4. CRECIMIENTO DE GRIETA

CARACTERIZACIÓN DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DEL ALUMINIO 7075-T651
4. CRECIMIENTO DE GRIETA
En este proyecto se estudiará el crecimiento de grieta en el caso de grietas
basado en la mecánica de la fractura elástica lineal. En este caso la parte
frontal de la grieta puede verse sometida a tres modos principales de carga
o combinaciones suyas en función de las diferentes condiciones de carga.
Se puede asignar un sistema de ejes coordenados cartesianos tales que el
extremo de la grieta esté alineado con el eje z. Consideramos además un
estado idealizado en el que las tensiones y deformaciones en las cercanías
del extremo de la grieta pueden expresarse únicamente en función de las
coordenadas x e y.
En la siguiente imagen la grieta se encuentra sometida al Modo I, el modo
de apertura o tensión, donde las tensiones y deformaciones en el plano son
simétricas respecto al eje x.
Fig. 4-1. Modo I.
En la siguiente figura la grieta está sometida al Modo II, modo de
deslizamiento o cortadura en el plano, donde las tensiones y deformaciones
son antisimétricas con respecto al eje x.
Fig. 4-2. Modo II.
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Finalmente, en la siguiente imagen la grieta está sometida al Modo III, de
cortadura antiplanar, donde las tensiones y deformaciones fuera del plano
son antisimétricas respecto al eje x.
Fig. 4-3. Modo III.
En el caso de materiales lineales e isótropos se pueden intentar obtener las
expresiones del factor de intensidad en tensiones para los diferentes
modos. Para ello se concentra el estudio en una pequeña zona alrededor
del borde de la grieta donde las tensiones se representan en coordenadas
polares.
Fig. 4-4. Tensiones en torno al borde de la grieta.
Se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio en las que se debe cumplir
que σөө = σrө = 0 en ө = ±π.
∂σ rr 1 ∂σ rθ σ rr − σ θθ
+
+
=0
∂r
r ∂θ
r
∂σ rθ 1 ∂σ θθ 2σ rr
+
+
=0
r ∂θ
r
∂r
(4.1)
(4.2)
Combinando las ecuaciones de compatibilidad, las de equilibrio en el plano
y la ley de Hooke bajo tensión y deformación plana se llega a la siguiente
expresión:
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 ∂2 1 ∂
1 ∂2
 +
+ 2
2
 ∂r r ∂r r ∂θ

(σ rr + σ θθ ) = 0

(4.3)
La solución para las ecuaciones presentadas se puede presentar de la
siguiente manera:
σ rr = Cr λ σ~rr (θ )
σ θθ = Cr λ σ~θθ (θ )
σ rθ = Cr λ σ~rθ (θ )
(4.4)
(4.5)
(4.6)
donde λ son los autovalores, C es una constante indeterminada que
representa la amplitud de la singularidad cuando λ es negativo. Las
tensiones que aparecen con tilde son las funciones de tensión normalizada
de θ.
Bajo tensión o deformación plana se pueden considerar los Modos I y II,
siendo en el Modo I las tensiones simétricas respecto a la dirección de la
línea de la grieta (θ =0). El factor de intensidad en tensiones KI para el
Modo I se puede definir como la amplitud de la singularidad de la tensión de
apertura σθθ justo frente al borde de la grieta (θ =0).
K I = lim 2πrσ θθ (r ,θ = 0)
(4.7)
r →0
Para el Modo II las tensiones son antisimétricas con respecto a la línea de
la grieta, definiéndose KII como la amplitud de la singularidad de la tensión
cortante σrθ justo frente al extremo de la grieta.
K II = lim 2πrσ rθ (r ,θ = 0)
(4.8)
r →0
Operando también puede obtenerse KIII definido como la amplitud de la
singularidad de la tensión σθz frente al extremo de la grieta.
K III = lim 2πrσ θz (r ,θ = 0)
(4.9)
r →0
Para casos sencillos se puede determinar el valor del factor de intensidad
en tensiones y dichos valores se encuentran en manuales para estos casos
de carga y geometría sencillas. Por otra parte, el análisis dimensional de
grietas en sólidos infinitos o semiinfinitos nos indica que las unidades del
factor de intensidad en tensiones son de presión multiplicado por la raíz
cuadrada de longitud, en el caso de sistema internacional: MPa*m1/2.
Por ejemplo, para un panel con grieta en el centro o en el borde el factor de
intensidad en tensiones toma la forma que se indica a continuación, donde
a es la longitud de grieta, Sg es la tensión nominal o la máxima tensión
nominal por flexión, y F(α) es una función geométrica de la longitud de
grieta normalizada α (α=a/b, donde b es el espesor del panel).
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K I = F (α )S g πa
(4.10)
4.1 Ensayos de crecimiento de grieta, curva da/dN
Una vez definido lo más básico de la mecánica de fractura elástica y lineal
se pasará a explicar el comportamiento de grietas durante su propagación
en el que ha sido empleada con éxito.
Consideremos una pieza en la que se ha producido una grieta de longitud a
y que está sometida a cargas cíclicas, siendo la tensión aplicada S función
del tiempo y los factores de intensidad en tensiones máximo y mínimo (Kmax
y Kmin) relacionados linealmente con la máxima y mínima tensión aplicadas
respectivamente (Smax y Smin):
K max = FS max πa
(4.1.1)
K min = FS min πa
(4.1.2)
Donde F es función de la geometría de la pieza y condiciones de carga y
Smax y Smin son los valores mostrados a continuación.
Fig. 4.1-1. Esquema de la pieza sometida a tracción (a) y representación de tensión aplicada (b).
Se define el rango de factor de intensidad en tensiones (∆K) y coeficiente
de asimetría (R):
∆K = K max − K min
S
K
R = min = min
S max K max
(4.1.3)
(4.1.4)
En la siguiente figura se muestra una representación esquemática de la
velocidad de crecimiento de grieta (da/dN) frente al factor de intensidad en
tensiones (∆K) en escala logarítmica. Se pueden distinguir tres zonas al ir
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variando los valores de ∆K. En la zona I, para valores bajos de ∆K se
observa que al reducir el valor del factor de intensidad en tensiones la
velocidad de crecimiento de grieta decae rápidamente, teniendo por valor
asintótico ∆Kth que es el umbral de crecimiento de grieta, el valor por debajo
del cual la grieta no crece. En la zona III la velocidad de crecimiento
aumenta muy rápidamente con el factor de intensidad en tensiones
tendiendo a ∆Kc, siendo éste el valor de ∆K para el que el crecimiento de la
grieta se hace rápido e inestable.
Fig. 4.1-2. Esquema de la evolución de la velocidad de crecimiento de grieta.
Hay otra zona más, la zona II, en la que la relación es prácticamente lineal,
pudiendo aproximarse el comportamiento del material mediante la ecuación
de Paris:
da
m
= C (∆K )
dN
(4.1.5)
Donde C y m son constantes del material que se obtienen mediante un
ajuste por mínimos cuadrados de resultados experimentales.
La finalidad de los ensayos de crecimiento de grieta es precisamente la
obtención de estos parámetros que definen la curva de crecimiento de
grieta así como determinar el umbral de crecimiento de grieta.
4.2 Factores que influyen en el crecimiento de grieta
Son muchos los factores que influyen en el crecimiento de grieta, habiendo
además una interrelación entre ellos. Pongamos por ejemplo la
dependencia respecto del coeficiente de asimetría R. Resultados
experimentales indican que la velocidad de crecimiento de grieta varía al
hacerlo R manteniendo cualquier otro factor constante.
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Fig. 4.2-1. Efecto del coeficiente de asimetría sobre la velocidad de crecimiento de grieta.
El efecto del coeficiente de asimetría sobre la velocidad de crecimiento de
grieta se puede apreciar en la representación anterior, donde se
esquematiza el comportamiento observado en muchos metales y
aleaciones. La curva presenta la forma que ya se ha visto en escala
logarítmica pudiendo distinguirse tres regiones diferentes. De estas tres
regiones, la I y la III son más sensibles al coeficiente de asimetría.
En la zona II no afecta la variación de R para ciertos materiales por lo que
se ha sugerido que se ha sugerido una cierta relación entre el coeficiente de
asimetría y la sensibilidad de la microestructura al crecimiento de grieta,
produciéndose un cambio cuando el tamaño de la zona plástica alrededor
del extremo de la grieta alcanza las mismas dimensiones que el tamaño de
grano.
Se ha tratado de explicar este efecto por medio de varias teorías basadas
en el cierre de grieta, tensiones residuales de compresión, por reacción
química en la superficie interna de la grieta recién abierta… Sin embargo la
validez de estas explicaciones está sometida al material y las condiciones
de ensayo. Por ejemplo, considerando que en algunos materiales al ser
ensayados en vacío no aparece este efecto supondría que en estas
condiciones no hay cierre de grieta ni efectos de tensiones residuales. Estas
teorías no sirven para explicar porqué el efecto es más reducido en la zona
II ni porqué se disminuye al trabajar en vacío.
Por poner un ejemplo, la fórmula empírica (propuesta por Klesnil y Lukás)
más popular para la descripción de la variación de ∆Kth se presenta a
continuación:
∆K th = ∆K th 0 (1 − R) µ
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(4.2.1)
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Donde ∆Kth0 es el valor de ∆Kth para R = 0 y µ es un parámetro mediante el
que se ajusta a resultados experimentales, tomando valores entra 0.3 y 1
para ensayos con aire y aproximadamente cero para ensayos en vacío.
Esta expresión se ha comprobado que se ajusta razonablemente bien a los
resultados experimentales e indica que la velocidad de crecimiento de grieta
depende no solo de las condiciones de carga y del material sino también de
las condiciones ambientales.
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