Soluciones de la relación nº 7

1. Sea (X, τ ) un espacio topológico. Demuestre que si K, K 0 ⊂ X son subconjuntos
compactos, entonces K ∪ K 0 también es compacto.
SOLUCIÓN: Veamos que de cualquier recubrimiento abierto {Ai }i∈I de K ∪ K 0 se
puede extraer un subrecubrimiento finito. En efecto, si {Ai }i∈I recubre K ∪ K 0
también recubre K, que como es compacto, admite un subrecubrimiento finito y lo
mismo ocurre con K 0 . La unión de estos dos recubrimientos finitos también es finito
y es un recubrimiento finito de K ∪ K 0 .
2. Sea (X, τ ) un espacio topológico de Hausdorff. Demuestre que si {Ki }i∈I es una
familia de subespacios compactos de X, entonces ∩i∈I Ki también es compacto.
SOLUCIÓN: Como X es Haussdorff y los Ki son compactos, también son cerrados
y, por tanto ∩i∈I Ki es cerrado por ser intersección de cerrados. Entonces ∩i∈I Ki
también es compacto puesto que es un cerrado contenido en cualquiera de los Ki
que son compactos.
3. ¿Cuáles de los siguientes subespacios de R y R2 son compactos? Justifique la
respuesta.
a) [0, 1); b) [0, +∞); c) Q ∩ [0, 1]; d) D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}
e) E = {(x, y) ∈ R2 :| x | + | y |≤ 1}; f) F = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}
g) G = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1/x}
SOLUCIÓN: Recordemos que en R y R2 los compactos son los conjuntos cerrados y
acotados. (a)No; no es cerrado. (b)No; no es acotado. (c) No; no es cerrado. (d)
Sı́; es cerrado y acotado. (e) Sı́; es cerrado y acotado. (f) No; no es cerrado. (g)No;
no es acotado.
4. Demuestre que un espacio topológico (X, τ ) es compacto si y sólo si para toda
familia de cerrados {Ci }i∈I tales que ∩i∈I Ci = ∅ existe una subfamilia finita
{Ci1 , ..., Cik } que cumple Ci1 ∩ ... ∩ Cik = ∅.
SOLUCIÓN: ⇒ Si X es compacto y ∩i∈I Ci = ∅, esta familia de cerrados no
puede tener la propiedad de la intersección finita, luego existe una subfamilia finita
{Ci1 , ..., Cik } que cumple Ci1 ∩ ... ∩ Cik = ∅.
⇐ Veamos que de todo recubrimiento abierto {Ai }i∈I de X se puede extraer un
subrecubrimiento finito. En efecto, si X = ∪i∈I Ai , se tiene que ∅ = (∪i∈I Ai )c =
∩i∈I Aci y cada Aci es cerrado por ser complementario de un abierto; luego por la
hipótesis, existe una subfamilia finita Aci1 , . . . , Acin tal que ∩nk=1 Acik = ∅, si pasamos
al complementario, tenemos (∩nk=1 Acik )c = X, es decir, ∪nk=1 Aik = X con lo que
hemos obtenido un subrecubrimiento finito.
5. Sea (X, τ ) un espacio topológico de Hausdorff, K ⊂ X un compacto y x ∈
/ K.
Pruebe que existen dos abiertos U y V en X, tales que x ∈ U , K ⊂ V y U ∩V = ∅.
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SOLUCIÓN: Si y ∈ K, x 6= y y como X es Haussdorff, existen Uy entorno abierto
de x y Vy entorno abierto de y tales que Uy ∩ Vy = ∅. Entonces K ⊂ ∪y∈K Vy y
como K es compacto, existe un subrecubrimiento finito K ⊂ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn = V .
Tomemos entonces la intersección U = Uy1 ∩ · · · ∩ Vyn de los entornos de x que se
corresponden con cada uno de los Vyk . Entonces U es un entorno abierto de x por
ser intersección finita de entornos abiertos de x y cumple que U ∩ V = ∅.
6. Sean K y K 0 dos subconjuntos compactos y disjuntos de un espacio de Hausdorff
(X, τ ). Pruebe que existen subconjuntos abiertos y disjuntos U y V tales que
K ⊂ U y K0 ⊂ V .
SOLUCIÓN: Podemos aplicar el problema anterior y si x ∈ K, entonces x ∈
/ K0
luego, como K 0 es compacto, existen Ux entorno abierto de x y Vx abierto tal que
K 0 ⊂ Vx con Ux ∩ Vx = ∅. Entonces K ⊂ ∪x∈K Ux y como es compacto, existe un
subrecubrimiento finito K ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn = U si, como en el ejercicio anterior
tomamos V = Vx1 ∩ · · · ∩ Vxn , tenemos un abierto (por ser intersección finita de
abiertos), tal que K ⊂ V puesto que K ⊂ Vxk para todo k ∈ {1, . . . , n}. Además,
es fácil comprobar que U ∩ V = ∅.
7. Sea (X, τ ) un espacio topológico secuencialmente compacto y sea (Y, τ 0 ) otro
espacio topológico. Sea f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) una aplicación continua. Demuestre
que (f (X), τf0 (x) ) es secuencialmente compacto.
SOLUCIÓN: Si (yn )n es una sucesión en f (X), veamos que posee una subsucesión convergente. En efecto, como cada yn ∈ f (X), será yn = f (xn ) para algún
xn ∈ X, de modo que (xn )n es una sucesión en X; como X es secuencialmente compacto, existe una subsucesión (xnk )k convergente hacia un punto x ∈ X. Entonces
(f (xnk ))k = (ynk )k es una subsucesión de (yn )n que, por ser f continua, converge a
y = f (x).
8. Sea X = [−1, 1] con la topologı́a τ = {A ⊂ X : 0 ∈
/ A, o bien (−1, 1) ⊂ A}.
Demuestre que (X, τ ) es un espacio topológico compacto.
SOLUCIÓN: Observemos que los únicos abiertos que contienen al 0son (−1, 1),
(−1, 1], [−1, 1) y [−1, 1], luego cualquier recubrimiento {Ai }i∈I abierto de [−1, 1]
debe contener, al menos, uno de estos intervalos puesto que debe contener al 0. Si,
por ejemplo, Aio = (−1, 1), como [−1, 1] = ∪i∈I Ai , debe ocurrir que −1 ∈ Ai1
y 1 ∈ Ai2 para ciertos i1 , i2 ∈ I luego [−1, 1] = Aio ∪ Ai1 ∪ Ai2 , que es finito. Análogamente se razona si el intervalo que contiene al 0 en el recubrimiento es
cualquiera de los otros tres.
9. Estudie si la recta de Sorgenfrey (R, τ[a,b) ) es un espacio compacto. ¿Son compactos, en este espacio los subconjuntos [0, 1) y [0, 1].
SOLUCIÓN: (R, τ[a,b) ) no es compacto pues R = ∪n∈N [−n, n) es un recubrimiento
abierto de R del que no se puede extraer un subrecubrimiento finito. [0, 1) no es
compacto puesto que {[0, 1 − n1 )}n∈N es un recubrimiento abierto de [0, 1) del que no
se puede extraer un subrecubrimiento finito. [0, 1] no puede ser compacto, pues si lo
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fuera, cualquier subconjunto suyo cerrado serı́a compacto y, como [0, 1) es también
cerrado en esta topologı́a, serı́a compacto cosa que, acabamos de ver, no ocurre.
10. Sea (R, d) el espacio métrico de los números reales con la distancia
d(x, y) =
|x − y|
1 + |x − y|
Sea A = [1, +∞). Estudie si A es cerrado, si es acotado y si es compacto en dicho
espacio.
|x−y|
SOLUCIÓN: Está claro que d(x, y) = 1+|x−y|
< 1, para todo x, y ∈ R luego R =
B(0, r) para cualquier r ≥ 1. Esto implica que R está acotado con esta distancia y
por tanto también lo está [1, +∞). Por otra parte, hemos visto en el ejercicio que
esta distancia es equivalente a la usual, por tanto [1, +∞) no es compacto.
11. Sea (X, τ ) un espacio compacto y una topologı́a τ 0 menos fina que τ . Demuestre
que (X, τ 0 ) es también compacto.
SOLUCIÓN: Si τ 0 es menos fina que τ , los abiertos de τ 0 también lo son de τ , luego
si {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de X con los Ai ∈ τ 0 , también Ai ∈ τ y
como (X, τ ) es compacto, existe un subrecubrimiento finito A1 , . . . , An que también
es válido en τ 0 .
12. Sea (X, τ ) y una sucesión (an )n en X que converge hacia a ∈ X. Pruebe que el
conjunto A = (an )n ∪ {a} es compacto en X.
SOLUCIÓN: Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de A, entonces existe io ∈ I tal
que a ∈ Aio que es abierto y por tanto, entorno de a. Como (an )n converge a a, para
todo U entorno de a, existe n0 tal que si n > no , entonces an ∈ U , en particular
para el entorno de a Aio existe un no tal que n > no implica que an ∈ Aio , es decir
todos los términos de la sucesión salvo, a lo sumo, a1 , . . . , ano están en Aio . Por otra
parte, como {Ai }i∈I es un recubrimiento de A, existen Ai1 , . . . , Aino ∈ {Ai }i∈I tales
que ai1 ∈ Ai1 . . . , ano ∈ Aino con lo que Ai1 , . . . , Aino , Aio es un recubrimiento finito
de A
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