PAR ORDENADO

Matemática 3° Sec
FICHA DE TRABAJO Nº 18
Nombre
Bimestre
Ciclo
Tema
Nº orden
IV
III
3ºgrado - sección
A
B
C
Fecha:
- 11 - 12
Área
Matemática
TRIÁNGULOS II: Líneas y Puntos Notables
LINEAS y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULO
ALTURA. Es el segmento de recta que va desde un vértice de un
triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación y es
perpendicular a éste. En un triángulo se pueden trazar tres
alturas, una por cada vértice del triángulo, cuyos segmentos o
sus prolongaciones se cortan en un punto denominado
ORTOCENTRO
TODO TRIÁNGULO TIENE
UN SOLO ORTOCENTRO.
ES UN PUNTO INTERIOR
SI EL TRIÁNGULO ES
ACUTÁNGULO.
ES UN PUNTO EXTERIOR
SI EL TRIÁNGULO ES
OBTUSÁNGULO.
SI ES RECTÁNGULO ESTÁ
D
MEDIANA. Es el segmento de recta que une el punto medio de
un lado de un triángulo con el vértice opuesto. En un triángulo se
pueden trazar tres medianas, una por cada vértice del triángulo,
las cuales se cortan en un punto denominado BARICENTRO O
GRAVICENTRO
El baricentro es el centroide o centro de gravedad del triángulo
TODO TRIÁNGULO TIENE UN
SOLO BARICENTRO.
DIVIDE A CADA MEDIANA EN
LA RELACIÓN DE 1 A 2.
EL BARICENTRO ES SIEMPRE
UN PUNTO INTERIOR.
ES LLAMADO TAMBIÉN
GRAVICENTRO O CENTRO DE
GRAVEDAD DE LA REGIÓN
TRIANGULAR.
EN EL VÉRTICE DEL
ÁNGULO RECTO.
Profesor: Javier Trigoso
Página 1
Matemática 3° Sec
BISECTRIZ. Es la recta, o parte de recta, que divide a un
ángulo en otros dos ángulos congruentes entre sí. En un triángulo
se pueden trazar tres bisectrices, una por cada ángulo,
las cuales se cortan en un punto denominado INCENTRO
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el
triángulo (tangente a los lados del triángulo), por lo tanto, el
segmento perpendicular, que une el incentro con uno de los lados
del triángulo, es el radio de la circunferencia inscrita.
MEDIATRIZ Es la recta, o parte de recta, que pasa por el
punto medio de un segmento y es perpendicular a éste, es decir,
que divide a un segmento de recta en otros dos, congruentes
entre sí. En un triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una
por cada lado del triángulo, las cuales se cortan en un punto
denominado CIRCUNCENTRO
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo (que pasa por los vértices del triángulo), por lo tanto, el
segmento que une el circuncentro con uno de los vértices del
triángulo es el radio de la circunferencia circunscrita.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.
EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.
EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.
EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.
ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.
ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.
SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.
Profesor: Javier Trigoso
Página 2
Matemática 3° Sec
PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES
1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores
4. Si: “0” es circuncentro
x  2α
5.
2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores
3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz
exterior
Profesor: Javier Trigoso
6.
Página 3
Matemática 3° Sec
7.
3.
En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores
de los ángulos A y B que se intersectan en P, si: m∢APB = 2m∢C.
Hallar m∢C
PARA LA CLASE……
1.
4.
Hallar “x” en la figura
5.
Hallar el valor de “x” en
En la figura, hallar “x”
2.
En un triángulo ABC, las bisectrices de los ángulos A y C
se cortan en H. Si m∢AHC = 5m∢ABC, hallar m∢ABC
Profesor: Javier Trigoso
6.
En un triángulo PQR las bisectrices exteriores de P y R
se intersectan en el punto A, tal que m∢Q = 2m∢PAR. Calcular la
m∢Q
Página 4
Matemática 3° Sec
7.
En un triángulo ABC las bisectrices exteriores de B y C se
intersecan en un punto E, tal que BE = BC. Si la m∢ABC = 80.
Calcular m∢A
11.
En la figura hallar “x”
12.
En la figura hallar CD si EC = 7
8.
Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices
exteriores de M y P se intersectan en el punto E.
Calcular m∢N, si 2m∢N + m∢MEP = 117º.
9.
En la figura hallar “x”
10.
Hallar “x” en la figura
13.
En un triángulo ABC la bisectriz interior de A y la
bisectriz exterior de C forman un ángulo que mide 36, si la: m∢A
- m∢C = 20º. Calcular m∢A0B
14.
Profesor: Javier Trigoso
Hallar “x” en:
Página 5
Matemática 3° Sec
15.
En la figura MN / / AC , AM = 4 y NC =7. Calcular: MN
3. Calcular el valor de “x” en la figura
A. 50º
B. 60º
C. 80º
D. 90º
E. 110º
4. Hallar “x” en la figura
PARA LA CASA……
1. En la figura calcular el valor de “x”
A. 10º
B. 20º
C. 40º
D. 50º
E. 60º
2. Según la figura, z equivale a:
A. 30º
B. 35º
C. 40º
D. 45º
E. 50º
Profesor: Javier Trigoso
A. 10º
B. 20º
C. 30º
D. 40º
E. 50º
5. Hallar “x” en la figura
A. 50º
B. 60º
C. 70º
D. 80º
E. 90º
Página 6
Matemática 3° Sec
6. El ángulo que forma la altura y la mediana de un triángulo
rectángulo mide 18°. El mayor ángulo agudo del triángulo mide:
A. 37°
B. 54°
C. 68°
D. 75°
E. 100°
7. La distancia del ortocentro al baricentro de un triángulo
rectángulo es igual a 50 m. Calcular el diámetro de la
circunferencia circunscrita.
A. 100 m
B. 150 m
C. 75 m
D. 200 m
E. 250 m
8. En un triángulo ABC, se traza la altura AH y la mediana BM .
Si AC es igual a 32 m, hallar HM
A. 32 m
B. 16 m
D. 9 m
E. 5 m
C. 12 m
9. En la figura, hallar “x”
A. 10º
B. 20º
C. 40º
D. 50º
E. 60º
10. En un triángulo ABC: I es incentro, si la m∢AIC = 3m∢B.
calcular m∢B.
A. 24º
B. 36º
C. 54º
D. 45º
E. 30º
Profesor: Javier Trigoso
11. En un triángulo MNO las medianas MQ y NP se cortan
perpendicularmente, si MN = 10, hallar la longitud de la mediana
que parte del vértice 0.
A. 10
B. 15
C. 18
D. 21
E. 24
12. En un triángulo ABC las medianas BM y CM se cortan
perpendicularmente en 0. Si AO = 6, hallar BC.
A. 12 cm
B. 9 cm
D. 3 cm
E. 1 cm
C. 6 cm
13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD , tal que
m∢BDA = 72º y m∢BDC = 35º. Calcular la m∢BAD.
A. 77º
B. 71º
C. 70º
D. 60º
E.56º
14. En un triángulo ABC, m<A = 2m<C. Se traza la
bisectriz interior BD . Calcular AD, si AB = 6 y BC = 10.
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10
15. ABC es un triángulo cuyos ángulos A y C miden 80º y 20º
respectivamente. Si la bisectriz del ángulo B intersecta al lado
AC en D, hallar la medida del ángulo ABD.
A. 80º
B. 53º
D. 37º
E. 20º
C. 40º
Página 7
Matemática 3° Sec
16. En un ABC la bisectriz interior de A, forma con la exterior
de B un ángulo de 18º, calcular la medida del ángulo que forman
las bisectrices exteriores de A y C si: m∢BAC = m∢BCA + 4º
A. 36º
B. 37º
C. 38º
D. 39º
E. 40º
17. Hallar “x” en:
A. 1º
B. 1,5º
C. 2º
D. 2,5º
E. 3º
18. En la figura calcular “”
A. 20º
B. 40º
C. 70º
D. 80º
E. 90º
19. Por el vértice “B” de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16,
se trazan paralelas a las bisectrices interiores de A y C las que
intersecan a AC en P y Q. Calcular PQ.
A. 8
B. 16
C. 18
D. 24
E. 32
Profesor: Javier Trigoso
20. En un triángulo PQR, las bisectrices de los ángulos P y R se
cortan en “S”, si m∢PSC = 8(m∢PQR), hallar m∢PQR
A. 10º
B. 12º
C. 14º
D. 16º
E. 18º
21. En la figura hallar “x”
A. 12º
B. 24º
C. 36º
D. 48º
E. 60º
22. Hallar “x” en:
A. 16º
B. 26º
C. 36º
D. 46º
E. 56º
Página 8
Matemática 3° Sec
23. Calcular “x”
A. 20º
B. 25º
C. 35º
D. 40º
E. 50º
26. Según la figura: A + B = 200º
Hallar “x”
A. 11º
B. 12º
C. 13º
D. 14º
E. 15º
24. Calcular “x”
27. Hallar x, si BM es bisectriz y además  –  = 20º
A. 10º
B. 50º
C. 60º
D. 70º
E. 80º
A. 5º
B. 10º
C. 15º
D. 20º
E. 25º
25. Hallar “x”
A. 10º
B. 20º
C. 30º
D. 40º
E. 50º
Profesor: Javier Trigoso
28. En el gráfico BF es bisectriz interior del triángulo BED.
Calcular “x”
A. 20º
B. 25º
C. 28º
D. 30º
E. 32º
Página 9
Matemática 3° Sec
29. El ángulo obtuso B de un triángulo obtusángulo ABC es el
triple del ángulo A. La mediatriz del lado AB corta al lado AC en
P. Calcular el ángulo formado por BP y la bisectriz del ángulo C.
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 100°
E. 120°
30. El ángulo A de un triángulo ABC mide 30°. Se traza la
bisectriz interior BP (P está en AC ), luego se traza la mediatriz
de BP , la cual corta a la prolongación de AC en Q, calcular la
medida del ángulo QBC.
A. 25°
B. 30°
C. 50°
D. 45°
E. 60°
Profesor: Javier Trigoso
Página 10