39 - Angelfire

TEORÍA DE JUEGOS (2da.
Parte)
M. En C. Eduardo Bustos Farías
1
TEORIA DE JUEGOS:
ANTECEDENTES
1928: Von Newman Desarrolla la Teoría de
Juegos.
1944 PUBLICACION DE “Theory and Practice
of Games and Economical Behavior”
194?:WALD INCORPORA TJ A LA TEORIA DE DECISIONES
194?: DATZING Y BELLMAN LA TOMAN EN CUENTA EN
PROGRAMACION LINEAL Y DINAMICA
1
JUEGOS DE DOS PERSONAS
DE SUMA CERO
3
JUEGO: CARACTERISTICAS
„
„
„
ESTRATEGIA DEL JUGADOR 1.
ESTRATEGIA DEL JUGADOR 2.
LA MATRIZ DE PAGOS
2
¿TEORIA DE JUEGOS DE
NEGOCIOS?
„
„
„
SITUACIONES DE CONFLICTOS DE
NEGOCIOS EN EL TIEMPO.
PARTICIPANTES: DOS COMPETIDORES CON
PENSAMIENTO LOGICO O RACIONAL.
JUGADORES ELIGEN ESTRATEGIAS SOLO
PARA PROMOVER SU BIENESTAR SIN
COMPASION POR EL OPONENTE.
5
JUEGOS DE SUMA CERO
„
„
„
LOS INTERESES DE LAS DOS
PERSONAS SON OPUESTOS.
LA SUMA DE LAS GANANCIAS DE UNO
ES EXACTAMENTE LA SUMA DE LAS
PERDIDAS DEL OTRO.
AMBOS COMPETIDORES TIENEN IGUAL
CAPACIDAD E INTELIGENCIA.
6
EJEMPLO
„
„
„
„
„
DOS POLITICOS ESTAN DE VISITA A EU Y CONTIENDEN POR
LA PRESIDENCIA DE UN PAIS LATINO.
LOS DIAS QUE SIGUEN SERAN CRUCIALES PARA EL ÉXITO O
LA DERROTA. HAY DOS CIUDADES (MEX Y GUAD) QUE SON
CLAVES.
PARA EVITAR PERDIDAS DE TIEMPO ESTAN PLANEANDO
VIAJAR EN LA NOCHE Y PASAR UN DIA COMPLETO EN CADA
CIUDAD O, DOS DIAS EN SOLO UNA DE LAS CIUDADES.
NINGUNO DE LOS POLITICOS SABE POR ADELANTADO LO QUE
REALIZARA EL OTRO.
EL RESULTADO DE LAS POSIBLES ESTATEGIAS SE
PROPORCIONA PARA EL POLITICO 1.
7
ESTRATEGIAS
„
„
„
ESTRATEGIA 1: PASAR UN DIA EN MEX Y OTRO EN GUAD.
ESTRATEGIA 2: PASAR AMBOS DIAS EN MEX.
ESTRATEGIA 3: PASAR AMBOS DIA EN GUAD.
8
MATRIZ DE PAGOS
CANTIDAD DE VOTOS
GANADOS POR EL POLITICO 1
(EN UNIDADES DE 1000
VOTOS)
POLITICO 2
ESTRATEGIA
POLITICO 1
1
2
3
1
1
2
4
2
1
0
5
3
0
1
-1
9
ESTRATEGIAS DOMINADAS
JUGADOR 2
ESTRATEGIA
JUGADOR 1
1
2
3
1
1
2
4
2
1
0
5
3
0
1
-1
JUGADOR 2: NO TIENE
JUGADOR 1: ESTRATEGIA 3 ES DOMINADA POR LA 1
10
VALOR DEL JUEGO
„
„
EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL
JUGADOR 1 CUANDO AMBOS JUEGAN
DE MANERA OPTIMA.
JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO
ES 0.
11
CRITERIO MINIMAX
JUGADOR 2
ESTRATEGIA
JUGADOR 1
1
2
3
1
-3
-2
6
2
2
0
2
3
5
-2
-4
¿QUE OPCION ESCOGE CADA JUGADOR DE MANERA
QUE LA MAYOR PERDIDA POSIBLE SEA MINIMIZADA?
12
CRITERIO MINIMAX
JUGADOR 2
ESTRATEGIA
1 2 3
1 -3 -2 6
2 2 0 2
3 5 -2 -4
JUGADOR 1
MÁXIMO
MÍNIMO
-3
0
-4
5 0 6
VALOR MAXIMIN
PUNTO SILLA
VALOR MINIMAX
SE SELECCIONA LA OPCION 2
VALOR DEL JUEGO= 0 (JUEGO JUSTO).
13
PUNTO SILLA
„
„
„
MINIMAX= MINIMAX
PUNTO SILLA ->NINGUN JUGADOR
PUEDE APROVECHAR LA ESTRATEGIA
CONOCIDA DE SU OPONENTE ->
SOLUCION ESTABLE
14
SOLUCIONES SIN PUNTO
SILLA
JUGADOR 2
ESTRATEGIA
1 2 3
1 0 -2 2
2 5 4 -3
3 2 3 -4
JUGADOR 1
MÁXIMO
MÍNIMO
-2
-3
-4
maximin
5 4 2
minimax
15
El pago esperado
16
17
18
Solución gráfica de juegos
(mx2)
„
Considere el siguiente juego:
B
A
1
2
1
2
4
2
2
3
3
3
2
4
-2
6
19
El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y
y2 (=1- y1) dos estrategias mixtas de B.
Estrategia pura de
A
1
Pagos esperados
para B
-2y1 + 4
2
-y1 + 3
3
y1 + 2
4
-8y1 + 6
20
Graficando se obtiene:
v*= 8/3
rectas
4
1
2
3
y1 = 2/3
Minimax
21
POR WINQSB
22
Ejemplo 1. Método simplex
„
B
Considere el
siguiente juego
(3x3):
A
1
2
3
1
3
-1
-3
2
-3
3
-1
3
-4
-3
3
23
Solución para B
„
„
„
El mínimo de renglón es -3 y el máximo de
columna es 3
Como el valor mínimo es -3 el valor del juego
puede ser negativo o cero, se agrega una
constante K a todos los elementos de la
matriz, por lo menos igual al número más
grande de la matriz, por ejemplo k=5.
La matriz se convierte en:
24
Matriz modificada
B
A
1
2
3
1
8
4
2
2
2
8
4
3
1
2
8
25
El problema de programación lineal
de B que se deriva de esta matriz es:
Max W = Y1 + Y2 + Y3
S.A.
8Y1 + 4Y2 + 2Y3 <= 1
2Y1 + 8Y2 + 4Y3 <= 1
1Y1 + 2Y2 + 8Y3 <= 1
Y1, Y2, Y3 >= 0
26
Solución por Winqsb
27
Datos importantes
28
Estrategias óptimas para B
V*=1/w – k = 1/.229 – 5 = -0.644
„ Y1*=y1/w = .071/.229 = 0.311
„ Y2*=y2/w = .056/.229 = 0.244
„ Y3*=y3/w = .102/.229 = 0.444
(.311, .244, 0.444)
Nótese que suman 1.
„
29
Estrategias óptimas para A
Resolviendo el dual del problema anterior se tiene:
„ Z = W = .229
„ X1 = 0.102
„ X2 = 0.056
„ X3 = 0.071
En consecuencia:
„ X1* = X1/Z = 0.444
„ X2* = X2/Z = 0.244
„ X3* = X3/Z = 0.311
„ (.444, .244, .311).
„
Nótese que suman 1
30
Ejemplo 2.
„
Sea la matriz de consecuencias para el
juego (2x2):
Jugador 1
A1
A2
Jugador 2
B1
B2
0
½
1
0
31
Solución por programación
lineal
Como el valor maximin = 0, se procede a
resolver:
MAX Z = Y1 + Y2
S.A.
0Y1 + 0.5Y2 <= 1
1Y1 + 0Y2 < = 1
Y1, Y2 >= 0
32
Solución por Winqsb:
planteamiento
33
Datos importantes
34
Estrategias óptimas
Estrategias óptimas del jugador 2
„ V* = 1/3
„ Y1* = 1/3
„ Y2* = 2/3
Para obtener las estrategias óptimas del
jugador 1 resolvemos por simplex dual y se
tiene:
„ X1* = 2/3
„ X2* = 1/3
„ (0.66, 0.33), véase que suman 1.
35
Ejemplo 3. Solución por PL
„
Considere el juego (4x2)
B
A
1
2
3
4
1
2
2
3
-2
2
4
3
2
6
36
Solución: planteamiento
Como el valor maximin = 2 >= 0, la estrategia
óptima del jugador B se obtiene resolviendo el
siguiente problema de programación lineal.
MAX z = Y1 + Y2
s.a.
2Y1 + 4Y2 <= 1
2Y1 + 3Y2 <= 1
3Y1 + 2Y2 <= 1
-2Y1 + 6Y2 <= 1
Y1, Y2 >= 0
„
37
Método simplex
Resolviendo por el método simplex
„ Z = 0.375
„ Y1 = 0.25
„ Y2 = 0.125
„ Valor de juego V* = 1/Z = 2.66
La estrategia óptima de B es:
„ (Y1/V1* , Y2/V2*) = (0.66, 0.33)
Para el jugador A su estrategia óptima resulta al
resolver el problema dual:
(0.33, 0, 0.66, 0)
38
DOMINANCIA
39
Estrategia dominante
„
Se dice que una estrategia es
“dominante” cuando es la mejor opción
del jugador para todas las posibles
opciones del contrincante (similarmente
para varios contrincantes).
40
Dominancia
„
„
„
Algunas veces una fila o columna de la matriz de
pagos carece de efectividad para influir sobre las
estrategias óptimas y el valor del juego
Una estrategia pura P es dominada por una
estrategia pura Q si, para cada estrategia pura del
oponente, el pago asociado con P no es mejor que el
pago asociado con Q.
Ya que una estrategia pura dominada no puede ser
nunca parte de una estrategia óptima, el renglón o
columna correspondiente en la matriz del juego debe
ser eliminada
41
Ejemplo 1. Dominancia
II
I
1
2
3
1
4
3
2
2
-8
-9
6
3
7
2
8
4
-2
-3
2
Observe las filas 1 y 2, la 2 no desempeña ningún
papel de importancia en la estrategia de P1
4>3
-8 > -9
7>2
-2 > -3
42
„
Por lo tanto la probabilidad asociada a ella
será cero. La solución del juego anterior
sería la misma si la matriz de pago fuera
II
I
1
3
1
4
2
2
-8
6
3
7
8
4
-2
2
43
Ejemplo 2. Dominancia
Determine si alguna de las estrategias puras
del problema de la ubicación de los
supermercados en los pueblos A, B y C
pueden descartarse por dominación. La
matriz del juego era:
„
II
I
A
B
A
65
67.5
B
62.5
65
C
80
80
44
Solución
El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya
que las consecuencias de esta estrategia
siempre son menores o iguales a las
consecuencias de B
„ 67.5 > 65
„ 65 > 62.5
„ 80 = 80
El jugador II puede descartar A y C, ya que son
inferiores a B. La matriz es:
45
I
II
A
B
C
A
35
37.5
20
B
32.5
35
20
La matriz de consecuencias se reduce al valor en que coinciden ambas tablas BB.
Lo que indica que el supermercado I debe ubicarse en el pueblo B y controlar
el 65% de los negocios y la cadena II ubicarse en el mismo pueblo y manejar
el 35% de los negocios restantes
46
Estrategia dominante, ejemplo
„
„
„
„
„
Dos compañías de autobuses, A y B tienen la misma ruta
entre dos ciudades, por lo que están en una lucha por una
mayor parte del mercado.
Se supone que las compañías A y B consideran las tres
mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del
mercado como sigue:
a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje.
a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado.
a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión
en las dos ciudades.
47
Estrategia dominante, ejemplo (cont)
„
„
Se supone que cada compañía no puede emplear mas de
una de estas estrategias al mismo tiempo y que las tres
estrategias tienen idénticos costos
La tabla abajo indica los puntos porcentuales de mercado
que gana a.
a1
a2
a3
b1
0
9
-5
b2
-2
0
-5
b3
4
10
0
48
Estrategia dominante, ejemplo (cont)
„
„
„
„
Análisis de casos para ver si A tiene estrategia dominante
Si B elige 1 (columna izq.), la mejor opción de A es 2 (u=2).
Si B elige 2 (columna cen.), la mejor opción de A es 2 (u=0).
Si B elige 3 (columna der.), la mejor opción de A es 2 (u=10).
a1
a2
a3
„
b1
0
2
-5
b2
-2
0
-5
b3
4
10
0
La estrategia dominante de A es jugar 2 (aire acondicionado)
49
Estrategia débilmente
dominante
„
„
„
Decimos que una estrategia es “débilmente
dominante” cuando no es peor que ninguna
otra estrategia.
Es lo mismo que decir que es la mejor o al
menos igual a otra.
Ojo: Una estrategia dominante es también
débilmente dominante; lo contrario no es
cierto.
50
Estrategia dominante, ejemplo (cont)
Análisis de casos para ver si B tiene estrategia dominante
Si A elige 1 (renglón sup.), la mejor opción de B es 2 (u=-2).
Si A elige 2 (renglón cen.), la mejor opción de B es 2 (u=0).
Si A elige 3 (renglón inf.), las mejores opciones de B son 1 y
2 (u=-5).
a1
a2
a3
b1
0
2
-5
b2
-2
0
-5
b3
4
10
0
B tiene una estrategia débilmente dominante
51
Ejercicio, estrategia dominante
„
„
„
„
„
„
Se consideran dos ladrones L1 y L2 se dedican a la
compra-venta de productos robados.
Han pactado entre ellos que uno deje la mercancía en
un lugar determinado, mientras que el otro deja el
dinero en otro lugar.
Los dos recogerán después su paquete respectivo
Ambos pueden tomar cualquiera de las siguientes
acciones:
a1 o b1 Dejar el paquete con la mercancia ó dinero
a2 o b2 Dejar el paquete sin la mercancia ó dinero
52
Ejercicio, estrategia dominante
„
La matriz que se genera es la siguiente:
b1
b2
a1
a2
„
Elegir los valores de los elementos de la matriz, tal que L1
tenga una estrategia débilmente dominante y L2 tenga una
estrategia débilmente dominante
53
Puntos de equilibrio
„
„
„
En muchos juegos ningún jugador tiene una
estrategia dominante.
Sin embargo, hay combinaciones de
estrategias que son “razonables” para los
jugadores, en el sentido de que a ninguno le
conviene cambiar su estrategia.
A estas celdas de la matriz del juego se les
llama “equilibrio de Nash”
54
Ejemplo de juego con punto de
equilibrio (cont)
„
Se supone que las compañías A y B consideran las tres
mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del
mercado como sigue:
„
a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje.
a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado.
a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión
„
„
55
Ejemplo de juego con punto de
equilibrio (cont)
„
Cambiamos los puntos de la tabla de modo que ningún
jugador tiene una estrategia dominante:
a1
a2
a3
b1
-10
9
20
b2
-11
-8
-10
b3
-1
-6
-13
56
Puntos de equilibrio.- ejemplo
a1
a2
a3
b1 b2 b3
-10 -11 -1
9
-8 -6
20 -10 -13
Sin embargo, el punto (a2,b2)
es de equilibrio:
Al jugador A no le conviene
cambiar de a2 (u=-8) a a3
(u=-10) o a a1 (u=-11).
Al jugador B no le conviene
cambiar de b2 (u=-8) a b1
(9) o a b3 (u=-6)
57
Ejemplo de juego de suma cero con
mas de un equilibrio
„
Considérese la siguiente matriz:
a1
a2
a3
Máximo de la
columna
„
b1
2
5
1
5
b2
-3
5
4
5
b3
7
6
-4
7
Mínimo de la fila
-3
5
-4
Aquí se tienen dos puntos de equilibrio; uno
corresponde a a2 y b1, y el otro corresponde a a2 y
b2.
58
Ejercicio, equilibrio
Se consideran dos ladrones L1 y L2 se dedican a la compraventa de productos robados.
Han pactado entre ellos que uno deje la mercancía en un lugar
determinado, mientras que el otro deja el dinero en otro
lugar.
Los dos recogerán después su paquete respectivo
Ambos pueden tomar cualquiera de las siguientes acciones:
a1 o b1 Dejar el paquete con la mercancía ó dinero
a2 o b2 Dejar el paquete sin la mercancía ó dinero
a3 o b3 No dejar el paquete
59
Ejercicio, equilibrio
La matriz que se genera es la siguiente:
b1
b2
b3
Mínimo de la fila
a1
a2
a3
Máximo de la
columna
Elegir los valores de los elementos de la matriz, tal que exista un
punto de equilibrio de Nash
60
JUEGOS DE DOS PERSONAS
QUE NO SON DE SUMA CERO
61
JUEGOS Y DECISIONES
ESTRATÉGICAS
Juegos que no son de suma cero
Pueden ser:
„
Cooperativos. Si los jugadores pueden negociar contratos
obligatorios que les permitan planear estrategias conjuntas
„
No Cooperativos: Si no son posibles la negociación y la
aplicación de un contrato obligatorio.
Equilibrio en juegos que no son de suma cero
Tipos de Equilibrio:
„
De estrategia dominante
„
De Nash
62
El equilibrio de estrategias
Dominantes
„
„
“Estoy haciendo lo mejor que puedo
sin importar lo que tu hagas
Tu estas haciendo lo mejor que puedes
sin importar lo que yo haga.”
63
El equilibrio de Nash
„
„
“Yo estoy haciendo lo mejor que puedo
dado lo que tu estas haciendo
Tu estas haciendo lo mejor que puedes
dado lo que yo estoy haciendo.”
64
Juegos no cooperativos de dos personas de suma no
cero
„
En los juegos de suma no cero las celdas de
la matriz tienen dos números, uno para la
ganancia del jugador de los renglones y el
otro para la ganancia del jugador de las
columnas.
65
Ejemplo 1. Juegos que no
son de suma cero
Dos empresas A y B venden productos
competidores están decidiendo si han de
emprender campañas de publicidad o no. No
negocian entre ellos, pero ambas se verán
afectadas por la decisión de su competidora.
Analizar:
„ Si es un juego cooperativo o no
„ El equilibrio de estrategia dominante
„ El o los equilibrios de Nash
66
Empresa B
Hacer
No Hacer
Publicidad
Publicidad
10, 5
15, 0
Empresa A
Hacer
Publicidad
No Hacer 6, 8
Publicidad
10, 2
67
Solución
„
„
„
Es no cooperativo, ya que las empresas no negocian
Para la empresa A la estrategia pura dominante es
hacer publicidad, (No importa lo que haga B, tiene
pagos mayores a lo de B 10 > 5 y 15 > 0). Para la
empresa B una estrategia pura dominante es hacer
publicidad ya que sus pagos 5 y 8 son mayores a los de
no hacer publicidad 0 y 2. Como ambas estrategias
coinciden para este juego no cooperativo la estrategia
dominante es hacer publicidad.
El equilibrio de Nash se obtienen en aquellos puntos
donde cada jugador esta haciendo lo mejor que puede
dadas las acciones del oponente. También coincide con
la estrategia de que ambas empresas hagan publicidad,
cada empresa esta satisfecha y no tiene ningún
incentivo para cambiarla.
68
Ejemplo 2. Juegos que no
son de suma cero
Dos jugadores eligen águila o sol en su
moneda y la muestran al oponente.
Analizar:
„ Si es un juego cooperativo o no
„ La estrategia dominante
„ El equilibrio de Nash
69
Jugador A
A
S
Jugador B
A
S
1, -1
-1, 1
-1, 1
1, -1
70
Solución
„
„
„
No es un juego cooperativo ya que cada jugador
elige que mostrar y ello le de una ganancia o una
perdida. No pueden ponerse de acuerdo los
jugadores ya que cada uno busca su beneficio
Las estrategias puras dominantes para A son
obtener AA ó SS. Las estrategias puras dominantes
para B son obtener AS ó SA. No hay equilibrio de
estrategias dominantes en este juego.
No hay un equilibrio de Nash en estrategias puras
ya que ninguna combinación de A ó S dejan
satisfechos simultáneamente a ambos jugadores.
71
Ejemplo 3. Juegos que no
son de suma cero
Dos prisioneros son atrapados “in
fraganti”. Son encerrados en celdas
separadas, no pueden comunicarse. No
saben que hará el otro.
Analizar
„ Si el juego es cooperativo o no
„ El equilibrio de estrategias dominantes
„ El equilibrio de Nash
72
Prisionero
B
Confiesa
No
Confiesa
Prisionero A
Confiesa
No
Confiesa
-5, -5
-5, -10
-10, -5
-2, -2
73
Solución
„
„
„
Es no cooperativo ya que no pueden
ponerse de acuerdo
La estrategia dominante para cada
prisionero es confesar sin importar lo
que haga el otro
El equilibrio de Nash también seria
confesar, considerando lo que haga el
otro prisionero.
74
Juegos no cooperativos de dos personas de
suma no cero, ejemplo ‘Dilema del prisionero’
„
„
„
„
„
Sean dos jugadores, en este caso son prisioneros
AyB
Tienen dos opciones: confesar el delito o no.
Si A y B confiesan ⇒ A y B → 3 años
Si A confiesa y B no ⇒ A → libre y B → 5 años
Si B confiesa y A no ⇒ B → libre y A → 5 años
Si A y B niegan ⇒ A y B → 1 año
75
Dilema del prisionero
„
La información anterior se puede representar a través
de un arreglo matricial de la siguiente forma:
Jugador B
Jugador Coopera
A
Traiciona
Coopera
(con su
cómplice)
Traiciona (a
su
cómplice)
1-1
5-0
0-5
3-3
76
Dilema del prisionero (cont)
„
Cada jugador tiene aquí una estrategia dominante
„
Veamos el caso del jugador B, por supuesto, no sabe
qué alternativa va a elegir A.
„
A B le conviene traicionar a A porque esta es una
estrategia dominante.
Jugador B
Jugador Coopera
A
Traiciona
Coopera
(con su
cómplice)
Traiciona (a
su
cómplice)
1-1
5-0
0-5
3-3
77
Dilema del prisionero (cont)
„
Veamos ahora lo que sucede con A, que de acuerdo
con la estrategia dominante le conviene traicionar.
Jugador B
Jugador Coopera
A
Traiciona
Coopera
(con su
cómplice)
Traiciona (a
su
cómplice)
1-1
5-0
0-5
3-3
78
Dilema del prisionero (cont)
„
„
„
Como vemos la estrategia de traicionar es una
estrategia dominante para ambos, aunque terminan
peor que si ambos se hubieran puesto de acuerdo para
no confesar.
Dos individuos que persiguen sus intereses personales,
se ven guiados a un resultado adverso para ambos
salvo que existan normas que impidan la traición.
El resultado es una solución de equilibrio.
79
¿Qué tipo de estrategias garantizan la
cooperación entre individuos que persiguen su
propio interés?
„
Las estrategias que priorizaron la cooperación en
lugar de tratar de aprovecharse del otro jugador
generan mejores resultados, demostrando que aun
cuando dos jugadores tienen en cuenta solamente
sus intereses, les conviene cooperar entre sí.
80
Teoría de juegos con n
personas
81
„
„
„
Un juego con n jugadores es un juego con n
personas.
Un juego de n personas se especifica con la
función característica de ese juego.
Para cada conjunto de jugadores S, la función
V característica de un juego de la cantidad
V(S) que pueden estar seguros de recibir los
miembros de S sin ayuda alguna de los
jugadores que no están en S.
82
Ejemplo 1: Juego de n
personas.
„
„
„
„
Juan Torres inventó un fármaco nuevo, pero
no lo puede fabricar solo.
Puede vender su fórmula a la empresa 2 ó a
la 3.
La empresa afortunada compartirá un millón
de dólares de ganancias con Juan.
Determine la función característica para este
juego.
83
Solución
Sea Juan Torres el jugador 1, la empresa
2 el jugador 2 y la empresa 3 el jugador
3.
Su función característica es:
„ V({}) = V({1}) = V({3}) = V({2,3}) = 0
„
V({1,2}) = V({1,3}) V({1,2,3}) = 1 millón de dólares
84
Ejemplo 2. Juego de n
personas
„
„
Cuatro propietarios tienen muchas
bolsas de basura y deben tirarlas en el
terreno de la coalición de propietarios,
esta coalición recibe una recompensa
de –b.
Determine la función característica para
este juego.
85
Solución
Lo mejor que pueden hacer los miembros de la
coalición es tirar toda su basura en los
terrenos de quienes no están en s.
Así, la función característica para este juego
está representada por:
„ V({S}) = -(4-|S|) , si |S| < 4
„ V({1,2,3,4}) = -4, si |S| = 4
Donde |S| es el número de jugadores en S.
86
Ejemplo 3. Juego de n
personas
„
„
„
„
„
El jugador 1 es propietario de un terreno, y lo
valúa en $10,000.
El jugador 2 es un fraccionador que puede
urbanizar el terreno y aumentar su valor a
$20,000.
El jugador 3 es un fraccionador que puede
aumentar el valor a $30,000.
No hay otros compradores.
Determine la función característica del juego.
87
Solución
Cualquier coalición que no contenga al jugador 1 tiene
un valor de $0.
Cualquier otra coalición tiene un valor igual al máximo
que tiene el miembro de la coalición transmite al
terreno.
„ V({1}) = 10,000
„ V({}) = V({2}) = V({3}) = 0
„ V({1,2}) = 20,000
„ V({1,3}) = 30,000
„ V({2, 3}) = 0
„ V({1,2,3}) = 30,000
88
Propiedades de los juegos
de n personas
„
„
„
„
Tenemos 2 subconjuntos cualesquiera de los
conjuntos A y B tales que A y B no tienen
jugadores en común (A^B = 0).
Entonces para cualquiera de los ejemplos
anteriores, y para cualquier juego de n
personas, la función característica debe
satisfacer:
V(A U B) < V(A) + V(B)
A esta propiedad se le llama superaditividad
89
Hay muchos conceptos de solución para juegos de n
personas.
„ Uno de ellos debería indicar la recompensa que
recibirá cada jugador.
„ De modo mas formal, sea
X = {X1,X2,…….Xn}
„ Un vector tal que el jugador i recibe una recompensa
Xi. A tal vector le llamamos recompensa.
„ Un vector de recompensa X no es candidato
razonable de solución a menos que satisfaga w
„
90
„
„
„
„
„
V(N) = X1 + X2 ….. +Xn (Racionalidad de grupo)..(1)
Xi > V({i}), Vi …. (Racionalidad Individual) …….. (2)
Si X satisface ambas condiciones decimos que X es una
imputación.
La ecuación 1 dice que cualquier vector razonable de
recompensa debe dar a todos los jugadores una cantidad que
sea igual a la cantidad que se puede alcanzar mediante la
coalición de todos los jugadores.
La ecuación (2) quiere decir que el jugador i debe recibir una
recompensa cuando menos tan grande como la que puede
obtener solo, que es V{i}
91
Ejemplo 1. Imputación
„
„
„
„
X(Dólares)
(10 000, 10 000,
(5 000, 2 000,
(12 000, 14 000,
(11 000, 11 000,
¿Es X una imputación?
10 000)
No se viola (2)
5 000)
No, X < V({1}) y se viola (2)
1 000)
No se viola (2)
11 000)
No se viola (2)
92
BIBLIOGRAFÍA
„
„
„
„
Taha, Investigación de Operaciones. 5a.
Ed.
Bronson, Investigación de Operaciones.
Serie Schaum.
Pindyck y Rubenfeld. Microeconomía.
México, Limusa – Noriega.
Muntaner, Nestor. Apuntes de
Investigación Operativa. UTN.
93