Modelo de lineal para el dimensionado económico de redes

Capítulo 5
IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO LINEAL PARA EL
DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS
5.1.- INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior han sido examinados de manera sucinta los métodos
utilizados para el dimensionado económico de redes ramificadas. Aunque cada uno de
ellos presenta sus ventajas e inconvenientes, existen diversas razones, que serán
expuestas a continuación, que nos conducen a sostener la superioridad del método de
Programación Lineal, no solamente por el hecho de proporcionar mejores soluciones
respecto de otras formulaciones, sino también por lo concerniente al aspecto
metodológico.
Desde que Dantzig enunciara en 1947 los principios del algoritmo SIMPLEX para
la resolución de problemas de Programación Lineal, éste ha sido ampliamente utilizado
en multitud de problemas de ingeniería, y por añadidura, ha sido aplicado para la
resolución del problema que nos ocupa, referido al diseño económico de redes
ramificadas de distribución de agua.
En esta línea podemos citar algunas aportaciones tales como las debidas a Garton
(1960, [12], citado por Pleban y Amir), Labye (1966, [16]), Karmeli et al. (1968, [15]),
Robinson y Austin (1976, [22]), trabajo que incluye la consideración de válvulas
reductoras de presión y que será analizado en detalle en el Capítulo 7; Bhave (1979, [5])
propone un criterio para la selección de los diámetros candidatos basado en el trayecto
crítico; Pleban y Amir (1981, [20]) y Martínez et al. (1987, [18]) exponen en sus
respectivos trabajos las medidas adoptadas para la implementación informática del
problema. Además de estos trabajos, cabe citar también otros referidos al diseño
económico de sistemas mallados, como son los de Calhoun [6] y Alperovits y Shamir
[1], por la trascendencia que han supuesto en estudios posteriores.
5.1
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.1.1.- Formulación general del problema lineal
En el capítulo anterior se expuso ya la formulación del modelo lineal para el
dimensionado económico de una red ramificada. Puesto que dicha formulación
constituye la base del presente capítulo, vamos a recordar brevemente como introducción
la formulación general del problema, haciendo hincapié en los aspectos más relevantes.
El modelo de Programación Lineal está basado en la consideración de que, en la
solución final, una línea de la red deberá estar constituida por tuberías de diámetro
normalizado (conjunto discreto y finito), y de este modo se formula el modelo
considerando que hipotéticamente, una línea puede estar formada por varios tramos de
diversos diámetros, siendo las incógnitas del problema las longitudes de dichos tramos.
Este planteamiento, además de permitir la utilización de la Programación Lineal,
proporciona directamente los diámetros normalizados que deben constituir las líneas de
la red.
Los diámetros que pueden formar parte de las líneas de la red reciben el nombre
de diámetros candidatos, y deberán cumplir dos condiciones, a saber, deben ser
diámetros estándar disponibles comercialmente y además, la velocidad de circulación del
agua adoptando tales diámetros debe de estar comprendida entre los límites máximo y
mínimo que se establezcan. De este modo el proceso de selección de diámetros
candidatos incorpora de forma implícita las limitaciones de velocidad.
En el caso de sistemas ramificados es posible obtener los caudales circulantes por
las líneas una vez han sido establecidos los caudales consumidos en todos los nudos,
independientemente del diámetro con el que resulten dimensionadas. Ello permite
calcular los caudales circulantes por las líneas de la red sin necesidad de recurrir a las
ecuaciones de energía (ecuaciones de pérdidas de carga), aprovechando tan sólo las
ecuaciones de continuidad en los nudos de la red.
Si consideramos los caudales de línea como datos de un nuevo modelo reducido
del sistema, podemos calcular la pendiente hidráulica que resulta para cada diámetro
candidato y el caudal circulante por la línea en cuestión, de modo que las ecuaciones de
pérdidas de carga en trayectos de la red resultarán lineales respecto de las longitudes
parciales de los diámetros candidatos, que son precisamente las variables de decisión en
dicho modelo reducido.
5.2
5. Implementación de un modelo lineal ...
Tal y como se ha visto con anterioridad, un modelo de simulación contempla la
descripción más o menos exhaustiva del funcionamiento de una red en régimen
permanente, mientras que un modelo de diseño incluye un conjunto de hipótesis de
funcionamiento que representan los estados más críticos en los que puede funcionar la
red, generalmente de manera condensada, de modo que tales hipótesis pueden
representar situaciones ficticias que no correspondan necesariamente a un modo de
funcionamiento real en régimen permanente. Por esta razón, el hecho de calcular los
caudales circulantes independientemente de las ecuaciones de energía (esto es, sin tener
en cuenta los diámetros de las tuberías) facilita la aplicación de otros criterios para
definirlos, distintos de las ecuaciones de continuidad, como por ejemplo, el criterio
probabilístico de Clèment [9] para redes de riego a la demanda, que ha sido tratado en
el Capítulo 2.
En el modelo de diseño se establecen restricciones de presión máxima y mínima
en determinados nudos del sistema, bien sea por su condición de nudos extremos de
consumo o por determinadas características topográficas que hacen necesario asegurar
un valor mínimo de la presión en dicho nudo.
Las presiones mínimas acontecerán en los nudos del sistema cuando circule el
máximo caudal previsto a través de las líneas de la red, lo que dará lugar a las máximas
pérdidas de carga posibles. En consecuencia, habrá que establecer restricciones de
presión mínima en determinados nudos del sistema. El problema consiste en determinar
cuáles son los nudos críticos del sistema, o expresado de otro modo, cuáles de los nudos
del sistema deben de tener asociada una restricción de presión mínima; es evidente que
cuanto menor sea su número, más reducido será el tamaño del modelo. Como mínimo
habrá que considerar tantas restricciones de presión mínima como nudos extremos de
la red y como máximo cabrá considerar tantas restricciones de presión mínima como
nudos posee la red. Labye [16] sugiere en base a su propia experiencia que si N es el
número de nudos de la red ramificada, resultará necesario establecer un promedio de N/3
restricciones de presión mínima.
Alperovits y Shamir [1] proponen utilizar el mínimo número posible de
restricciones de presión mínima, correspondientes solamente a los nudos extremos de
la red, de modo que resolviendo el problema de optimización del sistema así formulado
y analizando las presiones en el sistema resultante se pondrá de manifiesto la existencia
de otros posibles nudos críticos al constatarse que la presión en dichos nudos queda por
5.3
5. Implementación de un modelo lineal ...
debajo de su valor mínimo. En una segunda etapa se agregarán al modelo las
restricciones de presión mínima correspondientes a los nuevos nudos críticos, de modo
que la solución resultante verificará plenamente las restricciones de presión mínima en
todos los nudos.
Por otra parte, las presiones máximas que se registran en la red en régimen
permanente suceden cuando al caudal circulante es nulo, esto es, en ausencia de pérdidas
de carga (presión hidrostática). Cuando la altura piezométrica de alimentación de la red
toma un valor conocido, no existe posibilidad de modificar las presiones máximas en
régimen permanente en los nudos de la red, a menos que se introduzcan elementos
auxiliares para tal cometido, como las válvulas reductoras de presión.
Sin embargo, cuando la altura de cabecera es variable, sí es posible modificar las
presiones estáticas que soportan los nudos del sistema, y es por tanto posible establecer
restricciones de presión máxima en los nudos del sistema, que quedarían reducidas a una
única, a saber:
Hc ≤ min zk
∀k
PMAX
k
(5.1)
siendo Hc la altura de cabecera, zk la cota geométrica del nudo genérico k, y PMAXk el
valor de la altura de presión máxima establecida para dicho nudo.
La restricción de presión máxima puede llegar a resultar incompatible con las
restricciones de presión mínima, normalmente cuando se presentan diferencias
importantes entre las cotas de los nudos del sistema; en tal caso significaría que la
máxima altura en cabecera permitida por la restricción de presión máxima es insuficiente
para poder dotar con la presión mínima a algunos nudos del sistema.
Además de las restricciones de tipo hidráulico que acabamos de apuntar, hay que
considerar una restricción implícita que se considera al aplicar el algoritmo SIMPLEX
para la resolución del problema, según la cual, todas las variables de decisión deben de
ser no negativas, cual es precisamente el caso que nos ocupa, puesto que las longitudes
parciales Li,j sólo pueden tener un sentido físico de este modo, al igual que la altura de
bombeo Hb.
5.4
5. Implementación de un modelo lineal ...
Finalmente, existe otro tipo de restricciones geométricas que no están
implícitamente contenidas en las anteriores y por lo tanto, debe ser especificadas. Tales
restricciones se aplican en todas las líneas de la red e indican que la suma de las
longitudes parciales Li,j debe de ser igual a la longitud total Li de la línea en cuestión.
Todas las restricciones del modelo que acabamos de exponer son lineales respecto
de las variables de decisión del problema (longitudes parciales Li,j, y en su caso, la altura
de bombeo Hb), y por tanto definen un espacio de soluciones convexo.
La función objetivo representa precisamente el coste asociado a la red que se
dimensiona, y que se pretende minimizar. La función objetivo debe incluir la
contribución de todas las variables de decisión del problema, esto es, longitudes
parciales Li,j y en su caso, altura de bombeo Hb.
La inclusión formal de todos los costes implicados, tanto en la implantación del
sistema (inversión), como en su operación deberá ser efectuada a través de las variables
de decisión que han sido definidas, y en este sentido podemos asociar a groso modo los
costes de inversión con el coste de las tuberías de la red, y los costes de operación con
el coste energético derivado del funcionamiento de la red.
Existen otros elementos singulares en la red que, merced a la importancia
cualitativa de su coste de construcción, parece necesario tener en cuenta en la función
objetivo. Tal es el caso, por ejemplo, de un depósito para la alimentación por gravedad
de la red. La ubicación más adecuada del depósito será seleccionada en función de la
necesidad de contar con una cota de alimentación suficiente en cabeza de la red para
poder servir las solicitaciones de los puntos de consumo, tanto en caudal como en
presión.
Otro tanto podemos decir del coste de construcción de la estación de bombeo. En
una gran parte de los casos es necesario aportar energía al agua para poder alcanzar los
niveles de servicio exigidos en la red.
Como recordaremos del capítulo 4 (apartado 4.4.4.2) el coste de un grupo
motor-bomba es creciente con la potencia del mismo, aunque presenta una economía de
escala, esto es, el coste residual de una unidad de potencia adicional decrece con la
potencia, y por añadidura, con la altura de bombeo. No hay que olvidar que además, la
5.5
5. Implementación de un modelo lineal ...
estación de bombeo cuenta con otros elementos constructivos cuyo coste es poco
sensible a la magnitud de la potencia instalada.
Por todas estas razones, la consideración del coste de construcción de una estación
de bombeo como un coste fijo e invariable no supone una gran desviación sobre lo que
sería la configuración óptima de la solución final.
Cabe asimismo la alternativa de linealizar las funciones de coste que no sean
lineales en diversas iteraciones para su inclusión dentro de la formulación lineal, aunque
lógicamente, por cada iteración será necesario resolver un problema distinto de PL.
En el caso de que sea necesario un aporte de energía al sistema, el coste energético
derivado de la operación de la red está fuertemente condicionado por el diseño de la
misma: un mal diseño o una estimación poco realista de los costes que puede acarrear
conduce siempre a un derroche en la energía consumida. El coste energético implicado
en el funcionamiento de la red debe de considerar la evolución de las condiciones de
servicio de la misma durante un período de tiempo (normalmente un año), incluyendo
períodos de punta, llano y valle. Expresado de otro modo, el coste de inversión en
tuberías es una consecuencia de los requisitos de funcionamiento extremos, mientras que
el coste energético es el resultado de unas condiciones promedio.
En cuanto a otros gastos de operación, como por ejemplo, los correspondientes a
mantenimiento y personal, sólo puede decirse que no existe una relación explícita (ni
mucho menos lineal) entre los mismos y las variables de decisión del problema; este tipo
de costes estará mucho más condicionado por factores tales como la calidad y fiabilidad
de los componentes de la red y de su montaje, el nivel de automatización de la
operación, etc.
En definitiva, la función objetivo del problema será la siguiente:
Altura de cabecera conocida : CT ( ptas )
ci,j Li,j
i
j
(5.2)
Altura de cabecera incógnita : CT ( ptas/año )
Kb Hb
at
ci,j Li,j
i
j
En el caso de un problema con altura de cabecera conocida, se pretende minimizar
el coste total de inversión en tuberías, siendo ci,j el coste unitario del diámetro candidato
5.6
5. Implementación de un modelo lineal ...
Dji y Li,j la longitud parcial del citado diámetro en la línea i. Si la altura de cabecera es
una incógnita, se busca minimizar el coste anual compuesto por la suma del coste
energético, que puede expresarse como una función lineal de la altura de bombeo Hb,
como se vio en el anterior capítulo, y la amortización de la inversión en tuberías,
haciendo intervenir el factor de amortización at.
En ambos casos, la función objetivo del problema CT es una función lineal de las
variables del problema, esto es, una función que es tanto cóncava como convexa.
Las restricciones explícitas del problema son:
Restricciones de presión mínima: Se aplican en los nudos k seleccionados.
Hk
Hc
i ∈ Sk
j i , j Li , j ≥ zk
PMINk
H min , k
(5.3)
j
Restricciones de presión máxima: Sólo una restricción y sólo si Hc es variable.
Hc ≤ min zk
∀k
(5.4)
PMAXk
Restricciones geométricas: Se aplican en todas las líneas i de la red.
Li,j
Li
∀i
(5.5)
j
Como recordaremos, los términos de las restricciones son:
Hc
Altura piezométrica de cabecera.
Hk
Altura piezométrica en el nudo k.
Hmin,k
Altura piezométrica mínima admitida en el nudo k.
zk Cota geométrica del nudo k.
PMINk Altura de presión mínima admitida en el nudo k.
PMAXk Altura de presión máxima admitida en el nudo k.
ji,j
Pendiente hidráulica del diámetro candidato Dji para el caudal de diseño
de la línea i.
Li,j
Longitud del diámetro candidato Dji dentro de la línea i.
Li
Longitud total de la línea i.
5.7
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.1.2.- Características de los modelos de PL
El modelo de optimización propuesto, al igual que cualquier otro tipo de modelo,
pretende tomar en consideración únicamente aquellos factores que son relevantes para
el propósito con el que se plantea, en este caso, el dimensionado más económico de una
red ramificada cumpliendo determinados requisitos funcionales. La formulación
propuesta pertenece claramente al tipo de problemas planteados en la PL, por lo que
resultan aplicables todas las propiedades de los mismos, y en particular, el algoritmo
SIMPLEX, apto para su resolución.
A continuación resumimos brevemente las particularidades que caracterizan a este
tipo de problemas.
Los problemas de PL se plantean como la asignación/distribución económica de
determinadas actividades (longitudes parciales Li,j y altura de bombeo Hb) entre recursos
limitados (longitud de las líneas de la red, pérdida de carga en trayectos seleccionados,
y en su caso, altura piezométrica máxima en cabecera). La capacidad del problema para
ser formulado como un problema de PL viene dada por las siguientes condiciones
(Hillier y Lieberman [14]):
a)
Proporcionalidad: Considerando aisladamente cada una de las actividades del
problema, su influencia en la función objetivo debe ser proporcional al valor de
la actividad, al igual que el nivel de utilización de los recursos, debiendo
mantenerse la relación de proporcionalidad en todo el rango de validez de la
actividad. El problema de dimensionado económico que nos ocupa cumple
perfectamente con esta hipótesis.
b)
A ditividad: La hipótesis de proporcionalidad no permite asegurar por sí sola que
la función objetivo y las restricciones sean lineales. Si existe interacción entre
alguna de las actividades aparecerán términos de orden superior en estas funciones.
La hipótesis de aditividad supone que no existe interacción entre las actividades,
de modo que el valor total de cualquiera de las funciones implicadas (función
objetivo y restricciones) se obtendrá como la suma de las contribuciones
individuales de cada actividad.
5.8
5. Implementación de un modelo lineal ...
En determinadas circunstancias no se cumple la hipótesis de aditividad en el
problema de dimensionado: cuando la altura de bombeo en cabecera es una
variable del problema, la presión hidrostática a la que están sometidas las tuberías
dependerá del valor de Hb. El coste unitario de una tubería es función de su
diámetro interno y también de la presión de trabajo que puede soportar, de modo
que la contribución de una longitud parcial en la función objetivo puede expresarse
como:
(5.6)
at c i , j ( H b ) L i , j
lo que supone la aparición de términos de orden superior en la función objetivo,
debido a la interacción entre Hb y todas las variables Li,j.
Para soslayar este inconveniente, es necesario realizar una estimación del valor
probable de la altura de bombeo Hb, que permitirá asignar la presión de trabajo de
las tuberías utilizables en cada una de las líneas de la red. De este modo, los
coeficientes de coste unitario de las tuberías ci,j pueden considerarse constantes en
la resolución del problema de PL. Una vez obtenida una solución será necesario
comprobar si el nuevo valor obtenido de Hb da lugar a las mismas presiones de
trabajo hipotéticas. En caso contrario, será necesario modificar los coeficientes ci,j
e iniciar un nuevo cálculo. Por desgracia, no existe garantía para la convergencia
de este proceso iterativo, que puede presentar un comportamiento oscilatorio. Lo
único que podemos constatar es que después de procesar una gran cantidad de
casos, nunca nos hemos encontrado con uno de ellos que presentase un
comportamiento oscilatorio.
c)
Divisibilidad: Las actividades de un problema de PL admiten cualquier nivel
fraccionario, esto es, en general resultan valores reales. Las tuberías comerciales
son suministradas normalmente en segmentos de una longitud determinada, de
modo que parecería conveniente plantear el problema de dimensionado en términos
del número entero de segmentos de un determinado tipo de tubería en lugar de
trabajar con las longitudes parciales Li,j. Un problema planteado de este modo es
resoluble mediante Programación Lineal en tanto que la longitud de las líneas sea
múltiplo entero de la longitud de los segmentos de tubería, utilizando las técnicas
especiales de la Programación Entera. Sin embargo, desde el punto de vista
operativo, las técnicas de Programación Entera obligan a resolver una secuencia
de problemas de PL, con un volumen de cálculos mucho mayor, que solamente
estaría justificado si los resultados obtenidos fuesen netamente superiores a los que
proporciona la formulación de PL convencional, con valores reales de Li,j.
5.9
5. Implementación de un modelo lineal ...
Comúnmente, los segmentos comerciales de tubería poseen una longitud muy
pequeña en relación con la de las líneas de la red; por ello es posible ajustar las
longitudes de los tramos de tubería, una vez finalizada la optimización, sin
modificar sustancialmente el estado de presiones en el sistema.
d)
Certidumbre: Esta hipótesis indica simplemente que los coeficientes del modelo
(coeficientes de coste Kb y ci,j, pendientes hidráulicas ji,j, longitudes Li de las
tuberías, pérdida de carga admisible en trayectos de tuberías) deben ser constantes
de valor conocido. En los problemas que implican la modelización de sistemas
reales, esta condición resulta satisfecha automáticamente. Sin embargo, los
parámetros utilizados en la modelización de sistemas en proyecto adolecen siempre
de un cierto grado de incertidumbre. En el dimensionado económico de redes
ramificadas es posible estimar con un alto grado de exactitud los costes unitarios
asociados a las tuberías ci,j, así como el valor de las pendientes hidráulicas ji,j que
resultará al circular un caudal qi a través de una tubería con diámetro Dj. Sin
embargo, el establecimiento de la hipótesis crítica de caudales circulantes contiene
ya de por sí cierto grado de incertidumbre. Del mismo modo, la estimación del
coste energético implicado en la operación ordinaria del sistema condiciona su
validez a la exactitud con que se defina la modulación de los caudales bombeados.
El análisis de sensibilidad permite conocer la influencia que pueden tener los
parámetros del problema sobre la solución final.
5.1.3.- Análisis de las posibles soluciones
Todos los problema de PL presentan un conjunto de posibilidades a la hora de
obtener la solución al mismo, que vamos a analizar a continuación, interpretándolas
desde el punto de vista del problema que nos ocupa. Pueden presentarse las siguientes
situaciones:
a)
El problema no tiene solución: En este caso, las restricciones explícitas del
problema definen un espacio de soluciones vacío, de modo que ninguna posible
combinación de valores de las variables se ciñen a las mismas. Tal es caso que se
presenta, por ejemplo, cuando la altura de cabecera Hc es un valor fijo y es
inferior a las necesidades de presión mínima de algún nudo k, esto es:
∃ nudok /
Hc < zk
5.10
PMINk
(5.7)
5. Implementación de un modelo lineal ...
Para soslayar este problema, la solución consistiría en instalar una estación de
bombeo en cabecera que permitiese proporcionar presión a los nudos
problemáticos. También puede suceder algo similar cuando la altura de cabecera
es variable y se impone una restricción de presión máxima, de modo que el
máximo valor que puede adoptar la altura de cabecera (Hmax,c) determinado por la
restricción de presión máxima:
H max , c
min zk
k
PMAXk
(5.8)
resulta inferior a la altura piezométrica mínima en algún nudo k:
H max , c < zk
PMINk
H min , k
(5.9)
En este caso, sólo cabe la posibilidad de eliminar la restricción de presión máxima,
por resultar incompatible. Se ha juzgado oportuno no considerar la restricción de
presión máxima en el modelo desarrollado para eliminar esta posible causa de
incompatibilidad. La última circunstancia que daría lugar a esta situación sería
aquella en la cual alimentando el sistema con una altura conocida y aún utilizando
los máximos diámetros que permite la limitación de velocidad mínima, fuese
imposible alcanzar la altura piezométrica mínima en alguno de los nudos. La
solución a este inconveniente pasaría por reducir el límite inferior de velocidad o
bien, plantear la alimentación de la red mediante una estación de bombeo.
b)
La función objetivo alcanza un valor mínimo absoluto en un punto del espacio de
soluciones. Es el caso que debería darse para afirma r que existe una solución
óptima que minimiza la función de costes establecida cumpliendo todas las
restricciones del problema.
c)
La función objetivo alcanza un valor mínimo absoluto pero en infinitos puntos del
espacio de soluciones. Como ejemplo de esta situación, recordemos el caso de
infinitas soluciones óptimas que se presentó en el dimensionado óptimo de una
tubería de impulsión, el Capítulo 4 (apartado 4.6.3); tal situación ocurría como
consecuencia de que el ahorro producido por disminuir el diámetro de la impulsión
resultaba exactamente igual al incremento del coste energético necesario para
compensar las pérdidas de carga adicionales.
d)
La función objetivo no está acotada, esto es, puede reducir su valor infinitamente:
Esta eventualidad realmente no tiene ningún sentido en el problema que nos
5.11
5. Implementación de un modelo lineal ...
ocupa, puesto que en un caso extremo, las líneas de la red quedarían configuradas
con el diámetro candidato de menor tamaño posible, y consecuentemente, la
función objetivo resultará acotada inferiormente.
5.1.4.- Ventajas de la formulación mediante Programación Lineal:
Con todo lo expuesto, la formulación del problema de dimensionado mediante
Programación Lineal cuenta con una serie de ventajas respecto del resto de métodos que
pasamos a exponer.
La formulación mediante PL se ajusta de modo preciso y exacto al problema de
dimensionado de redes ramificadas, tanto en el caso de la función objetivo como
en el de las restricciones de pérdidas de carga. No se trata en definitiva de ninguna
clase de aproximación, sino que una simple modificación en las variables de
decisión del problema, considerando como tales a las longitudes parciales de los
diámetros candidatos en lugar de tomar la propia magnitud de los diámetros,
consigue modificar la estructura del problema de dimensionado de una red
ramificada con un único punto de alimentación, generando un problema lineal.
Permite considerar globalmente todas las líneas de la red en el proceso de
optimización, sin necesidad de recurrir a simplificaciones, como en el caso de la
aplicación del criterio de la serie económica por series de tuberías.
Parte de la base de que los diámetros candidatos están determinados previamente
a la formulación del problema, y en consecuencia, también lo está toda la
información asociada con dichos diámetros (coste unitario y rugosidad) de manera
que el conjunto de diámetros candidatos puede ser elegido de entre aquellos que
están disponibles comercialmente. De este hecho se deriva una solución óptima
final configurada directamente por diámetros comerciales, sin necesidad de acudir
a un proceso ulterior de normalización de los diámetros, al contrario que en el
caso de las formulaciones en diámetros continuos.
Los limites de velocidad máxima y mínima son incorporados directamente en el
proceso de selección de los diámetros candidatos, tanto si se trata de límites
generales para todas las tuberías de la red, como si se aplican límites selectivos
5.12
5. Implementación de un modelo lineal ...
establecidos en función del posible diámetro de las mismas, tal como proponen
determinados autores (Granados [13]), y ello merced a que los caudales circulantes
pueden calcularse independientemente de los diámetros de las tuberías, al tratarse
de una red ramificada con un único punto de alimentación. Las formulaciones en
diámetros continuos no incorporan directamente en general las limitaciones de
velocidad, por lo que se hace necesario realizar modificaciones sobre la solución
obtenida.
La formulación mediante Programación Lineal proporciona la solución óptima
ajustando al máximo, si ello es posible, la pérdida de carga disponible en los
distintos trayectos de tuberías, sin introducir las holguras de presión que
sistemáticamente presentan las soluciones obtenidas mediante Programación
Dinámica.
Cabe la posibilidad de incluir restricciones de presión máxima. En realidad, sólo
será posible si la altura en cabecera es una variable del problema, y en tal caso,
sólo cabe hablar de una única restricción de presión máxima.
La formulación lineal permite incorporar en el modelo la consideración de varios
estados de carga en el dimensionado de la red, por medio de la ampliación del
conjunto de restricciones de presión.
La oferta de aplicaciones estándar de Programación Lineal disponibles en el
mercado es actualmente muy amplia.
La formulación lineal, además de proporcionar la solución óptima, en el caso de
que exista, permite estudiar la influencia de los diferentes parámetros del problema
sobre la solución final, por medio del Análisis de Sensibilidad.
5.1.5.- Inconvenientes de la formulación lineal:
Consideremos no obstante también algunos inconvenientes:
No incluye de forma explícita la influencia de la presión de trabajo de las tuberías
en la función objetivo. En realidad, casi ningún otro método contempla esta
circunstancia (a excepción de los propuestos por Canales Ruiz [7] y Berthome et
al. [4]).
5.13
5. Implementación de un modelo lineal ...
Cabe la posibilidad de que la solución óptima final obtenida mediante PL contenga
tramos cortos de tubería, de longitud impracticable, que haría necesario efectuar
correcciones sobre dicha solución.
La solución óptima final puede no cumplir la condición de tubería telescópica
(menor diámetro a mayor caudal) en alguno de los trayectos, puesto que tal
condición no está contenida explícitamente en el conjunto de restricciones del
problema.
En el caso de que la altura en cabecera sea una incógnita del problema, resulta
necesario realizar sucesivas iteraciones hasta que la presión de trabajo de las
tuberías sea compatible con la presión hidrostática que se deriva del valor actual
de la altura en cabecera (como ya se ha apuntado, la relación entre ambos
parámetros no es explícita en el modelo).
Cuando se considera un número limitado de diámetros candidatos por línea (como
suele ser habitual, al objeto de reducir el tamaño del modelo), puede ser necesario
aplicar el procedimiento de resolución iterativamente hasta conseguir que los
diámetros finalmente escogidos queden centrados en el intervalo de los candidatos
para poder asegurar que se trata de la solución óptima.
Cuando interviene en el problema cualquier factor de naturaleza no lineal, es
ineludible aplicar el procedimiento de resolución de forma iterativa, linealizando
en cada iteración las funciones implicadas.
La formulación lineal del problema necesita mucha capacidad de memoria para la
ubicación de los datos, aún en el caso de problemas de pequeño tamaño.
Pese a la disponibilidad de software estándar, el problema de dimensionado
económico de redes ramificadas requiere un gran esfuerzo adicional para definir
todos los coeficientes de la función objetivo y las restricciones, lo que justifica
sobradamente el desarrollo de una aplicación específica tal como la que se expone
en el presente capítulo.
5.14
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.2. IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO
Como ya hemos indicado, el presente capítulo se ha dedicado al desarrollo de una
aplicación para el dimensionado de redes ramificadas basada en la formulación mediante
Programación Lineal. Una de las razones más importantes que nos conducen a utilizar
este tipo de formulación estriba en la certidumbre de que, en el caso de que exista una
solución factible para el problema de dimensionado, el método proporcionará la solución
óptima desde el punto de vista económico, y además, tras un número finito de cálculos.
La principal dificultad de la que adolece el método consiste en la determinación y el
establecimiento formal del problema, esto es, la etapa de cálculo de los coeficientes de
las restricciones de presión mínima y el ensamblado del problema.
Debido a ello, la disponibilidad de software estándar para resolución de problemas
de Programación Lineal, que es una ventaja en principio, resulta un inconveniente bajo
el punto de vista del usuario, puesto que la elaboración de la información previa para
establecer el modelo constituye una labor larga y pesada.
Otra desventaja adicional que presenta el software estándar es precisamente la
generalidad con que ha sido concebido, de modo que no aprovecha las características
particulares del problema de optimización en redes ramificadas que pueden favorecer
una resolución más rápida o con menor consumo de memoria por parte del ordenador.
Por estas razones, la implementación informática propuesta debe discurrir por dos
frentes de trabajo bien diferentes: por un lado debe de proporcionar al usuario las
herramientas apropiadas para facilitar en lo posible el trabajo de entrada de datos y de
elaboración de los mismos para poder formular finalmente un programa lineal; por otra
parte y considerando la insuficiencia potencial del software estándar, cabe la posibilidad
de diseñar un algoritmo de cálculo específico para el problema que se trata, buscando
la mayor y más eficiente utilización de los recursos con que se cuenta,
fundamentalmente la disponibilidad de memoria del ordenador.
Los elementos que se manejan en Programación Lineal tienen una "traducción"
inmediata sobre el sistema hidráulico que es objeto de la optimización. No se trata por
tanto de un procedimiento tipo "caja negra" en el que se introduce la información y se
obtiene una solución óptima, sino que el tratamiento matemático del problema está
estrechamente relacionado con el sistema hidráulico representado. Aparte de esto, la
5.15
5. Implementación de un modelo lineal ...
formulación mediante PL permite incorporar recursos adicionales para evaluar de forma
satisfactoria la sensibilidad que presenta la solución óptima ante los diferentes
parámetros de diseño del problema, como son los coeficientes de coste de los distintos
elementos y las presiones mínimas admisibles en los distintos nudos seleccionados, e
incluso de la presión de alimentación de la red.
5.2.1. Características generales de la aplicación.
El programa DIOPRAM, cuya descripción el objeto del presente capítulo, ha sido
desarrollado para solventar los problemas aducidos. La utilidad principal del programa
DIOPRAM (DImensionado OPtimo de redes RAMificadas) consiste en resolver el
modelo en tiempos de ejecución relativamente cortos, de modo que sea posible evaluar
un gran número de alternativas para el mismo problema con cierta rapidez y flexibilidad.
Para conseguir este objetivo el programa ha sido dotado de una estructura sencilla,
que el usuario pueda seguir fácilmente. En este sentido, se sobrentiende que el usuario
posee los conocimientos suficientes del problema analizado desde la perspectiva
hidráulica, pero no tiene por qué contar con grandes conocimientos de informática ni del
funcionamiento interno del programa. Por esta razón, el usuario es guiado a través de
una estructura de menús, que resulta secuencial cuando se sigue la operación normal del
programa.
Además de la sencillez en el funcionamiento externo, el programa es interactivo,
facilitando el intercambio de información con el usuario, presentando la información
relevante en cada momento por pantalla, y habilitando opciones accesibles para la
entrada, corrección y salida de datos y resultados; también se permite la intervención del
usuario para modificar parcialmente el proceso de cálculo.
La utilización de ficheros de datos y resultados será fundamental para facilitar la
recuperación y modificación de la información.
Para eliminar, al menos en parte, una posible fuente de errores, todos los datos son
filtrados por el programa, verificando si el dato que se entrega es el del tipo esperado,
y comprobando también que el dato aportado está comprendido entre unos valores
máximo y mínimo (definidos internamente en el programa), para evitar la introducción
5.16
5. Implementación de un modelo lineal ...
de valores carentes de sentido que acabarían produciendo condiciones de error o
resultados incorrectos cuya causa sería difícil de identificar a posteriori.
Independientemente de los resultados que se obtengan del proceso de optimización,
el usuario puede modificar la solución final a voluntad, lo que va a permitirle introducir
consideraciones adicionales que van más allá del ámbito puramente económico y que
sería difícil introducir directamente en el modelo.
5.2.2. Características de las redes objeto del dimensionado económico.
El programa DIOPRAM constituye una herramienta de cálculo apropiada para el
dimensionado óptimo en régimen permanente de redes ramificadas. Aún siendo
completamente general, presenta un marcado enfoque para su aplicación en las redes de
riego a la demanda, para las cuales el dimensionado económico tiene una gran
importancia. La finalidad es el dimensionado de las tuberías primarias y secundarias de
la red de riego; los puntos de consumo se corresponden con los puntos de alimentación
de las subunidades de riego y las solicitaciones de los mismos se definen mediante un
caudal crítico y una presión mínima de servicio.
Además de la topología ramificada, se exige la existencia de un único punto de
alimentación, de modo que la determinación de los caudales circulantes pueda ser
llevada a cabo previamente a la formulación del modelo de optimización y con
independencia de la resistencia hidráulica de las líneas. Se considera que el trazado de
la red está definido a priori; aunque en teoría el trazado podría ser también objeto de
optimización, lo cierto es que suele estar condicionado por multitud de circunstancias
ajenas al propio proceso de diseño, que restringen los posibles trazados a unas pocas
alternativas.
El problema puede plantearse considerando que la alimentación del sistema se
realiza con altura piezométrica conocida (alimentación por gravedad o mediante una EB
con altura de bombeo fijada), o bien, considerando la alimentación mediante una EB en
cabecera, cuya altura de bombeo hay que determinar.
Aunque el modelo de PL permite incluir múltiples estados de carga, hay que tener
en cuenta que ello redunda en un aumento considerable de las restricciones del problema
(el número de restricciones de presión que hay que definir es aproximadamente
5.17
5. Implementación de un modelo lineal ...
proporcional al número de estados de carga considerados); dado que la memoria
disponible para operar con el modelo está limitada, se ha optado por permitir el
dimensionado de redes de tamaño importante, aunque considerando tan sólo un único
estado de cargas, que represente las condiciones más críticas de funcionamiento de la
red. Los caudales circulantes pueden calcularse de varias formas, que van desde la
sencilla acumulación de los consumos producidos aguas abajo de una línea, hasta la
definición directa del caudal circulante en las líneas por parte del usuario.
Para el dimensionado se utilizarán diámetros disponibles comercialmente, de modo
que la posibilidad de utilizar un determinado diámetro dentro de una línea vendrá
determinada por el propio usuario al seleccionar los materiales posibles y sus respectivos
rangos de utilización, y también por los límites de velocidad máxima y mínima
impuestos.
En la función objetivo se considera el coste de la inversión en tuberías, y en su
caso, el coste energético anual. Aunque éstos no son todos los costes implicados en la
construcción y operación del sistema, representan la parte más importante de los
mismos; por otro lado, el resto de los costes involucrados, o bien pueden ser incluidos
junto con los anteriores (por ser aproximadamente proporcionales), o bien no son
excesivamente sensibles a los cambios en las variables del modelo.
5.2.3. Características adicionales del programa.
Además de las características mencionadas, que corresponden al desarrollo
elemental del modelo teórico, se ha dotado al programa con otras que faciliten la
implantación final de la solución obtenida, a saber:
El proceso de optimización consta de dos fases: la primera de ellas, que hemos
dado en llamar fase de Predimensionado, consiste en obtener una solución al
problema mediante el método de la serie económica, expuesto en el capítulo
anterior. La solución obtenida permite entrar en la segunda fase, denominada de
Optimización, que consiste precisamente en la aplicación del algoritmo SIMPLEX
para la resolución del problema de PL en su fase II, esto es, en la mejora de la
solución factible obtenida.
5.18
5. Implementación de un modelo lineal ...
En el caso de que los caudales circulantes sean calculados mediante el método
probabilístico de Clèment, es posible definir los parámetros de varios hidrantes
individuales (hasta un total de seis) en el mismo nudo; si el número de hidrantes
servidos en el nudo es superior a seis, se simplifica la introducción de los datos
solicitando únicamente unos pocos datos significativos del conjunto de hidrantes.
Con el objeto de dimensionar una red parcialmente existente, el programa incluye
la definición de todos los datos que permitan calcular la pérdida de carga en
dichas líneas existentes (para el estado de cargas considerado en el diseño), que
intervendrán como constantes en las restricciones de presión del problema.
Para seleccionar la presión de trabajo de las tuberías se puede tomar como
referencia el valor de la máxima presión hidrostática a la que está sometida la
tubería, o bien aplicar a este valor un margen de seguridad expresado como altura
de presión, valor que será uniforme para todas las tuberías de la red, o finalmente,
puede hacerse uso de un criterio de seguridad selectivo en función del material de
la tubería, presión de trabajo, diámetro y longitud de la línea en cuestión.
Las pérdidas de carga en las tuberías se calculan mediante la expresión de
Darcy-Weisbach, con el factor de fricción que proporciona la fórmula de
Colebrook-White (considerando siempre el flujo en régimen turbulento). Para
poder efectuar este cálculo es necesario conocer la rugosidad de los diversos
materiales de tubería utilizados en el dimensionado.
El programa contempla la posibilidad de incluir pérdidas de carga adicionales
individualizadas en cada una de las líneas mediante la adición de una longitud
equivalente en cada una de ellas. Además de este margen de seguridad en el
cálculo de las pérdidas de carga, es posible definir un porcentaje uniforme de
mayoración de las pérdidas de carga para todas las tuberías de la red. Ambos tipos
de coeficientes pueden actuar también en el cálculo de pérdidas de carga de las
tuberías previamente existentes.
Cuando el problema de dimensionado incluye el consumo de energía eléctrica
debido a la presencia de una estación elevadora, los costes energéticos pueden
calcularse de un modo muy ajustado, al contemplar tipos de discriminación horaria
en la tarifa eléctrica, incluyendo el término de potencia instalada (con un margen
5.19
5. Implementación de un modelo lineal ...
de seguridad sobre el valor de la misma), el recargo/descuento por energía
reactiva, la promediación del coste energético considerando una tasa anual de
incremento en los costes, y la posibilidad de que exista un depósito de regulación
intermedio entre la EB y la red, definiendo en este caso la pérdida de carga
estimada en la impulsión.
Una vez dimensionada la red, es posible analizar su comportamiento incluyendo
válvulas reductoras de presión (VRP) en puntos seleccionados por el usuario. Esta
utilidad proporciona el ahorro en tuberías que se puede lograr como consecuencia
de la disminución de la presión hidrostática provocada por la intervención de tales
dispositivos.
La solución finalmente obtenida puede ser modificada a voluntad por parte del
usuario, corrigiendo diámetros, presiones de trabajo e incluso eliminado tramos de
pequeña longitud.
Permite la estimación de los elementos auxiliares de conexión necesarios, así como
el número de ventosas y válvulas de purga. También proporciona resultados sobre
el movimiento de tierras a partir de una zanja tipo, cuyos parámetros generales
puede definir el usuario.
El programa ha sido desarrollado en un equipo Hewlett-Packard HP-9816 (Serie
200), con una memoria RAM de 1'5 Mbytes. Esta limitación permite acometer el
dimensionado de redes ramificadas con un único punto de inyección de hasta 250 líneas,
considerando un máximo de 8 materiales, cada uno de los cuales puede tener hasta 10
presiones de trabajo distintas, y dentro de ellas, hasta 30 diámetros. En la fase de
análisis con válvulas reductoras se puede considerar hasta 50 válvulas.
El programa ha sido escrito en lenguaje RM BASIC 5.0, que es un lenguaje
BASIC extendido para el equipo mencionado y que permite organizar el programa de
modo que una vez cargado en memoria el programa principal y reservado el espacio
para los datos, se pueden realizar diversas tareas a través de subprogramas que se cargan
en memoria cuando son necesarios, y una vez ejecutados, liberan la porción ocupada;
de este modo, es posible utilizar más espacio de memoria para los datos de la red en
curso.
5.20
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.3. ESTRUCTURA GENERAL DEL PROGRAMA DIOPRAM
El funcionamiento del programa DIOPRAM puede describirse en términos de un
proceso que, en condiciones normales, se sigue en forma secuencial, dividido en cuatro
etapas, a saber:
Entrada de datos
Tratamiento previo de los datos
Predimensionado de la red
Optimización de la red
Desde cualquiera de las etapas descritas es posible avanzar a la siguiente o bien
retroceder a la anterior. Una vez se ha dimensionado la red (bien se trate de la etapa de
predimensionado o de la de optimización), cabe la posibilidad de analizar el
comportamiento de la misma, para las condiciones de diseño, haciendo intervenir un
conjunto de válvulas reductoras de presión.
Existe un conjunto de tareas generales que pueden ser acometidas desde cualquiera
de las fases del programa, como son:
Listado de los datos introducidos.
Listado de los resultados (solamente cuando se ha dimensionado la red).
Configuración de la impresora.
Gestión de la base de datos de materiales de tuberías.
Almacenamiento de los datos y resultados de la red en ficheros.
Correcciones sobre los datos o resultados. Cuando la red no ha sido
dimensionada, es posible corregir y modificar los datos de partida; una vez se
ha dimensionado, las correcciones atañen a los resultados obtenidos, más
concretamente a las características de las tuberías resultantes.
La fase de entrada de datos consiste en aportar al programa todos los datos
necesarios para poder formular el problema de dimensionado.
El siguiente paso consistirá en efectuar una elaboración de los datos introducidos
a fin de determinar la validez de la configuración, calcular los caudales circulantes,
establecer los parámetros de coste de la energía, etc...
5.21
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.1.- Estructura general del programa DIOPRAM.
5.22
5. Implementación de un modelo lineal ...
La etapa de Predimensionado, a pesar de su nombre, proporciona una solución
hidráulicamente factible al problema de dimensionado económico obtenida mediante el
método de la serie económica y su objetivo final es generar una solución básica factible
que sirva como punto de partida para resolver el problema de PL mediante el algoritmo
SIMPLEX en su fase II. Naturalmente, en la fase de Predimensionado es posible
determinar si el problema posee o no soluciones factibles, y en caso negativo, no será
posible seguir adelante.
La etapa de Optimización consiste en utilizar la solución básica factible obtenida
en la etapa anterior como punto de entrada al algoritmo SIMPLEX en su fase II para la
mejora de la misma, mediante la formulación del problema de dimensionado óptimo
como un problema de Programación Lineal.
Al finalizar cualquiera de estas dos etapas de dimensionado, el programa
DIOPRAM incorpora la posibilidad de analizar el comportamiento hidráulico de la red
dimensionada incluyendo válvulas reductoras de presión, permitiendo estudiar asimismo
el ahorro que consiguen al reducir la presión de trabajo de las tuberías.
5.4. INTRODUCCIÓN DE LOS DATOS DE LA INSTALACIÓN
Podemos clasificar los datos con que opera el programa DIOPRAM en cuatro
grandes grupos, que serían:
Datos Generales: Incluye un conjunto de datos que son generales y propios de la red
que se procesa.
Datos de Configuración: Todos aquellos que caracterizan a los elementos (las líneas
y los nudos) de la red a dimensionar.
Criterios de diseño: Incluye los datos que, de alguna manera, reflejan las decisiones
del proyectista en cuanto al diseño de la red, principalmente en el aspecto
hidráulico.
Criterios económicos: Conjunto de datos que afecta de modo general al cálculo de
los costes que intervienen en el problema de dimensionado.
5.23
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.4.1. Datos generales:
Titulo del trabajo, a fin de identificar su contenido tanto en los listados impresos
como en la pantalla del ordenador.
Cota geométrica del nudo de alimentación (nudo de cabecera).
Modalidad de introducción de los caudales: los caudales que circulan por las líneas
de la red pueden ser definidos como: a) consumos asignados en los nudos de la red,
b) directamente como caudales circulantes por las líneas, o bien, c) como caudales
probabilísticos de Clèment.
Unidades de caudal empleadas (m3/segundo, m3/minuto, m3/hora, litros/segundo,
litros/minuto, litros/hora)
Si se escoge el método de Clèment para el cálculo de los caudales circulantes, será
necesario especificar los datos generales propios del método, esto es:
Caudal ficticio continuo (en unidades de caudal por Hectárea).
Duración (horas) de la jornada de riego (para el cálculo del rendimiento).
Calidad de funcionamiento ó garantía de suministro (en %).
5.4.2. Configuración de la red:
Por la estructura particular del sistema objeto de la optimización, esto es, redes
ramificadas con un único punto de alimentación, se identifica cada línea con el nudo
extremo aguas-abajo de la misma, y se introducen conjuntamente los datos referidos
tanto a la línea como al nudo asociado. Así pues, para cada línea se aportan los
siguientes datos:
Numeración de los nudos que definen los extremos de la línea aguas-arriba y
aguas-abajo, en el sentido de circulación del agua. Se permite introducir hasta tres
dígitos, estando reservado el número 0 para el nudo de alimentación de la red. No
se admiten situaciones en las que coincide la numeración de los nudos aguas-arriba
y aguas-abajo de la línea, ni tampoco el caso de que la numeración del nudo
aguas-abajo de la línea actual coincida con el nudo aguas-abajo de otra línea
definida previamente.
Longitud de la línea.
Longitud equivalente en tubería de los elementos singulares de la línea.
Cota geométrica del nudo aguas-abajo de la línea.
5.24
5. Implementación de un modelo lineal ...
Datos de caudal. En función de la modalidad de caudal escogida, será necesario
aportar los siguientes datos:
a Consumos: En este caso se solicita el caudal consumido en el nudo situado
aguas abajo de la línea definida.
b Caudales de línea: En este caso se solicita directamente el caudal que circula
por la línea definida.
c Caudales de Clèment: Se definen los datos necesarios para el cálculo
probabilístico de caudales mediante el método de Clèment. En el nudo extremo
aguas abajo de la línea en cuestión pueden definirse tres situaciones respecto
a los caudales de Clèment, que son las siguientes:
c.1. Nudo sin consumo. En este caso no es necesario introducir ningún dato
adicional.
c.2. Nudo con hidrantes: Los datos solicitados para cada hidrante son Area Ak
(ha.) servida por el hidrante y Caudal Nominal dk del hidrante. Con estos
datos se calcula la probabilidad efectiva de uso asociada con el hidrante
pk según:
pk
c.3.
Qfc Ak 24
(5.10)
dk Nhjr
donde Qfc es el caudal ficticio continuo y Nhjr es la duración de la
jornada de riego, de modo que Nhjr/24 es el rendimiento de utilización
de la red. La probabilidad resultante debe estar comprendida en el
intervalo 0 < pk < 1. En esta modalidad es posible definir los datos de
hasta seis hidrantes.
Nudo que alimenta a un conjunto de hidrantes (subred): Esta situación
representa un nudo que suministra agua a una agrupación de hidrantes en
número mayor de seis, al objeto de condensar los datos necesarios para
su definición. Se solicita el siguiente conjunto de datos:
Caudal MEDIO de la subred: Corresponde a la suma Σ dk·pk,
extendida al número de hidrantes que contiene la subred, siendo dk
la dotación (caudal nominal) del hidrante k-ésimo asociado al nudo
y pk la probabilidad de utilización de la toma.
VARIANZA de Caudal de la subred: Σ d2k·pk·(1-pk).
Caudal TOTAL NOMINAL de la subred: Σ dk.
Area total servida en la subred Σ Ak.
Número de hidrantes de la subred.
5.25
5. Implementación de un modelo lineal ...
Cuando se introducen los datos característicos de la subred para el
cálculo de los caudales de Clèment no es posible evaluar la coherencia
de los parámetros asociados a cada hidrante individual, puesto que dicha
información no está disponible, pero sí que se pueden efectuar ciertas
comprobaciones sobre los datos de la subred: en primer lugar se
comprueba que todos ellos sean positivos; también se asegura que el
caudal nominal total Σ dk sea superior al caudal medio Σ dk·pk.
Finalmente, también se verifica que la varianza de caudal cumpla la
condición:
(5.11)
2
dk pk ( 1 pk ) < 0 25 ( dk )2
puesto que el máximo valor del producto pk·(1-pk) se da cuando pk = 0'5,
tendremos que:
max
pk
2
dk pk ( 1 pk )
2
0 25 dk < 0 25
2
dk
(5.12)
Hay que señalar que cuando el programa procesa una red aplicando el
método de Clèment para el cálculo de los caudales, en los listados se
presentan todos los datos reseñados (caudal medio y total, varianza de
caudal, etc.) referidos a la cabecera de la red en cuestión. Ello permite
abordar el cálculo de redes de gran tamaño, salvando al menos la
dificultad derivada de la aplicación del método de Clèment, por medio
de la subdivisión en subredes.
Se solicita al usuario declarar si la línea actual cuenta con tubería ya instalada. En
caso afirmativo, más adelante (en la etapa de Tratamiento de Datos) se exige al
usuario que defina las características de la tubería instalada (material, diámetro y
presión de trabajo).
5.4.3. Criterios de diseño:
En primer lugar, el usuario debe determinar si la presión en cabecera de la red es
un dato o se trata de una incógnita que debe intervenir en el problema de
optimización. En el primer caso (presión conocida en cabecera), se solicita el valor
de la altura de presión en cabecera; al indicar un valor nulo, se interpreta que la
alimentación se realiza por gravedad mediante un depósito elevado, cuya cota de la
lámina de agua corresponderá a la cota del nudo de cabecera indicada anteriormente;
5.26
5. Implementación de un modelo lineal ...
si por el contrario, se indica un valor de la presión de cabecera mayor que cero (no
se admiten valores negativos), se interpretará que la alimentación se realiza
mediante una estación de bombeo con una altura de bombeo predeterminada (y que
por tanto, no es objeto de optimización), correspondiendo la cota del nudo de
cabecera a la cota de aspiración de las bombas. En el caso de que la presión de
cabecera se trate como una incógnita, se entiende que la alimentación se realiza
mediante una estación de bombeo (a través de depósito de regulación o en inyección
directa) y se solicita un valor probable de la presión necesaria en cabecera, al efecto
de realizar una primera estimación de la presión de trabajo de las tuberías en la
etapa de Predimensionado.
Selección de los materiales de tubería que se emplearán en el dimensionado,
definiendo el rango de utilización de cada uno de ellos en cuanto a diámetro interno
y presión de trabajo. La selección de los posibles materiales y rangos de trabajo a
emplear está restringida al conjunto de datos contenido en una base de materiales
de tuberías, elaborada previamente por el usuario en base a los materiales
disponibles en el mercado. Con esta selección, el usuario determina aquellos
materiales que pueden formar parte de la solución final, y dentro de cada uno de
ellos, el intervalo de valores de presión de trabajo y diámetro interno permitidos.
Dentro de estas posibilidades indicadas por el usuario, el programa escogerá
finalmente los diámetros que, ajustándose al criterio de velocidades máxima y
mínima, proporcionan la solución más económica.
Figura 5.2.- Selección de los materiales a emplear en el dimensionado.
5.27
5. Implementación de un modelo lineal ...
Antes de continuar introduciendo datos, hay que seleccionar al menos un material
en esta etapa. Existe la posibilidad de modificar los precios de un determinado
material, tanto globalmente como en diámetros individuales, aunque los cambios
afectarán únicamente a la red que se está procesando (tales cambios no se
almacenan en la base de datos de materiales).
Para la aplicación del método de la serie económica en la etapa de
Predimensionado, es preciso establecer una función de coste de la tubería del tipo:
(5.13)
c ( ptas / metro )
A D ( m )a
siendo A y a los coeficientes característicos de la función de costes, D el diámetro
interno de la tubería y c el coste unitario de la misma. Los coeficientes de la
función se obtienen por interpolación lineal sobre la expresión anterior transformada
mediante logaritmos, obteniéndose las expresiones (4.28) y (4.29) vistas en el
capítulo anterior. La aplicación de esta interpolación para tuberías de varios
materiales diferentes no es aconsejable, puesto que los coeficientes que
obtendríamos de cada uno de los materiales aisladamente pueden ser muy diferentes
entre sí. Por esta razón se calculan los coeficientes de la curva de costes a partir de
los datos de un único material, normalmente el primero de los seleccionados,
considerando distintos coeficientes para cada presión de trabajo del material de
referencia. Pese a las imprecisiones que pueden introducirse en este punto no hay
que olvidar que pueden subsanarse al normalizar los diámetros continuos.
Margen de seguridad para la determinación de la presión de trabajo de las tuberías.
Existen dos posibles modalidades para definir este margen: la primera y más sencilla
es definir un valor del margen de presión uniforme que se aplicará a todas las
tuberías de nueva implantación de la red; la segunda modalidad consiste en
establecer un criterio selectivo en la aplicación de dicho margen que permita tener
en cuenta factores tales como el material de la tubería, el diámetro de la misma y
la longitud de la línea.
Cuando se utiliza un margen de seguridad uniforme para todas las tuberías, la
selección de la presión de trabajo de la tubería debe tener en cuenta la condición:
max P e , 1 ( i ) , P e , 2 ( i )
∆ Pe ≤ Pt ( l )
(5.14)
donde Pe,1(i) y Pe,2(i) son las presiones hidrostáticas en los dos nudos extremos de
la línea i, ∆Pe es el margen de seguridad global y Pt(l) es la presión de trabajo
5.28
5. Implementación de un modelo lineal ...
correspondiente del material l.
Si el usuario opta por el criterio selectivo, se considerará tanto una mayoración de
la presión estática en función de la longitud de la línea, como una minoración de
la presión de trabajo de la tubería, que dependerá tanto del material, la presión de
trabajo considerada y el diámetro de la tubería seleccionada, esto es:
max P e , 1 ( i ) , P e , 2 ( i )
( 1 ∆ L) ≤ Pt ( l )
∆ Pt ( l ) ( 1 ∆ D )
(5.15)
donde ∆L representa el margen de seguridad sobre la presión hidrostática a aplicar
en función de la longitud de la tubería, ∆Pt(l) es el margen de seguridad a detraer
de la presión de trabajo de la tubería en función del material y la presión de trabajo,
y finalmente, ∆D es el margen que mayora el valor de ∆Pt(l) en función del
diámetro escogido. Los coeficientes ∆L y ∆D se definen tomando valores por
intervalos de longitud o diámetro (hasta seis intervalos). El valor de ∆Pt(l) está
contenido en la base de datos de materiales de tuberías.
Presión de servicio mínima requerida en cualquier nudo de la red. En este sentido
cabe la posibilidad de aplicar tres modalidades, excluyentes entre sí, para asignar
un determinado valor de la presión mínima en:
a todos los nudos de consumo. Esta opción solamente es aplicable en los casos
en que dichos nudos pueden ser identificados, esto es, cuando se han definido
los caudales como consumos en los nudos o mediante el método de Clèment.
b todos los nudos extremos o terminales de la red, o bien,
c todos los nudos de la red;
d se incorpora una cuarta opción, complementaria con cualquiera de las tres
anteriores, que posibilita definir un valor determinado de la presión mínima en
nudos concretos.
Hay que recordar que cuanto mayor sea el número de restricciones impuestas,
mayor será el tamaño del modelo y en consecuencia, más lenta será su resolución.
Rango de velocidades de circulación admisibles. Se definen unos límites máximo
y mínimo a aplicar en todas las tuberías de la red, que condicionarán la elección de
los diámetros de las tuberías. Por defecto se considera vmin = 0'5 m/s y vmax = 2'0
m/s, aunque el usuario puede modificar dichos límites, que siempre deben
encontrarse comprendidos entre 0'1 m/s y 10 m/s.
Margen de seguridad en el cálculo de pérdidas de carga. Se define un margen
aditivo para mayorar las pérdidas de carga obtenidas mediante la fórmula de Darcy
aplicado uniformemente en todas las tuberías de la red.
5.29
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.4.4. Criterios económicos:
Período de amortización de las tuberías (en años).
Interés de la amortización (en %).
Volumen anual consumido (m3). Cuando la alimentación de la red se realiza por
gravedad, e incluso cuando la alimentación se realiza por inyección directa mediante
una estación de bombeo, este dato es puramente informativo. Sin embargo, cuando
la alimentación de la red cuenta con una estación de bombeo y un depósito de
regulación intermedio, el volumen consumido anualmente permitirá calcular el
caudal promedio bombeado al depósito intermedio, y consecuentemente, el coste
energético implicado.
Caso de considerar una estación elevadora en la cabecera de la red (presión de
cabecera distinta de cero, tanto si es dato como incógnita), es necesario aportar un
conjunto de datos que permitan calcular el total anual de facturación eléctrica
imputable a la instalación de bombeo. En dicha facturación se tiene en cuenta el
coste de la energía consumida, el coste de la potencia instalada así como el recargo
o descuento por energía reactiva. Los costes unitarios de cada uno de estos
conceptos dependerán del tipo de tarifa y discriminación horaria escogidas. Los
datos solicitados son:
Rendimiento estimado del bombeo (en %).
Número aproximado de horas de funcionamiento al año.
Margen de seguridad sobre potencia instalada (en %). Puesto que habitualmente
se instala más potencia de la necesaria, se tiene en cuenta este término para el
cálculo del término de potencia en la facturación anual.
Coseno ϕ de la instalación, para calcular el recargo/descuento a aplicar por
energía reactiva. Se admiten valores comprendidos entre 0'5 y 1'0, de modo que
el recargo o descuento Kr por energía reactiva sobre el total de la facturación
eléctrica será:
Kr (%)
17
cos2ϕ
21
(5.16)
Incremento anual del coste del kWh (en %). Suponiendo que el efecto de la
inflación no ha sido tenido en cuenta al establecer el interés de la amortización,
se introduce este coeficiente para obtener los costes unitarios promedio que
intervienen en la facturación eléctrica durante el período de vida de la red. En
este caso, si denominamos s al incremento anual de los costes energéticos,
expresado en tanto por uno, y Ce es el coste energético el primer año de uso,
5.30
5. Implementación de un modelo lineal ...
suponiendo que las condiciones de operación se mantienen en el tiempo, el
coste energético en el segundo año será Ce·(1+s) y se verá sucesivamente
incrementado hasta llegar a ser Ce·(1+s)T-1 en el año T. De este modo, el coste
energético anual promedio C
 e en el período de T años será:
Ce
Ce
( 1 s )T 1
s T
(5.17)
Determinar si se trata de inyección directa o bien a través de depósito de
regulación. En el caso de que la inyección se realice a través de un depósito de
regulación, se solicita un valor estimado de la pérdida de carga en la impulsión,
de modo que la altura de cabecera óptima que proporciona el programa
corresponderá a la elevación del depósito de regulación, y el coste de la energía
se calculará teniendo en cuenta las pérdidas estimadas en la impulsión.
Tipo de tarifa considerada, en función de la tensión de alimentación. Por
defecto, el programa incorpora los valores correspondientes a la tarifa eléctrica
de riegos agrícolas (R.xx) de 1992 (BOE 13, de 15 de Enero).
Tipo de discriminación horaria considerada. Por defecto se consideran
discriminación horaria simple (sin discriminación), doble, triple normal y
triple + festivos. En la siguiente tabla se indican los valores de la tarifa eléctrica
que se emplean por defecto en el programa DIOPRAM para determinar los
costes energéticos.
TARIFA
Coste potencia
ptas/kW/mes
Coste energía
ptas/kW·h
1
R0 (Baja tensión)
56'0
13'19
2
R1 (hasta 36 kV)
83'0
11'33
3
R2 (de 36 kV hasta 72'5 kV)
80'0
10'65
4
R3 (mayor de 72'5 kV)
75'0
10'31
Recargos / Descuentos (%)
DISCRIMINACION HORARIA
Punta
Llano
Valle
1
Tipo 1 - Simple (Pot < 50 kW)
2
Tipo 2 - Doble
+ 40
3
Tipo 3 - Triple Normal
+ 70
+0
- 43
4
Tipo 4 - Triple + Festivos
+ 100
+0
- 43
+ 20
+0
Tabla 5.1.- Tarifas eléctricas para riegos (O.M. de 10/1/1992)
5.31
Sab/Fes
t
- 43
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.5 TRATAMIENTO PREVIO DE LOS DATOS
Cuando han sido especificados todos los datos del problema se accede al Menú de
Tratamiento de Datos, en el cual, tal como indica la Figura 5.1, se pueden seleccionar
varias opciones que suelen ser comunes en todas las etapas del programa (Correcciones,
Listado de Datos, Grabar Fichero, etc.) pero para proseguir hacia el dimensionado de la
red hay que realizar un tratamiento previo de los datos introducidos.
Esta fase de cálculo tiene un doble propósito: por un lado permite comprobar
parcialmente la validez y coherencia de los datos introducidos en conjunto, y por otro,
realiza algunos cálculos intermedios para formular el modelo de dimensionado, como
por ejemplo, el cálculo de los caudales circulantes o de la presión hidrostática estimada
en los nudos del sistema. En esta etapa se especifican también otros datos que no han
sido definidos con anterioridad, como por ejemplo, aquellos referentes a las tuberías
previamente instaladas y la distribución de horas de bombeo por períodos.
La etapa de Tratamiento de Datos se divide en la ejecución de varios subprogramas
que se ejecutan secuencialmente en el orden en el cual son descritos a continuación, y
que se presentan de forma sucinta en la Figura 5.3. Antes de ejecutar los subprogramas
se comprueba que el conjunto de datos esté completamente definido.
5.5.1. Cambio de numeración externa a numeración interna (Subprograma Num_int)
En la introducción de los datos de las líneas se solicita al usuario la numeración de
los nudos extremos de cada línea, utilizando para ello los vectores Narriba (nudo aguas
arriba) y Nabajo (nudo aguas abajo), siendo el índice de la línea actual el número de
orden en que se han introducido sus datos.
Como sabemos, en una red ramificada podemos identificar cada línea con su
correspondiente nudo aguas abajo. Atendiendo a este criterio, se conservará la
numeración externa de los nudos en el vector Nabajo, al objeto de identificar líneas y
nudos con su numeración externa.
Sin embargo, para identificar rápidamente las líneas y nudos de un trayecto
siguiendo la dirección aguas arriba, se modifica el contenido del vector Narriba en el
5.32
5. Implementación de un modelo lineal ...
sentido de que el elemento Narriba(I) represente el índice (en numeración interna)
Figura 5.3.- Tratamiento previo de los datos introducidos.
5.33
5. Implementación de un modelo lineal ...
de la línea a través de la cual llega el caudal al nudo aguas arriba de la línea identificada
con el elemento Nabajo(I). La Figura 5.4 ilustra un sencillo ejemplo de este cambio de
numeración: para cada línea (y su correspondiente nudo aguas abajo) se indica la
numeración externa y su índice. En las siguientes tablas se muestra el proceso de
transformación entre uno y otro tipo de numeración.
Figura 5.4. Cambio a numeración interna.
Indice
1
2
Narriba 302 301
3
0
4
5
6
7
8
9
10
11
12
302 303 302 303 309 308 301 309 308
Nabajo 306 302 301 307 304 303 305 310 309 308 311 312
Restaurar numeración externa
Subprog. Num_ext
Numeración
original
(externa)
Cambio a numeración interna
Subprog. Num_int
Indice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Narriba
2
3
0
2
6
2
6
9
10
3
9
10
Nabajo 306 302 301 307 304 303 305 310 309 308 311 312
Numeración
interna
Al realizar el cambio de numeración se comprueba también si todas las líneas de
la red están conectadas (el hecho de que puedan existir circuitos cerrados de líneas ya
ha sido comprobado en la etapa de introducción de los datos, puesto que no se permite
que ningún nudo sea declarado como nudo aguas abajo de más de una línea).
5.34
5. Implementación de un modelo lineal ...
En el caso de que alguna de las líneas que se han definido no esté conectada, es
necesario que el usuario corrija el error, y en consecuencia, hay que restaurar la
numeración externa, puesto que es el tipo de numeración que el usuario puede
interpretar correctamente en la entrada y corrección de los datos. La restauración de la
numeración externa es necesaria siempre que se presente algún error en el tratamiento
de los datos, como condición previa antes de retornar al Menú de Tratamiento, y se
consigue mediante el subprograma Num_ext.
5.5.2. Secuencia de nudos y grado de conectividad (Subprograma Arbol)
A continuación se ejecuta el subprograma Arbol, que permite determinar el grado
de conectividad de cada nudo (vector Gcon), que indica el número de líneas situadas
aguas abajo del nudo correspondiente, y la secuencia de nudos (vector Sna), que
proporciona una ordenación de los nudos de la red que servirá posteriormente para
calcular alturas piezométricas desde la cabecera hacia aguas abajo. La siguiente figura
muestra el valor de estos parámetros en referencia a la red de la Figura 5.4.
Figura 5.5. Secuencia de nudos y Grado de conectividad.
Indice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sna
3
2
10
1
4
6
9
12
5
7
8
11
Gcon
2
3
2
0
0
2
2
0
0
0
0
0
5.35
5. Implementación de un modelo lineal ...
El vector Sna almacena los índices de los nudos de la red en un orden tal que un
nudo situado aguas arriba de otro siempre ocupe una posición anterior. La ordenación
definida por Sna permite calcular la altura piezométrica en los nudos de la red
comenzando desde el nudo de alimentación y calculando las pérdidas de carga de cada
línea una sola vez. Los elementos del vector Gcon identifican los nudos terminales o
extremos de la red cuando el elemento adopta un valor nulo.
5.5.3. Asignación de presiones mínimas a los nudos (Subprograma Asig_pmin)
En la entrada de datos se ha seleccionado el grupo de nudos a los que se aplica la
restricción de presión mínima y el valor de la misma; como ya se mencionó, las tres
primeras opciones de agrupación de los nudos eran excluyentes entre sí, mientras que
la cuarta opción permitía definir valores determinados de la presión mínima asociados
a nudos concretos.
El subprograma Asig_pmin realiza la asignación de los valores de la presión mínima
a cada nudo que haya sido seleccionado, bien con las opciones de agrupación o bien con
la asignación individual, almacenando el valor de la misma en el elemento
correspondiente del vector Pmin.
Se comprueba que todos los nudos extremos (identificados por la condición
Gcon(I) = 0) tengan asociado un valor Pmin(I) > 0; en caso contrario, el programa
restaura la numeración externa y vuelve al Menú de Tratamiento.
5.5.4. Asignación de caudales de líneas (Subprograma Asig_qlinea)
El subprograma Asig_qlinea permite calcular los caudales circulantes en el caso de
haber optado por definir unos consumos en los nudos de la red y también en el caso de
adoptar el criterio probabilístico de Clèment; por el contrario, si se han definido
directamente los caudales de línea no es necesaria su intervención.
En los dos casos mencionados se comprueba que en todos los nudos extremos de
la red (aquellos con grado de conectividad Gcon = 0) el caudal consumido, o la dotación
de los hidrantes sea mayor que cero; en caso contrario resultaría un caudal nulo en la
línea terminal correspondiente.
5.36
5. Implementación de un modelo lineal ...
Para el cálculo de los caudales de línea cuando se han definido consumos en los
nudos, basta simplemente con acumular tales consumos en cada una de las líneas
situadas aguas arriba del nudo en cuestión, o lo que es lo mismo, acumular en el caudal
de la línea todos los consumos producidos en los nudos ubicados aguas abajo de la
misma.
Desde el punto de vista operativo se procede mediante un bucle extendido a todos
los nudos k de la red, en el cual se agrega el consumo (Qk) del nudo k al caudal
circulante qj de todas las líneas j del trayecto Sk (entre el nudo origen y el nudo k):
(5.18)
qj ← qj Qk
∀ j ∈Sk
Para el cálculo de los caudales probabilísticos de Clèment se contemplan dos
posibilidades:
a) Aplicación del criterio de Clèment con la misma garantía de suministro (GS)
en todas las líneas de la red.
b) Aplicación selectiva del criterio de Clèment, considerando diferentes valores de
la Garantía de Suministro GS o Calidad de Servicio en función del número de
hidrantes alimentados por la línea.
La definición de los datos de consumo en el nudo puede hacerse indicando todas
las características propias de cada hidrante individualmente (cuando no hay más de seis)
o bien se pueden indicar en conjunto, en el caso que denominamos "subred", y que
requiere especificar el total de las dotaciones de los hidrantes aguas abajo del nudo
(caudal total), el caudal medio, la varianza de caudal, el número de hidrantes y el área
total servida.
En primer lugar se calculan las probabilidades de utilización de los hidrantes,
cuando han sido detallados individualmente, y se comprueba que su valor sea inferior
a uno. En caso de fallo, se avisa al usuario para que corrija los datos y se vuelve al
Menú de Tratamiento. Para realizar el cálculo definitivo de los caudales de línea se
definen las siguientes variables:
Su1i
Suma de los caudales medios en los hidrantes alimentados por la línea i.
Su1i
j ∈A i
dk pk
k (nudo j)
5.37
(5.19)
5. Implementación de un modelo lineal ...
Su2i
Suma de las varianzas de caudal en los hidrantes alimentados por la línea i.
2
Su2i
Qaci
j ∈A i
dk pk (1 pk)
(5.20)
k (nudo j)
Suma de las dotaciones (caudal nominal) de los hidrantes alimentados por
la línea i.
Qaci
j ∈A i
dk
(5.21)
k (nudo j)
Nhidi Número total de hidrantes alimentados por la línea i.
En las expresiones anteriores, dk representa la dotación o caudal nominal del
hidrante k, y pk es la probabilidad de utilización de dicho hidrante.
Cuando se opta por la aplicación del criterio de Clèment con la misma Garantía de
Suministro en toda la red, el caudal de Clèment Qcli para la línea i será:
Qcli
Su1i
U ( GS )
Su2i
(5.22)
siendo U(GS) el valor de la función de probabilidad de Gauss para una probabilidad
igual a GS. Sin embargo, la falta de uniformidad en las características de los hidrantes
y las diversas desviaciones que aparecen sobre las hipótesis de aplicación del método
de Clèment pueden dar lugar a que el caudal de Clèment Qcli sea superior al caudal
acumulado Qaci, de modo que el caudal de línea qi se calculará finalmente como:
qi
min
Qcli ; Qaci
(5.23)
Precisamente con la intención de paliar las inexactitudes del método de Clèment se
ha planteado la posibilidad de adoptar un criterio selectivo, de modo que el valor de la
Garantía de Suministro aumente cuanto menor sea el número de hidrantes servido por
la línea. Los valores que normalmente se utilizan para GS van desde 95% hasta 100%
(lo que supone capacidad de servir todas las dotaciones simultáneamente). Para la
aplicación selectiva del criterio de Clèment se considera una Garantía GS = 100 % en
todas aquellas líneas que alimenten hasta un determinado número de hidrantes Nhacq
(es una valor seleccionable por el usuario, comprendido entre 1 y 15); ello implica
acumular las dotaciones de todos los hidrantes alimentados por dicha línea. Para las
líneas que alimentan un número de hidrantes superior a Nhacq e inferior a 51, se
considera GS = 99% y finalmente, en las líneas que alimentan 51 hidrantes o más se
5.38
5. Implementación de un modelo lineal ...
adopta el valor GS = 95%. El caudal de Clèment Qcli para este procedimiento será:
a) 1 ≤ Nhidi ≤ Nhacq :
Qcli
(5.24)
Qaci
b) Nhacq < Nhidi ≤ 50 :
Qcli
Su1i
U ( GS 99% )
Su2i
[ U ( 99% )
2 33 ]
(5.25)
U ( GS 95% )
Su2i
[ U ( 95% )
1 65 ]
(5.26)
c) 50 < Nhidi :
Qcli
Su1i
En todos los casos, el caudal circulante de línea será:
qi
min
Qcli ; Qaci
(5.27)
No obstante, el cálculo de los caudales circulantes es provisional, por cuanto que
la aplicación de la fórmula de Clèment con diferentes valores de GS puede dar lugar a
situaciones en las que una línea adopte un caudal circulante superior al de otra línea
situada aguas arriba. Partiendo desde las líneas terminales hacia la cabecera de la red,
se comprobará que los caudales de las líneas resultan decrecientes en el sentido hacia
aguas abajo; si el caudal qi en la línea i resultase menor que qj en una línea j situada
aguas abajo de i, se actualizará el caudal haciendo qi = qj.
Finalmente se presenta al usuario una lista de los caudales acumulados (Qaci), de
Clèment (Qcli) y definitivos qi asociados a cada línea, con la posibilidad de modificar
manualmente los caudales resultantes qi.
5.5.5. Selección de los diámetros de las tuberías instaladas (Subprograma Test_amplia)
Este subprograma permitirá definir las características de las tuberías que en la
entrada de datos se han declarado como instaladas. Si tales características ya han sido
previamente definidas, el usuario puede optar por modificarlas; si todavía no han sido
definidas, es necesario seleccionar el material, diámetro y presión de trabajo de cada una
de las tuberías existentes.
5.39
5. Implementación de un modelo lineal ...
La selección es restringida, puesto que sólo se permite escoger entre los diámetros
cuyos datos están presentes en la base de datos de materiales (no obstante, los datos
contenidos en la base pueden ser actualizados y modificados, como se verá más
adelante). De este modo se elimina la posibilidad de introducir datos incoherentes en
esta etapa.
Como se ha comentado con anterioridad, la presencia de tuberías instaladas
repercute en la formulación del modelo como la inclusión de una pérdida de carga de
valor conocido (para el caudal de diseño) en las restricciones de presión mínima. A tal
efecto, el cálculo de pérdidas de carga en estas tuberías se verá mayorado por el margen
de seguridad que se aplica a todas las líneas de la red y por la longitud equivalente
especificada en la introducción de datos de la línea.
La selección de la presión de trabajo de la tubería puede adoptar cualquier valor
disponible, siendo su comprobación la responsabilidad del usuario.
5.5.6. Cálculo de la presión de cabecera mínima (Subprograma Pcab_min)
La insuficiencia de altura piezométrica en la alimentación es uno de los principales
motivos para que el problema de dimensionado no tenga solución. Por esta razón, antes
de seguir adelante se comprueba que dicha altura piezométrica en cabecera sea superior
al máximo valor de las alturas piezométricas mínimas requeridas en los nudos
seleccionados.
Sin embargo, esta comprobación no es suficiente, puesto que los diámetros de
tubería empleados en la solución final siempre producirán una determinada pérdida de
carga, que además no puede ser reducida a voluntad, puesto que en la selección de los
diámetros finales interviene una limitación de velocidad mínima.
Con todas estas consideraciones, se calcula el valor mínimo que debe adoptar la
presión en cabecera para obtener presiones superiores al valor mínimo en los nudos
seleccionados, considerando que en las tuberías del trayecto comprendido entre la
cabecera y los nudos en cuestión se presenta una pendiente hidráulica de referencia
mínima de jref = 1 m/Km (las pendientes hidráulicas resultantes en una solución final
suelen estar comprendidas entre 2÷10 m/Km), resultando:
5.40
5. Implementación de un modelo lineal ...
PCAB min
max zk
k
PMINk
j ref
j ∈S k
Lj
z0
(5.28)
( k nudos seleccionados )
donde PCABmin es el valor mínimo de la altura de presión en cabecera, z0 es la cota del
nudo de cabecera, y los subíndices k se extienden a todos los nudos en los cuales se ha
seleccionado un valor de la altura de presión mínima PMINk.
En el caso de haber definido líneas con tubería instalada, el criterio utilizado varía
ligeramente, puesto que en el valor de PCABmin se considera una pendiente hidráulica
de referencia jref = 1 m/Km solamente para las líneas por dimensionar, mientras que en
el caso de las tuberías existentes interviene la pérdida de carga real que producen cuando
circula el caudal de diseño. Si Sk es el conjunto de tuberías del trayecto que une la
cabecera con el nudo k, este conjunto puede expresarse como:
Sk
E
Sk
N
Sk
E
N
( siendo Sk
Sk
∅)
(5.29)
donde recordemos que SEk representa el subconjunto de líneas del trayecto que poseen
tuberías en servicio y SNk es el subconjunto de líneas del trayecto todavía por
dimensionar.
El valor de PCABmin a considerar en el caso de que existan tuberías instaladas
resultará:
PCAB min
max zk
k
PMINk
j ref
Lj
j ∈S k
N
hf,j
j ∈S k
z0
(5.30)
E
( k nudos seleccionados )
siendo hf,j la pérdida de carga que se desarrolla en la línea j, con tubería instalada,
cuando circula el caudal de diseño, incluyendo los criterios mayorantes expuestos
anteriormente.
Sí la presión en cabecera actúa como una incógnita del problema, y la presión de
cabecera probable es inferior a PCABmin, se adoptará este último valor como presión de
cabecera probable, y el programa continuará normalmente su curso.
5.41
5. Implementación de un modelo lineal ...
Por el contrario, si la presión de cabecera es un dato del problema y es inferior a
PCABmin, se comunica al usuario la circunstancia y se regresa al Menú de Tratamiento,
previa restauración de la numeración externa.
5.5.7. Cálculo de las presiones estáticas (Subprograma Pres_st)
Una vez se ha comprobado la suficiencia de la presión de cabecera (tanto si se trata
de una incógnita como si es dato), se calculan las presiones hidrostáticas en los nudos
de la red, aunque sólo de forma provisional, al objeto de determinar la presión de trabajo
de las tuberías seleccionadas:
PRESTk
z0
PCAB
zk
∀k
(5.31)
donde PRESTk representa la altura de presión hidrostática en el nudo k, PCAB es la
altura de presión en cabecera, y z0 y zk son respectivamente las cotas geométricas del
nudo de cabecera y del nudo k.
5.5.8. Asignación de parámetros de coste energético (Subprograma Asig_cener)
La última etapa del Tratamiento de Datos, cuando la red esta alimentada mediante
una estación de bombeo, esto es, cuando se indica una presión de cabecera distinta de
cero, consiste en determinar el coeficiente de coste Kb asociado a la altura de bombeo
Hb, que proporcione el coste energético anual CE = Kb·Hb, incluyendo los siguientes
factores:
Términos de potencia y energía.
Margen de seguridad sobre la potencia instalada.
Recargo/Descuento por energía reactiva.
Promediación del coste energético durante el período de amortización de las
tuberías, contemplando una tasa anual de incremento.
Recargo/Descuento por discriminación horaria.
Mientras que los diámetros de las tuberías se determinan como consecuencia de unas
restricciones de presión considerando una distribución de caudales crítica, el coste
energético a considerar es el resultado de la operación de la red a lo largo de un período
anual, durante el cual se producen situaciones de consumo punta, llano y valle. Por ello
utilizaremos dos conceptos diferentes del caudal en cabecera: por un lado tenemos el
5.42
5. Implementación de un modelo lineal ...
caudal "punta" en cabecera q0, que es el caudal aplicado en cabecera para la situación
de diseño de la red, y por otro, el caudal medio 
qb que obtenemos al dividir el volumen
consumido anualmente Vol, entre el tiempo anual de bombeo:
Vol (m3/año)
nh (horas/año) 3600
qb (m3/s)
(5.32)
siendo nh el número total de horas de bombeo al año.
En el caso de un bombeo con inyección directa, la potencia instalada en la EB debe
ser suficiente para suministrar el caudal "punta" q0, mientras que si la inyección se
realiza a través de un depósito de regulación, el caudal bombeado será normalmente
inferior a q0. Aunque el caudal bombeado puede experimentar variaciones, supondremos
que en el caso de bombeo con depósito intermedio, adopta el valor del caudal medio 
qb.
No hay que olvidar que estamos tratando con una situación de diseño y muchas de las
características de la operación del sistema, entre las que se encuentra la programación
del bombeo, no son del todo conocidas y sólo pueden ser estimadas.
El recargo/descuento por energía reactiva afecta a todos los términos de la
facturación eléctrica (potencia y energía) y para incluir su influencia en el coste
energético definimos el coeficiente multiplicador Kreac como:
Kreac
10
Kr (%)
100
17
cos2ϕ
10
21
1
100
(5.33)
siendo el cos ϕ una característica propia de la instalación. Para el máximo valor
admisible cos ϕ = 1 se obtiene un descuento Kr = - 4% (Kreac = 0'96) mientras que para
el mínimo valor admisible cos ϕ = 0'5 resulta un recargo Kr = + 47% (Kreac = 1'47).
Para incluir el efecto de una posible tasa anual s de incremento de los costes
energéticos definimos el coeficiente multiplicador Kpre como:
Kpre
( 1 s )T
T s
1
( si s
0
→ Kpre
1 0)
(5.34)
siendo T el período de promediación, que consideramos igual al período de amortización
de las tuberías.
El subprograma Asig_cener realiza en primer lugar una asignación de las horas de
bombeo a cada uno de los períodos tarifarios, en función del tipo de discriminación
5.43
5. Implementación de un modelo lineal ...
horaria escogida por el usuario. En la introducción de datos se habrá determinado el
total de horas de bombeo anuales nh y seleccionado una tarifa y un tipo de
discriminación horaria, aunque no se habrá especificado en detalle la distribución de las
horas de bombeo. La asignación que realiza Asig_cener consiste simplemente en
distribuir proporcionalmente el total de horas nh entre cada uno de los períodos
tarifarios, para lo cual se tendrá en cuenta el total de horas anuales de cada período,
indicado en la siguiente tabla.
Tipo
Discriminación
Horaria
Período
Punta
Llano
Valle
Sáb+Fest.
8760
Simple
Doble
1460
7300
Triple Normal
1460
4380
2920
Triple+Festivos
1494
2490
1992
2784
Tabla 5.2. Número total de horas anuales en cada período tarifario
En el caso de la discriminación simple, el total de horas nh corresponde a dicho
período; en doble se consideran 4 horas punta por día y 20 horas llano+valle; en triple
normal hay 4 horas punta, 12 horas llano y 8 horas valle; en discriminación
triple+festivos se considera un total de 116 días al año de período festivo y en los 249
días restantes tendremos 6 horas punta, 10 horas llano y 8 horas valle. De este modo,
la asignación inicial quedará:
H. punta
nhp
nh
Discr. DOBLE :
H. llano valle
Discr. TRIPLE :
nh l , v
nh
(5.35)
7300
8760
1460
8760
H. punta
nhp
H. llano
nhl
nh
4380
8760
H. valle
nhv
nh
2920
8760
5.44
nh
1460
8760
(5.36)
5. Implementación de un modelo lineal ...
Discr. TRIPLE
nh
1494
8760
H. punta
nhp
H. llano
nhl
nh
2490
8760
H. valle
nhv
nh
1992
8760
FEST.:
H. sab fest.
nhf
nh
(5.37)
2784
8760
Los valores de esta primera estimación son presentados al usuario, que puede
confirmarlos o modificarlos.
Para los recargos/descuentos aplicables por discriminación horaria utilizaremos el
símbolo ∆ba, donde el superíncide a hace referencia al tipo de discriminación (1=Simple;
2=Doble; 3=Triple Normal; 4=Triple+Festivos) y el subíndice b se refiere al período
correspondiente. Considerando los valores que adopta el programa por defecto,
contenidos en la Tabla 5.1, los distintos valores de ∆ba serán:
Tipo
Discriminación
Horaria
Período
Punta
Llano
Valle
Sáb+Fest.
∆1 = +0'0
Simple
Doble
∆2p = +0'40
∆2l,v = +0'0
Triple Normal
∆3p = +0'70
∆3l = +0'0
∆3v = -0'43
Triple+Festivos
∆4p = +1'0
∆4l = +0'0
∆4v = -0'43
∆4f = -0'43
Tabla 5.3. V alores del recargo/descuento a aplicar por discr. horaria.
A partir de los valores de los recargo/descuentos por discriminación horaria
definiremos el número ponderado de horas de bombeo Kdh totalizando el número de
horas de cada período tarifario multiplicado por el coeficiente mayorante o minorante
que le corresponda, esto es:
5.45
5. Implementación de un modelo lineal ...
(5.38)
(SIMPLE)
Kdh
1 ∆1
nh
(DOBLE)
Kdh
1 ∆p
nhp
1 ∆ l,v
nhl,v
(TRIPLE)
Kdh
1 ∆p
nhp
1 ∆l
nhl
2
3
2
3
(5.39)
1 ∆v
3
(5.40)
nhv
(TRIPLE FEST)
(5.41)
Kdh
1 ∆p
4
nhp
1 ∆l
4
nhl
1 ∆v
4
nhv
1 ∆f
4
nhf
Finalmente aplicaremos todas las consideraciones expuestas para determinar el
coeficiente de coste anual de la energía Kb, que se compone de dos términos, a saber,
término de potencia (Kp) y término de energía (Ke).
En el término de potencia debemos distinguir el caso en que la alimentación se
realice mediante inyección directa o a través de depósito de regulación. En el primer
caso hay que tener en cuenta que el máximo caudal a bombear corresponderá a q0,
mientras que si existe un depósito de regulación, podemos aplicar el caudal medio 
qb,
resultando:
Inyección directa
Kp
9 81 q0
η
cp 12 Kreac Kpre ( 1 ∆ Pot)
t
(5.42)
Inyección a través de depósito de regulación
Kp
siendo: Kp
η
cpt
∆Pot
9 81 qb
η
cp 12 Kreac Kpre ( 1 ∆ Pot)
t
(5.43)
Término anual de potencia (ptas/año)
Rendimiento medio de la EB
Coste unitario por potencia contratada para la tarifa t (ptas/kW/mes)
Margen de seguridad sobre la potencia contratada (tanto por uno)
5.46
5. Implementación de un modelo lineal ...
En cuanto al término de energía, éste será:
Ke
siendo: Ke
cet
9 81 qb
η
(5.44)
t
ce Kreac Kpre Kdh
Término anual de energía (ptas/año)
Coste unitario de la energía para la tarifa t (ptas/kW·hora)
El coeficiente Kb de coste energético anual será pues:
a) Inyección directa:
Kb
9 81
Kreac Kpre
η
q0 cp 12 ( 1 ∆ Pot )
t
t
qb ce Kdh
(5.45)
b) Inyección a través de depósito de regulación:
Kb
9 81 qb
η
Kreac Kpre
cp 12 ( 1 ∆ Pot )
t
t
ce Kdh
(5.46)
En el caso de inyección a través de depósito de regulación se contempla una pérdida
de carga en la impulsión, que será contabilizada a los efectos del coste energético final,
pero que por tratarse de un coste fijo, no tendrá ninguna repercusión en la optimización.
5.47
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.6. ETAPA DE PREDIMENSIONADO
5.6.1. Introducción
Si la fase de Tratamiento de los Datos es superada satisfactoriamente, el programa
presenta al usuario el Menú Principal, que contiene diversas opciones, todas puramente
auxiliares excepto la opción para continuar con el Predimensionado de la red. El
objetivo principal de esta fase de cálculo consiste en proporcionar, mediante un método
aproximado de dimensionado económico, una solución factible que permita dar entrada
al proceso del algoritmo SIMPLEX en su fase II, esto es, la fase de mejora de la
solución existente. También puede resultar de utilidad para obtener una solución final
cuando no es posible ejecutar la última fase de optimización por insuficiencia de
memoria en el ordenador.
La solución obtenida en el predimensionado se caracteriza porque cada línea está
configurada por un único diámetro. La consecución de la solución se realiza con
intervención del objetivo económico, lo que resulta muy conveniente tanto si se utiliza
como entrada del algoritmo SIMPLEX, como si se asume como la solución final; en el
primer caso, podemos esperar que cuanto más próxima resulte la solución básica factible
inicial a la solución óptima, tanto menor será el esfuerzo de cálculo realizado por el
algoritmo SIMPLEX para mejorarla, mientras que en el segundo caso, si la solución
obtenida se considera definitiva, cabe la seguridad de haber empleado el objetivo
económico, aún tratándose de un método aproximado (formulación en diámetros
continuos y posterior normalización).
El procedimiento empleado para el dimensionado en la fase de predimensionado es
una aplicación del método de la serie económica, desarrollado en el capítulo anterior,
con algunas modificaciones para contemplar la intervención de las tuberías existentes
como una pérdida de carga prefijada, así como la consideración de parámetros
adicionales, como son las longitudes equivalentes mediante las cuales se pretende
modelizar la existencia de los elementos auxiliares que producen pérdidas de carga, y
también el coeficiente de mayoración de las pérdidas de carga.
El método se aplica jerárquicamente a diversos trayectos de tubería de la red,
siguiendo un determinado orden consistente en dimensionar en primer lugar aquellos
trayectos de tuberías que conducen a los nudos críticos de la red.
5.48
5. Implementación de un modelo lineal ...
Primeramente desarrollaremos las expresiones empleadas para obtener el diámetro más
económico de una serie de tuberías (serie económica) teniendo en cuenta los supuestos
de cálculo expuestos anteriormente, esto es, tuberías previamente instaladas en la serie
y criterios para la mayoración de las pérdidas de carga y a continuación analizaremos
el dimensionado de la red completa.
5.6.2. Dimensionado económico de una serie de tuberías
El problema que presentamos consiste en dimensionar económicamente una serie de
tuberías con caudales circulantes conocidos y una única restricción de presión mínima
en el extremo aguas abajo de la serie, bajo la hipótesis de diámetros continuos. Puesto
que los diámetros resultantes serán teóricos, será necesario normalizar sus valores en un
proceso posterior.
A diferencia del caso tratado en el apartado 4.7, se considera aquí la posibilidad de
que existan líneas en la red con tuberías en servicio, de modo que en el modelo
propuesto, tales tuberías actuarán como una pérdida de carga fija y conocida en base a
los caudales de diseño establecidos. La serie de tuberías a dimensionar está comprendida
entre un nudo de alimentación que llamaremos 0 y cuya altura piezométrica es H0, y el
nudo extremo aguas abajo k, siendo Sk el conjunto de líneas del trayecto; dicho conjunto
puede expresarse como:
E
Sk
Sk
N
Sk
E
( siendo Sk
N
Sk
∅)
(5.47)
donde SEk representa el subconjunto de líneas del trayecto que poseen tuberías en servicio
y SNk es el subconjunto de líneas del trayecto todavía por dimensionar.
En el problema de dimensionado económico de la serie de tuberías se define una
única restricción de presión mínima en el nudo extremo k, expresada como:
hf,j
j ∈S
E
k
hf,j
j ∈S
N
k
j ∈ Sk
h f , j ≤ h f , adm ( 0 →k )
H0
H min , k
(5.48)
donde hf,j son las pérdidas de carga en las líneas j de la serie y hf,adm(0→k) representa la
pérdida de carga admisible en toda la serie, siendo igual a la diferencia entre la altura
en cabecera H0 y la altura mínima que se desea conseguir en el nudo extremo Hmin,k.
Si denominamos hEf a la pérdida de carga (conocida) en todas las tuberías existentes:
5.49
5. Implementación de un modelo lineal ...
E
hf,j
hf
(5.49)
j ∈Sk
E
y así, la restricción de presión mínima puede escribirse como:
h f , j ≤ h f , adm
N
H0
E
H min,k
hf
(5.50)
j ∈S k
N
donde ahora denominamos hNf,adm a la pérdida de carga admisible en el conjunto de líneas
por dimensionar SNk.
Para el cálculo de pérdidas de carga, tanto en tuberías existentes como en tuberías por
dimensionar, se han introducido dos factores mayorantes. El primero de ellos consiste
en un factor aditivo hfm (expresado en tanto por uno) que afecta por igual a todas las
tuberías, de modo que la pérdida de carga efectiva se mayorará multiplicando por un
factor (1+hfm). En segundo lugar, se ha introducido un factor mayorante singular para
cada tubería, y que consiste en aumentar la longitud de la tubería Lj solamente a efectos
del cálculo de la pérdida de carga, en una longitud adicional ∆Lj.
Mediante la fórmula de Darcy, la pérdida de carga en la línea j será:
8
h f,j
π g
2
2
fj L j q j D j
5
2
Kf j Lj qj Dj
5
(5.51)
donde Lj es la longitud de la línea j, Dj su diámetro, qj el caudal circulante y fj es el
factor de fricción. Introduciendo los factores mayorantes considerados, obtenemos la
pérdida de carga efectiva h*f,j:
h f,j
K (1 hfm) fj (Lj ∆ Lj) qj Dj
2
5
2
K fj L j q j D j
5
(5.52)
donde las variables modificadas K* y f*j adoptan los siguientes valores:
K
K (1 hfm)
;
fj
fj 1
∆ Lj
(5.53)
Lj
Con la intervención de estos factores mayorantes de la pérdida de carga, la restricción
de presión mínima del problema resultará:
h f , j ≤ h f , adm
N
j ∈S
H0
H min,k
E
hf
(5.54)
N
k
expresión en la que se supone que la pérdida de carga en las tuberías existentes se ha
calculado considerando también los factores mayorantes, de modo que:
5.50
5. Implementación de un modelo lineal ...
E
hf
hf,j
(5.55)
j ∈Sk
E
Estudiaremos a continuación los dos casos habituales, esto es, cuando la alimentación
del sistema se efectúa con altura piezométrica conocida y cuando dicha altura es un
valor por determinar, en función de los costes energéticos implicados.
a) Serie de tuberías alimentada con altura piezométrica conocida:
En primer lugar analizaremos el problema cuando la alimentación de la serie de
tuberías se realiza con una altura piezométrica de valor conocido H0, situación que puede
representarse como en la figura siguiente:
Figura 5.6. Serie de tuberías alimentada con altura piezométrica conocida.
Puesto que el método de la serie económica considera los diámetros de las tuberías
como variables de decisión de tipo continuo, es necesario introducir una función de
costes que relacione el diámetro de la tubería con su coste unitario, cuya expresión
habitual es de la forma indicada en (5.13), de modo que el coste total CT de la serie de
tuberías nuevas del trayecto será pues:
a
Cj
CT
j ∈S k
N
A Dj Lj
(5.56)
j ∈S k
N
incluyendo solamente las líneas j por dimensionar (subconjunto SNk) y que constituye
precisamente la función objetivo que se desea minimizar en el problema.
5.51
5. Implementación de un modelo lineal ...
Aplicando la primera condición de óptimo (∂L/∂Di = 0) podemos despejar el valor
del diámetro Di (i ∈ SNk):
Di
1
a 5
5λK
a A
1
2 a 5
f i qi
(5.57)
Para obtener el valor del multiplicador λ hacemos uso de la segunda condición de
óptimo (∂L/∂λ = 0); sustituyendo dicho valor en la expresión anterior obtenemos el
valor del diámetro óptimo Di según:
02
1
2 a 5
Di
N
fi q i
hf , adm
a
K
fj
j ∈S
a 5
Lj q
2a
a 5
j
02
(5.58)
N
k
b) Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera incógnita:
Figura 5.7. Serie de tuberías alimentada con altura piezométrica incógnita.
En este segundo caso consideramos la existencia de una estación de bombeo en el
nudo de alimentación, como muestra la Figura 5.7, de manera que el valor final de la
altura de bombeo estará condicionado no sólo por la altura piezométrica mínima en el
nudo extremo k, sino también por la magnitud del coste energético de bombeo en
relación a la amortización de las tuberías de la serie.
La función objetivo que debemos minimizar está compuesta por dos términos, a saber,
por una parte el coste energético anual CE y por otra la amortización anual de las
5.52
5. Implementación de un modelo lineal ...
tuberías CAT, esto es:
CT ( ptas/año )
CE
CA T
Kb Hb
a
at
A Dj Lj
(5.59)
j ∈S k
N
donde Hb es la altura de bombeo, Kb es el coeficiente de coste energético (coste
energético anual por metro de altura de bombeo) y at es el factor de amortización de las
tuberías.
La restricción de presión mínima para la serie de tuberías alimentada con altura de
cabecera incógnita, teniendo en cuenta que la altura piezométrica de cabecera es en este
caso H0 = z0 + Hb, se expresa como:
2
h f,j
j ∈S
K f j Lj qj Dj
j ∈S
N
k
Hb ≤ z0
5
H min,k
E
hf
(5.60)
N
k
donde z0 es la cota de aspiración de la estación de bombeo, y de este modo, la función
lagrangiana L asociada al problema se expresa como:
L
Kb Hb
a
A Dj Lj
at
λ
j ∈S
2
K fj L j q j D j
5
Hb
z0
E
H min,k
hf
(5.61)
j ∈S
N
k
N
k
La aplicación de la primera condición de óptimo para una línea i ∈ SNk (∂L/∂Di = 0)
da como resultado una expresión similar a la anterior (5.57), mientras que la segunda
condición de óptimo (∂L/∂Hb = 0) proporciona directamente el valor del
multiplicador λ:
∂L
(5.62)
Kb λ
0 → λ
Kb
∂ Hb
de modo que el diámetro económico para la línea i resulta:
Di
5 Kb K
1
a 5
fi q
at a A
2
i
1
a 5
(5.63)
La última condición de óptimo (∂L/∂λ = 0) implica, al igual que en el caso anterior,
que la pérdida de carga total en el serie de tuberías debe ser igual a la pérdida de carga
admisible, y a partir de esta condición es posible obtener el valor de la altura de bombeo
necesaria para conseguir la presión mínima en el nudo extremo de la serie:
a
Hb
Hmin , k
h
E
f
z0
K
a 5
5 Kb
at a A
5.53
5
a 5
fj
j ∈S
N
k
a
a 5
Lj q
2a
a 5
j
(5.64)
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.6.3. Dimensionado de una red ramificada mediante el criterio de la serie económica
Hasta el momento, tan sólo se han desarrollado las expresiones del diámetro más
económico mediante el método de la serie económica aplicado a una serie de tuberías.
Dejando de lado la extensión del método para el dimensionado de una red ramificada
completa que se estudió en el Capítulo 4, lo que se pretende en esta ocasión es proveer
un procedimiento sencillo y rápido en su ejecución que permita obtener una solución
hidráulicamente factible, aunque no se trate exactamente de la solución óptima desde el
punto de vista económico. A diferencia del procedimiento desarrollado en el Capítulo 4,
las expresiones que acabamos de establecer en el apartado anterior también están
basadas en la expresión de pérdidas de Darcy, pero tienen en cuenta la no uniformidad
de los valores del factor de fricción para las distintas tuberías del trayecto en el
planteamiento de la restricción de presión mínima.
Para la aplicación propuesta, las expresiones obtenidas para el diámetro más
económico en las tuberías de una serie son fundamentales, pero subyacen todavía varias
dificultades que hay que salvar, como por ejemplo, el orden en que se dimensionan los
distintos trayectos de tuberías de la red o la normalización de los diámetros teóricos.
El procedimiento general consistirá en dimensionar trayectos de tuberías
sucesivamente, haciendo uso en primer lugar de las expresiones del diámetro más
económico del apartado anterior, que proporcionan el valor del diámetro teórico a aplicar
en cada línea del trayecto; posteriormente se normaliza el diámetro de las tuberías del
trayecto, y en caso de necesidad, se modifica su valor hasta conseguir que las presiones
en los nudos del trayecto sean superiores al valor mínimo establecido como requisito de
diseño, para el estado de caudales circulantes que se haya definido.
Una vez se ha dimensionado completamente un trayecto, los nudos contenidos en él
poseerán una altura piezométrica conocida y constituirán la cabecera del resto de
trayectos que quedan por dimensionar.
El criterio para escoger el trayecto de tuberías a dimensionar consiste en calcular la
pendiente hidráulica disponible en los trayectos encabezados por nudos de altura
piezométrica conocida y terminados en nudos con una restricción de presión mínima;
el trayecto que presente el mínimo valor de la pendiente hidráulica disponible será el
trayecto crítico actual a dimensionar.
5.54
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.8. Elección del trayecto crítico.
La figura anterior representa una red ramificada que se desea dimensionar siguiendo
el método de la serie económica. La elección del primer trayecto crítico a dimensionar
(conjunto de líneas Sc entre 0 y c) se realiza según el criterio:
hf,adm (0→k)
N
j disp,c
min j disp,k
Lj
k
(5.65)
j ∈S k
N
siendo jdisp,k la pendiente hidráulica disponible en el trayecto Sk, igual al cociente entre
la pérdida de carga admisible en las tuberías por dimensionar (subconjunto SNk)
hNf,adm(0→k) = H0 - Hmin,k - hEf(0→k) y la suma de las longitudes Lj de tubería por
dimensionar.
Una vez se ha completado el dimensionado del trayecto Sc, el valor de la altura
piezométrica en los nudos a y b de la figura anterior resultará conocido para la situación
de diseño. La porción del sistema que resta por dimensionar se puede considerar como
un número de subredes alimentadas desde nudos con altura piezométrica conocida, tal
y como muestra la figura siguiente.
Para cada una de las subredes restantes se aplican los mismos principios utilizados
para el dimensionado del trayecto crítico inicial Sc.
5.55
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.9. Situación de la red de (5.8) al dimensionar el trayecto crítico.
El primer trayecto crítico seleccionado merece un tratamiento especial en el caso de
que la alimentación de la red se realice mediante una estación de bombeo cuya altura
de bombeo sea una incógnita del problema. En este caso, el dimensionado del trayecto
crítico incluye también la determinación de la altura de bombeo Hb óptima, y en
consecuencia, puesto que inicialmente se supone que su valor es desconocido, no puede
aplicarse el criterio de la pendiente hidráulica disponible para determinar el trayecto
crítico. En el siguiente apartado trataremos con más detalle este problema.
5.6.4. Estructura del subprograma de Predimensionado
Teniendo en cuenta todas las consideraciones examinadas en el apartado anterior,
veamos a continuación cómo se concreta la fase de Predimensionado de la red en curso
por aplicación del método de la serie económica.
Antes de entrar en detalle es importante recordar que la solución obtenida en el
Predimensionado constituye una solución completa, en el sentido de que proporciona los
diámetros comerciales de las líneas de la red, y la altura de bombeo en su caso, aunque
es susceptible de ser mejorada en cuanto a su coste final, lo que se conseguirá en la fase
de Optimización.
La Figura 5.10 presenta el proceso seguido en la fase de Predimensionado.
5.56
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.10. Estructura general del subprograma de Predimensionado.
5.57
5. Implementación de un modelo lineal ...
A grandes rasgos, la operación de este subprograma consiste en la realización de una
serie de cálculos repetitivos para los sucesivos trayectos críticos de la red, consistentes
en:
Elección del trayecto crítico en cada etapa de cálculo.
Obtención de los diámetros teóricos en las líneas del trayecto, por aplicación de
las expresiones de la serie económica.
Normalización de los diámetros obtenidos.
Comprobación del estado de presiones resultante y modificación, si resultase
necesaria, de los diámetros normalizados.
Una vez concluidos los cálculos referentes a los distintos trayectos, se obtienen las
alturas piezométricas y presiones dinámicas definitivas en todos los nudos de la red, y
se calcula el coste de la solución obtenida.
En el caso de que la altura de bombeo Hb sea una incógnita del problema, es
necesario realizar un cálculo singular para determinar su valor. En el apartado anterior
se ha hecho mención al problema que ello representa, puesto que en tal caso, la elección
del trayecto crítico no puede llevarse a cabo mediante el criterio de la mínima pendiente
hidráulica disponible.
Sin embargo, en la Introducción de Datos, el usuario habrá definido un valor de la
altura de bombeo probable, cuya validez ha sido comprobada en la fase de Tratamiento
de Datos. Utilizando este valor probable es posible determinar un trayecto crítico,
considerando que la altura de cabecera de la red H0 es un valor conocido es igual a:
H0
z0
Hb (probable)
(5.66)
Aplicando ahora el criterio de la mínima pendiente hidráulica disponible en base a
este valor de H0, se escoge el trayecto crítico y se calculan los diámetros teóricos en
dicho trayecto (subrutina Serie_econ_pcab) a partir de los cuales se obtiene la altura de
bombeo económica según la expresión (5.64) (subrutina Pcab). Si hay una variación
apreciable entre el valor de la altura de bombeo Hb probable y la calculada según (5.64),
será necesario recalcular las presiones hidrostáticas en los nudos de la red (subprograma
Pres_st) para asegurar una correcta selección de la presión de trabajo de las tuberías.
Una vez fijado el valor de la altura de bombeo Hb y recalculadas las presiones
estáticas, nos enfrentamos a un problema de dimensionado con altura de cabecera
conocida.
5.58
5. Implementación de un modelo lineal ...
El problema consta ahora de dos fases: por un lado hay que efectuar una serie de
operaciones repetitivas sobre cada uno de los trayectos, de manera que al concluir dichas
operaciones, el trayecto en cuestión quede dimensionado de forma definitiva. En una
segunda parte, se termina de concretar los resultados para la red completa (estado final
de presiones y coste de la solución).
Veamos a continuación, siguiendo la estructura definida en la Figura 5.10, las
operaciones seguidas para el dimensionado completo de cada trayecto:
Elección del trayecto crítico (subrutina Senda_critica)
Consiste en aplicar el criterio de la mínima pendiente hidráulica disponible expuesto
anteriormente para determinar cuál es el trayecto de tuberías que constituyen el trayecto
crítico actual. Los posibles trayectos se construyen desde los nudos que poseen una
restricción de presión mínima siguiendo el sentido aguas arriba hasta alcanzar un nudo
con altura piezométrica conocida (bien sea el nudo de cabecera o un nudo perteneciente
al uno de los trayectos dimensionados con anterioridad).
Determinación de la altura piezométrica mínima en los nudos del trayecto crítico con
ramificaciones (subrutina Hmin)
Mediante esta subrutina se asigna a cada nudo del trayecto crítico un valor de la
altura piezométrica Hmin suponiendo que en las líneas por dimensionar pertenecientes
al trayecto se presenta una pendiente hidráulica igual a la media disponible (esto es, se
considera pendiente hidráulica uniforme).
La Figura 5.11 presenta la forma que puede adoptar la línea de alturas piezométricas
en un trayecto cuando se considera la hipótesis de pendiente uniforme, cuando se
asignan diámetros teóricos a las líneas y cuando finalmente se adoptan los diámetros
normalizados.
Como se observa en la figura, existen nudos en los cuales, la altura piezométrica
definitiva obtenida tras el proceso de dimensionado puede ser inferior al valor Hmin
obtenido mediante la consideración de pendiente hidráulica uniforme, que es
precisamente el criterio considerado para especificar el trayecto crítico.
5.59
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.11. Líneas de alturas piezométricas (LAP) en el trayecto.
Por esta razón, una vez determinados los diámetros comerciales y calculada la altura
piezométrica definitiva en los nudos del trayecto, será necesario comprobar que dicha
altura es mayor o igual que el valor Hmin en aquellos nudos con ramificaciones, y que
por tanto dan origen a otros trayectos; en caso contrario podría resultar en tales nudos
una altura piezométrica insuficiente para dotar de presión a los trayectos restantes.
Cálculo de la presión de trabajo de las tuberías del trayecto (subrutina Selec_tim)
La aplicación del método de la serie económica requiere una curva de costes de
tubería (expresión 5.26), cuyos coeficientes dependen tanto del material de referencia
como de la presión de trabajo escogida. Tales coeficientes ya han sido calculados al
final de la etapa de Introducción de Datos, una vez seleccionados los materiales a
emplear en el dimensionado y sus respectivos rangos de utilización.
Los coeficientes A y a de la curva de costes que se emplean en la obtención del
diámetro de las tuberías del trayecto corresponden al primer material de los
seleccionados, y dentro de éste, se escoge la presión de trabajo normalizada inmediata
superior a la medida aritmética de las presiones hidrostáticas máxima y mínima que se
presentan en los nudos del trayecto. En el caso de que la máxima presión hidrostática
en el trayecto sea superior a la máxima presión de trabajo del material de referencia, se
escoge esta última presión de trabajo como referencia.
5.60
5. Implementación de un modelo lineal ...
Cálculo de los diámetros teóricos (subrutina Serie_econ)
Una vez se ha determinado el material y la presión de trabajo de referencia, estamos
en condiciones de aplicar finalmente la expresión (5.58) para obtener el diámetro más
económico de las tuberías del trayecto. La única peculiaridad de este proceso reside en
que se ha considerado la no uniformidad de los factores de fricción en las líneas, que
se calculan por aplicación de la fórmula de Colebrook-White, de modo que será
necesario realizar un cálculo iterativo hasta obtener los verdaderos valores del factor de
fricción.
Normalización de los diámetros (subrutina Norm_diam)
A partir de los diámetros teóricos obtenidos anteriormente, se asignan diámetros
comerciales normalizados a las líneas del trayecto. Los diámetros se escogen entre los
materiales seleccionados en la Introducción de Datos por un criterio de proximidad, esto
es, se elige el más próximo al diámetro teórico entre el infranormalizado y el
supranormalizado. Si existen diámetros posibles dentro de varios materiales, se escogerá
el más económico.
Comprobación de las velocidades de circulación (subrutina Velo_senda)
En el planteamiento del problema de la serie económica no intervienen directamente
las restricciones de velocidad, de modo que será necesario comprobar que tales
limitaciones se verifican para los diámetros normalizados escogidos.
En el caso de infringir la limitación de velocidad mínima en alguna de las tuberías,
simplemente se avisa al usuario del hecho, sin adoptar ninguna medida, puesto que la
reducción del diámetro correspondiente empeoraría el estado de presiones en los nudos
del trayecto.
Cuando por el contrario se incumple la limitación de velocidad máxima, se incrementa
el diámetro de la tubería correspondiente al inmediato superior, manteniendo el material
y la presión de trabajo. En el caso de que no exista esta posibilidad, porque no han sido
seleccionados mayores diámetros, se avisa al usuario de la circunstancia, y se retorna
al Menú de Tratamiento, para ampliar el rango de diámetros escogido.
5.61
5. Implementación de un modelo lineal ...
Determinación de las alturas piezométricas en el trayecto (subrutina Hpiez_senda)
Consiste simplemente en calcular las alturas piezométricas definitivas en los nudos
del trayecto después de todos los posibles cambios efectuados sobre los diámetros de las
tuberías.
Modificación de los diámetros del trayecto (subrutina Incre_diam)
La última comprobación en el trayecto actual concierne a las presiones en los nudos
del mismo. Siguiendo el sentido contrario a la circulación del agua desde el extremo
aguas abajo del trayecto, se comprueban dos circunstancias:
a) que la altura piezométrica definitiva en el nudo sea igual o superior a la altura
piezométrica mínima. En el caso de que el nudo no posea una restricción de
presión mínima, la altura piezométrica mínima considerada es igual a la cota
geométrica, de modo que un nudo no alcance presiones negativas.
b) que la altura piezométrica en el nudo sea igual o superior al valor Hmin en el caso
de que el nudo sea origen de nuevas ramificaciones (grado de conectividad
Gcon > 1).
En el caso de que alguna de las condiciones no se cumpla, se incrementará el
diámetro de la línea situada aguas arriba del nudo hasta verificarlas. Si de nuevo es
imposible el aumento de diámetro por no disponer de otros mayores, se avisa al usuario
y se retorna al Menú de Tratamiento, para ampliar el rango de diámetros.
Todas las tareas que acabamos de referir se aplican a los sucesivos trayectos que se
van definiendo en la aplicación del método de la serie económica. Cuando finalmente
se ha concluido el dimensionado de todas las líneas, tan sólo resta efectuar los cálculos
generales que afectan a la solución definitiva, esto es, el cálculo de la altura
piezométrica definitiva en todos los nudos de la red (subrutina Hpiezometrica), la
determinación de la presión dinámica en los nudos (subprograma Pdin) y el cálculo de
los costes de la solución final (subrutina Evalua_costes). Por último, simplemente
enfatizaremos que las condiciones de error que pueden presentarse en el subprograma
de Predimensionado están causadas por la ausencia de determinados diámetros entre los
materiales seleccionados.
5.62
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.7. OPTIMIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
5.7.1. Introducción
En el caso de que se den las condiciones adecuadas al plantear las restricciones de
diseño, la etapa de Predimensionado proporciona una solución factible en la cual las
líneas están configuradas con un diámetro comercial único. Una vez concluido el
predimensionado de la red, se presenta al usuario un conjunto de opciones contenidas
en el Menú de Predimensionado. Una de las opciones contenidas en el Menú permite
al usuario modificar a voluntad los diámetros obtenidos tras el Predimensionado; esta
acción puede repercutir sobre los cálculos posteriores, puesto que se ha previsto la
posibilidad de que los diámetros modificados por el usuario permanezcan invariables en
el proceso posterior de Optimización mediante PL.
Puede suceder que las modificaciones introducidas por el usuario acaben convirtiendo
una solución factible en otra que ya no lo es, en el caso de que las pérdidas de carga en
las líneas modificadas conduzcan a presiones en el sistema por debajo del valor mínimo
previsto. Antes de acometer la optimización, es fundamental comprobar la factibilidad
de la solución entrante, puesto que el cometido principal del Predimensionado es
precisamente proporcionar una solución factible que sea susceptible de ser mejorada por
aplicación del algoritmo SIMPLEX en su fase II.
Dejando de lado la trascendencia que pueda tener la modificación de los resultados
por parte del usuario, la opción "natural" que se escogerá finalmente en el Menú de
Predimensionado es precisamente la de Optimización mediante PL. La fase de
Optimización consta de varios procesos alguno de los cuales debe de ser repetido de
forma iterativa hasta conseguir que la solución óptima obtenida se ajuste a las hipótesis
de cálculo. La Figura 5.12 muestra de modo simplificado la estructura general del
proceso de Optimización.
El primer paso consiste en validar la solución inicial entrante en el proceso, que es
producto del Predimensionado y, posiblemente, de las modificaciones introducidas por
el usuario. Esta comprobación es fundamental, por cuanto que el problema de
optimización ha sido concebido considerando tan sólo la fase II de mejora de una
solución factible. Si la solución entrante no es factible, la optimización planteada pierde
5.63
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.12. Estructura general del proceso de Optimización mediante PL.
5.64
5. Implementación de un modelo lineal ...
completamente su sentido. En caso de que la solución inicial no sea factible, se avisa
al usuario y se retorna al Menú Principal, para poder corregir las anomalías.
De una forma resumida, la Optimización de la red se concreta en tres fases
diferenciadas. En primer lugar hay que seleccionar un conjunto de diámetros candidatos
para cada línea, en base a los cuales se definen las variables de decisión y se calculan
los coeficientes asociados al problema de PL, labor que realiza el subprograma
Sbpr_dican. Las condiciones de error en la selección de los diámetros candidatos
aparecen cuando no se encuentran diámetros válidos entre la gama definida por el
usuario, y si ello sucede, el programa advierte al usuario y retorna al Menú Principal.
A continuación hay que ensamblar el problema de PL mediante el cálculo de los
coeficientes de las restricciones de presión (pendiente hidráulica asociada a cada línea
y cada diámetro candidato), para finalmente resolver el problema de PL por aplicación
del algoritmo SIMPLEX en su fase II.
Estas dos últimas tareas están comprendidas en el programa Ens_vaci, que reclama
para su ejecución la máxima capacidad posible de memoria RAM, debido a las
dimensiones que puede alcanzar el planteamiento del problema de PL. Esta condición
determina dos características fundamentales del programa, a saber:
a) Para su ejecución, se libera previamente de la memoria el programa DIOPRAM,
preservando en memoria únicamente las variables del programa, de modo que el
programa Ens_vaci se ejecuta de modo autónomo y aprovecha toda la memoria
RAM restante para las variables del problema de PL.
b) La implementación del algoritmo SIMPLEX utiliza de un modo eficiente la
memoria disponible almacenando únicamente los coeficientes no nulos de la
matriz del problema, que habitualmente presenta al inicio del proceso una densidad
del 5÷10 %.
La ejecución del algoritmo SIMPLEX puede fallar cuando se produce un
desbordamiento de la memoria disponible para almacenar los coeficientes, lo que puede
suceder en la fase inicial de ensamblado o durante las operaciones del SIMPLEX, puesto
que la densidad de la matriz de coeficientes puede crecer durante el cálculo.
5.65
5. Implementación de un modelo lineal ...
Dependiendo de la solución obtenida, puede ser necesario repetir estas tres fases
iterativamente hasta que la solución resulte conforme a las hipótesis iniciales de cálculo.
Las circunstancias que obligan a iterar el cálculo son las siguientes:
a) Si la altura piezométrica de cabecera es modificada durante el proceso de
optimización, puede suceder que la presión de trabajo utilizada en las tuberías de
la solución final no sea la adecuada para las nuevas condiciones. Cuando ello
suceda será necesario recalcular las presiones hidrostáticas en el sistema, así como
los costes unitarios de las tuberías cuya presión de trabajo haya podido sufrir
modificaciones.
b) Cuando el diámetro resultante en una línea corresponde a uno de los extremos del
grupo de diámetros candidatos no será posible asegurar que el proceso de
optimización hubiese escogido tal diámetro de haber contado con más candidatos
posibles. En consecuencia, habrá que desplazar o ampliar el grupo de diámetros
candidatos para asegurar la libertad de elección en el algoritmo de optimización.
En cualquiera de los dos casos anteriores hay que volver a repetir el proceso a partir
de la selección de diámetros candidatos, pero considerando las nuevas condiciones
(altura de cabecera, presiones de trabajo y diámetros resultantes).
Cuando los diámetros resultantes en las líneas de la red están finalmente centrados
en el grupo de candidatos y la presión de trabajo de las tuberías resulte adecuada, se
considera concluido el proceso. Sólo resta pues calcular la presión dinámica resultante
en los nudos de la red y evaluar el coste de la solución final.
5.7.2. Selección de diámetros candidatos (Subprograma Sbpr_dican)
Para formular el modelo lineal de dimensionado es necesario seleccionar un número
de diámetros candidatos por cada línea. El primer problema que encontramos reside en
determinar el número más apropiado de diámetros candidatos, puesto que el número de
variables del problema de PL crece proporcionalmente con el número de candidatos
considerados; por otro lado, si es un número pequeño, será necesario calcular varios
problemas sucesivos de PL hasta poder asegurar que los diámetros finalmente
seleccionados son realmente los óptimos (esto es, si ha existido una libertad real de
escoger diámetros diferentes).
5.66
5. Implementación de un modelo lineal ...
Como ya se citó en el capítulo anterior, sabemos que en la solución definitiva, las
líneas estarán configuradas por un único diámetro o a lo sumo dos diámetros sucesivos
en tamaño (Fujiwara y Dey [11]), como consecuencia de la estructura de precios de las
tuberías comerciales.
Teniendo en cuenta la configuración de la solución definitiva, diversos autores se han
preguntado cuál sería el número idóneo de diámetros candidatos que habría que
considerar en cada línea. Por ejemplo, Bhave [5] proponía calcular un diámetro teórico
considerando una pendiente hidráulica uniforme en los trayectos críticos de la red, que
serviría como referencia para seleccionar únicamente dos diámetros candidatos por cada
línea.
Sin embargo, de este modo sólo sería posible asegurar que los diámetros
seleccionados para una línea son definitivos si ambos forman parte de la misma en la
solución final. Este hecho todavía se complica aún más si pensamos que el
desplazamiento de los diámetros candidatos en unas líneas puede conducir a que los
diámetros seleccionados como definitivos en otras líneas distintas, dejen de serlo tras un
nuevo proceso de optimización.
Ciertamente, el considerar sólo dos diámetros candidatos resta mucha flexibilidad al
proceso y obliga a realizar un gran número de iteraciones hasta la consecución de una
solución definitiva. El mismo autor, aunque no reconoce explícitamente este hecho, deja
abierta una cierta concesión al admitir que se pueden escoger hasta tres e incluso cuatro
diámetros candidatos por línea.
Otra posibilidad es la propuesta por Pleban y Amir [20], en cuyo programa de
dimensionado de redes ramificadas contempla la selección de tres diámetros candidatos
por línea. Para llevar a cabo tal selección los autores obtienen un diámetro teórico
estimativo para cada línea tomando como referencia una velocidad de circulación del
agua igual a 1'132 m/s. A partir del diámetro teórico se obtiene el diámetro normalizado
más próximo a este valor, que será el diámetro candidato central; posteriormente se
seleccionan los diámetros normalizados inmediato inferior y superior, que constituyen
los extremos del conjunto de candidatos en una línea.
Para la implementación del programa DIOPRAM se ha considerado la selección de
cuatro diámetros candidatos por línea, como un compromiso entre mantener un número
5.67
5. Implementación de un modelo lineal ...
moderado de variables utilizadas en la optimización y a la vez, lo suficientemente
grande como para no incurrir en excesivos cálculos iterativos. El diámetro de referencia
utilizado para seleccionar los candidatos será precisamente el diámetro comercial
obtenido en la etapa de Predimensionado.
Anteriormente se han citado dos condiciones que deberían cumplir los diámetros
candidatos: deben ser diámetros comerciales, de modo que la solución final pueda ser
llevada directamente a la práctica, y deben verificar las limitaciones de velocidad
máxima y mínima impuestas en los requisitos de diseño de la red.
Además de éstas, podemos añadir una tercera condición, que consiste en asegurar que
el diámetro seleccionado en el Predimensionado para cada línea forme parte del conjunto
de diámetros candidatos escogido inicialmente, como manera de asegurar la existencia
de una solución factible al problema de Programación Lineal. Una última condición que
deberían reunir los diámetros candidatos seleccionados es la de adyacencia, esto es, que
no existan entre los candidatos otros diámetros que sean susceptibles de ser
seleccionados.
En realidad la segunda condición referida a las limitaciones de velocidad queda en
el programa DIOPRAM como una decisión propia del usuario, en el sentido de que
puede decidir mantener estrictamente dichos límites para la selección de los diámetros
candidatos, o bien dejar completa libertad para la elección de los mismos, sin restricción
de velocidad alguna. Teniendo en cuenta estas condiciones, veamos los casos que
pueden presentarse en función del número de candidatos. Considerando dos candidatos
por línea, como propone Bhave, la optimización puede conducir a que la línea quede
configurada por uno de los dos diámetros extremos del conjunto de candidatos, o bien,
que esté compuesta de ambos diámetros.
Suponiendo que todos los casos se den con igual probabilidad, en los dos primeros
casos será necesario desplazar el grupo de candidatos para poder asegurar una auténtica
libertad de elección del proceso de optimización, lo que representa que aproximadamente
en 2/3 ≡ 66'7 % de los casos será necesario desplazar el grupo de candidatos y volver
a establecer el conjunto de candidatos.
En general, si disponemos de ND diámetros candidatos por línea, se pueden presentar
ND casos en los que resulta un diámetro único final y ND-1 casos con dos diámetros
5.68
5. Implementación de un modelo lineal ...
seleccionados (ya que deben ser contiguos) y solamente será necesario desplazar el
grupo de candidatos cuando resulte un diámetro único en cada uno de los extremos de
la serie (2 casos). De esta forma podemos calcular el porcentaje de casos en los que será
necesario el desplazamiento de los candidatos, como indica la siguiente tabla:
Número de
diámetros
candidatos ND
Casos que requieren
desplazar el grupo de
candidatos 2/(2·ND-1)
2
3
2/3 ≡ 66'7 %
4
5
2/7 ≡ 28'7 %
6
2/11 ≡ 18'2 %
2/5 ≡ 40 %
2/9 ≡ 22'2 %
Como puede comprobarse, el porcentaje de casos que requieren un desplazamiento
del grupo de candidatos se reduce drásticamente de emplear ND = 2 a considerar
ND = 4, aunque la mejora experimentada al pasar a ND = 5 apenas es apreciable. Por
otra parte, los límites de velocidad considerados habitualmente (0'5÷2'0 m/s) permiten
la utilización de cuatro, y en muy pocos casos, cinco diámetros distintos. Por todas estas
razones se ha optado finalmente por adoptar un número de diámetros candidatos
ND = 4, igual para todas las líneas. La Figura 5.13 ilustra los casos posibles que pueden
acontecer utilizando cuatro diámetros candidatos por línea.
La selección de los cuatro diámetros candidatos toma como referencia el diámetro
obtenido en el Predimensionado, ocupando éste la tercera posición en una lista de cuatro
candidatos ordenados por tamaño ascendente. A partir de este diámetro, se escogen dos
diámetros consecutivos en sentido decreciente, que ocuparán las posiciones 1ª y 2ª, y
uno consecutivo de mayor tamaño en la posición 4ª. Cuando los intervalos de trabajo
escogidos por el usuario para los distintos materiales no permiten seleccionar el resto
de diámetros candidatos, se presenta una condición de error, que reconduce el programa
hacia el Menú Principal, desde el cual se puede efectuar las correcciones necesarias.
Hay ocasiones en las que no interesa seleccionar diámetros candidatos diferentes,
como por ejemplo, cuando una línea cuenta ya con tubería instalada, o cuando el usuario
pretende forzar el mantenimiento del diámetro obtenido en el Predimensionado. En tales
casos, se asignan los cuatro diámetros candidatos a un mismo valor, esto es, el diámetro
de la tubería instalada previamente o el diámetro forzado por el usuario respectivamente,
de modo que las operaciones realizadas por el algoritmo SIMPLEX no puedan alterar
el diámetro seleccionado en dichas líneas.
5.69
5. Implementación de un modelo lineal ...
Conjunto de diámetros candidatos para la línea i (expresados en mm.)
125
150
175
200
250
300
350
400
450
500
a) La solución final queda centrada en la serie:
200 250 300 350
Configuraciones
>
válidas
200 250 300 350
200 250 300 350
200 250 300 350
200 250 300 350
200 250 300 350
b) La solución queda en el extremo izquierdo de la serie:
200 250 300 350
Solución
>
200 250 300 350
Desplazar
>
150 175 200 250 300
350
c) La solución queda en el extremo derecho de la serie:
200 250 300 350
Solución>
200 250 300 350
Desplazar>
200 250 300 350 400
Figura 5.13. Selección de cuatro diámetros candidatos por línea.
Una vez definido el grupo de diámetros candidatos inicial, el usuario debe decidir si
se aplican las restricciones de velocidad o no. En caso afirmativo, será necesario
comprobar que todos los candidatos se ajustan a tales limitaciones, tan sólo en las líneas
que admiten modificaciones en el diámetro, y si el usuario decide no aplicar las
restricciones de velocidad, se prosigue con el cálculo de la pendiente hidráulica asociada
a cada línea y cada diámetro candidato.
La restricción de velocidad máxima se comprueba sobre el primer diámetro candidato,
de modo que si no la verificase, se produce un desplazamiento de una posición hacia la
izquierda, de modo que el 2º candidato pasa a ocupar la 1ª posición y así sucesivamente.
Esta operación se repite hasta que el primer candidato verifique la restricción de
velocidad máxima. La comprobación de la velocidad mínima se concreta sobre el cuarto
candidato (el de mayor tamaño) y en el caso de que no la verifique, se asigna como
cuarto candidato el mismo diámetro que el tercero.
Finalmente se calcula el valor de la pendiente hidráulica ji,j asociada a cada línea i y
cada diámetro candidato j, mediante la expresión de Darcy.
5.70
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.7.3. Ensamblado y resolución del problema de PL (Subprograma Ens_vaci)
Una vez seleccionados los diámetros candidatos a formar parte de cada línea de la
red, podemos formular el problema de dimensionado óptimo como un problema de PL,
que cuenta además con una solución factible conocida que ha sido obtenida en el
Predimensionado.
Si la red está alimentada con una altura piezométrica conocida en cabecera, el
problema se formula según:
N
minimizar
CT
ci,j Li,j
i 1
sujeto a:
4
a)
Li,j
∀i
Li
(5.67)
j 1
4
b)
i ∈Sk j 1
ji,j Li,j ≤ H0
∀k seleccionado
Hmin , k
donde CT es el coste total de la inversión en tuberías, ci,j es el coste unitario del diámetro
candidato Dji y Li,j es la longitud parcial de dicho diámetro en la línea i, de longitud total
Li. Las restricciones geométricas del tipo a) se formulan para todas las líneas de la red,
e indican que la suma de longitudes de los tramos en una línea debe ser igual a la
longitud total de la misma. Las restricciones de presión mínima, del tipo b) se formulan
únicamente para los trayectos Sk formados por las líneas que unen el nudo de cabecera
con los nudos k en los que se haya establecido un valor de la presión mínima en la
entrada de datos; el término Hmin,k indica precisamente la altura piezométrica mínima que
debe presentarse en el nudo k, mientras que H0 es la altura piezométrica disponible en
cabecera. La pendiente hidráulica ji,j asociada a cada línea i y cada diámetro candidato
Dji se calcula mediante la fórmula de Darcy y teniendo en cuenta los factores mayorantes
introducidos en el programa, esto es:
j
ji,j
8 fi 1
hfm
π g D
2
j
i
5
2
qi 1
∆ Li
(5.68)
Li
donde el factor (1+hfm) representa un coeficiente mayorante de pérdidas para toda la
5.71
5. Implementación de un modelo lineal ...
red y ∆Li es una longitud adicional para considerar pérdidas menores en la línea i; el
factor de fricción fji se calcula mediante la expresión de Colebrook-White, supuesto un
régimen de funcionamiento turbulento.
Si el sistema cuenta con una estación de bombeo en el nudo de alimentación, cuya
altura de bombeo Hb interviene en el dimensionado económico, el problema se formula
como:
N
minimizar
CT
CE
CAT
Kb Hb
ci,j Li,j
at
i 1
sujeto a:
4
a)
Li,j
∀i
Li
(5.69)
j 1
4
b)
i ∈Sk j 1
ji,j Li,j
Hb ≤ z0
Hmin , k
∀k seleccionado
En este caso, el coste que se minimiza corresponde al coste total anual CT compuesto
por el coste energético anual CE = Kb·Hb y la amortización anual en tuberías CAT, que
se obtendrá multiplicando el coste total de las mismas por el factor de amortización at.
Las restricciones geométricas son totalmente idénticas al caso anterior, mientras que las
restricciones de presión mínima, aunque también son similares, se reescriben separando
los dos términos de la altura piezométrica en cabecera H0, por un lado la cota de
aspiración de la estación de bombeo z0 y por otro, la altura de bombeo Hb, siendo esta
última una variable de decisión adicional del problema de PL, además de las longitudes
de los tramos Li,j.
Si existen N líneas en la red y Q nudos con presión mínima definida, el problema
posee hasta el momento 4·N variables de decisión (+1, si incluimos la altura de bombeo
Hb) y un total de N+Q restricciones (Q≤N, aunque en general Q es bastante menor que
N); de ellas, las N restricciones geométricas son de igualdad, y las Q restricciones de
presión mínima son de desigualdad.
El algoritmo SIMPLEX es un procedimiento algebraico para la resolución de
problemas de PL, y el primer paso para su aplicación consiste en introducir variables
5.72
5. Implementación de un modelo lineal ...
de holgura en las restricciones de desigualdad para convertirlas en igualdades o
ecuaciones. Las variables de holgura, al igual que el resto de las variables, deben ser no
negativas, y representan la cantidad no utilizada de un recurso determinado por parte de
las variables originales del problema. Puesto que las variables de holgura intervienen en
las restricciones de presión mínima, su significado es claro: representan las holguras de
presión hk en los nudos k con presión mínima determinada, o lo que es lo mismo, la
diferencia entre la altura piezométrica disponible en tales nudos respecto del valor
mínimo que se exige, esto es:
hk
Hk
(5.70)
Hmin,k
Introduciendo las variables de holgura, las restricciones de presión mínima de (5.67)
quedan como:
4
i ∈S k j 1
ji,j Li,j
hk
H0
∀k seleccionado
Hmin , k
(5.71)
y en el caso de intervenir la altura de bombeo Hb, las restricciones correspondientes
quedarán como:
4
i ∈S k j 1
ji,j Li,j
Hb
hk
Hmin , k
z0
∀k seleccionado
(5.72)
Las variables de holgura deberán añadirse a las 4·N variables antes referidas, de modo
que el total de variables del problema pasará a ser 4·N+Q (+1 si incluimos la altura de
bombeo Hb).
Todo problema de PL posee una interpretación geométrica, puesto que el espacio de
soluciones posibles de un problema lineal con n variables de decisión es un poliedro
n-dimensional, acotado por las restricciones lineales del problema, que pueden ser
representadas como hiperplanos. La función objetivo, igualmente lineal, representa una
familia de hiperplanos paralelos, cada uno de ellos asociado a un valor diferente.
Consecuentemente, la solución óptima, si existe, se localiza en uno de los vértices del
poliedro. A este respecto, los vértices del espacio de soluciones poseen las siguientes
propiedades:
1) Si existe una única solución óptima, ésta debe ser un vértice del poliedro.
2) Si existen múltiples soluciones óptimas, al menos dos de ellas son vértices
adyacentes.
5.73
5. Implementación de un modelo lineal ...
3) El número de vértices que representan soluciones factibles al problema de PL es
finito.
4) Si un vértice que represente una solución factible no posee vértices adyacentes que
representen una mejora de la función objetivo, entonces no existe ningún vértice
que mejore el valor de la función objetivo y la solución actual es la óptima.
Considerando que el problema de PL n-dimensional cuenta con m restricciones, se
denomina solución básica a una solución compuesta por m variables no negativas, y n-m
variables nulas:
(5.73)
x1 , . . . , xm ≥ 0 ; xm 1 , . . . , xn
0
donde xi son las variables del problema. Una solución es factible o posible cuando
verifica las restricciones del problema. Cada vértice del poliedro que representa el
espacio de soluciones posibles corresponde precisamente a una solución básica posible.
El algoritmo SIMPLEX aprovecha las propiedades del espacio de soluciones posibles,
considerando una solución básica posible inicial, para encontrar a continuación otra
solución básica posible correspondiente a un vértice adyacente que mejore el valor de
la función objetivo. La operación de desplazamiento entre un vértice y otro adyacente
implica anular una de las variables de la solución básica inicial e incorporar en su lugar
una variable no básica.
Como se desprende del comentario anterior, suponiendo que contamos con una
solución básica factible inicial, la aplicación del algoritmo SIMPLEX en la fase II
consiste en un procedimiento iterativo, finito en general, que comprende dos tipos de
cálculo en cada iteración: en primer lugar, se resuelve el sistema de ecuaciones formado
por las restricciones para las variables básicas, y en segundo lugar, se analiza la
influencia de las variables no básicas para decidir cuál de ellas debe entrar en la base
produciendo la máxima mejora posible en la función objetivo.
La forma estándar de un problema de minimización con n variables y m restricciones
sería:
n
a i j xj
n
cj xj sujeto a:
min z
bi
i
1,...,m
j 1
j 1
xj ≥ 0
j
5.74
1,...,n
(m < n)
(5.74)
5. Implementación de un modelo lineal ...
Si expresamos las restricciones en forma matricial se tendrá A ·
x=
b, donde A es una
matriz de coeficientes nxm. En ocasiones la matriz A se representa separando la parte
básica B de la parte no básica N, de modo que el problema sería:
minimizar z
sujeto a :
c
T
T
x
cB c N
xB xN
(5.75)
T
B N
xB xN
b
x≥0
siendo c el vector columna de coeficientes de coste y 
b el vector de términos
independientes de las restricciones. Los subíndices B y N se utilizan para distinguir las
partes básica y no básica respectivamente, de los distintos elementos del problema.
El primer procedimiento implicado en una iteración del algoritmo SIMPLEX consiste
en obtener el valor de las variables básicas de la solución actual, según:
xB
B
1
b
B
1
0 → xB
N xN pero xN
B
1
b
(5.76)
xN
(5.77)
Por otra parte, la función objetivo adopta un valor:
Z
T
T
cB x B
T
cB B
c N xN
1
b
T
T
cB B
cN
1
N
Para la solución básica inicial, puesto que 
xN = 
0, el valor de la f. objetivo es:
Z
T
cB x B
T
cB B
1
(5.78)
b
El término de la función objetivo que multiplica a 
xN:
T
cN
T
cB B
1
N
ĉm 1 , . . . , ĉn
(5.79)
ĉN
representa el vector de costes reducidos (ĉm+1,...,ĉn) para las variables no básicas.
Para transformar la matriz base en cada iteración del algoritmo SIMPLEX, la variable
no básica entrante debe escogerse en función de la reducción que puede aportar al valor
de la función objetivo. Dantzig propone seleccionar la variable no básica entrante como
aquella cuyo coeficiente de coste reducido sea el más negativo:
Var. no básica entrante xe , siendo ĉe
min
j m 1, . . , n
ĉj / ĉj < 0
(5.80)
Naturalmente, ante la entrada de la nueva variable xe, los valores de las variables
5.75
5. Implementación de un modelo lineal ...
básicas actuales se ven modificados según:
B
1
N
e
1
B
xB
B
b
1
N
e
xe
(5.81)
vector columna e ésima de B
1
N
donde el vector 
xB' representa el nuevo valor de las variables para la base actual.
Las condiciones que debe cumplir la transformación es que ninguna variable alcance
un valor negativo y que la variable básica saliente tome un valor nulo. Ante la entrada
de la variable xe, la variable básica xj tomará un valor x'j igual a:
B
xj
1
b
B
j
B
1
B
1
b
N
1
j,e
xe ≥ 0
∀ j 1, . . . ,m
xe ≥ 0
: elemento j ésimo del vector B
1
b
: elemento (j , e) de la matriz B
1
N
j
j,e
N
(5.82)
y a partir de la desigualdad anterior obtenemos que:
0 ≤ xe ≤
B
B
1
1
b
N
∀j /
j
B
1
N
j,e
(5.83)
> 0
j,e
de modo que la variable entrante xe adoptará el valor:
xe
B
B
1
1
b
N
s
min
j 1,...,m
s,e
B
B
1
1
b
N
j
B
1
N
j,e
> 0
(5.84)
j,e
El subíndice s corresponderá a la variable saliente de la base xs, la cual tomará un
valor nulo (x's = 0).
Aunque el coeficiente de coste reducido ĉe de la variable entrante sea el más negativo,
la influencia de la entrada de la variable xe en la base dependerá del valor final que
pueda adoptar ésta. Por tanto, el criterio del coeficiente de coste reducido más negativo
propuesto por Dantzig es arbitrario, aunque se comprueba en la práctica los buenos
resultados que proporciona.
Una vez introducida la nueva variable xe en la base y extraída la variable xs, se repite
el mismo procedimiento descrito, el cual finalizará cuando no sea posible encontrar
ninguna variable no básica que pueda mejorar el valor de la función objetivo.
5.76
5. Implementación de un modelo lineal ...
Las operaciones referidas han consistido fundamentalmente en resolver un sistema de
ecuaciones lineales para determinar el valor de las variables básicas, considerando que
las variables no básicas son nulas, para posteriormente analizar la influencia de las
variables no básicas en la función objetivo. Tales operaciones tienen una interpretación
muy sencilla cuando se representa el problema de optimización en forma tabular, tal y
como indica la figura de la siguiente página.
Los pasos a seguir consistirían en:
1) Formulación del problema incluyendo las variables de holgura.
2) Eliminación de Gauss-Jordan sobre las variables de la solución básica factible
inicial.
3) Si todos los coeficientes de coste reducidos ĉj (j>m) de las variables no básicas
son no negativos, entonces la solución básica actual es la solución óptima, puesto
que no es posible mejorar el valor de la función objetivo al incorporar una nueva
variable en la solución. En tal caso, el procedimiento ha terminado.
4) Si existe algún ĉj = 0 (j>m) y ninguno negativo, significa que la variable no básica
correspondiente puede ser incorporada a la solución sin incrementar el valor de la
función objetivo. En tal caso existen infinitas soluciones óptimas además de la
actual y el procedimiento ha finalizado.
5) Mientras existan ĉj < 0 (j>m) es posible reducir el valor de la función objetivo. La
variable no básica xe que pasará a formar parte de la solución será aquella que
verifique la condición:
ĉe
min ĉj / ĉj < 0
(5.85)
j>m
6) Si todos los coeficientes reducidos de la columna e son âi,e ≤ 0 (∀i=1,..,m),
significa que la variable entrante xe puede tomar un valor tan grande como se
quiera y en consecuencia, la función objetivo no estará acotada, pudiendo reducir
infinitamente su valor. Esta circunstancia no tiene demasiado sentido cuando se
formula un modelo de dimensionado económico, y por ello cabe pensar que si se
presenta, significa que tal modelo ha sido incorrectamente formulado.
5.77
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.14. Forma tabular estándar y canónica del problema de optimización.
5.78
5. Implementación de un modelo lineal ...
7) El máximo valor que puede llegar a adoptar la variable entrante xe estará
condicionado por la restricción de no negatividad de las variables básicas actuales,
y por tanto:
xe ( máximo )
b̂s
min
âs , e
i 1, . . , m
b̂i
/ âi , e > 0
âi , e
(5.86)
El índice s identifica a la variable básica xs que se anula y por tanto, sale de la
base.
8) Permutar las columnas s y e, y repetir el proceso comenzando con la eliminación
de Gauss-Jordan del paso 2) para obtener la nueva solución básica.
Si bien el algoritmo SIMPLEX fue concebido inicialmente para aplicar el método de
reducción de Gauss-Jordan para la resolución del sistema de ecuaciones lineales en 
xB ,
en realidad no resulta necesario diagonalizar la matriz básica B para obtener los mismos
resultados.
Para resolver el sistema de ecuaciones en 
xB, es suficiente con transformar la matriz
básica B en una matriz triangular superior mediante el método de eliminación de Gauss.
Como es sabido, una matriz cuadrada A de orden m puede descomponerse como:
(5.87)
A L D U
donde L es una matriz triangular inferior de orden m, con los elementos de la diagonal
de valor unidad, D es una matriz diagonal de orden m y U es una matriz triangular
superior de orden m, con los elementos de la diagonal de valor unidad. Este tipo de
descomposición es posible siempre que se verifique la condición de que las m
submatrices diagonales de orden k (1≤k≤m) sean invertibles; en tal caso, la
descomposición es además única. Si no se cumple la condición, se pueden permutar las
filas de la matriz A hasta conseguir que sea satisfecha. Así, puede afirmarse que una
matriz cuadrada no singular puede factorizarse como un producto L·D·U (Ciarlet [8]).
Considerando la descomposición LDU de la matriz básica B, el sistema de ecuaciones
en 
xB que debemos resolver es:
B xB
L D U xB
b
(5.88)
D
b
(5.89)
que puede ser reescrito en la forma:
U xB
1
L
5.79
1
b
5. Implementación de un modelo lineal ...
Si se incluyen las variables no básicas 
xB, según (5.76) tendremos:
U xB
D
1
L
1
D
b
1
L
1
N xN
D
1
L
1
b
N xN
(5.90)
donde la matriz (D-1·L-1·N) = N* resultará de aplicar el método de eliminación de Gauss
sobre la matriz no básica N.
De igual modo, se utiliza la matriz triangular U resultante para eliminar los
coeficientes de coste de las variables básicas de la función objetivo y obtener los
coeficientes de coste reducidos de las variables no básicas.
La siguiente figura muestra la forma tabular del problema de PL cuando se aplica la
triangularización de la matriz base en lugar de la diagonalización:
Figura 5.15. Forma tabular del problema al triangularizar la matriz base.
El valor de la función objetivo resulta en este caso:
Z
T
cB x B
T
T
cB B
c N xN
c
T
B
B
1
b
c
1
T
N
T
b
c
T
cB B
cN
T
B
U
1
N
1
N
xN
(5.91)
xN
donde [c NT - c BT·U-1·N*] es el vector de coeficientes de coste reducidos (ĉm+1,...,ĉn).
5.80
5. Implementación de un modelo lineal ...
Del mismo modo que cuando se procede mediante la diagonalización, la variable no
básica xe que entra a formar parte de la base será la que posea el coeficiente de coste
reducido ĉe con un valor más negativo (condición expresada en 5.109).
Una vez se ha determinado la variable entrante xe, la selección de la variable que
abandona la base xs estará sujeta a dos condiciones: la variable saliente xs adopta el
valor nulo al entrar xe en la base y ninguna de las variables básicas que permanecen
debe adoptar un valor negativo, de modo que:
xs
→
variable saliente xs
xi
min
âs , e
â i , e
i 1, . . , m
/ â i , e > 0
(5.92)
representando (xs) el valor que adopta la variable saliente en la solución actual.
En el proceso de resolución por diagonalización, el valor actual de las variables
básicas estaba dado por los términos independientes reducidos b̂i, mientras que al
triangularizar la matriz base, no podemos utilizar los valores reducidos b*i para obtener
la variable básica saliente. Por esta razón resulta necesario calcular el valor actual de las
variables básicas, 
xB = (x1,...,xm) que se obtiene a partir del sistema de la Figura 5.15,
con la matriz básica triangularizada, según:
xm
bm ; xm
1
bm
1
âm
1,m
xm
m
xi
bi
(5.93)
m
âi,k xk
x1
b1
k i 1
â1,k xk
k 2
de modo que el valor de la variable básica saliente (xs) resulta:
m
xs
bs
â s , k
xk
(5.94)
k s 1
Para continuar con las sucesivas iteraciones del algoritmo SIMPLEX hay que
permutar las columnas de coeficientes correspondientes a la variable básica saliente xs
y a la variable no básica entrante xe; a continuación será necesario restaurar la forma
triangular superior de la nueva matriz básica.
La siguiente figura muestra el aspecto de la matriz de coeficientes cuando se
permutan las columnas e y s.
5.81
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.16. Intercambio de columnas en la matriz de coeficientes.
El intercambio de las columnas e y s implica la aparición de coeficientes no nulos en
la matriz básica por debajo de la diagonal principal, situados en la columna de la
variable entrante, que deben ser anulados por eliminación de Gauss. Sin embargo, el
proceso de eliminación va a generar otros coeficientes no nulos por debajo de la
diagonal principal, situados a la derecha de la columna modificada (columna e), que
deberán ser a su vez eliminados.
Si en lugar de intercambiar las columnas e y s situamos la columna entrante e a la
derecha de la matriz básica y desplazamos las columnas previas una posición, la matriz
de coeficientes presentará el siguiente aspecto:
Figura 5.17. Reordenación de las columnas de la matriz básica.
Con esta modificación se consigue que todos los nuevos elementos no nulos que han
5.82
5. Implementación de un modelo lineal ...
sido introducidos en la matriz básica sean elementos subdiagonales, de modo que su
eliminación supone únicamente una operación de fila elemental por cada coeficiente no
nulo subdiagonal. Esta técnica, que se debe a Bartels y Golub [2], disminuye
considerablemente el número de operaciones necesarias para restituir la forma triangular
de la matriz básica.
El desplazamiento de las columnas de la matriz de coeficientes puede suponer la
aparición de valores nulos situados en la diagonal de la matriz básica, y que por tanto,
no podrán ser utilizados como pivotes en las sucesivas operaciones de eliminación. Para
soslayar este problema se utiliza como pivote el elemento subdiagonal correspondiente
(siempre que no sea también nulo), tras permutar su fila con la anterior para ubicar el
nuevo pivote sobre la diagonal.
La permutación de las columnas puede realizarse de una manera efectiva, cambiando
las posiciones de memoria de los valores de los coeficientes o bien, simplemente
utilizando un vector de correspondencia de direccionamiento indirecto que almacene el
índice de las columnas en su ordenación actual, tal y como muestra la siguiente figura.
Figura 5.18. Direccionamiento indirecto de las columnas de la matriz de coeficientes.
Esta modalidad de almacenamiento de la información resulta más eficiente en tiempo
de cálculo, puesto que evita la reordenación de toda la matriz de coeficientes en cada
iteración.
Forrest y Tomlin [10] propusieron una mejora sobre la técnica de Bartels y Golub,
que si bien no reduce el número de operaciones elementales realizadas, consigue
5.83
5. Implementación de un modelo lineal ...
mantener sensiblemente constante la densidad de coeficientes no nulos de la matriz
básica. La técnica de Forrest y Tomlin consiste en trasladar la fila del mismo orden de
la columna saliente a la última posición y desplazar el resto de las filas una posición
hacia arriba, obteniéndose la siguiente configuración:
Figura 5.19. Transformación propuesta por Forrest y Tomlin.
Con la transformación propuesta por Forrest y Tomlin, la matriz básica resulta
triangular superior, a excepción de la última fila, que contará con elementos no nulos
a partir de la posición de la columna saliente.
La permutación de las filas de la matriz de coeficientes se realiza, al igual que cuando
se permutan columnas, utilizando un vector de direccionamiento indirecto, lo cual hace
innecesario la reestructuración de toda la matriz de coeficientes.
Como ya se ha comentado, la posible ventaja aportada por la técnica de Forrest y
Tomlin frente a la Bartels y Golub reside en "evitar" el incremento de coeficientes no
nulos en la matriz básica, aunque el número de operaciones de fila elementales es el
mismo en ambos casos. Sin embargo, los resultados experimentales obtenidos por
Tomlin [23] demuestran que el incremento de coeficientes no nulos en la matriz básica
cuando se utiliza la técnica de Bartels y Golub es muy pequeño, de una magnitud
comparable al que se obtiene al utilizar la técnica de Forrest y Tomlin. Por otra parte,
la técnica de Forrest y Tomlin tiene el inconveniente de que puede provocar errores
numéricos al adoptar algún pivote un valor excesivamente pequeño.
En la primera fase de desarrollo del modelo fueron ensayadas ambas técnicas de
eliminación, al objeto de poner de manifiesto sus respectivas ventajas e inconvenientes.
5.84
5. Implementación de un modelo lineal ...
Los resultados obtenidos pusieron de manifiesto la superioridad de la técnica de
Bartels y Golub en este tipo de problema concreto, tanto por el tiempo de cálculo como
en cuanto a la densidad de coeficientes no nulos de la matriz básica (Martínez et al.
[18]), y por esta razón, la implementación definitiva del método de eliminación está
basada en la citada técnica.
El empleo de técnicas de eliminación para triangularizar la matriz básica implica una
reducción sustancial del número de operaciones elementales en cada iteración del
algoritmo SIMPLEX y consecuentemente, una reducción del tiempo de cálculo de la
solución óptima. En concreto, el número de operaciones aritméticas necesarias para
resolver el sistema de ecuaciones en 
xB mediante la triangularización de la matriz básica
B por eliminación gaussiana es del orden de 2/3 de las que se requieren al diagonalizar
dicha matriz (Martínez [17]). En el caso de las sucesivas iteraciones del algoritmo
SIMPLEX, la restauración de la forma triangular superior de la matriz básica utilizando
la técnica de Bartels y Golub cuando se introduce una nueva variable en la base precisa
en promedio la mitad de operaciones que en el caso de la actualización por
diagonalización.
Otra característica primordial del problema que nos ocupa es la gran dispersión de la
matriz de coeficientes. La densidad de la matriz de coeficientes en el inicio del problema
se sitúa normalmente en torno a un valor del 5 % (se entiende por densidad ρ de la
matriz al cociente entre el número de elementos no nulos y el número de elementos
totales) y no suele superar el 15 % tras la última iteración del algoritmo SIMPLEX.
Por esta razón y al objeto de aprovechar al máximo la memoria disponible en el
ordenador se ha propuesto el almacenamiento de la matriz de coeficientes en forma
compactada, conservando únicamente los coeficientes no nulos.
La dificultad básica que aparece al utilizar un esquema de almacenamiento
compactado consiste en localizar la posición exacta de un coeficiente dado, así como la
posibilidad de eliminar y añadir coeficientes. Estas necesidades implican un coste
adicional de información almacenada en memoria RAM que hay que tomar en
consideración, y por esta razón el almacenamiento compactado resulta recomendable
solamente cuando la densidad de la matriz es relativamente baja (menor de un 25 %).
5.85
5. Implementación de un modelo lineal ...
Para estimar la densidad inicial ρ0 de la matriz de coeficientes de nuestro problema,
utilizaremos los siguientes parámetros:
N:
Q:
α:
P:
Número de líneas de la red.
Número de nudos con restricción de presión mínima.
Cociente Q/N entre restricciones de presión mínima y líneas de la red (0<α≤1).
Número promedio de líneas contenidas en los trayectos Sk definidos entre la
cabecera de la red y los nudos con restricción de presión mínima.
β: Cociente P/N entre el número promedio de líneas en los trayecto y el número
total de líneas (0<β≤1).
Por fijar ideas, vamos a suponer que la altura piezométrica en el nudo de alimentación
es conocida y por tanto, no interviene como variable del problema. Considerando cuatro
diámetros candidatos por cada línea, el número de variables del tipo Li,j será 4·N; el
planteamiento de Q restricciones de presión mínima (de desigualdad) implica la
aparición de Q variables de holgura hk, de modo que el número total de variables del
problema será 4·N+Q, o bien, utilizando el parámetro α, el número de variables será
(4+α)N.
En cuanto a restricciones, el problema cuenta con N restricciones de tipo geométrico
y Q restricciones de presión mínima, esto es, un total de N+Q restricciones, o si se
prefiere (1+α)N restricciones.
El número total de coeficientes de la matriz será (4+α)(1+α)N2 aunque una gran parte
de ellos son nulos. Concretamente, las restricciones geométricas cuentan solamente con
4·N coeficientes no nulos (cuatro coeficientes correspondientes a cada línea en cuestión
iguales a la unidad), mientras que las restricciones de presión mínima cuentan con
(4·P+1)Q = (4·β·N+1)αN coeficientes no nulos, contando con las variables de holgura.
Así pues, el valor de la densidad de la matriz inicial de coeficientes será:
ρ0
4N
(4 β N 1) α N
2
N (1 α) (4 α)
1
N (1 α)
(1
4αβ
α) (4
α)
(5.95)
y si el número de líneas es elevado, podemos considerar la densidad límite ρ*0:
lim ρ 0
N →∞
ρ0
(1
4αβ
α) (4
α)
(5.96)
La Figura 5.20 representa gráficamente la variación de ρ*0 y como podemos
5.86
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.20. Densidad ρ*0 de la matriz de coeficientes en función de α y β.
comprobar, el máximo valor que puede llegar a adoptar la densidad ρ*0 es del 40 % en
el caso de que α=1 y β=1, pero no existe ninguna disposición física de las líneas de una
red ramificada que corresponda a tales valores. En la práctica es habitual encontrar que,
como citaba Labye [16], el número de restricciones de presión sea del orden de N/3 y
por tanto α=0'33. En cuanto al número promedio de líneas en los trayectos Sk podemos
considerar un valor de N/5, o lo que es lo mismo β=0'2 y con estos valores obtenemos
una densidad ρ*0=0'0462 (4'62 %). La densidad real ρ0 es ligeramente superior a ρ*0 en
una magnitud de 1/N(1+α), dependiendo del número de líneas N; así por ejemplo, en
una red con N=50 la densidad real es 6'12 %, con N=100 es 5'37 % y con N=250 es
4'92 %.
Es interesante analizar la estructura de la matriz de coeficientes en el caso de dos
disposiciones topológicas extremas, como las que muestra la Figura 5.21. El caso a)
consiste en una red ramificada con N líneas, partiendo todas ellas del nudo de cabecera,
y con restricción de presión mínima en sus nudos extremos; el caso b) consiste en un
conjunto de N líneas dispuestas en serie, con restricciones de presión mínima en todos
los nudos excepto el de cabecera. Para ambos casos, el número de coeficientes no nulos
en las restricciones geométricas es el mismo (e igual a 4·N). En la red del caso a) sólo
5.87
5. Implementación de un modelo lineal ...
interviene una línea en cada restricción de presión, de modo que en cada una de ellas
sólo aparecerán 5 coeficientes no nulos.
Figura 5.21. Dos posibles disposiciones de una red ramificada.
Así pues, para el caso a) tendremos un total de 5·N variables, con 2·N restricciones,
de modo que la matriz de coeficientes tiene un tamaño de 10·N2, el mismo que para el
caso b) (la zona sombreada de las matrices indica la presencia de coeficientes no nulos).
En el caso a) el número de coeficientes no nulos será 4·N+5·N = 9·N; sin embargo,
en el caso b) el número de coeficientes no nulos en las restricciones de presión mínima
es diferente: en la restricción del nudo extremo intervienen todas las líneas, de modo que
cuenta con 4·N+1 coeficientes no nulos; la restricción de presión en el nudo anterior en
sentido aguas arriba contará con 4(N-1)+1 coeficientes no nulos y así sucesivamente
5.88
5. Implementación de un modelo lineal ...
hasta el primer nudo antes de la cabecera, cuya restricción cuenta con 5 coeficientes no
nulos.
El número de coeficientes no nulos en las restricciones de presión será:
N
N
(4 i
1)
4
i 1
i
N
2 N2
3N
(5.97)
i 1
Las densidades iniciales de la matriz de coeficientes en uno y otro caso será pues:
ρ 0 (caso a)
ρ 0 (caso b)
9N
10 N2
9
10 N
(5.98)
2
2N
7N
10 N2
02
7
10 N
En función del número de líneas N de la red, las densidades ρ0 pasan a ser:
Número de líneas
ρ0 (Caso a)
ρ0 (Caso b)
N=50
N=100
N=250
N=1000
1'8 %
0'9 %
0'36 %
0'09 %
21'40 % 21'70 % 20'28 % 20'07 %
Tabla 5.4 . Densidades ρ0 de la matriz de coeficientes.
Como se comprueba en la tabla anterior, con una topología en estrella como la del
caso a), la densidad de la matriz de coeficientes es cada vez menor cuando crece el
número de líneas (en el límite llegaría a ser nula), mientras que la configuración de
líneas en serie del caso b) da lugar a una densidad decreciente con el número de líneas,
aunque en el límite adoptaría un valor del 20 %. En la práctica se presentará usualmente
un caso mixto, pero por comparación con los casos analizados es posible tener una idea
de la densidad que podemos esperar.
Una vez establecida la conveniencia de utilizar un esquema de almacenamiento
compactado para la matriz de coeficientes, hay que determinar la estrategia más
conveniente teniendo en cuenta las siguientes circunstancias:
a) La estructura de la matriz de coeficientes: En nuestro caso, los elementos no
nulos de la matriz no adoptan ninguna disposición globalmente ordenada, aunque
5.89
5. Implementación de un modelo lineal ...
la submatriz de coeficientes de las restricciones geométricas posee una estructura
en banda y la submatriz correspondiente a las holguras de presión es diagonal,
los coeficientes no nulos de las restricciones de presión están dispuestos de forma
no regular. Puesto que las operaciones del algoritmo SIMPLEX van a modificar
constantemente la disposición de los elementos no nulos, no existen demasiadas
posibilidades de aprovechar la estructura ordenada de tales submatrices.
b) El tipo de operaciones a las que va a ser sometida la matriz de coeficientes: Los
cálculos que van a acometerse en las iteraciones del algoritmo SIMPLEX
consistirán en la eliminación gaussiana de parte de los elementos de la matriz,
operación que se realiza por filas. Por esta razón es conveniente disponer el
almacenamiento compactado de la matriz de modo que resulte sencillo el acceso
a los elementos de una fila.
c) Facilidad para añadir y eliminar coeficientes, sin caer en un coste de tiempo
excesivo para reestructurar los elementos de acceso a la información.
Pooch y Nieder describen en la referencia [21] las cuatro modalidades principales de
almacenamiento compactado, a saber:
Esquema
Esquema
Esquema
Esquema
de
de
de
de
mapa de bits.
mapa de direcciones.
fila-columna.
lista encadenada.
En todos los casos, los coeficientes no nulos se almacenan secuencialmente en una
estructura tipo vector o lista, y las diferencias entre los distintos esquemas de
almacenamiento radican en el modo en que se localizan los coeficientes.
El esquema de mapa de bits utiliza para localizar los coeficientes una matriz de tipo
binario, con una estructura idéntica a la matriz de coeficientes original, conteniendo unos
en las posiciones correspondientes a los coeficientes no nulos y ceros en el resto.
Suponiendo que los coeficientes no nulos se encuentran almacenados secuencialmente
por filas o columnas en un vector independiente, la situación concreta de uno de ellos
(su índice en el vector) se obtendrá contabilizando el número de unos por filas o
columnas, según corresponda, hasta la posición deseada.
5.90
5. Implementación de un modelo lineal ...
La ventaja de este método es la utilización eficiente de la memoria disponible puesto
que la matriz binaria utilizada para localizar los coeficientes ocupa un espacio
considerablemente menor del que requiere la matriz de coeficientes original.
Desafortunadamente la ganancia de espacio está gravada con tiempos de acceso u
operación superiores, debido a que no es posible en general manejar la matriz binaria
mediante instrucciones sencillas; por añadidura, puesto que el método está basado en una
ordenación secuencial de los coeficientes, la inserción o eliminación de cualquiera de
ellos obligará a reestructurar completamente el vector que contiene los coeficientes.
El esquema de mapa de direcciones es totalmente similar al anterior, pero en lugar
de una matriz binaria utiliza una matriz de direcciones (índices del vector de coeficientes
o punteros a las direcciones de memoria de los coeficientes). El acceso a los coeficientes
es más rápido que en el caso del mapa de bits, pero el espacio ocupado por la matriz
de direcciones es superior al que emplea la matriz binaria.
El esquema de fila-columna engloba aquellos métodos mediante los cuales se
almacena directamente la posición de los coeficientes no nulos del sistema. El caso más
sencillo consiste en almacenar los coeficientes no nulos en un vector, disponiendo dos
vectores paralelos que contengan la fila y la columna del coeficiente correspondiente.
La ventaja de esta disposición es que no presupone ninguna ordenación concreta en el
vector de coeficientes, aunque realmente no resulta efectivo en absoluto en la práctica
tanto por el consumo de memoria como por los tiempos de acceso.
El sistema más elaborado dentro de este grupo consiste en almacenar ordenadamente
(por filas, por ejemplo) los coeficientes no nulos dentro de un vector, definiendo un
vector paralelo en el cual se almacenan las columnas a las que corresponde cada uno de
los coeficientes. La información se completa con un vector que contiene el índice del
primer elemento no nulo dentro de una fila concreta. Para acceder a un coeficiente
cualquiera se accede al vector que indica el primer elemento de la fila correspondiente,
recorriendo el vector indicador de columnas hasta que su valor contenga el índice de la
columna buscada.
Finalmente, el esquema de almacenamiento de lista encadenada es muy similar al
último método descrito, y posee la ventaja de que no toma en consideración la
ordenación del vector de coeficientes, y en consecuencia añade el inconveniente de
consumir más memoria al disponer un vector de direccionamiento indirecto para indicar
5.91
5. Implementación de un modelo lineal ...
la posición del siguiente coeficiente no nulo (en el sentido de las filas o columnas).
En este esquema, cada elemento tiene al menos tres componentes, a saber: un índice
de fila o columna del coeficiente en cuestión, el propio coeficiente no nulo y finalmente,
la dirección del siguiente coeficiente no nulo (índice o puntero a la posición de
memoria). Es precisamente este último elemento el que diferencia el almacenamiento
en lista encadenada del esquema de fila-columna.
Comparado con el esquema de fila-columna, el almacenamiento en lista encadenada
necesita más memoria, puesto que utiliza un elemento adicional de direccionamiento. Por
otra parte, el tiempo de acceso a los coeficientes de una fila resulta relativamente más
lento debido al direccionamiento indirecto, y todavía más en el caso del acceso a los
coeficientes por columnas. La adición de ligaduras ortogonales (por filas y columnas)
puede mejorar sensiblemente dichos tiempos de acceso, pero como siempre, ello supone
un coste adicional en memoria.
Sin embargo, de los métodos que se han presentado, el esquema de lista encadenada
es el único que admite una forma simple y a la vez rápida para reordenar, añadir o
eliminar coeficientes de la matriz, y es precisamente esta razón la que ha conducido a
adoptar dicho esquema en el subprograma de optimización por PL.
La Figura 5.22 muestra un ejemplo de aplicación del esquema de almacenamiento de
lista encadenada, con direccionamiento indirecto, utilizando la misma nomenclatura del
programa DIOPRAM.
La coeficientes no nulos de la matriz original se almacenan secuencialmente en el
vector Ma; cada elemento del vector Dir es un índice del vector Ma en el que se localiza
el siguiente coeficiente no nulo, siguiendo el orden de las filas de la matriz original. Así
pues, el coeficiente no nulo que sigue a Ma(i) en el orden de las filas es Ma(Dir(i)). Si
un determinado coeficiente contenido en Ma(i) es el último no nulo de una fila, entonces
Dir(i)=0.
El vector Col contiene el índice de la columna a la que pertenece cada elemento de
Ma. Finalmente, el vector Fil1 tiene tantos elementos como filas de la matriz original
y contiene el índice en Ma del primer coeficiente no nulo de la fila correspondiente.
5.92
5. Implementación de un modelo lineal ...
Para localizar la posición del coeficiente ai,j, en primer lugar se obtiene la dirección
del primer coeficiente no nulo de la fila, que es Fil1(i), siendo dicho coeficiente
Ma(Fil1(i)). A continuación se recorren los índices de columna Col(Fil1(i)),
Col(Dir(Fil1(i))), Col(Dir(Dir(Fil1(i)))), ..., hasta encontrar el valor j antes de que el
valor correspondiente de Dir sea nulo (lo que significa que se ha alcanzado el final de
la fila actual). Si dicho valor no se encuentra en la fila actual, corresponderá lógicamente
a un coeficiente nulo.
Matriz de
coeficientes
original
Ma
1
a1,1
a2,1
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
2
a1,2
a2,2
a3,2
a4,2
a5,2
0
3
0
a2,3
a3,3
0
0
0
4
0
a2,4
0
a4,4
0
a6,4
5
0
a2,5
0
0
a5,5
0
6
0
0
0
a4,6
0
a6,6
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 12 13 14 15 16 17
a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 a3,2 a3,3 a4,2 a4,4 a4,6 a5,2 a5,5 a6,4 a6,6
Col
1
2
1
2
3
4
5
2
3
2
4
6
2
5
4
6
Dir
2
0
4
5
6
7
0
9
0
12
13
0
15
0
17
0
Fil1
1
3
8
10
14
16
Figura 5.22. Esquema de almacenamiento de lista encadenada.
Aunque no ha sido explícitamente mencionado, es necesario mantener una tabla de
direcciones que están disponibles (huecos) para añadir coeficientes, de modo que cuando
se elimina alguno de los coeficientes, su dirección se añade a la tabla de direcciones
disponibles (huecos).
En el subprograma Ens_vaci se ha implementado este esquema de almacenamiento
dimensionando los vectores Ma, Col y Dir de modo que se agote la memoria disponible.
Cuando se anula alguno de los coeficientes de Ma, la primera medida que se adopta
5.93
5. Implementación de un modelo lineal ...
es la de modificar los índices contenidos en Dir para que el coeficiente anterior al
anulado apunte al posterior del apuntado, o al valor "0" en el caso de que se trate del
último coeficiente de la fila. Si el coeficiente anulado era el primero de su fila, también
será necesario modificar el índice contenido en Fil1 para que apunte al siguiente
coeficiente de la fila. En segundo lugar se incrementa en uno el contador de huecos,
para dejar constancia del espacio disponible y se acumula el índice del coeficiente nulo
en una posición de cola del vector Dir.
Cuando se introduce un nuevo coeficiente no nulo, se comprueba en primer lugar si
existen huecos disponibles (el contador de huecos es mayor que uno). En caso
afirmativo, se introduce el nuevo valor en el hueco disponible en el vector Ma (apuntado
desde el vector Dir) y se restablecen los enlaces de los vectores Dir y Fil1. Si no existen
huecos disponibles, el nuevo coeficiente se introduce en la primera posición disponible
del vector Ma, y se establecen los enlaces necesarios en Dir y Fil1.
Debido a la propia operación del algoritmo, es imposible que se produzca una colisión
entre las posiciones de Dir que apuntan a los coeficientes y las que apuntan a los
huecos, puesto que al introducir un nuevo coeficiente no nulo se agotan en primer lugar
los huecos disponibles. Sin embargo, en teoría sí resulta posible que el número de
coeficientes no nulos aumente de tal modo que la capacidad del vector Ma sea
insuficiente para albergarlos, lo que generaría una condición de error por desbordamiento
de la memoria.
Las condiciones de finalización del algoritmo son diversas y se clasifican según:
Condiciones normales:
En este apartado incluimos la conclusión del algoritmo debido a la aparición de
una solución óptima. La solución será única en el caso de que todos los coeficientes
de coste reducido para las variables no básicas sean positivos. Si alguno de ellos es
nulo, significa que existen infinitas soluciones óptimas y el subprograma Ens_vaci
proporciona solamente la última solución obtenida.
Condiciones anómalas:
En el caso de que la variable no básica seleccionada para entrar en la base en una
de las iteraciones del algoritmo no esté acotada superiormente, ello significa que la
función objetivo puede reducir infinitamente su valor. Este evento resulta imposible
5.94
5. Implementación de un modelo lineal ...
si el problema de dimensionado ha sido correctamente formulado; por ello, el
subprograma Ens_vaci devolverá como resultado la solución factible inicial obtenida
del Predimensionado.
Condiciones de error:
Como ya ha sido comentado, en el caso de que la capacidad actual del vector de
coeficientes Ma sea insuficiente para albergar los coeficiente no nulos del sistema,
se produce una detención prematura del proceso de optimización y se retorna al
Menú Principal.
5.7.4. Configuración de la solución óptima obtenida
La solución óptima proporcionada por el algoritmo SIMPLEX estará configurada de
tal modo que las líneas de la red contarán con un único diámetro comercial, o bien,
estarán divididas en dos tramos de distinto diámetro comercial. El número de líneas que
cuenta con dos diámetros comerciales será a lo sumo igual al número de restricciones
de presión mínima del problema.
Si el problema incluye la altura de bombeo en cabecera como variable de decisión,
ésta será una de las variables básicas de la solución final siempre que resulte necesaria
la acción de la bomba para alcanzar la presión mínima en los puntos de consumo (podría
suceder que si la cota de aspiración es suficiente para cumplir con este requisito, la
altura de bombeo resulte finalmente nula).
Antes de dar por definitiva la solución obtenida a través del algoritmo SIMPLEX hay
que efectuar una serie de comprobaciones para asegurar que dicha solución verifica
determinadas condiciones que no han intervenido explícitamente en la optimización,
representadas en el diagrama de flujo de la Figura 5.12, a saber:
a) En el caso de que la altura de bombeo Hb sea una variable del problema, puede
suceder que las presiones de trabajo de las tuberías resulten excesivas o
insuficientes, al cambiar el valor de Hb en el transcurso de la optimización. Para
comprobarlo, se obtienen en primer lugar las presiones estáticas en la red
(subprograma Pres_st) y se recalculan las presiones de trabajo de las tuberías
(subrutina Calc_tim). Si se experimentan modificaciones en las presiones de
trabajo de las tuberías, hay que recomenzar el proceso desde la etapa de selección
5.95
5. Implementación de un modelo lineal ...
de diámetros candidatos, pero en lugar de introducir directamente la solución
obtenida del Predimensionado como referencia, se modifican previamente las
presiones de trabajo de las tuberías, incluyendo la altura de bombeo obtenida en
el proceso de Optimización.
b) Hay que comprobar que el diámetro definitivo de cada línea de la solución
óptima esté centrado en la serie de diámetros candidatos seleccionados, puesto
que de otro modo no se tendrá la certeza de que el algoritmo SIMPLEX hubiese
escogido un diámetro diferente si hubiese tenido la posibilidad de hacerlo. Si
alguna de las líneas está configurada con alguno de los diámetros extremos de la
serie de candidatos, será necesario desplazar la serie para que el diámetro
obtenido quede centrado tal y como hemos visto en 5.7.2, y recomenzar el
proceso de Optimización.
En el supuesto de que la solución obtenida cumpla finalmente los requisitos que
acabamos de exponer, puede ya calificarse de definitiva.
Siguiendo el esquema de la Figura 5.12, solamente resta calcular las alturas
piezométricas resultantes en los nudos de la red considerando los diámetros de la
solución definitiva (subrutina Hpiezometricas), obtener las presiones dinámicas
consecuentes (subprograma Pdin), y determinar los costes asociados a la solución, tanto
en inversión en tuberías como, en su caso, el coste energético (subrutina Evalua_costes).
5.96
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.8. ANALISIS CON VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION
5.8.1. Introducción
Las válvulas reductoras de presión (VRP) son dispositivos hidráulicos que permiten
reducir la presión hasta un nivel predeterminado (presión de tarado) con independencia
del caudal que la atraviese, siempre que la presión existente en el extremo aguas arriba
sea superior al valor de tarado.
En las redes ramificadas suelen emplearse muy a menudo las VRPs para corregir los
excesos de presión que aparecen como consecuencia de una topografía abrupta y que
resultan inadecuados tanto para el tipo de servicio que realiza la red como para la propia
instalación. En el caso de los puntos de servicio, una presión elevada puede afectar al
correcto funcionamiento de los dispositivos que se encuentran aguas abajo, y también
puede provocar un incremento del caudal consumido por encima del caudal de diseño
de la instalación, lo que conduciría inexorablemente a un déficit de presión en los puntos
de servicio situados aguas abajo. En cuanto a la propia instalación, una presión elevada
incrementa la solicitación mecánica de las tuberías y elementos de conexión, por lo que
resulta necesario utilizar tuberías con mayor presión de trabajo, y en consecuencia, más
caras; también aumenta el riesgo de fugas y el volumen de las mismas.
En el desarrollo del programa DIOPRAM se ha incluido la posibilidad de que el
diseñador pueda analizar la influencia de un conjunto de válvulas reductoras de presión
dispuestas en la red.
La idea básica que se busca en el análisis de la red dimensionada con VRPs consiste
en utilizarlas para reducir los niveles máximos de presión en la red sin afectar a las
condiciones hidráulicas de funcionamiento correspondientes a la situación de diseño, lo
que implica que la disposición de VRPs no resta validez a los diámetros obtenidos en
las fases de Predimensionado y Optimización, aunque permitirá emplear tuberías con
menor presión de trabajo, pudiendo proporcionar una solución final aun más económica.
Se puede acceder al subprograma de análisis con VRPs desde el Menú de
Predimensionado y desde el Menú de Optimización, esto es, en cualquiera de las etapas
en las cuales la red ha sido dimensionada.
5.97
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.8.2. Características generales y datos necesarios
El análisis de la red con VRPs se ha organizado de una forma interactiva con el
usuario, que dispone de herramientas para introducir nuevas válvulas, suprimirlas y
modificar las características de las VRPs previamente definidas. Además, ofrece en todo
momento información sobre la influencia de las VRPs definidas en el funcionamiento
de la red, así como sobre las posibles nuevas válvulas que podría incorporar.
La ubicación de las VRPs está restringida a los nudos de la red y el usuario puede
definir hasta cincuenta válvulas en total. Los datos necesarios para la caracterización
completa de cada una de ellas son los siguientes:
Identificativo de la VRP.
Línea donde se ubica la VRP.
Situación de la VRP en la línea (en el nudo aguas-arriba o aguas-abajo).
Presión de tarado de la VRP.
Coste de la VRP.
En muchas ocasiones, el usuario desconoce el coste preciso de la instalación completa
que acompaña a la VRP para las condiciones del punto concreto donde ésta se ubica.
Por ello se ha previsto estimar el coste de la misma suponiendo que puede realizarse la
función hidráulica requerida con una agrupación serie-paralelo de VRPs de un modelo
estándar, que posee unas especificaciones de caudal máximo Qst y pérdida de carga
máxima ∆hst, y un coste unitario CVst; también se considera en la estimación un coste
fijo de la instalación CF que correspondería a los elementos auxiliares necesarios.
Supongamos por ejemplo, que para una determinada VRP seleccionada se tiene una
pérdida de carga máxima ∆h y un caudal máximo Q. En tal caso, para cumplir dichas
especificaciones con VRPs de tipo estándar, necesitaremos NP líneas de VRP en paralelo
entre las que se reparte el caudal Q, donde NP es el entero superior más próximo a
Q/Qst, cada una de las cuales contará con NS válvulas estándar dispuestas en serie,
siendo NS el entero inmediato superior a ∆h/∆hst.
El coste estimado de la VRP será pues:
CV ( estimado )
CF
5.98
NS NP CV st
(5.99)
5. Implementación de un modelo lineal ...
Por ello, además de los datos individuales de cada VRP, habrá que considerar los
siguientes datos generales para estimar el coste de una VRP:
Coste fijo de la instalación CF.
Coste de una VRP estándar CVst.
Pérdida de carga máxima en una VRP estándar ∆hst.
Caudal máximo en una unidad estándar Qst.
Figura 5.23. Disposición serie-paralelo de VRPs estándar.
5.8.3. Estructura del módulo de análisis con VRPs
El análisis de la red dimensionada incluyendo VRPs sólo puede realizarse desde este
módulo del programa, aunque las VRPs definidas por el usuario en cualquier fase de
cálculo y sus correspondientes características se conservan en memoria cuando se
abandona el mismo. El módulo de análisis con VRPs sólo es accesible una vez la red
en curso ha sido dimensionada, esto es, desde el Menú de Predimensionado y desde el
Menú de Optimización. La denominación de "módulo" se utiliza para abarcar todo el
conjunto de subprogramas que comprende esta parte de la aplicación.
La siguiente figura muestra el esquema de funcionamiento del módulo de análisis con
VRPs. El subprograma que se ejecuta inicialmente es Anal_vrp.
5.99
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.24. Diagrama de flujo del módulo de análisis con VRPs.
5.100
5. Implementación de un modelo lineal ...
Inicialmente el subprograma Anal_vrp recalcula las presiones estáticas y dinámicas
en los nudos de la red (por medio del subprograma Ini_pres). A continuación, se
comprueba si existe o no información previa de VRPs definidas por el usuario. Este
sería el caso más común cuando se ha definido un conjunto de VRPs tras el
Predimensionado y se desea volver a analizar la red con las mismas VRPs tras la
Optimización. Normalmente las presiones dinámicas en los nudos de la red habrán
sufrido modificaciones, de modo que puede resultar necesario modificar las presiones
de tarado de las VRPs previamente definidas, al objeto de que las presiones resultantes
en los nudos no queden por debajo de su valor mínimo, tarea que realiza el subprograma
Recal_pr_vrp.
Tomando en consideración la nueva presión de tarado de las VRPs, el subprograma
Calc_pres recalcula las presiones estáticas y dinámicas en todos los nudos de la red
considerando la presencia de VRPs, y finalmente, se modifica la presión de trabajo en
las tuberías que lo requieran.
Por último, una vez se ha establecido el sistema definitivo con VRPs, se accede al
Menú Principal de Análisis con VRPs (Subprograma Menu_prin_vrp), que cuenta con
seis opciones (mostradas en la Figura 5.24), a saber:
Acceso al Menú de Selección de VRPs (subprograma Menu_sel_vrp): Desde este
menú es posible añadir y eliminar VRPs, modificar los parámetros de una VRP
definida u obtener una lista de todas las VRPs definidas.
Listado de posibles VRPs (subprograma Lista_vrp): Proporciona una lista de las
posibles VRPs que pueden ser definidas en la red en curso, incluyendo su ubicación
(línea y nudo), presión estática y dinámica correspondiente, caudal circulante, coste
estimado, presión de tarado mínima, número de líneas situadas aguas abajo de la VRP
y ahorro potencial en tuberías. Indica también el número de las VRPs de la lista que
han sido seleccionadas previamente.
Cambio de los parámetros generales de precio de una instalación con VRPs estándar
(subprograma Cam_precio): Sirve para modificar las características de la instalación
con VRPs estándar, esto es, el coste fijo de la instalación CF, el coste de la VRP
estándar CVst, la pérdida de carga máxima en una VRP estándar ∆hst, y el caudal
máximo en una unidad estándar Qst.
5.101
5. Implementación de un modelo lineal ...
Listado de nudos en los cuales la diferencia entre la presión estática y la presión
dinámica supera determinado valor (subprograma Info_nudos): Proporciona una lista
de los nudos de la red en los cuales, la diferencia entre la presión estática y dinámica
supera determinado valor seleccionado por el usuario. Facilita al usuario una
información adicional para determinar los nudos que experimentan un amplio rango
de variación en la presión.
Listado de resultados de la red incluyendo las VRPs (subprograma Lis_result):
Suministra un listado de resultados de la red, similar al que se obtendría desde el
Menú de Predimensionado y Optimización, pero incluyendo el efecto de las VRPs,
así como un listado complementario de las VRPs definidas por el usuario y sus
características funcionales.
Salida del módulo de análisis con VRPs: Esta opción retorna al Menú de
Predimensionado u Optimización, pero previamente devuelve la red al estado original
que poseía antes de definir las VRPs, esto es, restaura la presión de trabajo original
de las tuberías, y recalcula la presión estática y dinámica en los nudos de la red en
su estado original.
La primera de las opciones del Menú Principal conduce a la ejecución del
subprograma Menu_sel_vrp, denominación que representa de forma abreviada al Menú
de Selección de VRPs. Dicho menú reúne las opciones para manipular el conjunto de
válvulas reductoras de la red, y son las siguientes:
Añadir una nueva VRP (subprograma Ana_vrp): Opción para incluir una nueva VRP
en la red y definir todas sus características. En primer lugar se solicita al usuario el
número de la línea y el nudo (extremo aguas abajo o arriba) donde se ubica la VRP,
y a continuación se presenta una pantalla conteniendo las características por defecto
de la VRP recién definida, esto es, considerando la mínima presión de tarado posible
para respetar la presión mínima en los nudos situados aguas abajo, y el coste estimado
de la instalación construida con VRPs estándar. El usuario tiene la posibilidad de
añadir la denominación de la VRP, y de modificar la presión de tarado y el coste de
la instalación. Si el usuario modifica la presión de tarado de la válvula en cuestión,
se recalcula el ahorro hipotético en las tuberías situadas aguas abajo como
consecuencia de la reducción de su presión de trabajo. También cabe la posibilidad
de no llegar a añadir la VRP a la vista de los resultados esperados.
5.102
5. Implementación de un modelo lineal ...
Corregir o eliminar una VRP previamente definida (subprograma Edit_vrp): En primer
lugar se solicita al usuario que identifique la VRP cuyas características desea
modificar, bien sea por la numeración de la VRP, o bien por su situación en la red
(línea y nudo). Una vez identificada la VRP, se presenta una pantalla con las
características actuales de la VRP en cuestión, ofreciendo, como en la opción anterior,
un menú de posibilidades para modificar la denominación, presión de trabajo y coste
de la instalación, e incluso la posibilidad de eliminar la VRP.
Listado de las VRPs definidas (subprograma Lista_selec): Presenta una lista de las
VRPs que han sido definidas por el usuario, incluyendo sus características
(denominación, presión de tarado, coste, etc.).
Eliminar todas las VRPs definidas (subprograma Elim_todas): Esta opción suprime
todas las VRPs definidas hasta el momento, restaura la presión de trabajo original de
las tuberías y recalcula el estado de las presiones estáticas y dinámicas en todos los
nudos de la red.
Volver al Menú Principal de Análisis con VRPs.
5.8.4. Efecto de las VRPs en el estado de la red.
El parámetro fundamental que caracteriza la influencia relativa de una VRP en la red
es su presión de tarado. En el caso de las redes ramificadas, la intervención de una VRP
ubicada en un determinado nudo producirá una reducción de la presión en todos los
nudos situados aguas abajo, cuya magnitud dependerá de la presión de tarado de dicha
válvula.
Para analizar las consecuencias de incluir una VRP en la red, el módulo de análisis
dispone de cuatro subprogramas principales, a saber:
Subprograma Afec_vrp: Identifica las líneas que se encuentran aguas abajo de una
VRP determinada, a los efectos de a) reducir su presión de trabajo, b) calcular el
ahorro producido por dicha circunstancia y c) recalcular la presión estática y dinámica
en los nudos de tales líneas.
5.103
5. Implementación de un modelo lineal ...
Subprograma Holgura: Calcula la mínima holgura de presión dinámica en los nudos
situados aguas abajo de una VRP, entendiendo como tal a la diferencia entre la
presión dinámica y la presión mínima definida para cada nudo. El mínimo valor de
la presión de tarado que puede adoptar una VRP concreta sin afectar a la presión
mínima en los nudos de servicio corresponde precisamente a la presión dinámica del
nudo en el cual se ubica la válvula menos el valor de mínima holgura de presión de
los nudos situados aguas abajo.
Subprograma Calc_pres: Calcula la presión estática y dinámica en los nudos de la red
considerando la presencia de las VRPs definidas por el usuario.
Subprograma Ahorro_lin_vrp: Calcula el ahorro obtenido al reducir la presión de
trabajo de las tuberías situadas aguas abajo de una VRP, considerando que se
mantiene la capacidad hidráulica (diámetro) de tales tuberías.
5.9. UTILIDADES ADICIONALES DEL PROGRAMA DIOPRAM
Durante los apartados anteriores han sido desarrollados los principios fundamentales
de la aplicación de un modelo de Programación Lineal para el dimensionado económico,
resaltando especialmente los aspectos referentes al conjunto de datos y a los algoritmos
de cálculo.
En el presente apartado examinaremos de forma somera otras posibilidades del
programa DIOPRAM, que sin estar relacionadas directamente con el problema teórico,
tienen una gran importancia en cuanto a la implementación del modelo en la práctica.
5.9.1. Base de datos de materiales de tubería
Una de las principales ventajas de la formulación del problema de dimensionado
mediante Programación Lineal es que puede operar directamente con diámetros
disponibles comercialmente. Como contrapartida, obliga a disponer de una base de datos
de materiales de tubería que contenga información sobre los distintos materiales,
diámetros, presiones de trabajo y coste de las tuberías. Para que resulte útil y versátil,
la base de datos de materiales debe ser periódicamente revisada para incluir los precios
vigentes de las tubería y para actualizar los diámetros y presiones de trabajo disponibles
5.104
5. Implementación de un modelo lineal ...
en cada material. Concretamente, el programa DIOPRAM limita la capacidad de la base
de datos de tuberías a un total de diez materiales posibles, cada uno de ellos con diez
presiones de trabajo, dentro de las cuales puede definirse hasta treinta diámetros.
La base de datos está organizada mediante un fichero principal (MAT_DIS) donde se
almacena la información general de cada material disponible, y por un conjunto de
ficheros conteniendo cada uno de ellos la información específica de cada material.
El fichero MAT_DIS contiene los siguientes datos: número total de materiales de la
base, y para cada uno de ellos, el nombre completo, nombre abreviado, fecha de
referencia, rugosidad absoluta del material y número de presiones de trabajo.
Cada uno de los ficheros específicos de los materiales contiene el número de
presiones de trabajo incluidas, sus valores correspondientes, y el número de diámetros
que contienen para cada presión de trabajo; para cada uno de los diámetros se almacena
el valor del diámetro interno, la referencia comercial (texto/literal) y el coste unitario
(por metro lineal).
Para mantener, corregir y actualizar el contenido de la base de materiales se ha
incluido el subprograma Mat_tubo, que permite añadir nuevos materiales o eliminar
alguno de los previamente definidos, y también efectuar diversas operaciones sobre los
datos de un material concreto, a saber:
Salida de datos de materiales por pantalla o impresora: Presenta al usuario todos
los datos presentes de un determinado material.
Actualización de precios: Permite modificar los precios de todas las tuberías
contenidas en un material de forma global, indicando un porcentaje de variación.
Corregir datos: Se puede modificar los datos de tipo general de cada material, y
también añadir, eliminar y modificar presiones de trabajo y diámetros concretos.
Además de las posibles modificaciones sobre la base de datos, que de alguna forma
son permanentes, también es posible alterar los precios de las tuberías una vez han sido
seleccionados los materiales en la fase de Entrada de Datos en el programa DIOPRAM.
Tales modificaciones afectarán exclusivamente a la red en curso y no se almacenan en
la base de materiales.
5.105
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.9.2. Salida de datos y resultados
La presentación de los datos introducidos se realiza mediante el subprograma
Sal_dato, que es accesible desde cualquier menú del programa DIOPRAM una vez estén
los datos introducidos. El subprograma presenta ordenadamente todos los datos de la red,
y puede realizar la salida tanto por la pantalla como por la impresora seleccionada por
el usuario. Los listados de datos permiten corregir los posibles errores que se hayan
deslizado en la introducción de los mismos y por otra parte, dan constancia de las
hipótesis de cálculo mediante las cuales se ha obtenido determinada solución.
El subprograma Sal_resu produce la salida de resultados del dimensionado de la red
una vez existe dicha solución, esto es, resulta accesible desde el Menú de
Predimensionado, desde el Menú de Optimización y desde el Menú Principal de Análisis
con VRPs. Los listados de resultados se realizan únicamente por impresora, debido a la
dificultad para presentar dichos resultados por pantalla de una forma ordenada y legible.
La estructura de los listados de resultados ha sido concebida para presentar la
información de la solución relevante para el usuario y a la vez, reducir al máximo el
trabajo necesario para su elaboración posterior, por ejemplo, para su inclusión en el
proyecto definitivo de la red.
Debido a la gran cantidad de información que se presenta en los resultados, se ofrece
al usuario la posibilidad de obtener un listado principal de resultados, y varios listados
complementarios. El listado principal presenta fundamentalmente los diámetros
definitivos de las líneas y la altura de bombeo en cabecera (si es necesaria), entre otras
características, y además un desglose económico de las tuberías utilizadas en dicha
solución. La información presentada en el listado principal es suficiente para evaluar la
validez de la solución, al menos en una primera fase de evaluación de alternativas.
Por otra parte, los listados complementarios proporcionan información adicional sobre
aspectos concretos de la solución definitiva. Cuando el usuario ejecuta la opción de
Salida de Resultados, se le ofrece un menú en el cual puede seleccionar cuáles de los
listados complementarios desea obtener. Tales listados complementarios son los
siguientes:
5.106
5. Implementación de un modelo lineal ...
Listado resumen: Presenta un resumen de resultados, a saber, superficie total (ha)
servida por la red, longitud total en tubería, número de hidrantes servidos, coste de
inversión en tuberías, coste energético anual y volumen de agua consumido
anualmente. Derivados de los resultados anteriores se presentan los siguientes ratios:
longitud de tubería por ha, inversión en tuberías por ha, coste energético anual por
ha y número de hidrantes por ha.
Listado complementario de timbraje de las tuberías: Este listado justifica al usuario
la presión de trabajo de las tuberías de la red. La misma información podría ser
obtenida a partir del listado principal de resultados, pero sería necesario realizar
algunos cálculos. El listado presenta la tubería seleccionada para cada línea, así como
la presión hidrostática en los nudos extremos, y el incremento de presión estática
(función de la longitud de la tubería); también incluye la presión de trabajo de la
tubería y el decremento de la misma (función del material, diámetro y presión de
trabajo).
Listado complementario de las tuberías previamente instaladas: Presenta un listado
agrupado de todas las tuberías existentes, aunque los datos contenidos en este listado
se encuentran también en el listado general de resultados en forma dispersa
(solamente en el caso de que se hayan definido tuberías previamente instaladas en la
red).
Listado complementario de costes energéticos: Presenta el conjunto de datos que
permiten calcular el coste energético implicado en la operación de la red, esto es, tipo
de tarifa y discriminación horaria, reparto anual de horas de bombeo por períodos
tarifarios, recargo por energía reactiva, tipo de alimentación (inyección directa o a
través de depósito), rendimiento, potencia instalada y factor de
sobredimensionamiento de la misma (solamente si en el problema interviene una
estación de bombeo en cabecera).
Listado complementario de hidrantes de la red: Muestra en detalle las características
de los hidrantes situados en los nudos de la red, esto es, caudal nominal y área
servida en el caso de hidrantes individuales, y en el caso de hidrantes agrupados,
caudal medio y varianza de caudal (solamente si los caudales circulantes de la red han
sido definidos como caudales de Clement).
5.107
5. Implementación de un modelo lineal ...
Listado complementario de elementos de conexión, ventosas y válvulas de purga:
Cuando el usuario selecciona esta opción, el subprograma Sal_resu realiza una
estimación de los elementos de conexión necesarios en la red (conos reductores y tes),
ventosas y válvulas de purga.
Para entender la forma de seleccionar los elementos de conexión, vamos a
plantear el caso general de un nudo en el cual, la tubería entrante de diámetro De
se ramifica en varias tuberías salientes de diámetros D1≥D2≥..≥Dn-1≥Dn, como
muestra la Figura 5.25. En el caso más general, se resolverán las uniones mediante
enlaces en T y conos de reducción.
Figura 5.25. Nudo de conexión múltiple.
En referencia a la figura, se emplean conexiones en T con un diámetro principal
igual a De, y con una derivación de diámetro igual al de la tubería conectada,
puesto que no disponemos de información suficiente en la base de materiales para
determinar si es necesario un cono reductor u otro tipo de acoplamiento adicional.
En el caso de que De≈D1, no será necesario el cono reductor. Se considera que
ambos diámetros son aproximadamente iguales cuando la diferencia entre los
diámetros internos no supere un 8% del valor de De (si De y D1 son del mismo
material) o bien un 6% del valor de De (si De y D1 son de distinto material). Las
diferencias en el diámetro externo pueden ser causadas por un espesor diferente,
en el caso de tuberías del mismo material pero diferente presión de trabajo, y
también por las diferencias en el valor del diámetro interno (en el caso de tuberías
de diferente material). En cualquier caso, no hay que olvidar que las referencias
obtenidas en este cómputo son solamente una estimación preliminar.
5.108
5. Implementación de un modelo lineal ...
Además de los elementos de conexión, en determinados nudos se recomienda
la instalación de ventosas y válvulas de purga. Así por ejemplo, se recomienda
instalar de ventosas en los nudos de la red (incluyendo los nudos extremos) cuya
cota es superior al resto de los nudos con los que está directamente conectado. Se
trata sin duda de un criterio incompleto, puesto que no tiene en cuenta la longitud
de las tuberías ni el trazado de las mismas entre los nudos, pero al menos
proporciona una estimación del número mínimo de ventosas necesarias. En cuanto
a las válvulas de purga, se recomienda su colocación en los nudos cuya cota es
inferior a la de los nudos adyacentes, excluyendo los nudos extremos.
El programa no tiene en cuenta otro tipo de accesorios (como por ejemplo, los
codos) puesto que no dispone de mayor información sobre el trazado de la red y
la topografía de otros puntos que no sean los nudos definidos.
Listado complementario de zanjas: En este caso, el subprograma Sal_resu realiza una
estimación del movimiento de tierras y los costes implicados en el enterramiento de
las tuberías, considerando tres tipos de terreno base (franco, tránsito y roca) y una
única geometría tipo de la zanja, igual para todas las tuberías.
Figura 5.26. Geometría de la zanja tipo considerada.
5.109
5. Implementación de un modelo lineal ...
A partir de la zanja tipo mostrada en la Figura 5.26, el usuario puede modificar
sus características dentro de ciertos límites, como indica la siguiente tabla:
Ref.
Magnitud
Valor por
defecto
A
B
C
D
E
F
Talud de la zanja
Espesor mínimo de la cama
Anchura extra en la base
Altura de relleno seleccionado sobre la tubería
Altura de relleno no seleccionado
Factor de esponjamiento del sobrante
10 %
15 cm
50 cm
30 cm
100 cm
1'3
Valores
mínimo y
máximo
0 ÷ 250 %
15 ÷ 50 cm
50 ÷ 150 cm
30 ÷ 100 cm
30 ÷ 180 cm
1'0 ÷ 2'0
Tabla 5.5. Características geométricas de la zanja tipo.
Los costes que se consideran en el recuento de las zanjas son los siguientes:
Costes de excavación por m3 (según terreno: franco, tránsito o roca).
Coste de relleno por m3.
Coste de relleno del lecho de arena por m3.
Coste de transporte de sobrante a vertedero (por m3).
Para efectuar el cálculo de los volúmenes en cada una de las categorías
anteriores, se considera que el relleno superior de la zanja se ejecuta con tierras
provenientes de la excavación; para el cálculo del sobrante, se estima que el
diámetro exterior de la tubería es aproximadamente un 20 % superior al diámetro
interior, multiplicando el volumen sobrante por el factor de esponjamiento.
5.9.3. Modificación de las soluciones obtenidas
La configuración de la solución de diseño que proporciona el programa DIOPRAM
puede sufrir modificaciones de cara a su implantación definitiva, por diversas razones,
como son:
Limitar la variedad de los diámetros empleados en la solución final: En la solución
óptima obtenida se encuentran en ocasiones determinados diámetros que representan
un porcentaje ínfimo de la longitud total de la red. La sustitución de tales diámetros
puede resultar conveniente a fin de agrupar el pedido de tuberías en unas pocas
partidas importantes de características uniformes.
5.110
5. Implementación de un modelo lineal ...
Acotación precisa de los rangos de utilización de los diversos materiales: En la
selección de los materiales que formarán parte de la solución final y sus rangos de
utilización en cuanto a diámetros y presiones de trabajo siempre existe cierto grado
de solapamiento, que circunstancialmente es inevitable debido a los distintos valores
normalizados de diámetro y presión de trabajo que pueden darse en los diferentes
materiales y que es incluso conveniente a fin de que el programa disponga siempre
de diámetros comerciales que se ajusten a unas determinadas solicitaciones. Sin
embargo, una vez dimensionada la red, el usuario puede aplicar unos límites más
estrictos en la utilización de los diferentes materiales mediante la sustitución de los
diámetros que no cumplan tales condiciones.
Modificación de la presión de trabajo de algunas tuberías: A pesar de que el programa
DIOPRAM utiliza un criterio de mayoración selectivo para seleccionar la presión de
trabajo de las tuberías, en algunas de ellas, el valor seleccionado puede resultar
insuficiente para soportar la sobrepresión producida por el golpe de ariete, o para
soportar las sobrecargas del terreno donde se ubica la tubería, circunstancias que no
se contempla en el programa cuando calcula las presión de trabajo. En tales casos, el
usuario tiene la posibilidad de modificar la presión de trabajo de las tuberías.
Eliminación de tramos de longitud impracticable: La solución proporcionada por la
etapa de Optimización está configurada de modo que algunas líneas están subdivididas
en dos tramos de distinto diámetro. Cuando la longitud de alguno de los tramos es
muy pequeña frente a la longitud total de la línea resulta conveniente eliminar el
tramo corto y disponer toda la línea con el diámetro del tramo más largo, a fin de
simplificar la configuración de la red.
El programa DIOPRAM cuenta con dos subprogramas diferentes para realizar este
cometido: el subprograma Camb_dia permite modificar la solución obtenida del
Predimensionado, mientras que el subprograma Cam_manu hace lo propio con la
solución obtenida tras la Optimización. Las modificaciones permitidas en Camb_dia
comprenden el diámetro y la presión de trabajo de todas las tuberías de la red, y en el
caso del subprograma Cam_manu, también las longitudes de los tramos de las líneas
compuestas por dos diámetros. Tras cada cambio, los subprogramas presentan al usuario
un listado con las nuevas presiones en los nudos de la red, destacando aquellos que
presentan una presión inferior a la mínima exigida.
5.111
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.9.4. Configuración de la impresora
Como ya se ha comentado, la salida de datos de la red en curso puede efectuarse por
pantalla o por impresora, mientras que los resultados solamente pueden ser obtenidos
por impresora, debido al gran número de variables contempladas por cada línea de
listado, que difícilmente tendrían cabida en la pantalla.
Un problema que se presenta en cualquier programa de cálculo es precisamente
aprovechar las capacidades de cada impresora para presentar la información de la
manera más clara y organizada posible. Por esta razón DIOPRAM incluye un
subprograma para la configuración de los parámetros de la impresora (Gest_imp), que
es accesible desde cualquiera de los menús principales representados en el diagrama de
la Figura 5.1.
Este subprograma permite escoger entre cinco modelos estándar de impresora, con sus
correspondientes parámetros de impresión, o incluso definir las características propias
de un modelo que no se ajuste a ninguno de los estándar. También son modificables
otras características tales como el tipo de papel (alimentación contínua u hojas sueltas),
la longitud del mismo y el interlineado de escritura.
5.10. EJEMPLO DE APLICACIÓN
A continuación presentamos un ejemplo de aplicación del programa DIOPRAM, con
la intención de mostrar la operación del programa y la información que proporciona
sobre el sistema dimensionado. El caso presentado no responde a ninguna situación real
y en él se ha intentado incluir la mayor parte de las peculiaridades con las que puede
trabajar el programa, a saber: tuberías existentes, pérdidas de carga adicionales, cálculo
de caudales probabilísticos de Clement y válvulas reductoras.
Supongamos que se proyecta ampliar una red de riego a presión en una zona donde
ya existe una red en servicio, que cubre parcialmente las necesidades de la zona regable.
La red actual, cuyo esquema muestra la Figura 5.27, está compuesta por doce líneas
principales alimentadas desde una estación de bombeo con inyección directa a la red,
y ubicada a una cota de 75 m.
5.112
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.27. Trazado de la red actual.
Las tuberías de la red actual fueron dimensionadas en su día para suministrar el agua
5.113
5. Implementación de un modelo lineal ...
a los puntos de consumo con una presión mínima de 20 mca. En la actualidad, a pesar
de que se ha experimentado un aumento promedio del 30 % en las pérdidas de carga de
tales tuberías, todavía es posible mantener el suministro en condiciones satisfactorias,
debido al sobredimensionamiento inicial de la red.
Por otra parte, en el transcurso del tiempo se han incrementado los caudales
demandados desde los nudos de consumo 10, 11, 13 y 14, de modo que la capacidad de
las tuberías que alimentan dichos nudos resulta actualmente insuficiente para
proporcionar un servicio adecuado.
Por esta razón se ha decidido renovar las tuberías de las líneas 10-11, 11-12, 12-13
y 11-14. Para descargar las líneas 1-2 y 2-4 del caudal consumido en la zona, se ha
decidido llevar el agua a la misma a través de tuberías de nueva implantación, que
conectan con el nudo 10 (eliminando por tanto la línea 4-10).
Los nuevos puntos de consumo que se incorporan al riego, debido a su cota elevada,
necesitarán posiblemente una altura de bombeo mayor de la actual, a la vez que el
caudal inyectado en la red se va a incrementar considerablemente con la ampliación. Por
esta razón se ha decidido también la renovación de la estación de bombeo, que
continuará siendo el único punto de inyección a la red, conservando su ubicación
primitiva.
Lógicamente será necesario renovar la tubería de la línea principal de alimentación
0-1, puesto que el caudal que deberá trasegar en el futuro va a ser muy superior al
actual.
La Figura 5.28 muestra el trazado y los datos principales de la red de riego en su
nueva concepción incluyendo todas las consideraciones expuestas.
La tabla siguiente resume los datos principales de la nueva red. En las casillas
sombreadas se incluyen los datos de las líneas existentes, en las cuales incluiremos una
mayoración de las pérdidas de carga en un 33 % por medio de la adición de una
longitud equivalente igual a un tercio de la longitud de cada línea. Las tuberías de la red
actual son de amianto-cemento, el mismo material que vamos a considerar para la
ampliación.
5.114
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.28. Esquema de la red futura.
5.115
5. Implementación de un modelo lineal ...
Línea
Longitud
(m.)
Longitud
equivalente
(perdidas
de carga)
(m.)
Diámetro
Nudo aguas abajo
-255
-450 D
88
107
Cota (m.)
0-1
1-2
1930
765
2-3
712
237
200 D
122
2-4
835
278
400 C
116
4-5
5-6
705
552
235
184
250 C
175 C
104
102
5-7
1037
345
150 C
98
1-8
8-9
1000
1445
---
---
89
123
9-10
912
--
--
127
10-11
565
--
--
130
11-12
12-13
612
620
---
---
106
121
11-14
1090
--
--
123
9-15
15-16
477
795
---
---
125
112
15-17
457
--
--
114
8-18
455
--
--
100
18-19
19-20
20-21
600
657
605
----
----
123
112
121
20-22
1062
--
--
145
18-23
23-24
840
545
---
---
116
115
Consumos
hidrantes
Area
Caudal
(ha.)
(l/seg.)
-5
(10)
1,2
(5)
12
(30)
6
(15)
6,5
(15)
6
(15)
10,5
(25)
-8,5
(20)
10,5
(25)
4,7
(10)
6,4
(15)
8,8
(20)
-4
(10)
9,6
(25)
11,8
(30)
8,7
(20)
2,8
(10)
10,8
(25)
-3,2
(10)
6,8
(20)
11,2
(30)
13,6
(35)
9,7
(25)
-2,6
(10)
6,8
(20)
1,8
(5)
7,2
(20)
4,8
(10)
9,5
(25)
3,7
(10)
8,4
(20)
--4,1
(10)
4,6
(10)
6,8
(20)
5,6
(15)
5,3
(15)
-8,6
(20)
7,2
(20)
6,6
(15)
Tabla 5.6. Datos de la red en proyecto.
5.116
Presión
mínima
(mca.)
-20
20
20
-20
20
-20
20
20
-20
20
-20
20
20
--20
20
-20
5. Implementación de un modelo lineal ...
En la columna de consumos se indica el área servida por cada hidrante (en ha) y entre
paréntesis, el caudal nominal del hidrante (en l/s). A partir de estos datos se calculan los
caudales circulantes mediante el método de Clèment, aplicado de forma selectiva de
modo que en las tuberías que alimentan hasta 10 hidrantes, se considera el caudal
acumulado de los mismos (Garantía de suministro GS=100 %); para las tuberías que
alimentan entre 11 y 50 hidrantes, se calcula el caudal utilizando la fórmula de Clèment
con GS=99%. El caudal de diseño en las líneas que alimentan a 51 hidrantes o más,
aunque no hay ninguna en la red del ejemplo, se calcularía considerando una Garantía
de suministro GS=95 %.
Para realizar el dimensionado se han considerado los siguientes datos adicionales:
Límite de velocidad del agua en las tuberías
0'5 - 2'5 m/seg.
Porcentaje de pérdidas menores (toda la red)
0%
GLOBAL de 0 mca.
Margen de seguridad en timbrajes
Caudal ficticio continuo
0'5 l/seg.ha.
Duración jornada de riego
18 horas/día
Volumen de agua consumido
1.268.577 m3/año
Número de horas de bombeo
3.000 horas/año
5 % anual
Incremento de costes energéticos
Rendimiento estimado de la E. Bombeo
75 %
Coseno ϕ de la instalación
0'85
Factor de sobredimensionado en Potencia instalada
10 %
Tarifa eléctrica R2 (36 a 72 kV) - 80 ptas/kW/mes - 10'65 ptas/kWh.
Disc. Horaria Triple normal (500 h. Punta + 1500 h. Llano + 1000 h. Valle)
20 años (12 %)
Amortización de las tuberías
Tabla 5.7. Criterios económicos y de diseño.
Una vez introducidos todos los datos indicados en el programa DIOPRAM, podemos
efectuar el tratamiento previo de los datos, obteniendo el listado de datos que se presenta
en las siguiente páginas.
5.117
5. Implementación de un modelo lineal ...
EJEMPLO
DATOS de la CONFIGURACION de la RED y CONDICIONES de DISEÑO
Linea
N.
------1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
8
9
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Nudo aguas Longitud Long.eqCota abajo
Arriba
Abajo metros metros metros
---------------- ----------- -----------------------0
1 1930.00
0
88.00
1
2 765.00
255 107.00
2
3 712.00
237 122.00
2
4 835.00
278 116.00
4
5 705.00
235 104.00
5
6 552.00
184 102.00
5
7 1037.00
345
98.00
9
10 912.00
0 127.00
10
11 565.00
0 130.00
11
12 612.00
0 106.00
12
13 620.00
0 121.00
11
14 1090.00
0 123.00
1
8 1000.00
0
89.00
8
9 1445.00
0 123.00
9
15 477.00
0 125.00
15
16 795.00
0 112.00
15
17 457.00
0 114.00
8
18 455.00
0 100.00
18
19 600.00
0 123.00
19
20 657.00
0 112.00
20
21 605.00
0 121.00
20
22 1062.00
0 145.00
18
23 840.00
0 116.00
23
24 545.00
0 115.00
AreaQ Hidrante Q DiseñoPmin abajo
ha
l/seg
l/seg
mca.
-------- ------------- ---------- ------------0.00
0.00 303.77
0.00
6.20
15.00 130.00
20.00
24.50
60.00
60.00
20.00
16.50
40.00 130.00
20.00
0.00
0.00
90.00
0.00
23.70
55.00
55.00
20.00
15.20
35.00
35.00
20.00
20.50
50.00 205.00
20.00
13.60
35.00 155.00
20.00
0.00
0.00
60.00
0.00
21.20
60.00
60.00
20.00
23.30
60.00
60.00
20.00
0.00
0.00 226.62
0.00
13.60
35.00 205.00
20.00
0.00
0.00
65.00
0.00
9.40
30.00
30.00
20.00
13.80
35.00
35.00
20.00
21.60
55.00 104.61
20.00
0.00
0.00
70.00
0.00
0.00
0.00
70.00
0.00
8.70
20.00
20.00
20.00
17.70
50.00
50.00
20.00
0.00
0.00
55.00
0.00
22.40
55.00
55.00
20.00
Tipo
Nudo
-------0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
Num.
Hidr.
-------0
2
3
2
0
3
2
2
2
0
3
2
0
2
0
2
3
3
0
0
2
3
0
3
Presion probable en cabecera de la red =
90.00 mca
Velocidad minima =
.50 m/s
Cota en cabecera de la red =
75.00 metros
Velocidad maxima = 2.50 m/s
Porcentaje de perdidas menores = 0.0 %
Margen de seguridad para la determinacion de los timbrajes (global en toda la red) =
0.00 m.c.a.
Datos generales utilizados para el CALCULO de los CAUDALES PROBABLES por el METODO de CLEMENT
Numero total de Hectareas de la red
= 271.90 Ha
Dotacion por Ha (caudal ficticio continuo) =
.5000 l/seg Ha
Numero de horas/dia disponibles para riego =
18.00 horas/dia
Garantia de suministro o calidad de servicio =
95.00 % ( U = 1.64 )
Numero total de hidrantes
=
39
Caudal medio en cabecera (Dato estadistico) =
181.267 (l/seg)
Varianza Q en cabecera (Dato estadistico) =
2764.173 ((l/seg) ^2)
Caudal acumulado (limitadores) en cabecera =
690.00 (l/seg)
Figura 5.29. Listado de datos de la red (1).
5.118
5. Implementación de un modelo lineal ...
Relacion de TUBERIAS previamente INSTALADAS en la red
Linea
------2
3
4
5
6
7
Nudos Long.(m) L.eq.(m) Qlinea Diametro
(Ini-Fin)
(l/seg )
(Ref.)
----------------------- ----------- ----------1- 2
765.0
255.0 130.000
450 D
2- 3
712.0
237.0 60.000
200 D
2- 4
835.0
278.0 130.000
400 C
4- 5
705.0
235.0 90.000
250 C
5- 6
552.0
184.0 55.000
175 C
5- 7 1037.0
345.0 35.000
150 C
Material
---------------------------FIBROCEMENTO
FIBROCEMENTO
FIBROCEMENTO
FIBROCEMENTO
FIBROCEMENTO
FIBROCEMENTO
D.interno
Presion Rugosidad
(mm) Trab.(mca)
(mm)
-----------------------------450.0
100.0
.025
200.0
100.0
.025
400.0
75.0
.025
250.0
75.0
.025
175.0
75.0
.025
150.0
75.0
.025
CONDICIONES ECONOMICAS
Material :FIBROCEMENTO
Rug. abs.: 0.0250 mm
Presion maxima de trabajo :
--------------------------------------Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
25 m.c.a.
Presion maxima de trabajo :
-------------------------------------Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
50 m.c.a.
Presion maxima de trabajo :
-------------------------------------Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
Diametro normalizado (mm) :
Precio por metro lineal (pts):
75 m.c.a.
50 A/F
519
150 A/B
1.397
400 A
5.708
900 A
19.221
50 A/F
519
150 A/B
1.397
400 B
7.241
900 B
25.430
50 A/F
519
150 C
1.740
400 C
8.154
900 C
29.388
Margen de seguridad
60 A/F
565
175 A/B
1.826
450 A
7.674
1000 A
22.586
70 A/F
695
200 A
2.103
500 A
9.218
1100 A
24.311
2.50 m.c.a.
80 A/D
802
250 A
2.598
600 A
12.330
1200 A
28.661
Margen de seguridad
60 A/F
565
175 A/B
1.826
450 B
8.634
1000 B
28.211
70 A/F
695
200 B
2.303
500 B
10.363
1100 B
31.484
Presion maxima de trabajo : 100
Margen
m.c.a.de seguridad 8.00
--------------------------------------Diametro normalizado (mm) :
50 A/F
60 A/F
Precio por metro lineal (pts):
519
565
Diametro normalizado (mm) :
150 D
175 D
Precio por metro lineal (pts):
2.037
2.744
Diametro normalizado (mm) :
400 D
450 D
Precio por metro lineal (pts):
9.016
10.550
Diametro normalizado (mm) :
900 D
1000 D
70 A/F
695
200 C
2.884
500 C
11.474
1100 C
36.657
125 A/B
978
350 A
4.399
800 A
15.315
5.00 m.c.a.
80 A/D
802
250 B
3.265
600 B
13.266
1200 B
37.912
Margen de seguridad
60 A/F
565
175 C
2.294
450 C
9.805
1000 C
32.124
100 A/C
908
300 A
3.848
700 A
12.796
100 A/C
908
300 B
4.475
700 B
15.016
125 A/B
978
350 B
5.438
800 B
20.136
7.50 m.c.a.
80 A/D
802
250 C
4.078
600 C
14.514
1200 C
43.319
100 A/C
908
300 C
5.466
700 C
17.718
125 C
1.185
350 C
6.528
800 C
23.487
80 A/D
802
250 D
4.685
600 D
15.591
100 D
1.077
300 D
6.239
700 D
22.204
125 D
1.465
350 D
7.606
800 D
28.701
m.c.a.
70 A/F
695
200 D
3.376
500 D
12.252
Figura 5.30. Listado de datos de la red (2). Materiales de tubería.
5.119
5. Implementación de un modelo lineal ...
RELACION DE LOS PARAMETROS CARACTERISTICOS DE LOS HIDRANTES DE LA RED
Numero total de Ha. servidas = 272
Numero total de hidrantes = 39
Dotacion por Ha. (Q. ficticio continuo) =
.500 l/seg Ha
Numero de horas/dia disponibles para el riego = 18.0 horas/dia
Q.Total
Numero Limitadores
Hidran.
(l/seg)
------------- -----------------2
15.000
Datos
A.Total
(ha.)
-----------6
Nudo
--------2
Tipo
Nudo
--------c/hidr
3
c/hidr
3
60.000
24
4
c/hidr
2
40.000
17
6
c/hidr
3
55.000
24
7
c/hidr
2
35.000
15
10
c/hidr
2
50.000
21
11
c/hidr
2
35.000
14
13
c/hidr
3
60.000
21
14
c/hidr
2
60.000
23
9
c/hidr
2
35.000
14
16
c/hidr
2
30.000
9
17
c/hidr
3
35.000
14
18
c/hidr
3
55.000
22
21
c/hidr
2
20.000
9
22
c/hidr
3
50.000
18
24
c/hidr
3
55.000
22
Hidrantes
Caudal
(l/seg )
----------10.000
5.000
30.000
15.000
15.000
15.000
25.000
20.000
25.000
10.000
15.000
20.000
30.000
20.000
10.000
25.000
10.000
20.000
30.000
35.000
25.000
10.000
25.000
10.000
20.000
5.000
20.000
10.000
25.000
10.000
20.000
10.000
10.000
20.000
15.000
15.000
20.000
20.000
15.000
Area
(ha.)
-------5
1
12
6
7
6
10
9
10
5
6
9
12
9
3
11
3
7
11
14
10
4
10
3
7
2
7
5
10
4
8
4
5
7
6
5
9
7
7
SUMA
SUMA
di*pi di^2*pi*(1-pi)
(l/seg )
(l/seg )^2
----------- -----------------------
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
Figura 5.31. Listado de datos de la red (3). Características de los hidrantes.
En relación a las zonas sombreadas del listado de la Figura 5.29 hay que hacer
algunas aclaraciones:
(1) Esta columna indica el área total (ha.) servida por todos los hidrantes conectados
al nudo correspondiente.
(2) Indica el caudal nominal total de los hidrantes del nudo.
(3) Indica el caudal de diseño de la línea asociada. Dicho caudal será el que resulte
de la aplicación del método de Clèment (en nuestro caso hemos aplicado un
criterio selectivo, con GS variable en función del número de hidrantes alimentados
por la línea).
5.120
5. Implementación de un modelo lineal ...
(4)
La referencia Tipo de nudo indica si el nudo es de conexión sin consumo (tipo 0),
o si es de consumo, definido bien por hidrantes individuales (tipo 1) o por
parámetros estadísticos de una subred (tipo 2).
(5)
Num. hidr. indica el número de hidrantes conectados al nudo en cuestión.
(6)
En el listado podemos distinguir las líneas previamente existentes porque su
numeración está desplazada hacia la derecha y sus datos en negrilla.
(7)
La Garantía de suministro (GS) se solicita al usuario únicamente para el caso de
optar por el cálculo de caudales de Clèment con un valor de GS uniforme en todas
las tuberías.
(8)
Cuando la definición de caudales de diseño se realiza por el método de Clèment,
podemos obtener, como resultado intermedio, los tres valores estadísticos
indicados, que son:
NH
Caudal medio en cabecera : Q
(5.100)
dk pk
k 1
NH
Varianza de caudal en cabecera : σ
2
Q
2
dk pk ( 1
pk )
(5.101)
k 1
NH
Caudal acumulado en cabecera : Qac
dk
(5.102)
k 1
siendo NH es el número de hidrantes de la red, dk es el caudal nominal del
hidrante k-ésimo, y pk es la probabilidad de utilización de dicho hidrante, que se
calcula como ya vimos en (5.10) según:
pk
Volumen de agua necesario
Volumen de agua disponible
...
...
(5.103)
Caudal ficticio contínuo (l/seg) 24 (horas / día)
dk (l/seg) Jornada riego (horas/día)
A partir de estos tres datos sería posible hacer intervenir la red actual como parte
de otra red de mayor entidad, a efectos del cálculo de los caudales de Clèment,
simplemente definiendo el nudo de unión como tipo 2 e introduciendo los datos
5.121
5. Implementación de un modelo lineal ...
estadísticos de caudal que acabamos de referir.
Siguiendo con el proceso de dimensionado, procederíamos con la etapa de
Predimensionado, de la cual no presentamos los resultados por abreviar, para finalmente
llegar a la Optimización, cuyos resultados se presentan a continuación:
EJEMPLO
SALIDA DE RESULTADOS (Optimizacion por P.L.)
PRESION en cabecera = 120.72 m.c.a.
COTA de cabecera = 75.00 metros
Material tuberias : P.V.C.
Rug. abs : 0.0070 mm
FIBROCEMENTO
Rug. abs : 0.0250 mm
Linea
-------1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
8
9
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Nudos
Diametro
INI FIN Nominal (mm)
----- ------- -------------------0
1
450 E
1
2
450 D
2
3
200 D
2
4
400 C
4
5
250 C
5
6
175 C
5
7
150 C
9
10
350 C
10
11
350 C
11
12
250 D
200 D
12
13
200 D
11
14
250 C
200 C
1
8
400 E
8
9
350 E
9
15
200 C
15
16
150 D
125 D
15
17
150 D
8
18
300 E
18
19
250 D
19
20
250 D
20
21
125 D
20
22
250 D
18
23
175 D
23
24
175 D
Longitud (m) Velocidad
Parcial Total
(m/s)
------------------------ -------------...... 1930
1.91
......
765
.82
......
712
1.91
.............835
1.03
.............705
1.83
.............552
2.29
.......... 1037
1.98
........912
2.13
........565
1.61
440
1.22
172..... 612
1.91
........620
1.91
433
1.22
657... 1090
1.91
........ 1000
1.80
........ 1445
2.13
........477
2.07
264
1.70
531 ...795
2.44
........457
1.98
........455
1.48
........600
1.43
........657
1.43
........605
1.63
........ 1062
1.02
........840
2.29
........545
2.29
Coste tramo (pts)
Presion nudo aguas abajo
Parcial
Total Estatica (mca)
Dinamica
------------ --------------- -------------------- ---------------..........
22.627.320
107.72
97.05
..........
---------------88.72
76.88
..........
---------------73.72
48.06
..........
---------------79.72
65.62
..........
---------------91.72
67.92
..........
---------------93.72
52.27
..........
---------------97.72
43.44
...........
5.953.536
68.72
30.74
...........
3.688.320
65.72
24.68
2.061.400
89.72
44.03
580.672.... 2.642.072
...........2.093.120
74.72
20.00
1.765.774
72.72
20.00
1.894.788 ...3.660.562
...........9.930.000
106.72
90.33
..........12.107.655
72.72
43.09
...........1.375.668
70.72
33.02
537.768
83.72
20.00
777.915 ...1.315.683
.............930.909
81.72
33.95
...........3.020.745
95.72
76.80
...........2.811.000
72.72
49.92
...........3.078.045
83.72
56.68
.............886.325
74.72
36.12
...........4.975.470
50.72
20.00
...........2.304.960
79.72
40.66
...........1.495.480
80.72
28.59
Pmin de la red (Dinamica) = 20.00 m (Nudo: 13)
Pmax de la red (Estatica) = 107.72 m.
(Nudo:1)
Incremento adicional sobre la carga estatica (para el calculo de los timbrajes) = 0.00 mca
Porcentaje de perdidas menores =0.0 %
Caudal inyeccion en cabecera = 303.77 l/seg
Potencia grupo elevador = 527.64 Kw
Figura 5.32. Resultados de la Optimización. Listado General (1).
5.122
5. Implementación de un modelo lineal ...
DESGLOSE ECONOMICO
---- TUBERIAS ---Material
-----------FIBROCEMENTO
P. Trab.
(mca)
-----------75.0
Diametro Coste UNITARIO Long. TOTAL
(mm)
(pts/m.l.)
(m)
------------ ------------------------- ---------------------350 C
6.528
1.477
250 C
4.078
433
200 C
2.884
1.134
100.0
250
200
175
150
125
D
D
D
D
D
4.685
3.376
2.744
2.037
1.465
125.0
450
400
350
300
E
E
E
E
11.724
9.930
8.379
6.639
2.759
792
1.385
721
1.136
Coste TOTAL
(pts)
-------------------9.641.856
1.765.774
3.270.456
12.925.915
2.673.792
3.800.440
1.468.677
1.664.240
1.930
22.627.320
1.000
9.930.000
1.445
12.107.655
455
3.020.745
_________________
COSTE TOTAL de las TUBERIAS ..........
84.896.870
AMORTIZACION anual TUBERIAS .......
pts.
11.365.889
pts.
Coste BOMBEO año (Promedio) ......
7.709.647
_________________
COSTE TOTAL del sistema al año ......
19.075.537
pts.
pts.
Figura 5.33. Resultados de la Optimización. Listado General (2).
Los resultados obtenidos en la Optimización muestran que la presión estática que
soportarán las líneas 4, 5, 6 y 7 resulta superior a la presión de trabajo de las tuberías
(recordemos que dichas tuberías pertenecen a la red original). Para reducir dicha presión
será necesario emplear una válvula reductora de presión (VRP) en el punto de
alimentación de la subred existente.
Por otra parte, se constatan asimismo diferencias considerables entre la presión
estática y dinámica de los nudos de la red, circunstancia que parece aconsejar el empleo
de VRPs como un medio para obtener un mayor ahorro en las tuberías mediando una
disminución de su presión de trabajo.
Una vez completado el proceso de Optimización, ejecutamos el módulo de Análisis
de la red con VRPs para determinar cuáles podrían ser más eficientes desde el punto de
vista económico.
5.123
5. Implementación de un modelo lineal ...
La primera acción a emprender será efectuar un listado de posibles VRPs que pueda
orientarnos sobre las que serían más convenientes.
LISTA DE POSIBLES VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION
Linea
Nudos
(Ini-Fin)
Ubicacion
-------1
2
8
2
3
4
4
5
6
7
10
11
12
14
12
8
9
18
9
10
15
15
16
17
18
19
23
19
20
21
22
23
----------(0-1)
(1-2)
(1-8)
(1-2)
(2-3)
(2-4)
(2-4)
(4-5)
(5-6)
(5-7)
(9-10)
(10-11)
(11-12)
(11-14)
(11-12)
(1-8)
(8-9)
(8-18)
(8-9)
(9-10)
(9-15)
(9-15)
(15-16)
(15-17)
(8-18)
(18-19)
(18-23)
(18-19)
(19-20)
(20-21)
(20-22)
(18-23)
----------a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
a.abajo
a.arriba
a.arriba
a.abajo
Pres. Pres.
Estat. Dinam.
(mca) (mca)
-------- -------107.7
97.0
107.7
97.0
107.7
97.0
88.7
76.9
88.7
76.9
88.7
76.9
79.7
65.6
91.7
67.9
91.7
67.9
91.7
67.9
68.7
30.7
65.7
24.7
65.7
24.7
65.7
24.7
89.7
44.0
106.7
90.3
106.7
90.3
106.7
90.3
72.7
43.1
72.7
43.1
72.7
43.1
70.7
33.0
70.7
33.0
70.7
33.0
95.7
76.8
95.7
76.8
95.7
76.8
72.7
49.9
83.7
56.7
83.7
56.7
83.7
56.7
79.7
40.7
Caudal CosteVRP
(l/seg)
(ptas)
-----------303.767
130.000
226.623
130.000
60.000
130.000
130.000
90.000
55.000
35.000
205.000
155.000
60.000
60.000
60.000
226.623
205.000
104.605
205.000
205.000
65.000
65.000
30.000
35.000
104.605
70.000
55.000
70.000
70.000
20.000
50.000
55.000
-----------1405000
640000
1065000
640000
385000
640000
640000
470000
300000
215000
1915000
1405000
725000
725000
725000
1065000
980000
555000
980000
980000
385000
725000
385000
385000
555000
385000
300000
385000
385000
215000
300000
555000
Num
VRP
-------
Pres.
Tarado
(mca)
-------97.0
73.6
97.0
53.4
48.8
53.4
42.2
44.5
35.6
44.5
30.7
24.7
24.7
24.7
44.0
90.3
90.3
90.3
43.1
43.1
43.1
33.0
33.0
19.1
76.8
76.8
68.2
49.9
56.7
40.6
56.7
32.1
Num.
Lin.
Afec.
-------23
6
17
5
1
4
3
2
1
1
4
3
2
1
1
16
9
7
8
5
3
2
1
1
6
4
2
3
2
1
1
1
Ahorro
Tuberia
(ptas)
-----------4033885
0
4033885
0
0
0
0
0
0
0
2222744
2424766
1474616
950150
665260
3776629
2136546
1640083
3640374
3000420
639954
720037
427557
308018
1458083
1212833
623250
1212833
814034
294635
644634
586965
Figura 5.34. Listado de posibles VRPs.
El objetivo principal es reducir las presiones en la subred primitiva y resulta evidente
que tal reducción de presiones no va a conducir a un abaratamiento de unas tuberías que
ya existen.
Si optamos por ubicar una VRP en el extremo aguas abajo de la línea 0-1 podemos
reducir las presiones hasta 10 mca. en la subred primitiva, ahorrando también en otras
tuberías afectadas, pero pensamos que es preferible ubicar una VRP en cabeza de la
línea 1-2, puesto que permite reducir la presión estática aproximadamente unos 34 mca.,
lo que confiere una mayor seguridad al funcionamiento de las tuberías ya instaladas.
Por otra parte, se observa que la VRP que proporciona un mayor ahorro neto es la
ubicada en cabeza de la línea 1-8.
5.124
5. Implementación de un modelo lineal ...
Una vez seleccionadas estas dos VRPs, procedemos de igual modo, seleccionando una
por una aquellas VRPs que en cada fase proporcionan el máximo ahorro neto. De esta
forma, seleccionamos hasta cuatro VRPs, cuyos parámetros son los siguientes:
Ubicación
Válvula
Presión
Tarado
(mca.)
Máxima
Ahorro
Caudal
pérdida
Coste VRP
tubería
Ahorro neto
(l/seg.)
(mca.)
(ptas)
(ptas)
(ptas)
Línea
extremo
VRP 1
1-2
a. arriba
73,6
130,0
34,1
1.235.000
0
-1.235.000
VRP 2
1-8
a. arriba
97,0
226,6
10,7
1.065.000
4.033.885
2.968.885
VRP 3
8-9
a. abajo
43,1
205,0
18,9
980.000
3.277.557
2.297.577
VRP 4
11-12
a. arriba
24,7
60,0
11.4
385.000
817.872
432.872
3.665.000
8.129.314
4.464.334
(*)
TOTAL
(**)
Tabla 5.7.- V álvulas reductoras seleccionadas.
NOTAS: Los valores presentados para cada VRP corresponden a la situación en la que funcionan
todas las VRP anteriores. Por ejemplo, los valores obtenidos para VRP 3, implican que están
funcionando VRP 1 y VRP 2.
(*) La máxima perdida de carga en la VRP se refiere a la diferencia entre presión estática a la
entrada de la VRP menos la presión de salida (presión de tarado).
(**) El ahorro en tubería es el neto que puede conseguir la reducción de presiones provocada por
la VRP, habiendo ya tenido en cuenta anteriores reducciones causadas por otras válvulas.
Con la implantación de estas cuatro válvulas, podemos realizar una nueva salida de
resultados definitivos, adaptados a las nuevas presiones que resultan de instalar las VRPs
seleccionadas, como se muestra en las siguientes páginas. El listado se presenta
completo en este caso, al ser ya definitivo.
5.125
5. Implementación de un modelo lineal ...
EJEMPLO
SALIDA DE RESULTADOS (Optimizacion por P.L.)
=== Incluye VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION ===
PRESION en cabecera = 120.72 m.c.a.
COTA de cabecera = 75.00 metros
Material tuberias :
P.V.C.
Rug. abs : 0.0070 mm
FIBROCEMENTO Rug. abs : 0.0250 mm
Linea Nudos
Diametro
INIFIN Nominal (mm)
-------- ----- -----------------------1
0 1
450 E
===> 2 1 2
450 D
3
2 3
200 D
4
2 4
400 C
5
4 5
250 C
6
5 6
175 C
7
5 7
150 C
10
9 10
350 B
11 10 11
350 B
===> 1211 12
250 B
200 B
13 12 13
200 B
14 11 14
250 B
200 B
===> 8 1 8
400 D
===> 9 8 9
350 D
15
9 15
200 B
16 15 16
150 C
125 C
17 15 17
150 C
18
8 18
300 D
19 18 19
250 D
20 19 20
250 C
21 20 21
125 C
22 20 22
250 C
23 18 23
175 D
24 23 24
175 C
Longitud (m) Velocidad Coste tramo (pts)
Parcial
Total
(m/s)
Parcial
Total
--------------------------------------- -----------------------------------........
1930
1.91
.......... 22.627.320
........
765
.82
..........
--------........
712
1.91
........
--------........
835
1.03
........
--------........
705
1.83
........
--------........
552
2.29
........
--------........
1037
1.98
........
--------........
912
2.13 ...........
4.959.456
........
565
1.61 ...........
3.072.470
440
1.22 1.436.600
172 ... 612
1.91
396.116... 1.832.716
........
620
1.91 ...........
1.427.860
433
1.22 1.413.745
657 ... 1090
1.91 1.513.071... 2.926.816
........
1000
1.80 ...........
9.016.000
........
1445
2.13 ..........
10.990.670
........
477
2.07 ...........
1.098.531
264
1.70
459.360
531 ... 795
2.44
629.235... 1.088.595
........
457
1.98
.............
795.180
........
455
1.48 ...........
2.838.745
........
600
1.43 ...........
2.811.000
........
657
1.43 ...........
2.679.246
........
605
1.63 .............
716.925
........
1062
1.02 ...........
4.330.836
........
840
2.29 ...........
2.304.960
........
545
2.29 ...........
1.250.230
Pmin de la red (Dinamica) = 20.00 m
(Nudo: 7)
33.68
43.09
20.00
20.00
96.05
62.05
41.09
54.09
90.33
43.09
33.02
20.00
52.09
85.05
62.05
73.05
64.05
40.05
69.05
70.05
33.95
76.80
49.92
56.68
36.12
20.00
40.66
28.59
Pmax de la red (Estatica) = 107.72 m. (Nudo: 1)
Incremento adicional sobre la carga estatica (para el calculo de los timbrajes) =
Porcentaje de perdidas menores =
Presion aguas abajo
Estatica(mca) Dinamica
-------------------------------107.72
97.05
54.60
53.44
39.60
24.61
45.60
42.18
57.60
44.47
59.60
28.83
63.60
20.00
39.09
30.74
36.09
24.68
48.68
44.03
0.00 mca
0.0 %
Caudal inyeccion en cabecera = 303.77 l/seg
Potencia grupo elevador =
527.64 Kw
Figura 5.35. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs. (1) General.
5.126
5. Implementación de un modelo lineal ...
DESGLOSE ECONOMICO
---- TUBERIAS ---Material
P. Trab.
(mca)
-----------------------------FIBROCEMENTO
50.0
Diametro Coste UNITARIO Long. TOTAL
(mm)
(pts/m.l.)
(m)
------------ ------------------------- ---------------------350 B
5.438
1.477
250 B
3.265
873
200 B
2.303
1.926
Coste TOTAL
(pts)
-------------------8.031.926
2.850.345
4.435.578
75.0
250
175
150
125
C
C
C
C
4.078
2.294
1.740
1.185
1.719
545
721
1.136
7.010.082
1.250.230
1.254.540
1.346.160
100.0
400
350
300
250
175
D
D
D
D
D
9.016
7.606
6.239
4.685
2.744
1.000
1.445
455
600
840
9.016.000
10.990.670
2.838.745
2.811.000
2.304.960
125.0
450 E
11.724
1.930
22.627.320
_________________
COSTE TOTAL de las TUBERIAS..........
76.767.556
AMORTIZACION anual TUBERIAS.......
10.277.546
Coste BOMBEO año (Promedio)......
7.709.647
_________________
COSTE TOTAL del sistema al año......
17.987.193
pts.
pts.
pts.
pts.
LISTA DE VALVULAS REDUCTORAS DE PRESION SELECCIONADAS
Nº Denom.
VRP
Linea
Sit.
Pres.
Pres.
Pres.
Num Caudal Coste VRP Ahorro Tub.
Est.
Din.
Tara.
Lin (l/seg)
(ptas)
AISLADO
(mca)
(mca)
(mca)
Afec
(ptas)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
SEC
(1-2)
arriba
107.7
97.0
73.6
6 130.000 1.235.000
0
2 CABLIN8
(1-8)
arriba
107.7
97.0
97.0
17 226.623 1.065.000
3.671.068
3 LINAB 9
(8-9)
abajo
62.0
43.1
43.1
8 205.000
980.000
2.620.813
4 L12ARR (11-12)
arriba
36.1
24.7
24.7
2 60.000
385.000
817.872
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ahorro Total en Tuberias.......... 8.129.314ptas.
Coste de las VRP seleccionadas .... 3.665.000ptas.
Figura 5.36. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs.
(2) Desglose económico y Lista de VRPs seleccionadas.
5.127
5. Implementación de un modelo lineal ...
RELACION DE LOS PARAMETROS CARACTERISTICOS DE LOS HIDRANTES DE LA RED
Numero total de Ha. servidas =
Numero total de hidrantes
=
271
39
Dotacion por Ha. (Q. ficticio continuo) =
.500 l/seg
Ha
Numero de horas/dia disponibles para el riego = 18.0 horas/dia
Q.Total
Datos Hidrantes
SUMA
SUMA
Tipo Numero Limitadores
A.Total Caudal
Area
di*pi
di^2*pi*(1-pi)
Nudo Nudo Hidran.
(l/seg )
(ha.) (l/seg ) (ha.)
(l/seg )
(l/seg )^2
---- ------ ------ ----------- --------- ---------- ------- ----------- -------------2
c/hidr
2
15.000
6
10.000
5
----5.000
1
3
c/hidr
3
60.000
24
30.000
12
----15.000
6
15.000
7
4
c/hidr
2
40.000
17
15.000
6
----25.000
10
6
c/hidr
3
55.000
24
20.000
9
----25.000
10
10.000
5
7
c/hidr
2
35.000
15
15.000
6
----20.000
9
10
c/hidr
2
50.000
21
30.000
12
----20.000
9
11
c/hidr
2
35.000
14
10.000
3
----25.000
11
13
c/hidr
3
60.000
21
10.000
3
----20.000
7
30.000
11
14
c/hidr
2
60.000
23
35.000
14
----25.000
10
9
c/hidr
2
35.000
14
10.000
4
----25.000
10
16
c/hidr
2
30.000
9
10.000
3
----20.000
7
17
c/hidr
3
35.000
14
5.000
2
----20.000
7
10.000
5
18
c/hidr
3
55.000
22
25.000
10
----10.000
4
20.000
8
21
c/hidr
2
20.000
9
10.000
4
----10.000
5
22
c/hidr
3
50.000
18
20.000
7
----15.000
6
15.000
5
24
c/hidr
3
55.000
22
20.000
9
----20.000
7
15.000
7
Figura 5.37. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs.
(3) Parámetros característicos de los hidrantes.
5.128
5. Implementación de un modelo lineal ...
CRITERIOS DE SELECCION DE LA PRESION DE TRABAJO DE LAS TUBERIAS
Nudo
Long. Diametro
Lin INI-FIN (m.) Nominal
--- ------- -----1
0- 1 1930
10
9-10
912
11 10-11
565
12 11-12
172
440
13 12-13
620
14 11-14
657
433
8
1- 8 1000
9
8- 9 1445
15
9-15
477
16 15-16
531
264
17 15-17
457
18
8-18
455
19 18-19
600
20 19-20
657
21 20-21
605
22 20-22 1062
23 18-23
840
24 23-24
545
-----450 E
350 B
350 B
200 B
250 B
200 B
200 B
250 B
400 D
350 D
200 B
125 C
150 C
150 C
300 D
250 D
250 C
125 C
250 C
175 D
175 C
P. Estatica
N.ini N.fin
(mca) (mca)
------ ----121
108
43
39
39
36
25
49
Inc.P
long.
(mca)
----0
0
0
0
P.est.
Def.
(mca)
----121
43
39
49
49
36
34
43
0
0
49
43
97
96
43
41
96
62
41
54
0
0
0
0
97
96
43
54
41
96
85
62
73
73
85
69
52
85
62
73
64
40
69
70
0
0
0
0
0
0
0
0
52
96
85
73
73
73
85
70
P.Trab. Dec.PT
Tuberia Diam.
(mca)
(mca)
-------- ------125
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
100
0
100
0
50
0
75
0
75
0
75
0
100
0
100
0
75
0
75
0
75
0
100
0
75
0
P.Trab.
Def.
(mca)
-----125
50
50
50
50
50
50
50
100
100
50
75
75
75
100
100
75
75
75
100
75
PARAMETROS PARA EL CALCULO DE LOS COSTES ENERGETICOS DE BOMBEO
** Tarifas Electricas. O.M. 10 Enero 1992 (B.O.E. 13 de 15 de Enero) **
Tipo de tarifa
Ter. Potencia (ptas/kW/mes)
Ter. Energia (ptas/kW.hora)
--------------------------------------------------------------------------------------R0 (Baja Tension)
56.0
13.19
R1 (hasta 36 kV)
83.0
11.33
R2 (de 36 kV a 72.5 kV)
80.0
10.65
R3 (mayor de 72.5 kV)
75.0
10.31
Tipo de discriminacion horaria
Recargos / Descuentos (%)
--------------------------------------------------------------------------------------Tipo 1 - Simple (P<50 kW) +20 (Todas horas)
Tipo 2 - Doble
+40 (punta) +0 (llano+valle)
Tipo 3 - Triple Normal
+70 (punta) +0 (llano) -43 (valle)
Tipo 4 - Triple+Festivos +100 (punta) +0 (llano) -43 (valle) -43 (sab.+festivos)
Tarifa SELECCIONADA:
R2 (de 36 kV a 72.5 kV)
(Tipo 3 - Triple Normal)
Horas anuales de bombeo: 3000
= 500 (punta) + 1500 (llano) + 1000 (valle)
Coseno FI = .85 (Recargo Reactiva = +2.5 %)
Incremento anual de Costes Energeticos = 5.0 %)
Periodo de vida del proyecto =
20 años
Volumen de agua consumido por aÀo =
888888 m3/año
Inyeccion DIRECTA a la red
Caudal Maximo de bombeo =
.304 m3/seg.
Rendimiento de la instalacion = 75 %
Potencia del grupo elevador =
Sobredimensionamiento Potencia Instalada =
10 %
527.6 kW
Figura 5.38. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs.
(4) Presiones de trabajo y Parámetros para el cálculo del coste energético.
5.129
5. Implementación de un modelo lineal ...
Relacion de TUBERIAS previamente INSTALADAS en la red
Linea Nudos Long. L.eq. Qlinea Diametro Material
D.int.
Presion Rugosidad
(Ini-Fin) (m)
(m)
(l/seg) (Ref.)
(mm)
Trab.(mca)
(mm)
----- ----- ----- ------ -------- ------- ------------ ------- ---------- ---------2
1- 2 765.0 255.0 130.000 450 D
FIBROCEMENTO 450.0
100.0
.025
3
2- 3 712.0 237.0
60.000 200 D
FIBROCEMENTO 200.0
100.0
.025
4
2- 4 835.0 278.0 130.000 400 C
FIBROCEMENTO 400.0
75.0
.025
5
4- 5 705.0 235.0
90.000 250 C
FIBROCEMENTO 250.0
75.0
.025
6
5- 6 552.0 184.0
55.000 175 C
FIBROCEMENTO 175.0
75.0
.025
7
5- 7 1037.0 345.0
35.000 150 C
FIBROCEMENTO 150.0
75.0
.025
Resumen de TUBERIAS INSTALADAS por MATERIALES
Material
-------FIBROCEMENTO
P. Trab.
(mca)
-------75.0
100.0
Diametro
(mm)
-------400 C
250 C
175 C
150 C
Longitud TOTAL
(m)
-------------835
705
552
1.037
450 D
200 D
765
712
RELACION DE ELEMENTOS AUXILIARES DE LA RED
______________________________________________________________
Ident.
Tub. Diametro
P.Tr. Caudal
Diametro
P.Tr. Tipo enlace Ventosas Desagues
Salen entrante
(mca) (l/seg ) saliente
(mca)
----------- ------- ----- -------- -------- --------------- -------- -------Nudo 1
2
450 E
125
303.767
400 D
100
ENLACE T
...........................................................................................
Nudo 3
0
200 D
100
60.000
SI
---...........................................................................................
Nudo 4
1
400 C
75
130.000
SI
---...........................................................................................
Nudo 11
2
350 B
50
155.000
250 B
50
ENLACE T
250 B
50
CONO REDUCTOR
SI
---...........................................................................................
Linea 12
1
250 B
50
60.000
200 B
50
CONO REDUCTOR
Nudo 12
1
200 B
50
60.000
---SI
...........................................................................................
Nudo 13
0
0
60.000
SI
---...........................................................................................
Linea 14
1
250 B
50
60.000
200 B
50
CONO REDUCTOR
...........................................................................................
Nudo 8
2
400 D
100
226.623
300 D
100
ENLACE T
350 D
100
CONO REDUCTOR
...........................................................................................
Nudo 9
2
350 D
100
205.000
200 B
50
ENLACE T
...........................................................................................
Nudo 15
2
200 B
50
65.000
150 C
75
ENLACE T
150 C
75
CONO REDUCTOR
SI
---...........................................................................................
Linea 16
1
150 C
75
30.000
125 C
75
CONO REDUCTOR
...........................................................................................
Nudo 18
2
300 D
100
104.605
175 D
100
ENLACE T
250 D
100
CONO REDUCTOR
...........................................................................................
Nudo 19
1
250 D
100
70.000
SI
---...........................................................................................
Nudo 20
2
250 C
75
70.000
125 C
75
ENLACE T
---SI
...........................................................................................
Nudo 21
0
125 C
75
20.000
SI
---...........................................................................................
Nudo 22
0
250 C
75
50.000
SI
---...........................................................................................
Nudo 23
1
175 D
100
55.000
SI
---...........................................................................................
Total ACOPLAMIENTOS en T = 7
Total VENTOSAS
=
9
Total CONOS de REDUCCION = 7
Total DESAGUES
=
2
Figura 5.39. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs.
(5) Tuberías existentes y Relación de elementos auxiliares.
5.130
5. Implementación de un modelo lineal ...
RELACION DE PARAMETROS DE LAS ZANJAS
Datos Generales
TALUD de la Zanja
Espesor MINIMO de la CAMA
ANCHURA Extra en la BASE
ALTURA de Relleno Selecc. sobre la Tuberia
ALTURA de Relleno NO Seleccionado
Factor de ESPONJAMIENTO del Sobrante
Linea
Long. Diametro Tipo
(m.) Tuberia Terreno
----- ------ ----- -------1
1930
450 E
FRANCO
2
765
450 D
---3
712
200 D
---4
835
400 C
---5
705
250 C
---6
552
175 C
---7
1037
150 C
---10
912
350 B
FRANCO
11
565
350 B
FRANCO
12
172
200 B
FRANCO
12
440
250 B
FRANCO
13
620
200 B
FRANCO
14
657
200 B
FRANCO
14
433
250 B
FRANCO
8
1000
400 D
FRANCO
9
1445
350 D
FRANCO
15
477
200 B
FRANCO
16
531
125 C
FRANCO
16
264
150 C
FRANCO
17
457
150 C
FRANCO
18
455
300 D
FRANCO
19
600
250 D
FRANCO
20
657
250 C
FRANCO
21
605
125 C
FRANCO
22
1062
250 C
FRANCO
23
840
175 D
FRANCO
24
545
175 C
FRANCO
:
:
:
:
:
:
10
15
50
30
100
1.30
%
cm.
cm.
cm.
cm.
Prof(m)
Anchura (m)
Volumenes (m3)
Zanja Base Superf.
Excavacion Relleno Lecho
Sobrante
------ ------ ------------ -------- -------- --------1.91
.96
1.34
4236.657 3535.164
382.139
911.941
------------------------------------------------------------------------------------1.81
.86 1.22
1710.113 1465.285
153.538
318.276
1.81
.86 1.22
1059.445
907.770
95.120
197.178
1.65
.70 1.03
247.334
219.886
21.827
35.683
1.71
.76 1.10
694.310
610.101
61.739
109.472
1.65
.70 1.03
891.552
792.611
78.677
128.624
1.65
.70 1.03
944.758
839.912
83.372
136.300
1.71
.76 1.10
683.264
600.394
60.756
107.731
1.86
.91 1.28
2032.280 1718.564
182.976
407.831
1.81
.86 1.22
2709.554 2321.641
243.271
504.287
1.65
.70 1.03
685.920
609.799
60.530
98.958
1.58
.63
.94
657.767
593.890
57.097
83.039
1.60
.65
.97
344.182
309.263
30.065
45.395
1.60
.65
.97
595.800
535.353
52.045
78.581
1.76
.81 1.16
784.279
680.687
70.131
134.670
1.71
.76 1.10
946.787
831.955
84.189
149.281
1.71
.76 1.10
1036.731
910.991
92.187
163.462
1.58
.63
.94
749.433
676.655
65.054
94.612
1.71
.76 1.10
1675.812 1472.561
149.014
264.227
1.63
.68 1.00
1150.916 1028.810
101.086
158.739
1.63
.68 1.00
746.725
667.501
65.586
102.991
RESUMEN MOVIMIENTO DE TIERRAS
Concepto
--------EXCAVACION
Tipo TERRENO
-----------FRANCO
RELLENO
VOLUMEN (m3)
-----------24.583
Coste UNITARIO (ptas/m3)
------------------------650
Coste TOTAL (ptas)
-----------------15.978.950
21.328
600
12.796.800
LECHO ARENA
2.190
1.350
2.956.500
TR. SOBRANTE
4.231
500
2.115.500
--------------33.847.750 Ptas.
Figura 5.40. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs.
(6) Estimación del movimiento de tierras.
5.131
5. Implementación de un modelo lineal ...
RESUMEN DE RESULTADOS DE LA RED
EJEMPLO
Superficie total ...................
271
ha.
Longitud total de tuberias ......... 19.273
m.
** Longitud tuberias instaladas ....
4.606
m.
Numero total de Hidrantes servidos .
39
hid.
Coste de la Inversion en tuberias .. 76.767.556 ptas.
Coste Energetico anual ............. 7.709.647 ptas/año
Volumen total de agua consumido ....
888.888 m3/año
Longitud de tuberia por ha. ........
Inversion en tuberias por ha........
Coste energetico anual por ha. ....
Numero de hidrantes por ha. .......
71.1
283.275
28.448
.1
m/ha.
ptas/ha.
ptas/ha.
hidr/ha.
Figura 5.41. Resultados de la Optimización incluyendo VRPs.
(7) Resumen de resultados de la red.
Veamos una serie de puntualizaciones sobre el listado de resultados que acabamos de
presentar en las figuras precedentes:
a) Listado de configuración de las líneas (Figura 5.35):
(1)
Las líneas donde se ha ubicado una VRP se señalan en el listado por medio del
símbolo "===>". Los parámetros que definen la VRP (posición en la línea,
presión de tarado, etc...) se encuentran en el listado complementario de VRPs
(Figura 5.36).
b) Listado complementario de VRPs seleccionadas (Figura 5.36):
El usuario debe tener en cuenta que las variables que muestra este listado están
referidas a la situación en la cual todas las VRPs seleccionadas están operativas.
5.132
5. Implementación de un modelo lineal ...
(2)
Esta columna muestra la presión estática (mca.) (caudal circulante nulo), que
existirá en el extremo aguas arriba de la VRP en cuestión.
(3)
Indica la presión dinámica (mca.) (funcionamiento con caudal de diseño) en el
extremo aguas arriba de la VRP.
(4)
La columna Num. Lin. Afec. informa del número de líneas afectadas por una
determinada VRP, esto es, el nº de líneas que se encuentran situadas aguas
abajo de la misma, y por lo tanto, alimentadas desde ella.
(5)
En la columna Ahorro Tub. AISLADO (ptas.) se indica el ahorro en tuberías
que puede producir AISLADAMENTE la VRP indicada, esto es, la diferencia
en el coste de las tuberías si la VRP está operativa y si no lo está. Obsérvese
que la suma de ahorros aislados es siempre menor o igual al ahorro total real
en tubería. Por la misma razón, la suma de ahorros absolutos en tubería que
obtendríamos a partir de los valores del listado de posibles VRPs (ver Figura
5.34), siempre será mayor o igual al ahorro total real en tubería. Ello es debido
a la interdependencia que existe entre las válvulas reductoras.
c) Listado complementario de Elementos A uxiliares de la red (Figura 5.39):
Para aclarar el contenido de este listado, hemos seleccionado tres de los elementos
que contiene:
(6)
En esta fila del listado encontramos, en primer lugar, el identificativo (Nudo 1),
del que parten 2 tuberías. La estructura de las conexiones del nudo 1, es la que
indica la Figura 5.42. La tubería
entrante (0-1) posee un diámetro
450 E, y las dos tuberías salientes
poseen diámetros 400 D (línea 1-8) y
450 D (línea 1-2, instalada con
anterioridad). En consecuencia se
supone que la conexión principal se
realizará mediante una T de diámetro Figura 5.42. Conexiones en el nudo 1.
principal 450 mm. (clase E) y
derivación de 400 mm.
5.133
5. Implementación de un modelo lineal ...
(7)
El contenido de la fila corresponde al nudo 11, del que parten 2 tuberías. La
Figura 5.43 muestra la configuración
de las conexiones. La tubería entrante
(10-11) posee un diámetro 350 B, y
las tuberías salientes conectan con
diámetros 250 B (líneas 11-12 y 1114). En el listado de la Figura 5.39
podemos comprobar que ambas líneas
salientes están compuestas por
diámetros 250 B y 200 B, por lo que
se supone que el diámetro mayor se Figura 5.43. Conexiones en el nudo 11.
sitúa en el tramo aguas arriba. Las
conexiones principales se realizarán mediante una T, de diámetro principal 350
mm. (clase B) y derivación de 250 mm., más un cono reductor, con diámetro
de entrada 350 mm. y salida de 250 mm. (clase B). Además de las conexiones
descritas, será necesario instalar en el nudo 11 una ventosa para evacuación de
aire, puesto que su cota geométrica es más elevada que cualquiera de los nudos
contiguos conectados físicamente.
(8)
En esta fila se hace referencia al nudo 21, cuya única particularidad es que se
trata de un punto elevado relativo, y necesita la instalación de una ventosa.
La Figura 5.44 muestra el esquema de la solución definitiva de la red, indicando la
ubicación de las cuatro VRPs que se ha considerado en la última etapa de optimización.
A modo de resumen, indicamos los costes más significativos en ambas soluciones:
SOLUCION SIN VRPs
Coste de las tuberías de la red
84.896.870 ptas.
Coste de las válvulas reductoras de presión
76.767.556 ptas.
0 ptas.
3.665.000 ptas.
33.847.750 ptas.
33.847.750 ptas.
7.709.647 ptas./año
7.709.647 ptas./año
19.075.537 ptas./año
17.987.193 ptas./año
Coste del enterramiento de las tuberías
Coste energético anual
Coste anual (Amortización tuberías + Energía)
SOLUCION CON VRPs
Tabla 5.8. Resumen de costes de la red.
Las cifras que se presentan dejan bien claro la conveniencia de utilizar las VRPs
seleccionadas; además del control de la presión que actúa sobre las tuberías primitivas,
permite utilizar tuberías nuevas con menor presión de trabajo, que configuran una
solución más económica, aún incluyendo el propio coste de las VRPs.
5.134
5. Implementación de un modelo lineal ...
Figura 5.44. Configuración de la solución definitiva.
5.135
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.11. CONCLUSIONES
En el presente capítulo se ha expuesto el desarrollo e implementación informática de
un modelo para el dimensionado económico de redes ramificadas basado en una
formulación mediante PL, que se ha plasmado en un programa de cálculo denominado
DIOPRAM (DImensionado OPtimo de redes RAMificadas). Una aplicación de este tipo
cubre una carencia en el campo del diseño de redes de riego, dominado tradicionalmente
en la práctica por los métodos de dimensionado de tipo funcional (aplicación de criterios
de velocidad recomendada, o de pendiente hidráulica constante).
Hasta el momento actual podemos hablar de dos grandes líneas en el desarrollo de
programas aplicables al cálculo (o dimensionado) de redes hidráulicas: por un lado
encontramos los trabajos desarrollados en un entorno académico, orientados
fundamentalmente al estudio de los métodos de dimensionado bajo su perspectiva más
teórica, y por otro, los programas elaborados por las compañías especializadas del sector,
cuyo objetivo principal consiste en aliviar de trabajo al usuario en la elaboración de un
proyecto, automatizando en la medida de lo posible las tareas de procesamiento,
organización y presentación de la información.
En la actualidad se está observando una tendencia, tan natural como en cualquier otro
campo de la ingeniería, a buscar una convergencia entre ambos enfoques que permita
subsanar sus respectivas carencias. El programa DIOPRAM surge precisamente bajo la
intención de integrar ambos puntos de vista, proporcionando al usuario un método
elaborado de dimensionado económico de la red, y las herramientas adecuadas para
elaborar una solución definitiva susceptible de ser llevada a la práctica, tomando como
base los resultados obtenidos del modelo lineal.
En la primera parte del capítulo se ha incidido especialmente en los aspectos teóricos
del problema de dimensionado económico, argumentando la elección de un modelo de
Programación Lineal para tal fin. En la introducción se han comentado las ventajas de
este modelo frente a otros, de entre las que destacan dos, a saber:
El modelo opera directamente con diámetros de tubería disponibles en el mercado y
con las variables relacionadas con tales diámetros. Más aún, el conjunto de diámetros
que se utilizan en el dimensionado puede ser configurado por el usuario por medio
de cualquier criterio funcional o basado en su propia experiencia.
5.136
5. Implementación de un modelo lineal ...
Proporciona un marco formal que permite aseverar que la solución obtenida es la
óptima, al menos bajo las hipótesis bajo las cuales ha sido formulado el problema.
Esta característica resulta importante si tenemos en cuenta que la linealidad del
modelo es fruto de la configuración hipotética de las líneas de la red, y no de ningún
tipo de aproximación o hipótesis arbitraria.
Los inconvenientes de los que adolece la formulación mediante PL se derivan
precisamente de la consideración de los términos no lineales, como por ejemplo:
la influencia de la presión de trabajo de las tuberías en el coste unitario de las
mismas. En los casos en que la altura piezométrica en cabecera puede cambiar como
resultado del proceso de optimización, la presión de trabajo de las tuberías puede
verse afectada, y en consecuencia, su coste unitario.
la inclusión de términos no lineales en la función objetivo, correspondientes a la
inversión en elementos singulares, como por ejemplo, la estación de bombeo.
el término de coste energético, si consideramos que el rendimiento del grupo elevador
puede variar con la altura de bombeo.
Todas las circunstancias apuntadas conducen a la necesidad de resolver una secuencia
de problemas de PL en forma iterativa hasta conseguir que las hipótesis de partida del
problema sean coherentes con la solución obtenida.
Las dificultades en la aplicación del método surgen debido al tamaño que puede
alcanzar el problema, lo cual representa unas necesidades de memoria considerables para
el almacenamiento de variables, aún en el caso de redes de pequeño tamaño, y por
supuesto un tiempo de cálculo importante. En la implementación del programa
DIOPRAM se ha intentado reducir el tamaño del problema considerando un número
limitado de diámetros candidatos por línea, hasta cuatro, como un compromiso para
disponer de un conjunto de diámetros candidatos lo suficientemente amplio sin
incrementar en exceso el número de variables de decisión del problema. Por otra parte,
si se consideran valores habituales en los límites de velocidad de circulación (0'5÷2'0
m/s), el número de diámetros admisibles suele ser de cuatro o cinco, lo cual refuerza
todavía más el criterio escogido. A los efectos de reducir el tamaño del problema,
también cabe recordar la propuesta de Alperovits y Shamir [1] para plantear el problema
5.137
5. Implementación de un modelo lineal ...
considerando inicialmente sólo las restricciones de presión estrictamente necesarias, y
en caso de necesidad, ampliar el conjunto de restricciones; este procedimiento no ha sido
incluido en el programa directamente, y queda de la mano del usuario su posible
aplicación.
Independientemente de la reducción del tamaño del problema que puede conseguirse
mediante una formulación adecuada, se ha conseguido un aprovechamiento más eficiente
de la memoria del ordenador mediante el almacenamiento compactado con
direccionamiento indirecto de la matriz de coeficientes del problema, también
denominado esquema de lista encadenada (Pooch y Nieder [21]), de modo que solamente
se conservan los coeficientes no nulos. La utilización de este tipo de esquema está
justificada por la baja densidad inicial de la matriz de coeficientes, que suele estar
comprendida entre un 5÷10 %. El único inconveniente que presenta es el tiempo
consumido para la localización de los coeficientes mediante rutinas específicas.
La consecución de la solución óptima consta de dos etapas. La primera de ellas, que
hemos dado en denominar de Predimensionado, consiste en obtener una solución cercana
a la óptima mediante la intervención del método de la serie económica aplicado por
series de tuberías dentro de la red. El método de la serie económica considera como
variables de decisión continuas a los diámetros de las tuberías, y por ello será necesario
normalizar posteriormente los diámetros. Si a esto unimos el hecho de que el método
se aplica por series de tuberías y no sobre el conjunto de la red, podemos imaginar que
aún considerando la intervención del objetivo económico, la solución final que
proporciona el Predimensionado no es la óptima. Ello, sin embargo, no es excesivamente
importante, puesto que el cometido principal de esta primera fase es obtener una
solución factible inicial que permita la aplicación del algoritmo SIMPLEX directamente
en la fase II, esto es, en la mejora de dicha solución, por lo que podemos decir que el
Predimensionado sustituye a la fase I del algoritmo con un tiempo de cálculo menor.
Adicionalmente, la solución obtenida del Predimensionado puede considerarse como
definitiva en aquellos casos en los que no es posible ejecutar la fase de Optimización
por problemas de insuficiencia de memoria. Hay que tener en cuenta que a pesar de sus
limitaciones, el método de la serie económica proporciona resultados mucho más
económicos que los que se obtendrían por aplicación de cualquier otro criterio de tipo
funcional, como el de la velocidad constante o pendiente hidráulica constante. La
diferencia en coste de la solución obtenida en el Predimensionado respecto de la óptima
suele estar habitualmente en un 3÷10 %.
5.138
5. Implementación de un modelo lineal ...
La segunda etapa para alcanzar la solución óptima, que llamamos de Optimización,
consiste en la aplicación del algoritmo en su fase II, tomando como base la solución
factible que proporciona el Predimensionado. La estructura del algoritmo ha sido
modificada respecto de lo que sería el procedimiento tradicional de solución, que implica
la diagonalización de la matriz básica por eliminación de Gauss-Jordan en cada
iteración, para realizar un menor número de operaciones y en consecuencia, reducir el
tiempo de cálculo. En este sentido se realiza la reducción gaussiana de la matriz básica,
quedando ésta con una estructura triangular superior. La entrada de una nueva variable
en la base implica la sustitución de la correspondiente columna de coeficientes en la
matriz básica, destruyendo la forma triangular superior de la misma. El número de
operaciones necesarias para restaurar la forma triangular superior dependería de la
posición de la nueva columna, y al objeto de reducir dicho número se ha adoptado el
esquema de actualización de Bartels y Golub, que consiste en introducir en la última
posición la nueva columna de coeficientes, adelantando el resto de las columnas una
posición, para ocupar el hueco que deja la columna de la variable saliente. De este modo
se consigue una estructura de la matriz básica muy cercana a la forma triangular, puesto
que solamente cuenta con algunos elementos subdiagonales, cuya eliminación es muy
sencilla y rápida.
La solución óptima está configurada en general por líneas con un único diámetro,
aunque algunas de ellas cuentan con dos tramos de distinto diámetro. El número de
líneas que cuentan con dos diámetros será, a lo sumo, igual al número de restricciones
de presión mínima. La adopción de dicha solución como definitiva corresponde al
criterio del usuario, puesto que pueden darse tramos de tubería de longitud
impracticable, o la presencia de determinados diámetros puede ser tan escasa que
aconseje su eliminación. En este sentido se ha elaborado un subprograma específico
mediante el cual el usuario puede modificar a voluntad las características de las tuberías
de la solución obtenida.
El modelo desarrollado cuenta con características adicionales sobre el planteamiento
básico, de entre las que destacan las siguientes:
Los caudales circulantes pueden definirse de tres maneras: por acumulación de los
consumos definidos en los nudos de la red, por aplicación del criterio probabilístico
de Clèment o directamente como caudales de línea.
5.139
5. Implementación de un modelo lineal ...
Se puede acometer el dimensionado de redes que cuentan con tuberías previamente
instaladas.
Las pérdidas de carga en las tuberías se calculan mediante la expresión de
Darcy-Weisbach, y pueden ser mayoradas mediante un porcentaje que afecta
globalmente a todas las líneas de la red, y también mediante la adición de una
longitud ficticia en cada línea de forma individual.
La presión de trabajo de las tuberías es seleccionada considerando la máxima presión
hidrostática a la que estarán sometidas, pudiendo incluir criterios de seguridad de tipo
global (considerando una sobrepresión uniforme en toda la red), o bien de tipo
selectivo, dependiendo de las características de la conducción.
El cálculo del coste energético tiene en cuenta diversos factores, como la distribución
tarifaria de las horas de bombeo, el término de potencia, el recargo o descuento de
energía reactiva, la posible evolución temporal de los costes energéticos, etc...
El programa DIOPRAM cuenta con otras capacidades que permiten obtener resultados
adicionales a partir de la solución óptima, como son:
Análisis de presiones en la red dimensionada considerando la intervención de un
conjunto de válvulas reductoras de presión, teniendo en cuenta asimismo el impacto
económico que tiene la reducción de la presión de trabajo en las tuberías de la red.
Listado de resultados exhaustivo, constituido por un listado general y varios listados
complementarios (opcionales), referidos a diversos aspectos particulares de la
solución. Uno de los listados complementarios proporciona una estimación de los
elementos de conexión necesarios en la red, ventosas y válvulas de purga.
En otro de los listados complementarios se puede obtener una estimación del
movimiento de tierras y el correspondiente coste implicado en el enterramiento de las
tuberías de la red, tomando como base la geometría de una zanja tipo cuyas
características puede definir el usuario.
5.140
5. Implementación de un modelo lineal ...
5.12. BIBLIOGRAFIA
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