Interpolación de Newton en diferencias regresivas

Interpolación de Newton en diferencias regresivas
Objetivos. Estudiar la contrucción del polinomio interpolante a través de las diferencias
regresivas en el caso cuando las abscisas de los nodos de interpolación son equidistantes.
Requisitos. Diferencias regresivas de una sucesión, diferencias divididas, fórmula de Newton para el polinomio interpolante, interpolación de Newton en diferencias progresivas.
1. Diferencias divididas (repaso). Sea f una función definida en algunos puntos diferentes a pares x0 , x1 , x2 , . . .; denotemos por y0 , y1 , y2 , . . . sus valores en estos puntos.
Entonces las diferencias divididas de f se definen mediante las siguientes fórmulas, de
manera recursiva:
f[xi ] = f(xi ) = yi ,
f[xi , . . . , xj ] =
f[xi+1 , . . . , xj ] − f[xi , . . . , xj−1 ]
.
xj − xi
Notemos que las diferencias divididas son funciones simétricas, es decir, no dependen del
orden de los argumentos, por ejemplo,
f[x0 , x1 , x2 ] = f[x2 , x1 , x0 ].
2. Fórmula de Newton para el polinomio interpolante (repaso). Recordemos la
fórmula de Newton para el polinomio interpolante que coincide con la función f en los
puntos xi :
n
k−1
X
Y
P(x) =
f[x0 , . . . , xk ]
(x − xj ).
k=0
j=0
En esta sección vamos a ordenar los puntos en el sentido contrario. Apliquemos la fórmula
de Newton a los puntos xn , . . . , x0 :
P(x) = f[xn ] + f[xn , xn−1 ](x − xn ) + f[xn , xn−1 , xn−2 ](x − xn )(x − xn−1 )
+ . . . + f[xn , . . . , x0 ](x − xn ) · . . . · (x − x1 )
=
n
X
k=0
f[xn , . . . , xn−k ]
k−1
Y
(x − xn−j ).
j=0
3. El caso de puntos equidistantes. En esta sección se considera el caso particular
cuando los puntos x0 , . . . , xn son equidistantes:
xk = x0 + kh,
0 ≤ k ≤ n.
Vamos a escribir todo en términos del último punto xn :
xn−k = xn − kh,
0 ≤ k ≤ n,
y hacer el cambio de variables x = xn + hs.
Interpolación de Newton en diferencias regresivas, página 1 de 5
4. Ejercicio: Expresión del producto a través de la variable nueva. Haga el cambio
de variables x = xn + hs y exprese el siguiente producto a través de s y xn :
k−1
Y
(x − xn−j ) = (x − xn )(x − xn−1 ) · . . . · (x − xn−k+1 ).
j=0
Primero puede considerar el caso particular k = 3:
(x − xn )(x − xn−1 )(x − xn−2 ) = |{z}
. . . = h3 s(s + h)(s + 2h)
?
3
3
3
= h (−1) (−s)(−s − h)(−s − 2h) = 3! h (−1)
3
−s
.
3
Para escribir la respuesta en forma corta use la notación del coeficiente binominal:
a
a(a − 1) · . . . · (a − k + 1)
=
.
k
k!
5. Diferencias regresivas de una sucesión. Las diferencias regresivas de una sucesión
y0 , y1 , y2 , . . . se definen de manera recursiva:
(∇0 y)i := yi ,
(∇k+1 y)i := (∇k y)i − (∇k y)i−1 .
En particular,
(∇1 y)i := (∇0 y)i − (∇0 y)i−1 = yi − yi−1 ,
(∇2 y)i := (∇1 y)i − (∇1 y)i−1 = yi − 2yi−1 + yi−2 .
6. Ejercicio: Expresión de las diferencias divididas a través de las diferencias
progresivas. Los puntos xi son equidistantes, por eso los denominadores de las diferencias
divididas se escriben en términos de h y los numeradores en términos de las diferencias
regresivas, por ejemplo
yi − yi−1
(∇y)i
=
.
f[xi , xi−1 ] =
xi − xi−1
h
Las diferencias divididas de orden 2 se expresan a través de h y (∇2 y)i :
...
f[xi , xi−1 , xi−2 ] =
= ...
...
Las diferencias divididas de orden 3 se escriben en términos de h y (∇3 y)i :
...
f[xi , xi−1 , xi−2 , xi−3 ] =
= ...
...
Adivine la fórmula general, esto es, exprese f[xi , xi−1 , . . . , xi−k+1 ] a través de h y (∇k y)i :
[yi , yi−1 , . . . , yi−k+1 ] =
Interpolación de Newton en diferencias regresivas, página 2 de 5
7. Proposición (interpolación de Newton en diferencias regresivas). Sea P el
polinomio de grado ≤ n que toma valores y0 , y0 + h, . . . , y0 + nh en los puntos x0 , x0 +
h, . . . , x0 + nh. Entonces
n
X
k −s
P(xn + hs) =
(−1)
(∇k y)n .
(1)
k
k=0
Demostración. Partimos de la fórmula de Newton para el polinomio interpolante aplicada
a los puntos xn , . . . , x0 y los valores yn , . . . , y0 :
P(x) =
n
X
k=0
f[xn , . . . , xn−k ]
k−1
Y
(x − xn−j ).
(2)
j=0
Hacemos el cambio de variable x = xn + hs y escribimos el producto de los binomios
x − xn−j en términos de la variable s:
k−1
Y
(x − xn−j ) = hk s(s + 1) · . . . · (s + k − 1)
j=0
= (−1)k hk (−s)(−s − 1) · . . . · (−s − k + 1)
k
k −s
= (−1) k! h
.
k
(3)
Expresamos las diferencias divididas f[xn , . . . , xn−k ] a través de las diferencias regresivas
(∇k y)n :
1
f[xn , . . . , xn−k ] =
(∇k y)n .
(4)
k! hk
Sustituyendo (3) y (4) en (2) obtenemos (1).
Interpolación de Newton en diferencias regresivas, página 3 de 5
8. Ejemplo. Usando la interpolación de Newton en diferencias regresivas construya el
polinomio P de grado ≤ 3, que tome en los puntos −1, 1, 3, 5 los valores −7, 1, 1, 41.
Calcule el valor de este polinomio en el punto 2.
Solución. Tabla de las diferencias regresivas:
(∇0 y)0 = y0 = −7
(∇1 y)1 = (∇0 y)1 − (∇0 y)0 = 8
0
(∇2 y)2 = −8
(∇ y)1 = y1 = 1
(∇1 y)2 = (∇0 y)2 − (∇0 y)1 = 0
(∇3 y)3 = 48
0
2
(∇ y)2 = y2 = 1
(∇ y)3 = 40
1
0
0
(∇ y)3 = (∇ y)3 − (∇ y)2 = 40
0
(∇ y)3 = y3 = 41
Polinomio interpolante escrito con variable s:
3
X
k −s
(−1)
Q(s) = P(x3 + 2s) =
(∇k y)3
k
k=0
−s(−s − 1)
−s(−s − 1)(−s − 2)
−s
+ 40(−1)2
+ 48(−1)3
1
2
3!
= 41 + 40s + 20s(s + 1) + 8s(s + 1)(s + 2)
= 8(s + 2) + 20 (s + 1) + 40 s + 41.
= (−1)0 41 + 40(−1)1
Calculamos Q(s) por pasos:
×(s + 2)
+20
×(s + 1)
+40
×s
+41
8
8s + 16
8s + 36
8s2 + 44s + 36
8s2 + 44s + 76
8s3 + 44s2 + 76s
8s3 + 44s2 + 76s + 41
Ası́ que
Q(s) = P(5 + 2s) = 8s3 + 44s2 + 76s + 41.
Con esta fórmula ya podemos evaluar P en el punto x = 2. De la igualdad 5 + 2s = 2
despejamos s = − 32 y calculamos Q(−3/2):
8 44 76 41
−3/2 8 32 28 −1
P(2) = Q(−3/2) = −1.
Ahora expresamos el polinomio interpolante en términos de la variable x. Para hacerlo
exresamos s a través de x:
x = 5 + 2s
=⇒
s=
x−5
,
2
Interpolación de Newton en diferencias regresivas, página 4 de 5
y sustituimos esta expresión en Q:
x−5
P(x) = Q
= (x − 5)3 + 11(x − 5)2 + 38(x − 5) + 41
2
= 1 · (x − 5) + 11 (x − 5) + 38 (x − 5) + 41.
Por pasos:
×(x − 5)
+11
×(x − 5)
+38
×(x − 5)
+41
1
x−5
x+6
x2 + x − 30
x2 + x + 8
x3 − 4x2 + 3x − 40
x3 − 4x2 + 3x + 1
Respuesta:
P(x) = x3 − 4x2 + 3x + 1.
Para comprobación calculemos P(2) usando los coeficientes de P:
1 −4
3
1
2 1 −2 −1 −1
P(2) = −1
X
Interpolación de Newton en diferencias regresivas, página 5 de 5