F´ısica General Ricardo Chávez

Fı́sica General
Ricardo Chávez
ii
Índice general
1. Fı́sica y Medición
1
1.1. Una breve historia de la fı́sica . . . . . . . . . .
2
1.2. Ramas de la fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. Relación de la fı́sica con otras ciencias . . . . .
4
1.4. Sistemas de Unidades . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4.1. Sistema internacional de unidades (SI) .
5
1.4.2. Sistema Ingles de unidades . . . . . . . . 10
1.5. Conversiones entre sistemas de unidades . . . . 11
1.6. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Fuerzas y Vectores
15
2.1. Resultante de dos fuerzas . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Equilibrio de una Particula . . . . . . . . . . . . 20
2.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A. Soluciones a los Problemas
23
iv
ÍNDICE GENERAL
A.1. Capitulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.2. Capitulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Capı́tulo 1
Fı́sica y Medición
La fı́sica es la ciencia que se encarga de estudiar las propiedades y el comportamiento de la energı́a y la materia. De
un modo más general es el análisis de la naturaleza con el
propósito de entender el Universo.
La fı́sica es una de las disciplinas académicas más antiguas,
en efecto se puede considerar como la mas antigua, si se toma
a la astronomı́a como parte de la fı́sica. La fı́sica interactúa
con muchas otras de las disciplinas académicas modernas, e.g.
la biofı́sica y la quı́mica cuántica son interacciones entre la
fı́sica y la biologı́a y la fı́sica y la quı́mica respectivamente.
Del mismo modo siempre ha existido un dialogo muy intenso
entre las matemáticas y la fı́sica.
Como todas las ciencias modernas, la fı́sica esta basada en
observación y experimentación, para llevar a efecto las cuales
son necesarias mediciones cuantitativas. El principal objetivo de la fı́sica es encontrar un numero reducido de principios
fundamentales que permitan describir la mayor parte de los
fenómenos que ocurren en la naturaleza. Estos principios fundamentales son expresados en el lenguaje de las matemáticas.
La fı́sica hace importantes contribuciones a nuestra vida
2
Fı́sica y Medición
diaria a través del desarrollo de nuevas tecnologı́as mediante la aplicación de los principios teóricos de la disciplina. Por
ejemplo, los avances en el entendimiento del electromagnetismo a finales del siglo XIX y principios del XX dieron lugar a
gran parte de la tecnologı́a de comunicaciones e informática
que tenemos ahora.
1.1.
Una breve historia de la fı́sica
La astronomı́a es la mas antigua del las ciencias naturales. Las mas antiguas civilizaciones, como los sumerios, los
antiguos egipcios y mayas, poseı́an ya conocimientos de las
estrellas, la luna, el sol y algunos de los planetas, tales que les
era posible predecir con cierta precisión las estaciones del año,
eclipses y los movimientos planetarios.
La filosofı́a natural es un claro antecedente de la fı́sica moderna y se origino en Grecia alrededor del 500 AC cuando los
filósofos pre-socráticos comenzaron a especular sobre el origen
completamente natural de todos los fenómenos observados. Un
ejemplo de estas primeras teorı́as es el atomismo de Leucipo y
Democrito.
La fı́sica moderna nace durante la revolución cientı́fica de
los siglos XVI y XVII, cuando cientı́ficos como Galileo e Isaac
Newton comienzan a hacer experimentos con el fin de deducir
la leyes fundamentales de la naturaleza y poder obtener predicciones precisas de los fenómenos observables. Es entonces
cuando nace lo que se conoce como mecánica clásica, y con
ella la fı́sica clásica, y es también cuando las matemáticas comienzan a ser usadas extensivamente en la formulación de los
principios básicos de la fı́sica.
Durante los siglos XVIII y XIX, la fı́sica clásica se formaliza
y extiende dando lugar al nacimiento de nuevas ramas como
la termodinámica, la hidrodinámica y el electromagnetismo.
1.2 Ramas de la fı́sica
3
Durante el siglo XIX se alcanza una sistematización muy profunda de las leyes y principios que se encuentran a la base de
estas disciplinas, e.g. en 1861, Maxwell propone un conjunto
de ecuaciones matemáticas que permiten describir prácticamente todos los fenómenos electromagnéticos conocidos hasta
el momento.
Durante el siglo XIX también ocurre la revolución industrial, en esta época se suceden grandes desarrollos tecnológicos,
en gran medida con base en los principios fı́sicos desarrollados
hasta ese momento y que a su vez permiten avances cada vez
mas rápidos en la comprensión de los fenómenos naturales.
El siglo XX se inaugura con la formulación de las teorı́as
de la relatividad y de la mecánica cuántica, formuladas por
Einstein y Bohr, entre otros. Estas dos teorı́as representan una
completa revolución conceptual dentro de la fı́sica, es por esto
que desde entonces a este conjunto de desarrollos se les conoce
con el nombre de fı́sica moderna.
1.2.
Ramas de la fı́sica
La fı́sica se puede dividir para su estudio en 5 grande campos:
Astrofı́sica: Se ocupa del estudio del universo como un
todo y de sus componentes, tales como galaxias, estrellas
y sistemas planetarios.
Fı́sica atómica, molecular y óptica: Estudia las interacciones entre materia y materia y luz y materia en la
escala de átomos y moléculas.
Fı́sica de partı́culas: Estudia los componentes elementales de la materia.
4
Fı́sica y Medición
Fı́sica de la materia condensada: Estudia las propiedades
de la materia a un nivel macroscópico. En particular se
ocupa de las fases condensadas que aparecen cuando el
numero de partı́culas es extremadamente grande y las
interacciones entre ellas son fuertes.
Fı́sica aplicada: Estudia las aplicaciones de la fı́sica a
las diferentes ramas de la tecnologı́a y en particular las
interacciones de la fı́sica con otros ciencias.
1.3.
Relación de la fı́sica con otras
ciencias
Debido a la enorme importancia que ha tenido la fı́sica
para el desarrollo de la tecnologı́a moderna, no es raro que la
fı́sica se relacione aun hoy de modo muy directo con todas las
ramas de la ingenierı́a. Por ejemplo, la estática es un campo
de la mecánica que es usado intensivamente en ingenierı́a civil
y arquitectura para el diseño de estructuras.
Desde el siglo XIX la fı́sica se ha relacionado con la biologı́a
y medicina, en un principió debido al interés en los fenómenos
electromagnéticos que estas disciplinas compartı́an, pero mas
recientemente por la fructı́fera aplicación de los principios de
la mecánica en campos como la biomecánica o biodinámica
y de otros principios básicos de la fı́sica moderna en campos
como la biologı́a molecular.
Desde comienzos del siglo XX y con el surgimiento de la
mecánica cuántica, la fı́sica y la quı́mica han trabajado juntas
para entender como funcionan los constituyentes mas pequeños
de la materia, en particular atamos y moléculas.
En el otro extremo las matemáticas, han acompañado siempre el desarrollo de la fı́sica, ya con el surgimiento de la mecánica clásica, se vio que las leyes de la naturaleza se podı́an ex-
1.4 Sistemas de Unidades
5
presar mejor en el lenguaje de las matemáticas y ası́ a sido
hasta ahora.
1.4.
Sistemas de Unidades
La ecuación básica de la mecánica clásica es:
F = ma
(1.1)
donde F es el vector fuerza, m es la masa y a es el vector
aceleración. Esta ecuación permite relacionar los conceptos de
longitud, tiempo, masa y fuerza, de modo que las unidades de
medición de estas cantidades fı́sicas no pueden ser elegidas de
modo independiente. Tres de las unidades pueden ser elegidas
independientemente y son llamadas unidades básicas, mientras
que la cuarta que depende de la ecuación (1.1) es llamada
unidad derivada. Las unidades de medición construidas de esta
manera forman un sistema de unidades consistente.
1.4.1.
Sistema internacional de unidades (SI)
En este sistema de unidades, el cual es usado en la mayorı́a
de los paı́ses del mundo, las unidades base, y por lo tanto
arbitrariamente elegidas, son las de longitud, tiempo y masa
y son llamadas respectivamente el metro (m), el segundo (s) y
el kilogramo (kg).
El metro fue originalmente definido como un diezmillonésimo de la distancia del ecuador al polo, aunque actualmente
se define como 1 650 763.73 veces la longitud de onda correspondiente a una de las transiciones atómicas del átomo de
krypton-86. El segundo se definió originalmente como 1/86 400
de un dı́a solar promedio y ahora se define como la duración de
9 192 631 770 ciclos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo de cesio-133. El
6
Fı́sica y Medición
kilogramo, que es aproximadamente igual a la masa de 0.001
m3 de agua, se define como la masa de un estándar de platinoiridio mantenido en resguardo por la Oficina Internacional de
Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de Paris en Francia.
La unidad de fuerza es una unidad derivada y es llamada
newton (N); se define de acuerdo con la ecuación (1.1), como
la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s2 a una masa
de 1 kg. Esto se puede escribir como:
1 N = (1 kg)(1 m/s2 ) = 1 kg · m/s2 .
(1.2)
Las unidades del SI forman un sistema de unidades absoluto, en el sentido de que las unidades base son independientes
del lugar donde se estén llevando acabo las mediciones.
El peso de un objeto depende de la fuerza de gravedad que
actúa sobre el y puede ser expresado en newtons. De modo que
el peso de un objeto con una masa de 1 kg se puede expresar
como:
W = mg
= (1 kg)(9.81 m/s2 )
= 9.81 N.
(1.3)
Los múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI pueden
obtenerse mediante el uso de los prefijos definidos en la Figura
1.1.
La conversion entre múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI se lleva a cabo moviendo el punto decimal el numero
correspondiente de espacios a la derecha o a la izquierda. Por
ejemplo, para convertir 3.5 km a metros, se debe mover el
punto decimal tres espacios a la derecha:
3.5 km = 3500 m;
1.4 Sistemas de Unidades
7
Figura 1.1: Prefijos del SI.
de manera similar, 65.7 mm se convierten a metros moviendo
el punto decimal 3 lugares a la izquierda:
65.7 mm = 0.0657 m.
Usando notación cientı́fica, también se puede escribir:
3.5 km = 3.5 × 103 m
65.7 mm = 65.7 × 10−3 m.
Unidades de area y volumen
La unidad de area es el metro cuadrado (m2 ), el cual representa el area de un cuadrado de un metro por lado, la unidad
de volumen es el metro cubico (m3 ), el cual representa el volumen de un cubo de un metro por lado. Cuando se calculan
areas o volúmenes se elevan al cuadrado o al cubo los múltiplos y submúltiplos de la unidad de longitud. De este modo
8
Fı́sica y Medición
Figura 1.2: Principales unidades del SI usadas en mecánica.
tenemos que los submúltiplos de la unidad de area:
1 dm2 = (1 dm)2 = (10−1 m)2 = 10−2 m2
1 cm2 = (1 cm)2 = (10−2 m)2 = 10−4 m2
1 mm2 = (1 mm)2 = (10−3 m)2 = 10−6 m2 ,
y los submúltiplos de la unidad de volumen son:
1 dm3 = (1 dm)3 = (10−1 m)3 = 10−3 m3
1 cm3 = (1 cm)3 = (10−2 m)3 = 10−6 m3
1 mm3 = (1 mm)3 = (10−3 m)3 = 10−9 m3 .
Aquı́ es importante notar que un decı́metro cubico (dm3 ) es
equivalente a un litro (L).
1.4 Sistemas de Unidades
9
Figura 1.3: Principales unidades del sistema Ingles usadas en
mecánica.
Otras unidades derivadas en el SI usadas para medir cantidades como el momento de una fuerza, el trabajo de una
fuerza, etc., se muestran en la Figura 1.2. Cuando una unidad
derivada es obtenida mediante la division de una unidad base
por otra, un prefijo pude usarse en el numerador pero nunca
en el denominador. Por ejemplo, la constante k de un resorte
que se estira 20 mm bajo la acción de una fuerza de 100 N
puede expresarse como:
k=
100 N
100 N
=
= 5000 N/m = 5 kN/m,
20 mm
0.020 m
10
Fı́sica y Medición
pero nunca como k = 5 N/mm.
1.4.2.
Sistema Ingles de unidades
El sistema ingles de unidades es usado principalmente en
EUA y en otros paı́ses anglosajones en menor medida. En el
sistema ingles las unidades base son las de longitud, tiempo y
fuerza. Estas unidades son respectivamente el pie (ft), el segundo (s) y la libra (lb). El segundo es la misma unidad de
tiempo que en el SI. El pie esta definido como 0.3048 m. La
libra se define como el peso de un estándar de platino, llamado
la libra estándar, y que es mantenido por el Instituto Nacional
de Estándares y Tecnologı́a en Washington, EUA. La masa
de una libra equivale a 0.453 592 43 kg. Dado que el peso de
un cuerpo depende del campo gravitacional local al que esta
sometido, el sistema Ingles de unidades no es un sistema absoluto. Debido a esta dependencia con la atracción gravitacional
de la tierra, el sistema ingles es un sistema gravitacional de
unidades.
Aunque en la practica común la libra es usada también
como una unidad de masa, en fı́sica no es posible usarla de este
modo, debido a que el sistema de unidades seria inconsistente
con la definición dada por la ecuación (1.1). La unidad de
masa consistente con el pie, la libra y el segundo es la masa
que recibe una aceleración de 1 ft/s2 cuando se le aplica una
fuerza de 1 lb. Esta unidad, algunas veces llamada slug, puede
derivarse como sigue:
F = ma
1 lb = (1 slug)(1 ft/s2 ),
tras despejar se obtiene que:
1 slug =
1 lb
= 1 lb · s2 /ft.
1 ft/s2
(1.4)
1.5 Conversiones entre sistemas de unidades
11
Sabiendo que la aceleración gravitaciónal de la tierra es en
promedio de 32.2 ft/s2 , se concluye que un slug tiene una masa
32.2 veces mas grande que la masa de la libra estándar.
Otras unidades del sistema Ingles encontradas con frecuencias son la milla (mi) equivalente a 5280 ft, la pulgada (in)
equivalente a 1/12 ft y el kilopound (kip), equivalente a la
fuerza de 1000 lb. La tonelada (ton) es usada frecuentemente
para representar la masa de 2000 lb, pero debe convertirse a
slugs para cálculos en fı́sica. La Figura 1.3 muestra las unidades derivadas mas usadas en el sistema Ingles de unidades.
Las conversiones entre las diferentes unidades del sistema
Ingles suelen ser mas complicadas que las conversiones dentro
del SI. Si, por ejemplo, la magnitud de una velocidad es dada
como v = 30 mi/h, esto se puede convertir a ft/s como sigue:
5280 ft
1h
ft
mi
= 44
v = 30
h
1 mi
3600 s
s
1.5.
Conversiones entre sistemas de
unidades
Para convertir de un sistema de unidades a otro simplemente se divide o multiplica por los factores de conversion
apropiados. Por ejemplo, para convertir el momento de una
fuerza que ha sido determinado como M = 47 lb · in se tiene
que:
M = 47 lb · in = 47(4.448 N)(25.4 mm)
= 5310 N · mm = 5.31 N · m.
Si al contrario el momento de una fuerza ha sido obtenido
como M = 40 N · m, entonces tenemos que:
1 lb
1 ft
M = 40 N · m = (40 N · m)
= 29.5 lb · ft.
4.448 N
0.3048 m
12
1.6.
Fı́sica y Medición
Densidad
Una propiedad de cualquier substancia es la densidad, ρ,
definida como la cantidad de materia contenida por unidad de
volumen, la cual se expresa como:
ρ=
m
.
V
(1.5)
Por ejemplo, el aluminio tiene una densidad de 2.70 g/cm3 ,
y el plomo tiene una densidad de 11.3 g/cm3 . La diferencia en
densidades de los dos elementos se debe en parte a la diferencia
en sus masas atómicas.
1.7.
Sumario
La fı́sica es la ciencia que estudia las propiedades y el comportamiento de la materia y la energı́a. Las ramas principales
de la fı́sica clásica son la mecánica, la hidrodinámica, la termodinámica y el electromagnetismo.
Los campos de estudio principales de la fı́sica actual son
la astrofı́sica, la fı́sica atómica, molecular y óptica, la fı́sica
de partı́culas, la fı́sica de la materia condensada y la fı́sica
aplicada.
La fı́sica se relaciona con muchas otras ciencias, entre ellas
las matemáticas, la ingenierı́a, la quı́mica y la biologı́a. La
relación entre la fı́sica y la quı́mica a producido la quı́mica
molecular moderna y su relación con la biologı́a a producido
la biomecánica.
Las tres cantidades fı́sicas fundamentales de la mecánica
son la longitud, la masa y el tiempo, las cuales en el SI tienen
unidades de metros (m), kilogramos (kg) y segundos (s), respectivamente. Se utilizan prefijos para indicar las potencias de
1.8 Problemas
13
10 que son usadas para expresar múltiplos y submúltiplos de
las unidades básicas.
La densidad de una substancia se define como la masa por
unidad de volumen. Diferentes substancias tienen diferentes
densidades principalmente debido a diferencias en sus masas
atómicas.
1.8.
Problemas
1. El kilogramo estándar de platino-iridio es un cilindro de
39.0 mm de altura y 39.00 mm de diametro. ¿Cuál es la
densidad del material?
2. La masa del planeta Saturno es 5.64 × 1026 kg, y su radio
es 6.00 × 107 m. Calcule su densidad.
3. La ley de la gravitación universal de Newton se representa como:
GM m
,
F=
r2
donde F es la fuerza gravitacional, M y m son masas y
r es una distancia. ¿Cuáles son las unidades en el SI de
la constante de proporcionalidad G?
4. Suponga que el cabello crece a una taza de 1/64 in por
dı́a. Encuentre la taza a la que el cabello crece en nanometros por segundo.
5. Un edificio rectangular mide 60 ft por 150 ft. Determine
el area del edificio en m2 .
6. Un auditorio mide 30.0 m × 30.0 m × 15.0 m. La densidad del aire es de 1.20 kg/m3 . Encuentre (a) el volumen
del auditorio en ft3 y (b) el peso del aire dentro del auditorio en libras.
14
Fı́sica y Medición
7. Suponga que el llenado de un tanque de 28.0 galones de
gasolina toma 5.00 minutos. (a) Calcule la taza a la que
el tanque se llena en galones por segundo. (b) Calcule la
taza a la que el tanque se llena en metros cúbicos por
segundo. (c) Determine el tiempo en horas que tomaria
llenar un volumen de 1 metro cubico a la misma taza. (1
gal = 231 in3 )
8. Un terreno tiene un área de 1 mi2 y contiene 640 acres.
Determine el número de metros cuadrados en 1 acre.
9. Una pieza solida de plomo tiene una masa de 23.94 g y
un volumen de 2.10 cm3 . Calcule la densidad del plomo
en unidades del SI (kg/m3 ).
10. La masa del Sol es de 1.99 × 1030 kg y la masa de un
atomo de hidrogeno es de 1.67 × 10−27 kg. Suponiendo
que el sol esta formado solo de hidrogeno, encuentre el
numero de atomos en el Sol.
11. ¿Cuántos segundos hay en un año?
12. La función básica de un carburador es atomizar la gasolina y mezclarla con el aire para promover una combustion
mas rápida. Suponga que 30.0 cm3 de gasolina son atomizados en N gotas esféricas idénticas, cada una con un
radio de 2.00 × 10−6 m. Encuentre la superficie total que
esas N gotas pueden cubrir.
13. Un centı́metro cubico de agua tiene una masa de 1.00 ×
10−3 kg. (a) Determine la masa de 1.00 m3 de agua.
(b) Suponiendo que las substancias biológicas están compuesta por un 95 % de agua, estime la masa de una célula
que tiene un diámetro de 1 µm y un riñón humano. Suponga que el riñón es una esfera de un radio de 4.0 cm.
Capı́tulo 2
Fuerzas y Vectores
En este capitulo se estudiara el efecto de fuerzas actuando
sobre partı́culas. Primero se aprenderá a reemplazar dos o mas
fuerzas actuando sobre una partı́cula por una sola fuerza que
tenga el mismo efecto que las fuerzas originales, esta fuerza es
conocida como fuerza resultante. Después se determinara la relación existente entre las fuerzas que actúan sobre la partı́cula
en un estado de equilibrio.
2.1.
Resultante de dos fuerzas
Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se
caracteriza generalmente por su punto de aplicación, su magnitud y su dirección. Las multiples fuerzas que actúan sobre
una partı́cula tienen el mismo punto de aplicación, de modo
que quedan definidas por su magnitud y dirección.
La magnitud de una fuerza se caracteriza por un cierto
numero de unidades. La dirección de una fuerza se define por
la linea de acción y el sentido de la fuerza. La linea de acción
es la linea recta infinita a la largo de la cual la fuerza actúa,
se caracteriza por el ángulo que forma con un eje dado. La
16
Fuerzas y Vectores
Figura 2.1: Dos fuerzas con la misma linea de acción y magnitud
pero diferente sentido.
fuerza se representa por un segmento de esa linea, mediante el
uso apropiado de la escala, la longitud del segmento se elige de
modo que represente a la magnitud de la fuerza. Finalmente,
el sentido de la fuerza se indica por una punta de flecha al
final del segmento de linea. Dos fuerzas que tienen la misma
magnitud y linea de acción pero diferentes sentido, como las
mostradas en la Figura 2.1, tendrán efectos opuestos en una
partı́cula.
Dos fuerzas P y Q actuando en una partı́cula A, pueden ser
representadas por una sola fuerza R que tenga el mismo efecto
sobre la partı́cula. Esta fuerza es llamada la resultante de las
fuerzas P y Q y puede obtenerse como se muestra en la Figura
2.2, construyendo un paralelogramo, usando P y Q como dos
lados adyacentes del paralelogramo. La diagonal que pasa a
través de A representa la resultante. Este método es conocido
como la ley del paralelogramo para la adición de dos fuerzas.
2.2.
Vectores
Las fuerzas no son las únicas cantidades que se representan
como vectores, otras cantidades vectoriales son desplazamientos, velocidades, aceleraciones y momento. Las cantidades que
no se representan como vectores son, por ejemplo, volumen,
2.3 Suma de vectores
17
Figura 2.2: Suma de dos fuerzas usando la ley del paralelogramo.
masa y energı́a y se llaman cantidades escalares.
Los vectores se definen como expresiones matemáticas que
poseen magnitud y dirección y que se suman de acuerdo con
la ley del paralelogramo.
El vector negativo de un vector P se define como el vector
que tiene la misma magnitud que P pero dirección opuesta
y se denota por −P. Los vectores P y −P son usualmente
llamados iguales y opuestos. En general se tiene que:
P + (−P) = 0
2.3.
Suma de vectores
Como se dijo antes, en general la suma de dos vectores se
puede obtener mediante la construcción de un paralelogramo
18
Fuerzas y Vectores
Figura 2.3: Descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares.
en el que los dos vectores se usan como lados.
Otro método ampliamente usado para encontrar la suma
de dos vectores es mediante la descomposición del vector en
sus componentes rectangulares u ortogonales.
Si se tiene una fuerza F, esta se puede descomponer en sus
componentes Fx y Fy a lo largo de los ejes x y y respectivamente. Esto se muestra en la Figura 2.3.
En este punto se pueden introducir dos vectores de magnitud unidad a lo largo de cada uno de los ejes x y y positivos,
estos vectores son llamados vectores unitarios y se denotan por
i y j y se muestran en la Figura 2.4. Las componentes rectangulares de cualquier vector se pueden escribir en términos de
los vectores unitarios i y j multiplicados por el escalar apropiado como se muestra en la Figura 2.5. De modo que se puede
2.3 Suma de vectores
19
Figura 2.4: Vectores unitarios i y j.
escribir:
F = Fx i + Fy j.
(2.1)
Si se denota con F a la magnitud de la fuerza F y con θ al
ángulo entre la fuerza y el eje x positivo, se tiene que:
Fx = F cos θ,
Fy = F sin θ.
(2.2)
(2.3)
Cuando la fuerza F se define por sus componentes rectangulares Fx y Fy , el ángulo θ que define su dirección se obtiene
mediante:
Fy
.
(2.4)
θ=
Fx
La magnitud F de la fuerza se obtiene aplicando el teorema
de Pitagoras de modo que se tiene:
q
F = Fx2 + Fy2 .
(2.5)
20
Fuerzas y Vectores
Figura 2.5: Descomposición de una fuerza en términos de los cectores unitarios i y j.
2.4.
Equilibrio de una Particula
Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre
una partı́cula es cero, se dice que la partı́cula esta en equilibrio.
La expresión algebraica que describe la situación anterior es:
X
R=
F = 0.
(2.6)
Si se descompone cada fuerza F en sus componentes rectangulares se tendrá que:
X
(Fx i + Fy j) = 0
X
X
(
Fx )i + (
Fy )j = 0
2.5.
Problemas
1. Se tienen dos fuerzas P y Q actuando sobre un perno, como se muestra en la Figura 2.6. Encuentre la resultante.
2.5 Problemas
21
Figura 2.6
2. Dos fuerzas P y Q se aplican sobre el punto A de un
gancho como se muestra en la Figura 2.7. Sabiendo que
P = 70 N y que Q = 120 N, encuentre la magnitud y
dirección del vector resultante.
Figura 2.7
3. Los cables AB y AD ayudan a soportar un poste como se
muestra en la Figura 2.8. Sabiendo que la tensión en AB
22
Fuerzas y Vectores
es de 150 lb y en AD es de 50 lb, determine la magnitud
y dirección de la resultante.
Figura 2.8
Apéndice A
Soluciones a los
Problemas
A.1.
Capitulo 1
1.
La densidad esta dada por:
ρ=
m
V
Datos:
m
V
r
h
=
=
=
=
1 kg
?
19.5 mm
39.0 mm
24
Soluciones a los Problemas
El volumen se puede calcular como:
V
πr2 h
π(19.5 mm)2 (39 mm)
46589 mm3
46589 × 10−9 m3
4.6589 × 10−5 m3 .
=
=
=
=
=
Entonces la densidad esta dada por:
1 kg
4.6589 × 10−5 m3
= 21464.3 kg/m3 .
ρ =
2.
Datos:
m = 5.64 × 1026 kg
V = ?
r = 6 × 107 m.
El volumen se puede calcular como:
V
4 3
πr
3
4
=
π(6 × 107 m)3
3
= 9.05 × 1023 m3 .
=
Entonces la densidad esta dada por:
5.64 × 1026 kg
9.05 × 1023 m3
= 623.36 kg/m3 .
ρ =
A.1 Capitulo 1
25
3.
Se tiene que:
F=
GM m
,
r2
entonces se puede ver que:
G=
F · r2
,
Mm
sustituyendo por las unidades correspondientes se tiene que:
N m2
kg2
kg m
m2
s2
=
kg2
[G] =
=
kg m3
s2
kg2
1
kg m3
kg2 s2
m3
=
kg s2
=
4.
Se tiene que hacer la conversion siguiente:
1 nm
1 dia
1 in 0.0254 m
= 4.59 nm/s
64 dia
1 in
10−9 m 86400 s
5.
Se tiene que el área esta dada por:
A = 60 ft × 150 ft = 9000 ft2 ,
26
Soluciones a los Problemas
ahora convirtiendo a m2 se tienes que:
2
2 0.3048 m
A = 9000 ft
= 836.13 m2 .
1 ft
6.
Se tiene que el volumen esta dado por:
V = 30 m × 30 m × 15 m = 13500 m3 ,
convirtiendo a ft3 se tiene que:
3
1 ft
3
= 476748.0 ft3 .
V = 13500 m
0.3048 m
El peso del aire se obtiene a partir de la densidad y el
volumen como sigue:
m = ρV = 1.20 kg/m3 × 13500 m3 = 16200 kg,
convirtiendo a lb tenemos que:
1 lb
m = 16200 kg
= 35682.8 lb.
0.454 kg
7.
Se tiene que la taza de llenado es de:
∆V =
28 gal
= 5.6 gal/min,
5 min
de modo que convirtiendo a galones por segundo se tiene que:
5.6 gal 1 min
∆V =
= 0.093 gal/s.
min
60 s
A.2 Capitulo 2
27
Luego se tiene que convirtiendo los galones a metros cúbicos se tiene:
3
0.093 gal 231 in3 0.0254 m
∆V =
= 0.000352 m3 /s.
s
1 gal
1 in
Dada la taza anterior y un volumen de 1 m3 se tiene entonces que el tiempo esta dado como:
1 m3
1h
V
=
= 2840.56 s
= 0.79 h
t=
∆V
0.000352 m3 /s
3600 s
8.
Convirtiendo de mi2 a m2 se tiene que:
2
2 1609 m
= 2.59 × 106 m2 ,
A = 1 mi
1 mi
ahora convirtiendo a acres,
2.59 × 106 m2 /mi2
= 4045.12 m2 /acre
2
640 acres/mi
A.2.
Capitulo 2
1.
El vector P se puede descomponer en sus componentes
rectangulares como sigue:
P = 40 N cos 20 i + 40 N sin 20 j
P = 37.59 N i + 13.68 N j ;
mientas que el vector Q se descompone como:
Q = 60 N cos 45 i + 60 N sin 45 j
Q = 42.42 N i + 42.42 N j .
28
Soluciones a los Problemas
Se tiene, entonces, que la resultante es:
R = (37.59 + 42.42) N i + (13.68 + 42.42) N j
R = 80 N i + 56.1 N j .
De modo que la magnitud de la resultante estaria dada por:
p
(80 N)2 + (56.1 N)2
R =
R = 97.7 N
y el ángulo de la fuerza esta dado por:
θ = tan−1
56.1
80
θ = 35.040
2.
El vector P se puede descomponer en sus componentes
rectangulares como sigue:
P = −70 N cos(70) i − 70 N sin 70 j
P = −23.94 N i − 65.78 N j ;
mientas que el vector Q se descompone como:
Q = 120 N cos 55 i − 120 N sin 55 j
Q = 68.83 N i − 98.3 N j .
Se tiene, entonces, que la resultante es:
R = (−23.94 + 68.83) N i + (−65.78 − 98.3) N j
R = 44.89 N i − 164.08 N j .
De modo que la magnitud de la resultante estaria dada por:
p
(44.89 N)2 + (−164.08 N)2
R =
R = 170.11 N
A.2 Capitulo 2
29
y el ángulo de la fuerza esta dado por:
θ = tan−1
−164.08
44.89
θ = −74.70
30
Soluciones a los Problemas