Lección 2. Lógica de predicados.

Apuntes de Lógica Matemática
2. Lógica de Predicados
Francisco José González Gutiérrez
Cádiz, Abril de 2005
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
ii
Lección 2
Lógica de Predicados
Contenido
2.1
2.2
2.3
2.1
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.1
Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.2
Universo del Discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.3
Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.1
Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.2
Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.3
Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.4
Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.5
Alcance de un Cuantificador
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Cálculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3.1
Implicación Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.3.2
Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.3.3
Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.3.4
Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3.5
Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.3.6
Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.3.7
Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Definiciones
Cualquier teorı́a cientı́fica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc... con una
validez más o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo interesa afirmar que todos
los individuos de un cierto campo tienen la propiedad p o que algunos la tienen.
El cálculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitan
en matemáticas. Por ejemplo, afirmaciones como “x = 5” ó “x > y” no son proposiciones ya que
no son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando valores concretos a las variables x
e y, las afirmaciones anteriores son susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten en
proposiciones.
En castellano también ocurren situaciones similares, por ejemplo,
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Ella es alta y rubia.
El vive en el campo.
Ella, él y el campo se utilizan como variables,
x es alta y rubia.
x vive en y
2.1.1
Predicado
Es una afirmación que expresa una propiedad de un objeto o una relación entre objetos. Estas
afirmaciones se hacen verdaderas o falsas cuando se reemplazan las variables (objetos) por valores
especı́ficos.
Ejemplo 2.1 La afirmación “p(x) : x es alta y rubia” es un predicado que expresa la propiedad del
objeto x de ser “alta y rubia”. Si sustituimos la variable x por un valor determinado, por ejemplo Laura,
entonces el predicado se transforma en la proposición “Laura es alta y rubia” que podrá ser verdadera
o falsa. El predicado “q(x) : x vive en y” expresa una relación entre los objetos x e y. Si sustituimos x
por Pedro e y por Madrid, obtendremos la proposición “Pedro vive en Madrid”.
Ejemplo 2.2 Los predicados se usan frecuentemente en sentencias de control en lenguajes de programación de alto nivel. Por ejemplo, la sentencia
Si x > 5, entonces z := y
incluye el predicado “x > 5”. Cuando se ejecuta la sentencia, el valor de verdad de la afirmación “x > 5”
se determina usando el valor que tenga la variable x en ese momento. El predicado se convierte en una
proposición cuyo valor verdadero es verdad o falso.
Ejemplo 2.3
2.1.2
El predicado “p(x, y) : x + y > 5” tiene dos variables.
Universo del Discurso
Llamaremos de esta forma al conjunto al cual pertenecen los valores que puedan tomar las variables. Lo
notaremos por U y lo nombraremos por conjunto universal o, simplemente, universo. Debe contener,
al menos, un elemento.
Ejemplo 2.4 En una posible evaluación del predicado “p(x) : x > 5”, elegirı́amos probablemente un
conjunto numérico, por ejemplo los números enteros, como universo del discurso. No tendrı́a sentido
elegir el conjunto de los colores del arco iris ya que podrı́amos encontrarnos con situaciones tales como
“azul > 5”.
2.1.3
Predicados y Proposiciones
Si p(x1 , x2 , . . . , xn ) es un predicado constante con n variables y asignamos los valores c1 , c2 , . . . , cn a
cada una de ellas, el resultado es la proposición p(c1 , c2 , . . . , cn ).
Para transformar un predicado en proposición, cada variable del predicado debe estar “ligada”.
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Ejemplo 2.5 Consideremos el predicado p(x, y) : x + y = 5 en el universo de los números enteros. En
principio las variables x e y pueden tomar cualquier valor entero, es decir están “libres”.
Si asignamos a x el valor 2 y a la y el valor 3, entonces el predicado p(x, y) se transforma en la
proposición p(2, 3) : 2 + 3 = 5 que es verdad.
Si hubiéramos asignado los valores 1 y 2 a las variables x e y, respectivamente, entonces resultarı́a
la proposición p(1, 2) : 1 + 2 = 5 que es falsa.
En ambos casos, las variables x e y han pasado de estar libres a estar ligadas. Hemos ligado las variables
asignándoles unos valores determinados del universo del discurso.
Ejemplo 2.6 Las variables enteras x e y tienen los valores iniciales 3 y 8, respectivamente. Determinar
los valores de x e y después de la ejecución de cada una de las proposiciones siguientes. (El valor de x
después de la ejecución de (a) se convierte en el valor de x para la proposición del apartado (b) y ası́
sucesivamente). (La operación Div devuelve la parte entera de un cociente; por ejemplo, 8 Div 4=2 y 9
Div 2=4).
(a) Si y − x = 5, entonces x = x − 2;
(b) Si [(2y = x) y (x Div 4 = 1)], entonces x = 4y − 3;
(c) Si [(x < 8) ó (y Div 2 = 2)], entonces x = 2y, de lo contrario y = 2x;
(d) Si [(x < 20) y (x Div 6 = 1)], entonces y = y − x − 5;
(e) Si [(x = 2y) ó (x Div 2 = 5)], entonces y = y + 2;
(f) Si [(x Div 3 = 3) e (y Div 3 6= 1)] entonces y = x;
(g) Si yx 6= 35, entonces x = 3y + 7;
Solución
Los valores iniciales son
x:=3, y:=8
(a) y − x = 5 −→ x := x − 2;
y − x = 8 − 3 = 5, es decir la hipótesis es verdadera. Consecuentemente se sigue la conclusión y
x := x − 2 = 3 − 2 = 1. Los nuevos valores de x e y son, por tanto,
x:=1, y:=8
(b) (2y = x) ∧ (x Div 4 = 1) −→ x := 4y − 3;
2y = x es falsa y x Div 4 también (1 Div 4 = 0), luego
(2y = x) ∧ (x Div 4)
es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusión. Los valores de x e y siguen siendo los
mismos que en el apartado anterior.
(c) (x < 8) ∨ (y Div 2 = 2) −→ x := 2y, de lo contrario y := 2x;
x < 8 es verdadera y y Div 2 = 2 es falsa (8 Div 2 = 4) luego
(x < 8) ∨ (y Div 2 = 2)
es verdad y, consecuentemente, se sigue la primera de las dos conclusiones, de aquı́ que los nuevos
valores de x e y sean
x:=16, y:=8
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(d) (x < 20) ∧ (x Div 6 = 1) −→ y := y − x − 5;
x < 20 es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego
(x < 20) ∧ (x Div 6 = 1)
es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusión, es decir, los valores de x e y no varı́an.
(e) (x = 2y) ∨ (x Div 2 = 5) −→ y := y + 2;
x = 2y es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego la hipótesis,
(x = 2y) ∨ (x Div 2 = 5)
es verdadera y, consecuentemente, y := y + 2 = 8 + 2 = 10. Los nuevos valores de x e y son, por
tanto,
x:=16, y:=10
(f) (x Div 3 = 3) ∧ (y Div 3 6= 1) −→ y := x;
x Div 3 = 3 es falsa e y Div 3 6= 1 es verdadera, por lo tanto la hipótesis
(x Div 3 = 3) ∧ (y Div 3 6= 1)
es falsa y los valores de x e y no cambian.
(g) yx 6= 35 =⇒ x := 3y + 7;
Como yx = 10 · 16 = 160 6= 35, la hipótesis es verdadera de aquı́ que se siga la conclusión y
x := 3y + 7 = 3 · 10 + 7 = 37. Los valores finales de x e y son, por tanto,
x:=37, y:=10
Nota 2.1 En los lenguajes de programación, aparecen estructuras de decisión del tipo “Si...Entonces”.
En este contexto, el condicional “si p entonces q” significa que se ejecutará q únicamente en caso de que
p sea verdadera. Si p es falsa, el control pasa a la siguiente instrucción del programa.
Ejemplo 2.7 Para cada segmento de programa contenido en los apartados siguientes, determinar el
número de veces que se ejecuta la sentencia x := x + 1
(a)
y := 1
Si y < 2 ó y > 0 entonces
x := x + 1
de lo contrario
x := x + 2
(b)
y := 2
Si (y < 0 e y > 1) ó y = 3 entonces
x := x + 1
de lo contrario
x := x + 2
(c)
y := 1
Hacer mientras y < 3
Comienzo
x := x + 1
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Lógica Matemática
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y := y + 1
Fin
(d)
y := 1
Hacer mientras (y > 0 e y < 3) ó y = 3
Comienzo
x := x + 1
y := y + 1
Fin
(e)
y := 1
Hacer mientras y > 0 e y < 4
Comienzo
Si y < 2 entonces
y := y + 1
de lo contrario
y := y + 2
x := x + 1
Fin
Solución
(a) Sean
p(y) : y < 2
q(y) : y > 0
Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto serı́a
y:=1
Si p(y) ∨ q(y) es verdad entonces
x := x + 1
Si p(y) ∨ q(y) es falso entonces
x := x + 2
Como el valor de y es 1, ambos predicados se convierten en proposiciones verdaderas, por lo tanto
p(y) ∨ q(y) es verdad y la sentencia x := x + 1 se ejecuta una vez.
(b) Sean
p(y) : y < 0
q(y) : y > 1
r(y) : y = 3
Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto serı́a:
y := 2
Si [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) es verdad entonces
x := x + 1
Si [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) es falso entonces
x := x + 2
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Pues bien, para que [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) sea una proposición verdadera, bastará con que lo sea una
de las dos. Como el valor de y es 2, r(y) será una proposición falsa, de aquı́ que tenga que ser
verdad la conjunción p(y) ∧ q(y) para lo cual lo tendrán que serlo ambas, lo cual es imposible ya
que cuando p(y) sea verdad, q(y) será falsa y viceversa. Consecuentemente, la sentencia x := x + 1
no se ejecuta ninguna vez.
(c) Sea p(y) : y < 3. Entonces, el segmento de programa propuesto será
y := 1
Hacer mientras p(y) sea verdad
Comienzo
x := x + 1
y := y + 1
Fin
El predicado p(y) será una proposición verdadera para aquellos valores de y que sean estrictamente
menores que 3 y dado que el valor inicial de y es 1 y aumenta en una unidad (y := y + 1) cada vez
que se ejecutan las sentencias entre comienzo y fin, la sentencia x := x + 1 se ejecutará dos veces.
(d) Sean
p(y) : y > 0
q(y) : y < 3
r(y) : y = 3
Utilizando notación lógica, el segmento de programa propuesto se escribirá:
y := 1
Hacer mientras [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) sea verdad
Comienzo
x := x + 1
y := y + 1
Fin
Pues bien, los valores de y que hacen del predicado [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) una proposición verdadera
serán aquellos que conviertan en proposiciones verdaderas, al menos, a uno de los dos predicados,
[p(y) ∧ q(y)] ó r(x).
Los valores de la variable y que hacen de p(y) ∧ q(y) una proposición verdadera son aquellos
que hacen proposiciones verdaderas a los dos predicados p(y) y q(y), es decir y > 0 e y < 3, o
lo que es igual y = 1 ó y = 2.
Para que el predicado r(y) sea una proposición verdadera, la variable y ha de valer 3.
Consecuentemente, [p(y) ∧ q(y)] ∨ r(y) es verdad para
y =1∨y =2∨y =3
Dado que el valor inicial de y es 1 y aumenta en una unidad cada vez que se ejecuta comienzo...fin,
la sentencia x := x + 1 se ejecutará tres veces.
(e) Sean
p(y) : y > 0
q(y) : y < 4
r(y) : y < 2
Podemos escribir el segmento de programa en la forma:
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y := 1
Hacer mientras p(y) ∧ q(y) sea verdad
Comienzo
Si r(y) es verdad entonces
y := y + 1
Si ¬r(y) es verdad entonces
y := y + 2
x := x + 1
Fin
El primer y el segundo condicional entre comienzo y fin se ejecutarán para los valores de la
variable y que hagan de los predicados p(y) ∧ q(y) ∧ r(y) y p(y) ∧ q(y) ∧ ¬r(y), respectivamente,
proposiciones verdaderas. Pues bien,
p(y) ∧ q(y) ∧ r(y) : (y > 0) ∧ (y < 4) ∧ (y < 2)
es decir,
p(y) ∧ q(y) ∧ r(y) : y = 1
y
p(y) ∧ q(y) ∧ ¬r(y) : (y > 0) ∧ (y < 4) ∧ (y > 2)
o sea,
p(y) ∧ q(y) ∧ ¬r(y) : (y = 2) ∨ (y = 3)
Como el valor inicial es y = 1, se ejecutará el primer condicional y el valor de y será 2. La segunda
vez se ejecutará el segundo condicional, la sentencia x := x + 1 y la variable y toma el valor 4 que
ya no verifica la condición inicial, con lo que el programa termina.
Consecuentemente, la sentencia x := x + 1 se ejecuta una vez.
Ejemplo 2.8
¿Cuántas veces se imprime el valor de x en el siguiente programa?
x := 10
y := 1
Hacer mientras y 6 7
Comienzo
z := 1
Hacer mientras z 6 y + 3
Comienzo
Si [(x > 8) ó ((y > 5) y (z < 10))] entonces imprimir x
z := z + 1
Fin
x := x − 1
y := y + 1
Fin
Solución
Sean
p(y) : y 6 7
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q(z, y) : z 6 y + 3
r(x) : x > 8
s(y) : y > 5
t(z) : z < 10
los predicados cuyas variables son x, y, z perteneciendo las tres al universo de los enteros positivos.
Utilizando estos predicados, el programa podrá escribirse en la forma:
x := 10
y := 1
Hacer mientras p(y) sea verdad
Comienzo
z := 1
Hacer mientras q(z, y) sea verdad
Comienzo
Si [r(x) ∨ (s(y) ∧ t(z))] es verdad entonces imprimir x
z := z + 1
Fin
x := x − 1
y := y + 1
Fin
La variable x se imprimirá para los valores de x, y, z que hagan que el predicado
[p(y) ∧ q(z, y)] ∧ [r(x) ∨ (s(y) ∧ t(z))]
sea una proposición verdadera. Aplicando la distributividad de ∧ respecto de ∨, obtendremos
[p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x)] ∨ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z)]
que será una proposición verdadera para los valores de las variables que hagan verdadera, al menos, a
una de las dos. Pues bien,
p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x) será verdad únicamente para aquellos valores de x, y, z que hagan de los tres
predicados, tres proposiciones verdaderas.
Si observamos los valores iniciales de las tres variables, p(y) será verdad siete veces y por cada una
de ellas, q(z, y) será verdad y + 3 veces. Sin embargo, la variable x sólo puede tomar dos valores.
En efecto, como su valor inicial es 10, tendremos
x := 10 ∧ r(x) : x > 8
de donde resulta que
r(x) : (x = 9) ∨ (x = 10)
Por lo tanto,
p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x) ⇐⇒ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ (x = 10)] ∨ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ (x = 9)]
Ahora bien, para x = 10 y para x = 9, la variable y toma los valores 1 y 2, respectivamente, luego
p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x) ⇐⇒ [p(1) ∧ q(z, 1) ∧ (x = 10)] ∨ [p(2) ∧ q(z, 2) ∧ (x = 9)]
Como p(1) : 1 6 7 y p(2) : 2 6 7 son verdad siempre, las dos proposiciones entre corchetes serán
verdad cuando lo sean q(z, 1) y q(z, 2), respectivamente. Resumiendo
p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x) ⇐⇒ q(z, 1) ∨ q(z, 2) ⇐⇒ (z 6 4) ∨ (z 6 5)
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Por otra parte, p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z) al igual que la anterior, será verdad únicamente para
los valores de las variables que hagan de los cuatro predicados, cuatro proposiciones verdaderas.
Ahora bien, observemos lo siguiente:
p(y) ∧ s(y) ⇐⇒ (y 6 7) ∧ (y > 5) ⇐⇒ (y = 6) ∨ (y = 7)
luego,
p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z) ⇐⇒
[(y = 6) ∧ q(z, y) ∧ t(z)] ∨ [(y = 7) ∧ q(z, y) ∧ t(z)]
⇐⇒
[q(z, 6) ∧ t(z)] ∨ [q(z, 7) ∧ t(z)]
⇐⇒
[q(z, 6) ∧ (z < 10)] ∨ [q(z, 7) ∧ (z < 10)]
⇐⇒
[(z 6 9) ∧ (z < 10)] ∨ [(z 6 10) ∧ (z < 10)]
⇐⇒
(z 6 9) ∨ (z 6 9)
En definitiva,
[p(y) ∧ q(z, y) ∧ r(x)] ∨ [p(y) ∧ q(z, y) ∧ s(y) ∧ t(z)] =⇒ (z 6 4) ∨ (z 6 5) ∨ (z 6 9) ∨ (z 6 9)
Luego x se imprime un total de veintisiete veces.
2.2
Cuantificadores
Otra forma de ligar las variables individuales es cuantificarlas.
2.2.1
Cuantificador Universal
Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmación
“para todo x, p(x)”
es una proposición en la cual se dice que la variable x está universalmente cuantificada.
La frase “para todo” se simboliza con ∀, sı́mbolo que recibe el nombre de “cuantificador universal”.
Ası́ pues, “para todo x, p(x)” se escribe “ ∀x, p(x)”. El sı́mbolo ∀x puede interpretarse también como
“para cada x”, “para cualquier x” y “para x arbitrario”.
Ejemplo 2.9 En el universo del discurso de los números enteros, la proposición “todo número es
estrictamente menor que el siguiente” puede escribirse en la forma ∀x, x < x + 1.
Ejemplo 2.10 Sean p(x, y, z) : xy = z, q(x, y) : x = y y r(x, y) : x > y y sea el universo del discurso
U , el conjunto de los números enteros. Transcribir las siguientes proposiciones a notación lógica.
(a) Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x.
(b) Si xy 6= 0, entonces x 6= 0 e y 6= 0.
(c) Si xy = 0, entonces x = 0 ó y = 0.
(d) 3x = 6 si, y sólo si x = 2.
(e) No existe solución para x2 = y, a menos que y > 0.
(f) x < z es una condición necesaria para que x < y e y < z.
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Departamento de Matemáticas
(g) x 6 y e y 6 x es una condición suficiente para que y = x.
(h) Si x < y y z < 0, entonces xz > yz.
(i) No es cierto que x = y y x < y.
(j) Si x < y, entonces para algún z tal que z < 0, xz > yz.
(k) Existe un x tal que para cada y y z, es xy = xz.
Solución
(a) Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x.
∀y [q(y, 1) −→ ∀x, p(x, y, x)]
(b) Si xy 6= 0, entonces x 6= 0 e y 6= 0.
∀x, ∀y [¬p(x, y, 0) −→ ¬q(x, 0) ∧ ¬q(0, y)]
(c) Si xy = 0, entonces x = 0 ó y = 0.
∀x, ∀y [p(x, y, 0) −→ q(x, 0) ∨ q(0, y)]
(d) 3x = 6 si, y sólo si x = 2.
∀x [p(3, x, 6) ←→ q(x, 2)]
(e) No existe solución para x2 = y, a menos que y > 0.
∀y [r(0, y) −→ ¬∃x : p(x, x, y)]
(f) x < z es una condición necesaria para que x < y e y < z.
∀x, ∀y, ∀z [r(y, x) ∧ r(z, y) −→ r(z, x)]
(g) x 6 y e y 6 x es una condición suficiente para que y = x.
∀x, ∀y [¬r(x, y) ∧ ¬r(y, x) −→ q(x, y)]
(h) Si x < y y z < 0, entonces xz > yz.
∀x, ∀y, ∀z [r(y, x) ∧ r(0, z) −→ ∀u, ∀v (p(x, z, u) ∧ p(y, z, v)) −→ r(u, v)]
(i) No es cierto que x = y y x < y.
∀x, ∀y [¬q(x, y) ∧ r(y, x)]
(j) Si x < y, entonces para algún z tal que z < 0, xz > yz.
∀x, ∀y [r(y, x) −→ ∃z : (r(0, z) ∧ ∀u, ∀v (p(x, z, u) ∧ p(y, z, v) −→ r(u, v)))]
(k) Existe un x tal que para cada y y z, es xy = xz.
∃x : [∀y, ∀z, ∀u, ∀v (p(x, y, u) ∧ p(x, z, v) −→ q(u, v))]
36
Lógica Matemática
2.2.2
Francisco José González Gutiérrez
Valor de Verdad del Cuantificador Universal
Sea p(x) un predicado cuya variable x toma valores en un universo del discurso U .
∀x, p(x) es verdad si el predicado p(x) es una proposición verdadera para todos los valores de x
en el universo U .
∀x, p(x) es falsa si hay, al menos, un valor de x en U para el cual el predicado p(x) sea una
proposición falsa.
Ejemplo 2.11
afirmaciones:
Estudiar en el universo de los números enteros, el valor de verdad de las siguientes
(a) ∀x, x < x + 1
(b) ∀x, x = 5
Solución
(a) ∀x, x < x + 1
El predicado p(x) : x < x + 1 es una proposición verdadera si sustituimos x por cualquier número
entero, luego la proposición cuantificada ∀x, x < x + 1 es verdad.
(b) ∀x, x = 5
Esta proposición dice que “todos los números enteros son iguales a 5”. Pues bien, el predicado
p(x) : x = 5 es una proposición falsa, por ejemplo, para x = 1, luego la proposición cuantificada
∀x, x = 5 es falsa.
2.2.3
Cuantificador Existencial
Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmación
“existe un x tal que p(x)”
es una proposición en la que diremos que la variable x está existencialmente cuantificada.
La frase “existe [al menos]” se simboliza con ∃, sı́mbolo que recibe el nombre de cuantificador existencial.
Por tanto, “existe un x, tal que p(x)” se escribe “∃x : p(x)” y puede leerse también como “para algún
x, p(x)” o “existe, al menos, un x, tal que p(x)”.
2.2.4
Valor de Verdad del Cuantificador Existencial
Sea p(x) un predicado de variable x que toma valores en un universo del discurso U .
∃x : p(x) es verdadera, si el predicado p(x) es una proposición verdadera para, al menos, uno de
los valores de x en U .
∃x : p(x) es falsa, si el predicado p(x) es una proposición falsa para todos los valores de x en U .
Nota 2.2
Un cuadro resumen de los valores de verdad de los cuantificadores podrı́a ser el siguiente:
∀x, p(x)
Verdad
p(x) es verdad para cada x
Falso
p(x) es falsa para, al menos, un x
∃x : p(x)
p(x) es verdad para, al menos, un x
p(x) es falsa para todos los valores de x
37
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Ejemplo 2.12
siguientes:
Departamento de Matemáticas
Estudiar en el conjunto de los números enteros, el valor de verdad de las afirmaciones
(a) ∃x : x < x + 1
(b) ∃x : x = 5
(c) ∃x : x = x + 1
Solución
(a) ∃x : x < x + 1
La proposición es “existe, al menos, un entero que es menor que el siguiente”.
El predicado p(x) : x < x + 1 es una proposición verdadera para cualquier entero x, por tanto, la
proposición cuantificada es verdad.
(b) ∃x : x = 5
La traducción de la proposición al lenguaje ordinario es “existe, al menos, un entero igual a 5”.
El predicado p(x) : x = 5 es una proposición verdadera cuando x toma el valor 5, luego la
proposición cuantificada es verdad.
(c) ∃x : x = x + 1
La proposición es “existe, al menos, un número entero que es igual al siguiente”
El predicado p(x) : x = x + 1 es una proposición falsa para cualquier número entero x, por tanto
la proposición cuantificada es falsa.
2.2.5
Alcance de un Cuantificador
En una expresión ∀x [p(x) . . .] o ∃x : [p(x) . . .], la porción de la expresión a la que se aplica ∀x ó ∃x
se llama alcance del cuantificador y se indicará entre corchetes a menos que sea evidente.
Ejemplo 2.13 En cada una de las expresiones simbólicas siguientes, describir el alcance de cada
cuantificador y decir que variables están ligadas y cuáles están libres.
(a) ∀x [p(x) ∧ ∃y : (t(x, y) ∧ r(x))]
(b) ¬∃x : [p(x) ∧ ∃y : (t(x, y) ∨ r(z))]
(c) ¬∃x : [p(x) ∧ ∃y : (t(x, y) ∨ r(y))]
Solución
(a) El alcance de ∀ es toda la fórmula. El alcance de ∃ es la fórmula (t(x, y) ∧ r(x)). La variable x está
ligada por el cuantificador ∀ y la y por el ∃, luego no hay variables libres.
(b) El alcance de ¬∃ es el resto de la fórmula y el alcance de ∃ es t(x, y) ∨ r(z). La variable z está libre,
pero x e y están ligadas por el cuantificador ∃.
(c) Los alcances son los mismos que en (b). La y en r(y) está libre, pero en t(x, y) está ligada.
Ejemplo 2.14 Consideremos el universo de los números enteros y sea p(x, y, z) el predicado x − y = z.
Transcribir las siguientes afirmaciones a notación lógica.
38
Lógica Matemática
Francisco José González Gutiérrez
(a) Para cada x e y, existe algún z tal que x − y = z.
(b) Para cada x e y, existe algún z tal que x − z = y.
(c) Existe un x tal que para todo y, y − x = y.
(d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original.
(e) 3 restado de 5 da 2.
Solución
(a) Para cada x e y, existe algún z tal que x − y = z.
∀x [∀y(∃z : p(x, y, z))]
(b) Para cada x e y, existe algún z tal que x − z = y.
∀x [∀y(∃z : p(x, z, y))]
(c) Existe un x tal que para todo y, y − x = y.
∃x : [∀y, p(y, x, y)]
(d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original.
∀x, p(x, 0, x)
(e) 3 restado de 5 da 2.
p(5, 3, 2)
Ejemplo 2.15 Sean p(x, y, z), q(x, y, z) y r(x, y) los predicados “x + y = z”, “x · y = z” y “x < y”,
respectivamente.
Expresar en el universo de los números enteros no negativos las afirmaciones siguientes:
(a) Para cada x e y, existe un z tal que x + y = z.
(b) Ningún x es menor que cero.
(c) Para todo x es x + 0 = x.
(d) Para todo x, x · y = y para todo y.
(e) Existe un x tal que x · y = y para cada y.
Solución
(a) ∀x [∀y(∃z : p(x, y, z))]
(b) ∀x [¬r(x, 0)] o bien, ¬∃x : r(x, 0)
(c) ∀x, p(x, 0, x)
(d) ∀x [∀y, q(x, y, y)]
(e) ∃x : [∀y, q(x, y, y)]
39
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Ejemplo 2.16 Determinar cuáles de las siguientes proposiciones cuantificadas son verdad si el universo
es el conjunto de los números enteros.
(a) ∀x [∃y : (x · y = 0)]
(b) ∃y : [∀x (x · y = 1)]
(c) ∃y : [∀x (x · y = x)]
Solución
(a) ∀x [∃y : (x · y = 0)]
“Dado cualquier número entero, existe otro tal que el producto de ambos es cero”
La proposición
∃y : x · y = 0
es verdad para cualquier entero x ya que bastarı́a tomar y = 0. Por lo tanto,
∀x [∃y : (x · y = 0)]
es una proposición verdadera.
(b) ∃y : [∀x (x · y = 1)]
“Puede encontrarse un número entero tal que su producto por cualquier entero sea 1”
La proposición
∀x, x · y = 1
es falsa ya que bastarı́a tomar x 6= 1 para que x · y 6= 1 cualquiera que sea el y que se elija. Por lo
tanto, la proposición
∃y : [∀x (x · y = 1)]
es falsa.
(c) ∃y : [∀x (x · y = x)]
“Existe, al menos, un número entero tal que al multiplicarlo por cualquier entero lo deja igual”.
La proposición
∀x, x · y = x
será verdadera o falsa dependiendo del y que elijamos. En particular, si tomamos y = 1, la
proposición ∀x, x · y = x es verdad para todos los enteros. Consecuentemente,
∃y : [∀x (x · y = x)]
es una proposición verdadera.
Nota 2.3 Una afirmación con variables cuantificadas se puede expresar mediante las proposiciones
que se obtienen asignando valores a las variables de los predicados que ocurren en la afirmación.
− Si el universo del discurso es finito esta relación puede hacerse explı́cita. Por ejemplo, supongamos
que el universo consiste en los enteros 1,2,3 y 4, entonces la proposición:
∀x, p(x)
equivale a la proposición
p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ p(4)
y la proposición
∃x : p(x)
es equivalente a la
p(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ p(4)
40
Lógica Matemática
Francisco José González Gutiérrez
− Si el universo del discurso es infinito una proposición con cuantificadores no puede representarse
siempre por un número finito de conjunciones o disyunciones de proposiciones sin cuantificadores.
Sin embargo, podemos extender el concepto y a veces es conveniente expresar una afirmación
universal o existencialmente cuantificada como una conjunción o disyunción infinita, respectivamente. Por ejemplo, consideremos como universo del discurso el conjunto de los números enteros
no negativos y sea p(x) el predicado “x > 4”. Entonces, la proposición,
∀x, p(x)
puede interpretarse como la conjunción infinita
p(0) ∧ p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ p(4) ∧ · · ·
la cual es falsa ya que, por ejemplo, p(0) es falsa.
Asimismo, la proposición
∃x : p(x)
puede interpretarse como la disyunción infinita
p(0) ∨ p(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ p(4) ∨ · · ·
la cual es verdad, ya que al menos uno de los operandos, por ejemplo p(5), es verdad.
Ejemplo 2.17 Sea el universo del discurso U = {0, 1}. Encontrar conjunciones y disyunciones finitas
de proposiciones que no usen cuantificadores y que sean equivalentes a las siguientes:
(a) ∀x, p(0, x)
(b) ∀x [∀y, p(x, y)]
(c) ∀x [∃y : p(x, y)]
(d) ∃x : [∀y, p(x, y)]
(e) ∃y [∃x : p(x, y)]
Solución
(a) ∀x, p(0, x)
La forma equivalente pedida es
p(0, 0) ∧ p(0, 1)
(b) La proposición cuantificada ∀x [∀y (p(x, y))] puede expandirse en la forma:
[∀y, p(0, y)] ∧ [∀y, p(1, y)]
la cual puede interpretarse como
[p(0, 0) ∧ p(0, 1)] ∧ [p(1, 0) ∧ p(1, 1)]
que por la asociatividad de ∧ equivale a
p(0, 0) ∧ p(0, 1) ∧ p(1, 0) ∧ p(1, 1)
(c) Expandimos la proposición ∀x [∃y : p(x, y)] a
[∃y : p(0, y)] ∧ [∃y : p(1, y)]
41
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la cual equivale a
[p(0, 0) ∨ p(0, 1)[ ∧ [p(1, 0) ∨ p(1, 1)]
y aplicando la distributividad de ∧ respecto de ∨,
[(p(0, 0) ∨ p(0, 1)) ∧ p(1, 0)] ∨ [(p(0, 0) ∨ p(0, 1)) ∧ p(1, 1)]
es decir,
(p(0, 0) ∧ p(1, 0)) ∨ (p(0, 1) ∧ p(1, 0)) ∨ (p(0, 0) ∧ p(1, 1)) ∨ (p(0, 1) ∧ p(1, 1))
(d) ∃x : [∀y, p(x, y)] se expande en la forma:
[∀y, p(0, y)] ∨ [∀y, p(1, y)]
la cual equivale a la proposición
[p(0, 0) ∧ p(0, 1)] ∨ [p(1, 0) ∧ p(1, 1)]
y por la distributividad de ∨ respecto de ∧,
[(p(0, 0) ∧ p(0, 1)) ∨ p(1, 0)] ∧ [(p(0, 0) ∧ p(0, 1)) ∨ p(1, 1)]
es decir,
(p(0, 0) ∨ p(0, 1)) ∧ (p(0, 1) ∨ p(1, 0)) ∧ (p(0, 0) ∨ p(1, 1)) ∧ (p(0, 1) ∨ p(1, 1))
(e) La proposición con cuantificadores ∃y [∃x : p(x, y)] puede expandirse a:
[∃x : p(x, 0)] ∨ [∃x : p(x, 1)]
que es equivalente a la proposición,
p(0, 0) ∨ p(1, 0) ∨ p(0, 1) ∨ p(1, 1)
En el ejemplo siguiente veremos como el orden en que se ligan las variables es vital y puede afectar
profundamente el significado de una afirmación.
Ejemplo 2.18
siguientes:
Si el universo del discurso es el conjunto de las personas casadas, evaluar las afirmaciones
(a) ∀x [∃y : (x está casada con y)]
(b) ∃y : [∀x (x está casada con y)]
Si el universo es el conjunto de los números enteros, evaluar:
(c) ∀x [∃y : (x + y = 0)]
(d) ∃y : [∀x (x + y = 0)]
Solución
Los cuantificadores se evalúan de izquierda a derecha.
42
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(a) ∀x [∃y : (x está casada con y)]
La transcripción de la proposición es “para cada persona que elijamos en el universo del discurso,
existe otra que está casada con ella”.
Pues bien, dada una persona cualquiera x, la proposición
∃y : x está casada con y
es verdadera, por lo tanto,
∀x [∃y : (x está casada con y)]
es verdad.
(b) ∃y : [∀x (x está casada con y)]
La transcripción es “Existe una persona y del universo del discurso tal que todas las demás están
casadas con ella”.
Pues bien, la proposición
∀x(x está casada con y)
es falsa para cualquier y que tomemos en el universo, por tanto,
∃y : [∀x (x está casada con y)]
es una proposición falsa.
(c) ∀x [∃y : (x + y = 0)]
“Dado cualquier número entero, existe otro tal que la suma de ambos es cero”.
Pues bien, dado cualquier número entero x, la proposición
∃y : x + y = 0
es verdad ya que siempre puede encontrarse otro entero y que cumpla la ecuación x+y = 0 (bastarı́a
tomar y = −x). Por lo tanto la proposición
∀x [∃y : (x + y = 0)]
es verdad.
(d) ∃y : [∀x (x + y = 0)]
“Existe, al menos, un número entero y tal que su suma con cualquier otro número entero es cero”.
La proposición
∀x, x + y = 0
es falsa para todos los y del universo del discurso. En efecto, bastarı́a tomar un x 6= 0 y x 6= −y
para que x + y 6= 0. Por lo tanto,
∃y : [∀x (x + y = 0)]
es una proposición falsa.
Obsérvese que las dos parejas de proposiciones se diferencian únicamente en el orden de los cuantificadores
universal y existencial y, sin embargo, sus valores de verdad son distintos.
Nota 2.4 Cuando se asignan valores a las variables de un predicado para transformarla en una
proposición, los valores de verdad de ésta pueden cambiar dependiendo del universo del discurso que
se elija. Por ejemplo, la proposición “∀x, x es negativo” será verdad si el universo del discurso son los
números enteros negativos y falsa si son los enteros positivos. En el ejemplo siguiente buscamos universos
que hagan que determinadas proposiciones sean verdaderas.
Ejemplo 2.19 Especificar un universo del discurso para el cual las proposiciones siguientes sean verdad.
Elegir el universo como un conjunto de números enteros tan grande como sea posible.
43
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(a) ∀x, x > 0
(b) ∀x, x = 3
(c) ∀x [∃y : (x + y = 248)]
(d) ∃y : [∀ (x, x + y < 0)]
Solución
(a) La proposición ∀x, x > 0 significa que x sea mayor que cero, cualquiera que sea x, luego U es el
conjunto de los enteros positivos.
(b) ∀x, x = 3, significa que cualquiera que sea x, valga 3, luego U es el subconjunto de los enteros
formado únicamente por el 3.
(c) ∀x [∃y (: x + y = 248)]. El universo del discurso que hace que esta proposición sea verdad es el
conjunto de los enteros, ya que dado cualquier entero x, bastarı́a tomar y = 248 − x para que la
proposición ∃y : x + y = 248 fuese verdad.
(d) ∃y : [∀x (x + y < 0)]. El universo que hace verdadera esta proposición es el de los enteros negativos,
ya que fijando un y en él la proposición ∀x(x + y < 0) es verdad.
2.3
Cálculo de Predicados
La versión de la lógica que trata con proposiciones cuantificadas se llama lógica de predicados. La
introducción de cuantificadores no sólo amplı́a la fuerza expresiva de las proposiciones que se pueden
construir, sino que también permite elaborar principios lógicos que explican el razonamiento seguido en
casi todas las demostraciones matemáticas.
Una transcripción cuidadosa de los desarrollos matemáticos incluyen, a menudo, cuantificadores, predicados y operadores lógicos.
Ejemplo 2.20
Consideremos como universo del discurso el conjunto de los números enteros y sean
p(x) : x es no negativo.
q(x) : x es par.
r(x) : x es impar.
s(x) : x es primo.
Expresar en notación lógica las siguientes afirmaciones:
(a) Existe un entero par.
(b) Todo número entero es par o impar.
(c) Todos los números primos son no negativos.
(d) El único número primo par es el 2.
(e) No todos los enteros son pares.
(f) No todos los primos son impares.
(g) Si un entero no es impar, entonces es par.
44
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Solución
(a) Existe un entero par.
∃x : q(x)
(b) Todo número entero es par o impar.
∀x [q(x) ∨ r(x)]
(c) Todos los números primos son no negativos.
∀x [s(x) −→ p(x)]
(d) El único número primo par es el 2.
∀x [s(x) ∧ q(x) −→ x = 2]
(e) No todos los enteros son pares.
¬ [∀x, q(x)]
(f) No todos los primos son impares.
¬∀x, [s(x) −→ r(x)]
(g) Si un entero no es impar, entonces es par.
∀x [¬r(x) −→ q(x)]
Obsérvese que en el ejemplo anterior, los cuantificadores están al comienzo de cada afirmación. Sin
embargo, no siempre es ası́, los cuantificadores pueden ir en cualquier parte y su situación es importante.
Ejemplo 2.21 Consideremos en el universo de los números enteros el predicado p(x, y, z) : xy = z.
Transcribir a notación lógica las afirmaciones siguientes:
(a) Si x = 0, entonces xy = x para todos los valores de y.
(b) Si xy = x para cada y, entonces x = 0.
(c) Si xy 6= x para algún x, entonces x 6= 0.
Solución
Sea p(x, y, z) : xy = z, entonces
(a) Si x = 0, entonces xy = x para todos los valores de y.
∀x [x = 0 −→ ∀y, p(x, y, x)]
(b) Si xy = x para cada y, entonces x = 0.
∀x [∀y (p(x, y, x) −→ x = 0)]
(c) Si xy 6= x para algún x, entonces x 6= 0.
∃x : [¬p(x, y, x) −→ x 6= 0]
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La proposición (b) afirma que si xy = x para todos los valores de y, entonces x vale cero. Si en su lugar
escribimos
∀x [∀y (p(x, y, x) −→ x = 0)]
la transcripción no es correcta, ya que en tal caso estarı́amos afirmando que si xy = x, entonces x = 0
para cada x y para cada y, lo cual es falso ya que, por ejemplo, tomando x = y = 1, tendremos que xy = x
y, sin embargo, x no es cero. Por tanto, el lugar en el que se coloca el cuantificador es fundamental. Los ejemplos anteriores ilustran la gran variedad de formas en las que pueden hacerse afirmaciones que
contengan predicados, cuantificadores y operadores lógicos.
Nota 2.5 El valor de verdad de una proposición compuesta depende, generalmente, del conjunto
universal donde las variables ligadas están cuantificadas. Sin embargo, existen ejemplos importantes
donde el valor de verdad no depende ni del universo del discurso ni de los valores que las variables tomen
en el mismo.
2.3.1
Implicación Lógica
Sean A1 y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A1 implica lógicamente A2 si
para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el mismo,
A2 es verdad cuando A1 lo sea.
2.3.2
Equivalencia Lógica
Sean A1 y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A1 equivale lógicamente a
A2 si para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el
mismo, A1 y A2 tienen los mismos valores de verdad.
Obsérvese que las definiciones son análogas a las dadas para la implicación y equivalencia lógica de
proposiciones. Ahora se exige que las condiciones se verifiquen para cualquier universo del discurso y
cualquier valor de las variables en el mismo.
2.3.3
Leyes de De Morgan Generalizadas
Constituyen una clase importante de equivalencias lógicas y son las siguientes:
1. ¬∀x, p(x) ⇐⇒ ∃x : ¬p(x)
2. ¬∃x : p(x) ⇐⇒ ∀x, ¬p(x)
3. ∀x, p(x) ⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)
4. ∃x : p(x) ⇐⇒ ¬∀x, ¬p(x)
Demostración
Sea U un universo del discurso arbitrario, p(x) un predicado cualquiera, y x cualquiera de U .
Veamos que en todos los casos las dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
1. ¬∀x, p(x) ⇐⇒ ∃x : ¬p(x)
Si ¬∀x, p(x) es verdad, entonces ∀x, p(x) es falso, luego existe, al menos, un x en U para el cual
p(x) es falso, o lo que es igual para el que ¬p(x) es verdad, es decir ∃x : ¬p(x) es verdad.
46
Lógica Matemática
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Si ¬∀x, p(x) es falso, entonces ∀x, p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para cualquier valor de x y
¬p(x) falso. Por lo tanto, ∃x : ¬p(x) es falso.
2. ¬∃x : p(x) ⇐⇒ ∀x, ¬p(x)
Si ¬∃x : p(x) es verdad, entonces ∃x : p(x) es falso, luego p(x) es falso para todos los valores de x,
es decir ¬p(x) es verdad para cualquier x de U y, consecuentemente, ∀x, ¬p(x) es verdad.
Si ¬∃x : p(x) es falso, entonces ∃x : p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para algún valor de x, de
aquı́ que exista un x para el cual ¬p(x) es falso y, por lo tanto, ∀x, ¬p(x) es falso.
3. ∀x, p(x) ⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)
Si ∀x, p(x) es verdad, entonces p(x) es verdad para cualquier x o lo que es igual ¬p(x) es falso para
todo x de U , es decir ∃x : ¬p(x) es falso y, por tanto, ¬∃x : ¬p(x) es verdad.
Si ∀x, p(x) es falso, entonces hay, al menos, un valor de x para el cual p(x) es falso o para el que
¬p(x) es verdad, es decir ∃x : ¬p(x) es verdad y, consecuentemente, ¬∃x : ¬p(x) es falso.
4. ∃x : p(x) ⇐⇒ ¬∀x, ¬p(x)
Si ∃x : p(x) es verdad, entonces p(x) es verdad para algún valor de x en U , luego existe un x en U
para el cual ¬p(x) es falso, es decir, ∀x, ¬p(x) es falso y, consecuentemente, ¬∀x, ¬p(x) es verdad.
Si ∃x : p(x) es falso, entonces p(x) es falsa para todos los valores de x en U , es decir ¬p(x) es
verdad, luego ∀x, ¬p(x) es verdad y, por lo tanto, ¬∀x¬p(x) es falso.
Tenemos, pues, que cada una de las proposiciones anteriores son verdaderas independientemente del
conjunto universal que elijamos y las variables de predicado que utilicemos, por lo tanto de acuerdo con
la definición, son lógicamente equivalentes.
Nota 2.6 Obsérvese que según lo que acabamos de probar, la equivalencia 1. es cierta para cualquier
predicado luego será cierto para ¬p(x). Entonces,
¬∀x, ¬p(x) ⇐⇒ ∃x : ¬¬p(x)
y si sustituimos ¬¬p(x) por p(x), resulta
¬∀x, ¬p(x) ⇐⇒ ∃x : p(x)
que es la cuarta ley de De Morgan, de la cual, negando ambos miembros, y en virtud de la equivalencia
lógica entre una proposición y su contrarrecı́proca, obtenemos,
¬¬∀x, ¬p(x) ⇐⇒ ¬∃x : p(x)
es decir,
∀x, ¬p(x) ⇐⇒ ¬∃x : p(x)
que es la segunda ley de De Morgan. Si ahora se la aplicamos a ¬p(x), obtendremos
∀x, ¬¬p(x) ⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)
o sea,
∀x, p(x) ⇐⇒ ¬∃x : ¬p(x)
que es la tercera ley de De Morgan.
Nota 2.7 Las leyes de De Morgan generalizadas pueden utilizarse repetidamente para negar cualquier
proposición con cuantificadores.
Por ejemplo, podemos utilizarlas para negar la proposición
∃w : [∀x (∃y : (∃z : p(w, x, y, z)))]
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En efecto,
¬∃w : [∀x (∃y : (∃z : p(w, x, y, z)))] ⇐⇒
∀w [¬∀x(∃y : (∃z : p(w, x, y, z)))]
{Segunda ley}
⇐⇒
∀w [∃x : (¬∃y : (∃z : p(w, x, y, z)] {Primera ley}
⇐⇒
∀w [∃x : (∀y(¬∃z : p(w, x, y, z)))]
{Segunda ley}
⇐⇒
∀w [∃x : (∀y(∀z, ¬p(w, x, y, z)))]
{Segunda ley}
2.3.4
Regla general
La negación de una proposición con cuantif icadores es lógicamente equivalente a la proposición que
se obtiene sustituyendo cada ∀ por ∃, cada ∃ por ∀ y reemplazando el predicado por su negación.
Ejemplo 2.22
Construir la negación de la proposición
∀x [∀y (∃z : x < z < y)]
Solución
De acuerdo con la regla general, la negación de la proposición anterior es:
∃x : [∃y : (∀z, ¬(x < z < y))]
si ahora aplicamos las leyes de De Morgan del cálculo proposicional a la proposición ¬(x < z < y),
tendremos
¬(x < z < y) ⇐⇒ ¬ [(x < z) ∧ (z < y)]
⇐⇒
¬(x < z) ∨ ¬(z < y)
⇐⇒
x>z∨z >y
Por tanto, la negación de ∀x [∀y(∃z : (x < z < y))] es lógicamente equivalente a
∃x : [∃y : (∀z, x > z ∨ z > y)]
Ejemplo 2.23
nadores”.
Negar la afirmación “todas las empresas fabrican algún componente de todos los orde-
Solución
Sean los predicados
p(x, y): la empresa x produce el componente y
y
q(y, z): y es un componente del ordenador z
La afirmación propuesta escrita en lenguaje simbólico serı́a
∀x [∀z(∃y : (p(x, y) ∧ p(y, z)))]
y su negación, de acuerdo con la regla general será:
∃x : [∃z : (∀y : ¬(p(x, y) ∧ q(y, z)))]
48
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la cual, a su vez, es lógicamente equivalente a
∃x : [∃z : (∀y : ¬p(x, y) ∨ ¬q(y, z))]
que podemos escribir en forma de condicional sin más que utilizar la implicación lógica conocida como
implicación,
∃x : [∃z : (∀y : p(x, y) −→ ¬q(y, z))]
cuya interpretación es
“pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquiera está
fabricado por la empresa, entonces no pertenece al ordenador”.
Obsérvese que también podı́amos haber escrito
∃x : [∃z : (∀y : q(y, z) −→ ¬p(x, y))]
cuya interpretación es
“pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquiera
pertenece al ordenador, entonces no está fabricado por la empresa”.
Obsérvese también que otra forma equivalente de la negación es
∃x : [∃z : (¬∃y : p(x, y) ∧ q(y, z))]
cuya interpretación es
“existen una empresa y un ordenador tales que la empresa no fabrica ningún componente del
ordenador”
o también
“existen una empresa y un ordenador tales que el ordenador no tiene ningún componente
fabricado por la empresa.”
Ahora estudiaremos de que forma afectan a los cuantificadores lo conectores lógicos conjunción y disyunción.
2.3.5
Proposiciones al Alcance de un Cuantificador
Si una proposición está dentro del alcance de un cuantificador mediante una conjunción o una
disyunción, entonces puede situarse fuera del alcance del mismo.
(a) ∀x [p(x) ∨ q] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q
(b) ∃x : [p(x) ∨ q] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q
(c) ∃x : [p(x) ∧ q] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q
(d) ∀x [p(x) ∧ q] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q
Demostración
Supondremos que U es un universo del discurso arbitrario, p(x) cualquier predicado, x un elemento
cualquiera de U y q una proposición cualquiera.
49
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(a) ∀x [p(x) ∨ q] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q.
Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
Si ∀x [p(x) ∨ q] es verdad, entonces p(x) ∨ q es verdad para todos los valores de x en U luego una
de las dos proposiciones ha ser verdad para todo x.
− Si p(x) es verdad para todos los valores de x en U , entonces ∀x, p(x) es verdad y, consecuentemente [∀x, p(x)] ∨ q es verdad.
− Si q es verdad, entonces [∀x, p(x)] ∨ q es verdad.
luego en ambos casos, [∀x, p(x)] ∨ q es verdad.
Si ∀x [p(x) ∨ q] es falso, entonces existe al menos un x para el cual p(x) ∨ q es falso de aquı́ que
p(x) sea falso para ese x y q también, luego [∀x, p(x)] es falso, q es falso y, consecuentemente,
[∀x, p(x)] ∨ q es falso.
(b) ∃x : [p(x) ∨ q] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q.
Veamos si ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
Si ∃x : p(x) ∨ q es verdad, entonces existe un x, para el cual p(x) ∨ q es verdad, luego una de las
dos proposiciones ha de ser verdad.
− Si p(x) es verdad para algún x, entonces ∃x : p(x) es verdad y, consecuentemente, [∃x : p(x)]∨q
también lo es.
− Si q es verdad, entonces [∃x : p(x)] ∨ q también lo es.
es decir, en cualquier caso [∃x : p(x)] ∨ q es verdad.
Si ∃x : [p(x) ∨ q] es falso, entonces p(x) ∨ q es falso para todos los valores de x, luego p(x) es falso
para cualquier x de U y q también, es decir ∃x : p(x) es falso y q falso, luego [∃x : p(x)] ∨ q es falso.
(c) ∃x : [p(x) ∧ q] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q.
Si ∃x : [p(x) ∧ q] es verdad, entonces p(x) ∧ q es verdad para algún valor de la variable x, luego p(x)
y q han de ser verdad para este x de aquı́ que ∃x : p(x) sea verdad y q también y, consecuentemente,
[∃x : p(x)] ∧ q es verdad.
Si [∃x : p(x) ∧ q] es falso, entonces p(x)∧q es falso para todos los valores de la variable x, luego p(x)
y q han de ser, ambos, falsos para todos esos valores, de aquı́ que ∃x : p(x) sea falso y q también.
Consecuentemente, [∃x : p(x)] ∧ q es falso.
También podemos probarlo de otra forma. En efecto, en el apartado (a) hemos visto que
∀x [p(x) ∨ q] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q
de aquı́ que sustituyendo los predicados por sus negaciones, tengamos
∀x [¬p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ [∀x, ¬p(x)] ∨ ¬q
y negando ambos miembros,
¬∀x [¬p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ ¬ [(∀x, ¬(p(x)) ∨ ¬q]
y aplicando las leyes de De Morgan en el segundo miembro
¬∀x [¬p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ [¬∀x, ¬p(x)] ∧ q
y por las leyes de De Morgan generalizadas,
∃x : ¬ [¬(p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ [∃x : ¬¬p(x)] ∧ q
es decir,
∃x : [¬¬p(x) ∧ ¬¬q] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q
y, consecuentemente,
∃x : [p(x) ∧ q] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q
50
Lógica Matemática
Francisco José González Gutiérrez
(d) ∀x [p(x) ∧ q] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q.
Si ∀x(p(x) ∧ q) es verdad, entonces p(x) ∧ q es verdad para todos los valores de x en U de aquı́
que p(x) y q sean, ambos, verdad para cualquier x. Por lo tanto, ∀x, p(x) es verdad y q también y,
consecuentemente, [∀x, p(x)] ∧ q es verdad.
Si ∀x [p(x) ∧ q] es falso, entonces hay algún valor de la variable x para el cual p(x) ∧ q es falso, de
aquı́ que una de las dos proposiciones sea falsa.
− Si p(x) es falsa para algún valor de la variable x, entonces ∀x, p(x) es falsa y, consecuentemente,
[∀x, p(x)] ∧ q será falsa, independientemente del valor de verdad de q.
− Si q es falsa, entonces [∀x, p(x)] ∧ q es falsa.
Al igual que el apartado anterior, lo probaremos de otra forma. En efecto, en el apartado (b) vimos
que
∃x : [p(x) ∨ q] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q
luego si sustituimos cada proposición por su negación, tendremos
∃x : [¬p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ [∃x : ¬p(x)] ∨ ¬q
y negando ambos miembros,
¬∃x : [¬p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ ¬ [(∃x : ¬p(x)) ∨ ¬q]
es decir,
¬∃x : [¬p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ [¬∃x : ¬p(x)] ∧ q
de aquı́ que, por las Leyes de De Morgan generalizadas, tengamos
∀x, ¬ [¬p(x) ∨ ¬q] ⇐⇒ [∀x, ¬¬p(x)] ∧ q
o sea,
∀x [¬¬p(x) ∧ ¬¬q] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q
y, consecuentemente,
∀x [p(x) ∧ q] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q
Ejemplo 2.24
Probar las siguientes equivalencias:
(a) ∀x [p −→ q(x)] ⇐⇒ p −→ [∀x, q(x)]
(b) [∀x, p(x)] −→ q ⇐⇒ ∃x : [p(x) −→ q]
Solución
(a) ∀x [p −→ q(x)] ⇐⇒ p −→ [∀x, q(x)]
En efecto,
∀x [p −→ q(x)] ⇐⇒
∀x [¬p ∨ q(x)]
{Implicación}
⇐⇒
∀x [q(x) ∨ ¬p]
{Conmutatividad de ∨}
⇐⇒
[∀x, q(x)] ∨ ¬p
{2.3.5 (a)}
⇐⇒
¬p ∨ [∀x, q(x)]
{Conmutatividad de ∨}
⇐⇒
p −→ [∀x, q(x)] {Implicación}
51
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(b) [∀x, p(x) −→ q] ⇐⇒ ∃x : [p(x) −→ q]
En efecto,
[∀x, p(x)] −→ q
⇐⇒
[¬∀x, p(x)] ∨ q
{Implicación}
⇐⇒
[∃x : ¬p(x)] ∨ q
{Leyes de De Morgan}
⇐⇒
∃x : [¬p(x) ∨ q]
{2.3.5 (a)}
⇐⇒
∃x : [p(x) −→ q] {Implicación}
2.3.6
Predicados al Alcance de un Cuantificador
Los predicados con variables no ligadas por un cuantificador que estén dentro del alcance del mismo
mediante una conjunción o una disyunción pueden situarse fuera del alcance del cuantificador.
(a) ∀x [p(x) ∨ q(y)] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∨ q(y)
(b) ∀x [p(x) ∧ q(y)] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ q(y)
(c) ∃x : [p(x) ∨ q(y)] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ q(y)
(d) ∃x : [p(x) ∧ q(y)] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∧ q(y)
Demostración
La demostración es idéntica a la hecha en la proposición anterior.
2.3.7
Asociatividad y Distributividad
(a) ∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)]
(b) ∃x : [p(x) ∧ q(x)] =⇒ [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]
(c) ∃x : [p(x) ∨ q(x)] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)]
(d) [∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] =⇒ ∀x, [p(x) ∨ q(x)]
Demostración
Sea U un universo del discurso cualquiera y p(x), q(x) dos predicados arbitrarios, siendo x cualquier
elemento de U
(a) ∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)]
Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad.
Si ∀x [p(x) ∧ q(x)] es verdad, entonces p(x) ∧ q(x) es verdad para todos los valores de x en U ,
luego p(x) y q(x) son, ambas, verdad para cualquier x de U , es decir ∀x, p(x) es verdad y ∀x, q(x)
también, luego [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)] es verdad.
Por otra parte, si ∀x [p(x) ∧ q(x)] es falso, entonces existe, al menos, un valor de x en U para el
cual p(x) ∧ q(x) es falsa luego una de las dos ha de ser falsa.
− Si p(x) es falsa para algún valor de x, entonces ∀x, p(x) es falsa y, consecuentemente, la
proposición [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)] es falsa.
− Si q(x) es falsa, el razonamiento es idéntico al anterior.
Por lo tanto, en ambos casos, la proposición es falsa.
52
Lógica Matemática
Francisco José González Gutiérrez
La relación anterior suele enunciarse informalmente diciendo que “el cuantificador universal es
distributivo respecto del conectivo lógico conjunción.”
(b) ∃x : [p(x) ∧ q(x)] =⇒ [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]
Veamos que si la primera de las proposiciones es verdad, entonces la segunda también lo es. En
efecto si ∃x : [p(x) ∧ q(x)] es verdad, entonces p(x) ∧ q(x) es verdad para algún x en U , luego p(x)
y q(x) son verdad, ambas, para ése x, de aquı́ que ∃x : p(x) sea verdad y ∃x : q(x) también y,
consecuentemente, [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)] es verdad.
Veamos que, sin embargo, no se da la equivalencia lógica como en el apartado anterior.
En efecto, la afirmación ∃x : [p(x) ∧ q(x)] nos dice que existe un valor de x en el universo para el
cual p(x) y q(x) son, ambas, verdad.
Por otra parte, [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)] afirma que existe un valor de x en el universo tal que p(x)
es verdad y que existe un valor de x para el cual es verdad q(x).
Veamos un contraejemplo que pone de manifiesto lo que decimos. Supongamos que U es el conjunto
de los números enteros y sea p(x) : x es un número par y q(x) : x es un número impar. Entonces,
“existe, al menos, un número entero par y existe, al menos, un número entero impar”, luego
[∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]
es una proposición verdadera, en tanto que “existe, al menos, un número entero que es, al mismo
tiempo, par e impar”, es decir,
∃x : [p(x) ∧ q(x)]
es una proposición falsa, luego no se verifica la implicación contraria.
(c) ∃x : [p(x) ∨ q(x)] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)]
Veamos que si la segunda es falsa, entonces la primera también lo es (equivale a probar que si la
primera es verdad, la segunda también). En efecto, si [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)] es falsa, entonces
∃x : p(x) es falsa y ∃x : q(x) también, luego p(x) y q(x) son, ambas, falsas para todos los valores
de x en U , de aquı́ que para cualquier valor de x, p(x) ∨ q(x) sea falsa y, consecuentemente,
∃x : [p(x) ∨ q(x)] es una proposición falsa.
Por otra parte, si ∃x : [p(x) ∨ q(x)] es falsa, entonces p(x) ∨ q(x) es falsa para todos los valores de x
en U , luego p(x) es falsa y q(x) es falsa para cualquier x, de aquı́ que ∃x : p(x) sea falsa, ∃x : q(x)
también y, consecuentemente, [∃x : p(x)] ∨ [∃x : q(x)] sea una proposición falsa.
Veamos otra forma de demostrar lo mismo. En el apartado (a), hemos visto que
∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇐⇒ [∀x, p(x)] ∧ [∀x, q(x)]
siendo cierto este resultado para cualquier predicado, luego también lo será para sus negaciones, es
decir,
∀x [¬p(x) ∧ ¬q(x)] ⇐⇒ [∀x, ¬p(x)] ∧ [∀x, ¬q(x)]
negando ahora ambos miembros, resulta
¬∀x [¬p(x) ∧ ¬q(x)] ⇐⇒ ¬ [(∀x, ¬p(x)) ∧ (∀x, ¬q(x))]
ası́ pues,
∃x : ¬([¬p(x) ∧ ¬q(x)]] ⇐⇒ [¬∀x, ¬p(x)] ∨ [¬∀x, ¬q(x)]
es decir,
∃x : [¬¬p(x) ∨ ¬¬q(x)] ⇐⇒ [∃x : ¬¬p(x)] ∨ [∃x : ¬¬q(x)]
de aquı́ que
∃x : [p(x) ∨ q(x)] ⇐⇒ [∃x : p(x)] ∨ (∃x : q(x)]
La relación anterior suele enunciarse informalmente diciendo que “el cuantificador existencial es
distributivo respecto del conectivo lógico disyunción”
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Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(d) [∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] =⇒ ∀x, [p(x) ∨ q(x)] En efecto, si [∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] es verdad, entonces
una de las dos proposiciones ha de ser verdad.
Si ∀x, p(x) es verdad, p(x) ha de ser verdad para todos los valores de x, luego p(x) ∨ q(x) es verdad
y, consecuentemente, ∀x [p(x) ∨ q(x)] es verdad.
Si ∀x, q(x) es verdad, se razona exactamente igual.
Otra forma de demostrar lo mismo es la siguiente: en el apartado (b) vimos que
∃x : [p(x) ∧ q(x)] =⇒ [∃x : p(x)] ∧ [∃x : q(x)]
Si ahora sustituimos los predicados por sus negaciones,
∃x : [¬p(x) ∧ ¬q(x)] =⇒ [∃x : ¬p(x)] ∧ [∃x : ¬q(x)]
negamos ambos miembros, y aplicamos la “contrarrecı́proca”, resulta
¬ [∃x : ¬p(x)] ∧ [∃x : ¬q(x)] =⇒ ¬∃x : [¬p(x) ∧ ¬q(x)]
luego,
[¬∃x : ¬p(x)] ∨ [¬∃x : ¬q(x)] =⇒ ∀x¬ [¬p(x) ∧ ¬q(x)]
es decir,
[∀x, ¬¬p(x)] ∨ [∀x, ¬¬q(x)] =⇒ ∀x [¬¬p(x) ∨ ¬¬q(x)]
de donde se sigue que
[∀x, p(x)] ∨ [∀x, q(x)] =⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
Por razones análogas a las del apartado (b) no se da la equivalencia lógica.
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