Teorema de Gauss

I.E.S SILVERIO LANZA (Getafe)
Dpto. de Física y Química
TEOREMA DE GAUSS
Concepto de FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO: Φ
Se denomina flujo del campo eléctrico (Φ) al
producto escalar del vector campo por el vector
r r
superficie Φ = E · S
El vector superficie es un vector que tiene por
módulo el área de dicha superficie y la dirección es
perpendicular al plano que la contiene.
r
r
Cuando el vector campo E y el vector superficie S
son perpendiculares el flujo es cero.
r
Teniendo en cuenta que el modulo de E es el número de líneas por unidad de superficie
perpendicular al campo, el flujo a través de una superficie cerrada dentro de un campo
de fuerzas “representa el número neto de líneas de fuerza que salen de la superficie
cerrada”. Por ello:
•
•
•
Φ > 0 Salen más líneas que entran.
Φ = 0 Salen tantas como entran.
Φ < 0 Entran más que salen.
El TEOREMA DE GAUSS afirma que: “el flujo del campo eléctrico a través de una
superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie
dividido entre ε0”.
r r q
Φ = ∫ E · dS =
εo
APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS
1.
Campo eléctrico creado por una esfera uniformemente cargada:
Dada una esfera de radio R, uniformemente cargada, y un punto A a una distancia r
del centro de la esfera, podemos calcular el campo del siguiente modo: tomamos
como superficie gaussiana una superficie esférica de radio r con el mismo centro
que la esfera cargada y sabemos que por razones de simetría en todos los puntos de
r
la esfera el campo vale lo mismo: E y además el campo será perpendicular a la
r r
superficie, por lo que al hacer la integral de E · S nos queda simplemente E · S
donde S es la superficie de la esfera de radio r
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Dpto. de Física y Química
r
S
A
Φ = E S = E 4 π r2 = Q / εo =>
r
E=
r
E
Q
4 π εo r2
E=k
Q
r2
Observamos que el campo creado por
una esfera cargada con una carga Q
uniformemente distribuida, a una
distancia r del centro de la esfera, es el mismo que el de una carga puntual Q colocada
en el centro de la esfera.
2. Campo creado por un plano indefinido cargado uniformemente:
Tomamos ahora como superficie gaussiana un cilindro con las dos bases paralelas al
plano. Solo habrá flujo a través de las bases y por razones de simetría en toda la
superficie lateral del cilindro, el flujo será cero pues el vector S y el vector E son
perpendiculares.
Φ = E S + E S = 2 E S = Q / εo
=>
E = Q / 2 S εo
E=
σ
2 εo
Donde σ es la densidad
superficial de carga Q/S
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