 a=2 6+2b=6 b=6 4+2c=12 c=4 322 A= 2 2 0 " 2 /A/=0 204 3b) dim y base del núcleo: (A)=2 dim Img(f)= (A)=2 Base Img={(3,2,2)(2,2,0)} dim núcleo = N−(A)=3−2=1 Img Núcleo: 322x0 220y=0 204z0 2y+2z=−3x 2y =−2x 6 x= y=− z= −1/2 Ker(f)=£{(1,−1,1/2)}={(2,−2,−1)} 3c) diagonalización de f por base ortonormal. La matriz asociada a A es simétrica. Si se puede diagonalizar mediante base ortonormal. 3− 2 2 2 2− 0 = (3−)(2−})(4−)−4(2−)−4(4−)=−+9−18=0 2 0 4− =0 −(−9+18)=0 =−9+18=0 = 9±" 81−72 2 =6 =3 =0 =6 =3 £{=6}=£{(2,1,2)} £{=0}=£{(2,−2,−1)} £{=3}=£{(1,2,−2)} Base ortogonal:{(2,1,2)(2,−2,−1)(1,2,−2)} Base ortonormal:{(2/3,1/3,2/3)(2/3,−2/3,−1/3)(1/3,2/3,−2/3)} 600 −^− 0 0 0 003 3d) 7 An=M−^−nM−1=M−^−nMT 2/3 2/3 1/3 6n 0 0 2/3 1/3 2/3 = 1/3 −2/3 2/3 0 0 0 2/3 −2/3 −1/3 2/3 −1/3 −2/3 0 0 3n 1/3 2/3 −2/3 8