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PRÁCTICAS CON DERIVE
NUM.de MATRÍCULA
35
FECHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APELLIDOS /Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PC
PRÁCTICA CINCO. LÍMITES. CONTINUIDAD. DERIVABILIDAD
I. Definición de Lı́mite
lı́m f (x) = l ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 /si
x→a
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − l| < La gráfica de la función, excepto el punto (a, f (a)) en el caso de existir, debe estar contenida en el
rectángulo definido por (a − δ, a + δ) × (l − , l + ) = {(x, y) ∈ IR2 /|x − a| < δ, |y − l| < }
1.
Calcula
2x2 + x
=L=
x→0
x
lı́m
. Determina un valor de δ cuando = 0.5:
Gráficamente: dibuja (escala 0.5:0.5, centro (0, L)) la función
dades
|y − L| < 0.1,
|x| < δ
y=
2x2 + x
y las desigualx
para los siguientes valores de δ = 0.5, 0.3, 0.2, 0.1
¿Para qué valor o valores de δ se verifica la definición de lı́mite?
δ=
Analı́ticamente: resuelve la inecuación
2x2 + x
− L < 0.5
x
δ=
Comprueba gráficamente la solución obtenida.
En
este caso se
puede obtener analı́ticamente una relación δ = δ() resolviendo la desigualdad
2x2 + x
− L < x
δ=
2.
Calcula
lı́m (x2 + x + 2) = L =
. Determina un valor de δ cuando = 0.01:
x→2
Gráficamente: dibuja la función y = x2 + x + 2 y la desigualdad |y − L| < 0.01
Estima gráficamente un valor de δ para el que se verifique la definición de lı́mite.
δ=
Analı́ticamente: resuelve la inecuación
2
x + x + 2 − L < 0.01
δ=
Comprueba gráficamente la solución obtenida.
.
36
PRÁCTICAS CON DERIVE
¿Puede
obtenerse
analı́ticamente una relación
2
x + x + 2 − L < ?
δ=
3.
* Calcula
lı́m
x→0
sen x
=L=
x
δ = δ()
resolviendo la desigualdad
. Determinar un valor de δ cuando = 0.01
sen x
Gráficamente: dibuja la función y =
y la desigualdad |y − L| < 0.01
x
gráficamente un valor de δ para el que se verifique la definición de lı́mite.
. Estima
δ=
Calcular un valor de δ analı́ticamente,si es posible, y comprobar el valor gráficamente.
δ=
4.
1
=1
x→0
x
Determinar, si es posible, un valor de δ cuando = 0.01
* Conjetura
lı́m sen
δ=
Utilizando DERIVE, calcula
Busca una sucesión
{an }
lı́m sen
x→0
de forma que
1
x
=
lı́m an = 0
n→∞
y
1
lı́m sen
n→∞
an
=1
an =
Busca una sucesión
{bn }
de forma que
bn =
Interpreta los resultados obtenidos.
lı́m bn = 0
n→∞
y
1
lı́m sen
n→∞
bn
=0
37
PRÁCTICAS CON DERIVE
II. Funciones definidas a trozos
Para definir una función definida a trozos en DERIVE podemos utilizar las siguientes funciones:
CHI(a, x, b) =
CHI(a, x, b, c) =


 1
a<x<b
ST EP (x) =

 0


1









 0
x < a ó x > b


 1 x>0

 0 x<0
a<x<b
x < a ó x > b
CHI(a, x, b, c, d) =



c








x=a
1−c
x=b


1









 0
a<x<b
x < a ó x > b



c








d
CHI(x) = CHI(0, x, 1)
x=a
x=b
CHI(a, x) = CHI(a, x, 1)
Al introducir estas funciones y utilizar el comando Simplificar aparece la función SIGN (x) cuya
definición es

x>0

 1
SIGN (x) =










±1 x = 0
−1 x < 0
La definición de esta función en 0 se corresponde con los lı́mites laterales en dicho punto.
( l´ ımSIGN (x) = +1
lı́m SIGN (x) = −1)
x→0+
x→0−
Continuidad y Derivabilidad (1)
Para definir la función
f (x) =

x

 e

 1 + x + x2
x≥0
introducimos en DERIVE:
x<0
f (x) := ex ST EP (x) + (x2 + x + 1)(1 − ST EP (x))
o bien
f (x) := ex CHI(0, x, +∞) + (x2 + x + 1)CHI(−∞, x, 0)
NOTA: Utilizar preferentemente expresiones en lugar de asignaciones. La función
CHI escribirla en mayúsculas y simplificar la expresión antes de realizar cualquier
operación.
Dibuja la gráfica de f .
Calcula
lı́m f (x) =
x→0
Calcula y dibuja las gráficas de las funciones primera derivada de f , f 0 (x), y segunda derivada
de f , f 00 (x).
Calcula
lı́m f 0 (x) =
x→0
PRÁCTICAS CON DERIVE
Calcula
38
lı́m f 00 (x) =
x→0
Completar la siguiente tabla
(1)
f (x) =
f 0 (x) =
f 00 (x) =
f (0) =
f 0 (0) =
f 00 (0) =
Expresión
de las
Funciones
Dominio
Imagen
Valor en x = 0
Continua en
Continuidad y Derivabilidad (2)
Define la función
g(x) =

−x2







x < −1
2 − x −1 ≤ x ≤ 1






 1
x2
x>1
Dibuja la gráfica de g.
Calcula
lı́m g(x) =
x→−1
lı́m g(x) =
x→1
Calcula y dibuja las gráficas de las funciones primera derivada de g, g 0 (x), y segunda derivada
de g, g 00 (x).
Calcula
Calcula
lı́m g 0 (x) =
x→−1
lı́m g 00 (x) =
x→−1
lı́m g 0 (x) =
x→1
lı́m g 00 (x) =
x→1
39
PRÁCTICAS CON DERIVE
Completar la siguiente tabla
(2)
g 0 (x) =
g(x) =
g 00 (x) =
Expresión
de las
Funciones
Dominio
Imagen
Continua en
III. Estudiar la función
f (x) =
x
|x|
1.
Dibuja la gráfica de la función. Dom(f ) =
2.
¿Es posible asignar un valor a x = 0 para que la función sea continua en IR?
f (0) =
f 0 (x) =
3.
Calcula
4.
f es continua en
* IV. Estudiar la función
f 0 (0) =
y f es derivable en
f (x) =
(x − 1)2
|x − 1|
1.
Dibuja la gráfica de la función. Dom(f ) =
2.
¿Es posible asignar un valor a x = 1 para que la función sea continua en IR?
f (1) =
3.
Calcula
f 0 (x) =
4.
f es continua en
f 0 (0) =
y f es derivable en
f 0 (1) =
40
PRÁCTICAS CON DERIVE
* V. Estudiar las funciones
f (x) =

1
n


x
sen
x 6= 0

x



0
n ∈ IN
[
{0}
x=0
Completar la siguiente tabla y afirmaciones posteriores
Valor de n
n=0
n=1
n=2
f continua en
f simétrica
respecto al
Acotación de f
Ası́ntotas de f
f 0 (0)
f Derivable en
f 00 (0)
f Derivable
de orden dos en
La función f es continua en IR si
n≥
La función f es derivable en IR si
n≥
La función f es derivable de orden dos en IR si
La función f es derivable de orden p en IR si
La función f es par si n es
n≥
y es impar si n es
La función f no está acotada en IR si
La función f no posee ası́ntotas si
n≥
n≥
n≥
n=3