© Abel Martín Una carpintería elabora dos tipos de muebles, A y B

La programación lineal
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087.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – junio 2012
Una carpintería elabora dos tipos de muebles, A y B. Cada mueble de tipo A
requiere 6 días de trabajo para su elaboración, mientras que cada mueble de tipo B
requiere 3 días. Por la estructura organizativa de dicha empresa, cada mes, que
consta de 30 días laborables, se puede elaborar, a lo sumo, 4 muebles de tipo A y 8
de tipo B.
(a) ¿Cuántos muebles de cada tipo pueden fabricar en un mes para cumplir con
todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente
el conjunto de soluciones.
(b) Si venden todo lo que fabrican y el beneficio proporcionado por cada mueble
de tipo A vendido es de 500 euros y por cada mueble de tipo B es de 200 euros,
¿cuántos muebles de cada tipo deberían de fabricar para maximizar el beneficio?
¿Cuántos tendrían que fabricar para maximizar el número de muebles elaborados?
RESOLUCIÓN apartado (a)
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de muebles de tipo A"
y ≡ "Número de muebles de tipo B"
CONJUNTO DE RESTRICCIONES
6x + 3y ≤ 30 → Días de elaboración
x≤4
y≤8
x≥0
y≥0
Restricciones simplificadas
2x + y ≤ 10
x≤4
y≤8
x≥0
y≥0
LA REGIÓN FACTIBLE
Realizamos unas sencillas tablas de valores...
2x + y = 10
x
y
0
10
5
0
En la PAU tendremos que ir realizando la actividad con lápiz y papel, en un solo dibujo,
aunque en el aula podremos utilizar herramientas auxiliares como lo puede ser una calculadora
gráfica, en nuestro caso, la fx - CG 20 de CASIO. Para una mejor comprensión por parte del
alumnado, vamos a mostrar, de forma pautada, las imágenes de cómo se va obteniendo la
región factible en cada momento.
(a) Cada una de las funciones serán representadas en trazo grueso.
(b) Dibujaremos su correspondiente semiplano determinado por la inecuación, fácilmente
visible en forma de sombreado.
(c) En cada momento, a la derecha, figura el nombre de la inecuación y la comprobación
para, tomado un punto al azar de uno de los semiplanos, comprobar si verifica dicha
inecuación.
(d) En los sucesivos “fotogramas” irán apareciendo las nuevas inecuaciones, los semiplanos
y la intersección de todos los que hasta ese momento han sido estudiados.
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Veamos, a continuación, todo el proceso descrito:
2x + y ≤ 10
Punto (0, 0)
0 ≤ 10
SÍ se verifica
(0, 0) ∈ región factible
x≤4
(0, 0)
0≤4
SÍ se verifica
(0, 0) ∈ semiplano correspondiente
y≤8
(0, 0)
0≤8
Sí se verifica
(0, 0) ∈ semiplano correspondiente
x≥0
Todos los valores del primero y cuarto
cuadrantes
y≥0
Todos los valores del primero y segundo
cuadrantes
Finalmente podremos observar la solución del sistema de inecuaciones en forma de zona
sombreada, los vértices y los nombres de las rectas.
Las distintas combinaciones vienen representadas por los puntos (x, y)
pertenecientes a la región factible (sombreada), donde "x" es número de muebles de tipo
A e "y" es el número de muebles de tipo B, con la condición de que tanto "x" como "y"
sean números naturales.
RESOLUCIÓN apartado (b)
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• Si venden todo lo que fabrican y el beneficio proporcionado por cada mueble de tipo A
vendido es de 500 euros y por cada mueble de tipo B es de 200 euros, ¿cuántos muebles de
cada tipo deberían de fabricar para maximizar el beneficio?
B(x, y) = 500x + 200y
LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES
Teorema fundamental de la programación lineal: Como la región factible existe y está
acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono
que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono
que constituye la región factible:
CÁLCULO DE VÉRTICES
A → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: A(0, 0)
B → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: B(0, 8)
C(x, y) Resolvemos el sistema
2 x + y = 10
 → 2x + 8 = 10 → 2x = 2 → x = 1
y=8 
x = 1 → y = 8 → C(1, 8)
D(x, 4) Resolvemos el sistema
2 x + y = 10
 →
x=4 
2 · 4 + y = 10 →
y = 10 – 8
x = 4 → y = 2 → D(4, 2)
E →Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: E(4, 8)
ANÁLISIS DE ÓPTIMOS
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A(0, 0)
B(0, 8)
C(1, 8)
D(4, 2)
E(4, 8)
B(x, y) = 500x + 200y
500·0 + 200·0 =
500·0 + 200·8 =
500·1 + 200·8 =
500·4 + 200·2 =
500·4 + 200·8 =
Valor
0
1600
2100
2400
3600
Para maximizar el beneficio se deberán de fabricar 4 muebles de tipo A y 8 de tipo B,
momento en el que dicho beneficio alcanzará los 3600 euros.
RESOLUCIÓN apartado (b2)
• ¿Cuántos tendrían que fabricar para maximizar el número de muebles elaborados?
LA FUNCIÓN OBJETIVO
N(x, y) = x + y
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A(0, 0)
B(0, 8)
C(1, 8)
D(4, 2)
E(4, 8)
N(x, y) = x + y
0+0=
0+8=
1+8=
4+2=
4+8=
Valor
0
8
9
6
12
Para maximizar el número de muebles elaborados se deberán de fabricar 4 muebles
de tipo A y 8 de tipo B, momento en el que se elaborarán 12 muebles.
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¿Cómo calcular rápidamente los correspondientes valores de N(x, y) en cada uno de
los vértices?
r
Busca la tecla "CALC"
Introducimos la función a estudiar presionando, al final, la tecla CALC según se indica a
continuación…
500Q)+200Qn
r
Sale en pantalla, por defecto, un número de un problema anterior. Me pide el valor de "x" y
luego el de "y". Como empezamos por el punto A(0, 0), introducimos "cero", "cero"…
0p0p
Y así sucesivamente le pediremos el valor para B(0, 8)
r0p8p
C(1, 8)
r1p8p
D(4, 2)
r4p2p
E(4, 8)
r4p8p
De esta manera vemos que el valor máximo se encuentra en el punto E(4, 8)
NOTA: Para salir de “CALC” presionamos “AC”
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Plantear las inecuaciones: 0.75 puntos. Representar la región factible: 0.75 puntos. (b) Cada
cuestión: 0.50 puntos.
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