sistemas de 2 grados de libertad - Ingeniería Mecánica Aplicada y

DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA MECÁNICA,
ENERGÉTICA
Y DE MATERIALES
TEMA 4 – SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
Sistemas de
2 Grados de
Libertad
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES
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TEMA 4 – SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
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4.1
TEMA 4 – SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
Introducción
Hasta el momento, se han estudiado los sistemas con 1 gdl viéndose que:
Si un sistema no amortiguado es sacado de su posición de equilibrio y dejado en
libertad, comienza a oscilar armónicamente con una frecuencia característica del
sistema llamada frecuencia natural.
El fenómeno de la resonancia se presenta al excitar el sistema con una fuerza
armónica de frecuencia igual a la frecuencia natural.
Los sistemas con 2 gdl presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1
gdl; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con N
gdl. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en los
sistemas con 2 gdl son idénticos a los de sistemas con N gdl, tienen la ventaja de que sus
ecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos accesibles.
Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla y no dependiente del álgebra matricial.
Figura 23 – Sistemas mecánicos con 2 gdl
Se verá como si un sistema con 2 gdl sin amortiguamiento es desplazado de su posición
de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tan
siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas (tantas como gdl) de perturbar el
equilibrio. Sólo para dos tipos (2 gdl) de perturbaciones el movimiento subsiguiente es
armónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación.
Un sistema con 2 gdl tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a una
excitación armónica, llegará a la condición de resonancia para dos frecuencias de
excitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas
facilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias y modos
naturales de vibración y análisis modal.
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Ecuaciones del
movimiento:
Formulación matricial
Sea el sistema discreto con 2 gdl de la Figura 24.a. En este caso tan sencillo, las
ecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de las
masas el Principio de D’Alembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección del
movimiento.
Figura 24 – Sistema con dos grados de libertad
Así, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen de
la posición y velocidad relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio de
fuerzas en dirección x (Fig.24.b) resulta:
− m1x1 − k1x1 − c1x 1 + k 2 ⋅ (x 2 − x1 ) + c 2 ⋅ (x 2 − x 1 ) + F1 (t )=0
− m2x2 − k 3 x 2 − c 3 x 2 − k 2 ⋅ (x 2 − x1 ) − c 2 ⋅ (x 2 − x 1 ) + F2 (t )=0
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Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema ya que
ambas incógnitas x1(t) y x2(t) aparecen en las dos, y pueden expresarse matricialmente:
ém1 0 ù ìx1 ü éc 1 + c 2
ê 0 m ú ⋅ í ý + ê − c
2 û îx 2
2
ë
ë
− c 2 ù ì x 1 ü ék1 + k 2
⋅í ý+ ê
c 2 + c 3 úû îx 2
ë − k2
− k 2 ù ì x1 ü ìF1 ( t ) ü
⋅í ý = í
ý
k 2 + k 3 úû î x 2
îF2 ( t )
o, de forma más abreviada, con notación matricial: [M]{x} + [C]{x } + [K ]{x} = {F( t )}
Las matrices [M], [C] y [K], llamadas respectivamente matriz de inercia, matriz de
amortiguamiento y matriz de rigidez, son simétricas, como se puede observar.
Se observa, además, en este ejemplo que la matriz [M] es diagonal. Esta es una
característica de los sistemas de parámetros discretos que no se presenta en muchas
otras ocasiones. Si en la expresión las tres matrices [M], [C] y [K] fueran diagonales, las
dos ecuaciones serían independientes o estarían desacopladas, siendo en tal caso
resolubles cada una de ellas por las técnicas desarrolladas para los sistemas con 1 gdl.
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Vibraciones libres no
amortiguadas.
Modos de vibración
La resolución del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitirá la
determinación de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados de
libertad: sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración.
Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términos
disipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a
(k11=k1 + k2
k22=k2 + k3):
ém1 0 ù ìx1 ü é k11
ê 0 m ú ⋅ í ý + ê − k
2 û îx 2
ë 2
ë
− k 2 ù ì x 1 ü ì0 ü
⋅í ý = í ý
k 22 úû îx 2
î0
La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos
procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un
movimiento armónico síncrono, se supondrán, análogamente a como se hacía con
sistemas de 1 gdl, soluciones de la forma: x1(t)=X1⋅eiωt, x2(t)=X2⋅eiωt
Sustituyendo estos valores y sus derivadas segundas se obtendrán dos ecuaciones:
(− m ω
1
2
)
+ k11 ⋅ X 1 − k 2 X 2 = 0
(
)
− k 2 X 1 + − m2ω2 + k 22 ⋅ X 2 = 0
lo que constituye un sistema de ecuaciones en X1 y X2. Para que dicho sistema tenga
solución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante del
sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuación
bicuadrática cuyas raices son:
ω2 =
(m1k 22 + m2k11 )± (m1k 22 − m2k11 )2 + 4m1m2 k 22
2m1m2
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2m1m2
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Si ω12 y ω22 son las dos soluciones de la ecuación, sólo podrá tener lugar movimiento
armónico en estas dos frecuencias ω1 y ω2 que son las frecuencias naturales del
sistema.
El sistema de dos ecuaciones en X1 y X2 puede ponerse, a su vez, en la forma:
X 1 k 22 − ω2m2
=
X2
k2
X1
k2
=
X 2 k11 − ω2m1
Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de ω12 y ω22 se determina la
relación existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas. Los
movimientos síncronos que cumplen esta relación de amplitudes son armónicos, y reciben
el nombre de modo natural de vibración. Hay dos modos naturales, (X11, X21) y (X12, X22),
uno para cada frecuencia, ω12, ω22. Al desplazar el sistema de su posición de equilibrio
según un modo natural y soltarlo, comenzará a oscilar libre y armónicamente a la
frecuencia del modo.
Se puede demostrar que, ambos modos son ortogonales entre sí respecto a las
matrices de inercia y rigidez; es decir:
{X ,X }⋅ éêm0
1
1
1
2
1
ë
0 ù ìX 12 ü
⋅í ý = 0
m2 úû îX 22
{X ,X }⋅ éê−k k
1
1
1
2
11
ë
2
− k 2 ù ìX 12 ü
⋅í ý = 0
k 22 úû îX 22
Como las dos amplitudes de un modo no están determinadas más que en la relación
existente entre ellas, es una práctica habitual el normalizar los modos de forma que:
{X , X }⋅ éêm0
j
1
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j
2
1
ë
0 ù ì X 1j ü
⋅í ý = 1
m2 úû îX 2j
j = 1,2
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Coordenadas
naturales. Introducción
al Análisis Modal
Además de las coordenadas x1(t) y x2(t) empleadas
para definir el movimiento del sistema (Fig. 25), un
cambio de coordenadas interesante es:
x1 (t ) = X 11 ⋅ y1 (t ) + X 12 ⋅ y 2 (t )
x 2 (t ) = X 12 ⋅ y1 (t ) + X 22 ⋅ y 2 (t )
o bien, matricialmente:
x1 ü é X 11
ý=ê 1
îx 2
ëX 2
{x} = ìí
X 12 ù ì y 1 ü
ú ⋅ í ý = [X ]⋅ {y}
X 22 û îy 2
donde se ha llamado matriz [X] a la matriz cuyas
columnas son los modos naturales de vibración matriz de modos -.
Introduciendo esta transformación de coordenadas en
la ecuación matricial de movimiento del sistema y
premultiplicando por [X]T:
Figura 25 – Sistema de 2 gdl
[X ]T ⋅ [M]⋅ [X ]⋅ {y} + [X ]T ⋅ [K ]⋅ [X ]⋅ {y} = {0}
Teniendo en cuenta las ortogonalidades y ortonormalidad resulta:
é1 0ù ìy1 ü éω12
ê0 1ú ⋅ íy ý + ê
ë
û î 2
ë0
0 ù ì y 1 ü ì0ü
ú⋅í ý = í ý
ω22 û îy 2
î0
o bien, teniendo en cuenta que las matrices presentes son diagonales:
y1 (t ) + ω12 ⋅ y1 (t ) = 0
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y2 (t ) + ω22 ⋅ y 2 (t ) = 0
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Estas dos ecuaciones son independientes, y puede cada una de ellas resolverse con los
métodos estudiados para los sistemas con 1 gdl.
A las coordenadas y1(t) e y2(t), definidas con este cambio de variable se les denomina
coordenadas naturales, y en ellas las ecuaciones del movimiento están
desacopladas. El método seguido a la hora de desacoplar las ecuaciones del sistema
constituye la técnica de análisis modal.
Cabría ahora, por tanto, pensar en la posibilidad de estudiar las vibraciones libres con
amortiguamiento. Pero surge entonces una nueva dificultad por el hecho de que, en
general, esta transformación de coordenadas, que diagonaliza las matrices de rigidez e
inercia, no hace lo mismo con la matriz de amortiguamiento. Este caso no se estudiará
ahora, pero se puede considerar incluido en el que se realizará posteriormente para
sistemas de N gdl.
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Vibraciones forzadas.
Condiciones de
resonancia
Se estudia el caso en que no existe amortiguamiento, y se prescindirá también de la
componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales (sin amortiguamiento, esta
componente no desaparecerá nunca, pero como ya se han estudiado las vibraciones
libres, se prescindirá de ellas en virtud del Principio de Superposición).
Supóngase actuando sobre el sistema una excitación armónica síncrona de modo que
las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema respondan a la expresión:
ém1 0 ù ìx1 ü é k 11
ê 0 m ú ⋅ í ý + ê − k
2 û îx 2
ë
ë 2
− k 2 ù ì x 1 ü ì f1 ü i ω t
⋅í ý = í ý⋅e
k 22 úû î x 2
îf2
Suponiendo soluciones en la forma x1 (t ) = X1 ⋅ e i ω t , x 2 (t ) = X 2 ⋅ e i ω t , sustituyendo estos
valores y sus derivadas segundas en la ecuación anterior y reordenando, se obtiene el
siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
(− m ω
1
2
)
+ k 11 ⋅ X 1 − k 2 X 2 = f1
(
)
− k 2 X 1 + − m 2 ω2 + k 22 ⋅ X 2 = f2
Aplicando la regla de Cramer para resolver este sistema de ecuaciones se obtienen los
valores de las amplitudes de los movimientos armónicos que se están buscando:
X1 =
X2 =
(
)
f1 k 22 − m 2 ω 2 + k 2 f2
k 11 − m1 ω 2 ⋅ k 22 − m 2 ω 2 − k 22
(
(
)(
)
)
f2 k 11 − m1 ω 2 + k 2 f1
k 11 − m1 ω 2 ⋅ k 22 − m 2 ω 2 − k 22
(
)(
)
que pueden expresarse:
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(
(
)
)(
(
(
)
)(
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X1 =
f1 ⋅ k 22 − m 2 ω 2 + k 2 f2
m1m 2 ω 2 − ω12 ⋅ ω 2 − ω22
X2 =
f2 ⋅ k 11 − m1 ω 2 + k 2 f1
m1m 2 ω 2 − ω12 ⋅ ω 2 − ω22
)
)
amplitudes que se hacen infinitas cuando la frecuencia de excitación ω coincide con
cualquiera de las dos frecuencias naturales. Por lo tanto, un sistema de 2 gdl tiene dos
condiciones de resonancia.
En el ejemplo representado en la Figura 26, pueden apreciarse las amplitudes de los
movimientos de las dos masas para diferentes valores de la frecuencia de excitación,
observándose claramente la presencia de dos resonancias alrededor de las frecuencias de
8 y 12 Hz, aproximadamente.
Figura 26 – Doble resonancia
Considérese ahora el caso en el que hay amortiguamiento viscoso lineal. En el caso
más general, las ecuaciones de equilibrio serán
ém11 m12 ù ìx1 ü éc 11 c 12 ù ì x 1 ü ék11 k12 ù ì x1 ü ì f1 ü i ω t
êm
ú⋅í ý+ ê
ú⋅í ý+ ê
ú ⋅ í ý = íf ý ⋅ e
î2
ë 21 m22 û îx2 ëc 21 c 22 û îx 2 ëk 21 k 22 û î x 2
Haciendo como antes y suponiendo soluciones de la forma
x1 (t ) = X 1 ⋅ e i ω t
, x 2 (t ) = X 2 ⋅ e i ω t
Se obtendrá
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é Z11 ( ω ) Z12 ( ω )ù ì X 1 ü ì f1 ü
êZ (ω ) Z (ω )ú ⋅ íX ý = íf ý
22
ë 21
û î 2
î2
donde,
Z ij (ω ) = − ω 2 mij + iωc ij + k ij
son las llamadas impedancias mecánicas.
Despejando por la regla de Cramer X1 y X2 de la expresión matricial del sistema de
ecuaciones y teniendo en cuenta que la matriz de impedancias es simétrica
X 1 (ω ) =
f1 ⋅ Z 22 (ω ) − f2 ⋅ Z12 (ω )
2
(ω )
Z11 (ω )⋅ Z 22 (ω ) − Z12
X 2 (ω ) =
f2 ⋅ Z11 (ω ) − f1 ⋅ Z12 (ω )
2
(ω )
Z11 (ω ) ⋅ Z 22 (ω ) − Z 12
expresiones que se suelen escribir en la forma
ì X 1 ü éH11 (ω ) H12 (ω )ù ì f1 ü
í ý=ê
ú⋅í ý
ëH21 ( ω ) H22 (ω )û îf2
îX 2
{X} = [H]⋅ {F}
donde los términos Hij (ω ) representan algo análogo al papel que la función de
transferencia desempeñaba en los sistemas con 1 gdl. Así, a la matriz [H] se la denomina
matriz de transferencia.
Mediante la ecuación anterior se puede estudiar la respuesta estacionaria
de cualquier sistema ante unas fuerzas armónicas síncronas de
amplitudes conocidas.
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