PRÁCTICA III INTERVALOS DE CONFIANZA

PRÁCTICA III
INTERVALOS DE CONFIANZA
(2008-09)
1. Objetivos:
En esta práctica buscan dos objetivos principales:
• Construir con ordenador los intervalos de confianza más usados en la práctica.
• Interpretar y entender qué es un intervalo de confianza.
Estos objetivos se conseguirán mediante la resolución de varios ejemplos.
2. Contenido:
• Se comienza creando un intervalo de confianza para la media de una población
con distribución normal N(μ δ), con δ conocida, a partir de una muestra. Esto se
hace de dos formas usando diferentes herramientas del Excel.
•
Se repite el mismo proceso para el caso en que δ es desconocida. Se realizará la
misma tarea para los demás intervalos en hojas consecutivas.
•
En los casos que se pueda, se aprovecharán los cálculos para hallar el tamaño
muestral adecuado a los requerimientos del problema particular de que se trate.
•
Se construyen intervalos de confianza a partir de diferentes muestras de una
población con distribución normal N(μ δ), con δ conocida. Se observa cómo
varían éstos y como, al considerar un alto número de muestras, hay intervalos
que no contienen a la media.
EJEMPLO 1: Se estudia la conductividad térmica en el hierro Armico. Al utilizar
una temperatura de 100ºF y una potencia de 550W, se obtienen las siguientes 10
mediciones:
41,60
42,18
41,48
41,72
42,34
42,26
41,95
41,81
41,86
42,04
Obtén una estimación puntual de la conductividad térmica promedio de este tipo de
hierro así como un intervalo de confianza del 95% para dicha conductividad térmica
promedio, sabiendo que esta conductividad térmica se distribuye de modo normal con
varianza 0,09.
¿Cuántas muestras deberíamos tomar si queremos que el error sea menor que 0,1?
Guión:
1. Escribe en A1 el título INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA POBLACI
ÓN NORMAL.
2. Escribe en la casilla A2 la palabra “Muestra” y en las casillas sucesivas de la columna
A los datos de las mediciones.
3. Escribe en la columna C y por filas los textos siguientes: Tamaño de la Muestra n=,
Media Muestral=, Varianza Muestral=, Desv. Típica Muestral=, Varianza Poblacional=,
Desv. Típica Poblacional=, Est. Puntual de la Media Poblacional=, Est. Puntual de la
Varianza Poblacional=, Est. Puntual de la Desviación Típica Poblacional =, Nivel de
confianza=, Alpha=, Longitud=, Extremo Inf Intervalo=, Extremo Sup Intervalo=.
4. Según corresponda, escribe o calcula en la columna D los valores numéricos
correspondientes a los textos de la columna B (usa las prácticas I y II; recuerda la
diferencia entre las funciones VAR y VARP y entre las funciones DESVEST y
DESVESTP).
5.
Para
calcular
la
longitud
del
intervalo
insertar
la
función:
INTERVALO.CONFIANZA (consulta la definición de esta función).
6. Una vez obtenida la longitud, para obtener los extremos inferior y superior del
intervalo basta con restar y sumar esta longitud a la Estimación de la Media.
7. Repetir el cálculo de la longitud del intervalo calculando el punto z(α/2). Para ello,
agregar en la columna C y por fila los siguientes textos: Alfa/2=; 1-Alfa/2=; z(α/2)=,
Longitud=, Extremo Inf Intervalo=, Extremo Sup Intervalo=; y en la columna E: n-1=.
8. Calcula en la columna D los valores numéricos correspondientes a los textos
añadidos en la columna C.
9. Para calcular el punto z(α/2) se debe usar para ello la función
DISTR.NORM.ESTAND.INV (consulta la definición de esta función y la de la función
DISTR.NORM.ESTAND)
10. Calcula ahora la longitud del intervalo usando la fórmula vista en teoría y, con esa
longitud, los extremos superior e inferior del intervalo serían análogos al caso anterior.
11. Para determinar el tamaño de la muestra acorde con el error:
Error= |valor real − estimación |≤ longitud del intervalo.
Así basta con que n=Int(((z(α/2)*δ)/Εrror)^2)+1
EJEMPLO 2: Repetir los cálculos del ejemplo 1 para el caso en que no se conoce la
varianza poblacional.
Guión:
1. Escribe en la casilla correspondiente a n, el símbolo n-1 y anota éste valor.
2. Escribe en la casilla correspondiente a z(α/2) el símbolo tn-1(α/2) y calcula su valor
para este ejemplo usando la función DISTR.T.INV (consulta la definición de esta
función y la de la función DISTR.T)
3. Con el valor t4(0,025) calcula la longitud del intervalo con la fórmula vista en teoría
y, con esta longitud, los extremos del intervalo.
EJEMPLO 3: Repetir los cálculos del ejemplo 1 para el caso en que queremos
obtener un intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional.
Guión:
1. Escribe en la casilla correspondiente a z(α/2) y longitud los símbolos χn-1(α/2),
χn-1(1-α/2); calcula estos valores usando la función PRUEBA.CHI.INV (consulta la
definición de esta función).
3. Con esos valores, calcula los extremos del intervalo usando la fórmula de la teoría.
EJERCICIO 1: En las siguientes hojas hacer programas análogos para los demás
intervalos vistos en teoría como:
a) INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN (MUESTRAS
GRANDES).
b) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS, PARA
POBLACIONES NORMALES CON DESVIACIONES TÍPICAS CONOCIDAS Y
PARA MUESTRAS GRANDES DE CUALQUIER POBLACI ÓN.
c) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES
(MUESTRAS GRANDES)
d) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE
POBLACIONES NORMALES CON DESVIACIÓN TÍPICA COMÚN Y
DESCONOCIDA.
e) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS PARA
POBLACIONES NORMALES CON DESVIACIONES TÍPICAS DISTINTAS Y
DESCONOCIDAS.
f) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA RAZÓN DE VARIANZAS EN
POBLACIONES NORMALES.
Para hacerlos, inventa los correspondientes valores muestrales y poblacionales, y usa,
según corresponda las funciones
DISTR.NORM.ESTAND.INV, DISTR.T.INV,
DISTR.F.INV, PRUEBA.CHI.INV.
EJERCICIO 2: Usa las hojas programadas para resolver los ejercicios del tema 5.
EJEMPLO 4: Genera 10 muestras de 10 datos aleatorios de una distribución N(3,1).
Calcula con cada una de esas muestras, el correspondiente intervalo de confianza del
95% para la media de la población (3) suponiendo que la desviación típica es conocida
(δ=1). Interpreta los resultados.
Aumenta el número de muestras a 50, interpreta los resultados.
¿Qué ocurre cuando se consideran 100 muestras?
EJERCICIO 3: Repite el ejemplo 4 para el caso varianza desconocida.
EJERCICIO 4: Repite el ejemplo 4 para otros intervalos de confianza.