Definiciones y Teoremas

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉNICA SUPERIOR DE EDIFICACIÓN
GRADUADO EN EDIFICACIÓN
Dpto. EXPRESIÓN GRÁFICA APLICADA A LA EDIFICACIÓN
(545000003)
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA I
Agustín Balcázar Fdez.
DEFINICIONES y TEOREMAS
DEFINICIONES
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El punto es un elemento geométrico adimensional que no tiene longitud, área ni
volumen. Describe una posición en el espacio
Dos o más puntos alineados definen una recta R.
El plano es una superficie que puede contener una línea recta en cualquier posición.
En él hay infinitas rectas: o se cortan o son paralelas. Queda definido por:
a) Tres puntos no alineados.
b) Dos rectas que se cortan.
c) Una recta y un punto exterior a ella.
d) Dos rectas paralelas.
El plano bisector de otros dos, es el plano que lo divide angularmente en dos partes
iguales.
INTERSECCIONES
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La intersección de una recta y un plano, no paralelos, es un punto.
La intersección de dos planos no paralelos, es una recta.
La intersección de tres planos es, en general, un punto.
El plano BISECTOR de otros dos, es el plano que lo divide angularmente en dos
partes iguales. Los de los planos de proyección lo dividen en 45º.
PERTENENCIAS ENTRE PUNTO, RECTA Y PLANO
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Para que un punto pertenezca a una recta las proyecciones homónimas del punto y de
la recta deben coincidir.
Para que una recta pertenezca a un plano, dos puntos de la recta deben ser dos puntos
de otras dos rectas del plano. (Caso particular, las trazas de la recta deben estar en las
trazas del plano).
˘
Dos rectas R y S trazadas en un mismo plano, ó se cortan, ó son paralelas.
˘
Por un punto A situado en un mismo plano P pueden pasar infinitas rectas R, S, T,...
Sin embargo, solamente una de ellas puede tener la misma pendiente que el plano,
y esta recta debe ser perpendicular a sus horizontales (y a la traza horizontal). Ésta
recta se llama de máxima pendiente (la de mayor ángulo con el PH.).
Por un punto B situado en un mismo plano pueden pasar infinitas rectas R, S, T,...
Sin embargo, solamente una de ellas puede tener la misma inclinación que el
plano, y esta recta debe ser perpendicular a sus frontales (y a la traza vertical). Ésta
recta se llama de máxima inclinación (la de mayor ángulo con el PV.).
Para que un punto pertenezca a un plano, dicho punto debe pertenecer a una recta que
a su vez pertenezca al plano.
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉNICA SUPERIOR DE EDIFICACIÓN
GRADUADO EN EDIFICACIÓN
Dpto. EXPRESIÓN GRÁFICA APLICADA A LA EDIFICACIÓN
(545000003)
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA I
Agustín Balcázar Fdez.
DEFINICIONES y TEOREMAS
PARALELISMO (|||)
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Dos rectas R y S paralelas en el espacio, aparecerán siempre paralelas en todas las
vistas ortogonales. Se exceptúan los casos siguientes:
a) Si las rectas son verticales, aparecen como dos puntos en su proyección
horizontal.
b) Si las rectas son de punta, aparecen como dos puntos en su proyección vertical.
c) Si las rectas son de perfil, debemos comprobar, además, si en su tercera
proyección son también paralelas.
˘ Dos rectas R y S que aparecen paralelas en una sola proyección, no son
necesariamente paralelas.
Si una recta R, no perteneciente a un plano P, es paralela a una recta S trazada en ese
plano, es también paralela a dicho plano. (Paralelismo entre recta y plano)
˘ Si una recta R es paralela a dos planos P y Q, es paralela a la recta intersección L
de dichos planos.
Dos planos son paralelos cuando dos rectas trazadas en uno de ellos son paralelas,
respectivamente, a otras dos del otro plano. (Caso particular: Plano paralelos, trazas
paralelas).
˘ Si dos planos paralelos P y Q son cortados por un tercer plano W, las rectas de
intersección R y S son paralelas.
˘ Si dos planos P y Q son paralelos, cualquier recta R trazada en uno de ellos, es
paralela al otro plano.
PERPENDICULARIDAD (⊥
⊥)
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Dos rectas T y L perpendiculares entre sí, generalmente sus proyecciones no son
perpendiculares. Se exceptúan los casos siguientes:
a) Una de las rectas es horizontal: Aparecen perpendiculares sólo en su
proyección horizontal.
b) Una de las rectas es frontal: Aparecen perpendiculares sólo en su proyección
vertical.
c) Una de las rectas es paralela a la LT. O de perfil: En ambos casos las rectas
aparecen en sus dos proyecciones diédricas perpendiculares.
d) Las dos son horizontales. Sus proyecciones horizontales son perpendiculares.
e) Las dos rectas son frontales. Sus proyecciones verticales son perpendiculares.
En todos estos casos, las rectas no se deben cortar necesariamente.
Si una recta T es perpendicular a uno cualquiera de dos planos perpendiculares entre sí,
es paralela al otro plano.
Si una recta L es perpendicular a un plano P, todos los planos que la contengan (Q,
W,...) serán perpendiculares a este plano.
Si un plano P es perpendicular a dos planos que se cortan, Q y W, es perpendicular a la
recta de intersección de ambos.
Si dos planos P y Q son perpendiculares, una recta R trazada en uno de ellos que sea
perpendicular a la recta de intersección de ambos, es perpendicular al otro plano.
Dos rectas R y S perpendiculares a un mismo plano P, son paralelas.
Una recta R perpendicular a un plano P, es perpendicular a todas las rectas de plano.
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