La distribución de Planck del cuerpo negro:

La distribución de Planck
El cuerpo negro
La distribución de Planck del cuerpo negro:
Cuerpo negro: modelo de un objeto que absorbe y emite radiación electromagnética en equilibrio
térmico a una temperatura T .
Ley de Planck: la densidad de radiación expresada en términos de la frecuencia ν es
8πhν 3
u(ν) =
c3
exp
n
1
o
[=] erg s cm−3 ,
hν
−1
kB T
(58)
donde u(ν)dν representa la radiación emitida por unidad de volumen con una frecuencia comprendida
entre ν y ν + dν. En los lı́mites ν → 0 y ν → ∞: u(ν) → 0. En cualquier otra situación, por cada
punto (ν, T ) pasa una y sóla una curva del cuerpo negro (en otro caso podrı́amos violar el segundo
principio de termodinámica).
También podemos expresar la densidad de radiación empleando la longitud de onda:
u(ν)dν, ν ∈ [0, ∞)
⇐=
ν = c/λ; dν = −c dλ/λ2
=⇒
v(λ)dλ, λ ∈ [0, ∞)
(59)
de donde
v(λ) =
c Vı́ctor Luaña, 2002
8πhc
λ5
exp
n
1
o
[=] erg cm−4 .
hc
−1
λkB T
(60)
(52)
La distribución de Planck
El cuerpo negro
Ley de Stefan-Boltzmann: la energı́a total emitida por un cuerpo negro depende sólo de la
temperatura absoluta y crece proporcionalmente a T 4 :
E=
Z
0
∞
8πh
u(ν)dν = 3
c
Z
0
∞
4
8π 5 kB
1
4
4
n
o
ν
=
T
=
σT
,
hν
15h3 c3
exp
−1
kB T
3
(61)
donde σ = 7.565767 × 10−15 erg cm−3 K−4 .
Ley de Wien: la densidad v(λ) presenta un máximo de irradiación a la longitud de onda λmax dada
por:
dv
=0
dλ
=⇒
=⇒
c Vı́ctor Luaña, 2002
hc
= y = 5(1 − e−y ) = 4.965114232
λkB T
λmax T = 0.289776857 cm K.
(62)
(53)
La distribución de Planck
El cuerpo negro
Cuerpo negro: Ley de Planck
4.5
Máxima emisión
u(ν) (10−18 erg cm−3 s)
4.0
3.5
3.0
2.5
373 K
2.0
298 K
1.5
1.0
273 K
0.5
0.0
0
c Vı́ctor Luaña, 2002
2 × 1013
4 × 1013
6 × 1013
ν (Hz)
8 × 1013
10 × 1013
(54)
La distribución de Planck
El cuerpo negro
Cuerpo negro: Ley de Planck
0.14
Máxima emisión (Ley de Wien)
0.12
−4
v(λ) (erg cm )
0.10
373 K
0.08
0.06
298 K
0.04
0.02
273 K
0.00
0.0005
c Vı́ctor Luaña, 2002
0.0010
0.0015
λ (cm)
0.0020
0.0025
0.0030
(55)