estadístico minimal suficiente

Estdístico su…ciente minimal
by
Víctor J. Yohai
Consideremos una muestra X = (X1 ; :::; Xn ) de una distribución Bi( ; 1): Luego
se tiene que para x = (x1 ; :::; xn )
p(x; ) = (1
)n
Pn
i=1
1
xi
:
Luego los siguientes estadísticos son su…cientes
T1 = (X1 ; :::; Xn );
[n=2]
T2 = (
X
Xi ;
i=1
n
X
Xi ) = (T21 ; T22 )
[n=2]+1
donde [u] indica parte entera de u; y
T3 =
n
X
Xi :
i=1
Puede verse fácilmente que T1 ; T2 y T3 son su…cientes usando el teorema de factorización. Luego cada uno de estos estadísticos contiene toda la información de la
muestra que es relevante para el conocimiento de : La diferencia entre ellos es el
1
distinto grado de simpli…cación obtenido por eliminación de información que es irrelevante para el conocimiento de : Observamos que T1 tiene dimensión n; T2 tiene
dimensión 2 y T3 tiene dimensión 1. Dados dos estadísticos su…cientes T y T; se dirá
que T es más resumido que T si existe una función medible g tal que T = g(T): En
este caso conociendo T se puede conocer T ; pero no necesariamente el conocimiento
de T implica el conocimiento de T: Para el ejemplo de la muestra binomial se tiene
que (i) T3 es más resumido que T1 y que T2 ; (ii) T2 es más resumido que T1 : Si un
estadístico su…ciente T es más resumido que cualquier otro, se dice que T es un
estadístico su…ciente minimal. Esto está formalizado en la siguiente de…nición.
De…nición: Sea X = (X1 ; :::; Xn ) un vector aleatorio con densidad p(x; );
=(
1; :::; h )
Rh : Luego T = r(X) = (r1 (X); :::;rk (X)) se dice que es un estadístico su…ciente
minimal si dado otro estadístico su…ciente T = r (X) = (r1 (X); :::;rj (X)); existe
una función medible u :Rj ! Rk tal que
P (T = u(T )) = 18 2
:
El siguiente teorema muestra que los estadísticos su…cientes minimales no son
únicos. En efecto dado un estadístico su…ciente minimal, cualquier función biunívoca
también es un estadístico su…ciente minimal.
Teorema 1. Si T = (r1 (X); :::;rk (X)) un estadístico su…ciente minimal. Sea v
una función medible biunívoca, entonces T = v(T) también es su…ciente minimal.
Demostración. Por un lado por ser v biunívoca, resulta T su…ciente. Sea
2
2
ahora T
otro estadístico su…ciente. Luego por ser T su…ciente minimal se tiene
P (T = u(T )) = 1 para todo
2
2
y luego P (T = v(u(T ))) = 1 para todo
:
De…nición Dado una densidad p(x) en Rn discreta o continua, su soporte es
S = fx :p(x) >0g:
Observación. Se puede demostrar que si P es un probabilidad discreta en Rn con
función de probabilidad puntual p; entonces si B es evento en Rn ; se tiene P (B) = 0
si y solo si B
S c : También se tiene que si P es una función de probabilidad
absolutamente continua en Rn con densidad p; P (B) = 0 si y solo si la medida de
Lebesgue de B \ S es 0. Luego tanto en el caso discreto como absolutamente continuo
los eventos de probabilidad 0 ( y por lo tanto también los eventos de probabilidad
uno) dependen únicamente del soporte de p:
El siguiente Teorema caracteriza un estadístico su…ciente minimal cuando
es
…nito.
Teorema 2. Supongamos que
= f 0;
mg
1 ; :::;
y que el soporte de p(x; ) es
independiente de : Luego un estadístico su…ciente minimal está dado por
T = r(X) = (r1 (X); :::;rm (X));
donde
ri (X) =
p(X;
p(X;
3
i)
0)
:
(1)
Demostración:
Primero vamos a mostrar que T es su…ciente. Para eso de…nimos para t =(t1 ; :::; tm )
8
>
>
< ti si i = 1; :::; m
:
g(t; i ) =
>
>
: 1 si i = 0
Vamos a mostrar que
p(x;
i)
=g(r(x);
i )p(x;
0 ); 0
i
(2)
m:
Si (2) es cierta, entonces por el Teorema de factorización resultará T su…ciente.
Tenemos
p(x;
p(x;
g(r(x);
i )p(x;
0)
= ri (x)p(x;
0)
=
g(r(x);
0 )p(x;
0)
= r0 (x)p(x;
0)
= p(x;
i)
0)
p(x;
0)
= p(x;
i ); 1
i
m
0 );
y luego (2) es cierta.
Ahora mostraremos que T es minimal. Sea T = r (X) otro estadístico su…ciente,
luego debemos mostrar que existe hi tal que
(3)
ri (x) =hi (r (x)):
Por el teorema de factorización se tiene
p(x;
i)
=g (r (x);
i )h
(x)
y luego de acuerdo a (1) se tiene
ri (x) =
g (r (x);
g (r (x);
4
i)
0)
= hi (r (x));
donde
hi (t) =
g (t;
g (t;
i)
0)
:
Esto prueba el teorema.
El siguiente teorema permite pasar del conocimiento de que T es su…ciente minimal
cuando
2
0
a que es su…ciente cuando
2
0:
Teorema 3. Supongamos que todas las densidades de la familia p(x; );
2
tengan el mismo soporte. Supongamos también que T es su…ciente minimal cuando
2
0;
donde
minimal cuando
y además su…ciente cuando
0
2
2 : Entonces T es su…ciente
:
Demostración. Sea T un estadístico su…ciente minimal cuando
también es su…ciente cuando
2
0:
Como T es su…ciente minimal para
que existe u tal que P (T = u(T )) = 1 para todo
2
depende de ; entonces P (T = u(T )) = 1 para todo
minimal cuando
2
0:
2
0
; luego
se tendrá
Como el soporte de x no
2 : Luego T es su…ciente
:
El siguiente Teorema encuentra condiciones para que el estadístico su…ciente de
una familia exponencial sea minimal.
Teorema 4. Sea la familia exponencial
p(x; ) =A( )ec1 (
con
)r1 (x)+:::+ck ( )rk (x)
2 :
5
h(xg:
Sea B = f = (c1 ( ); :::;ck ( )) :
2
g
Rk : Supongamos que exista
0
2By
> 0 tal que
S(
0;
) = f : jj
0 jj
g
B;
donde si z = (z1 ; :::; zk ); entonces jjzjj = (z12 + ::: + zk2 )1=2 : Luego T = (r1 (x); :::;rk (x))
es su…ciente minimal.
Demostración
Ya sabemos por el teorema de factorización que T es su…ciente cuando
Consideremos
0
y como en el enunciado del Teorema. Sean
i
=
0+
2
ei ; 1
i
:
n,
donde ei es el elemento de Rk con la coordenada i igual a 1 y las demás coordenadas
iguales a 0. Luego como jjei jj = 1 se tiene jj
i
2 S(
que
i
0;
) y luego
i
0 jj
i
2 B: Esto signi…ca que existen
= (c1 ( i ); :::; ck ( i )) : Luego si hacemos
0
= f 0;
2 tenemos que un estadístico su…ciente minimal cuando
= jj ei jj = : Por lo tanto
i
2
1 ; :::;
; i = 0; 1; :::; k tales
k g;
toma valores en
dado por T = r (X) =(r1 (X); :::; rk (X)), donde
ri (x) =
p(x;
p(x;
i)
0)
k
X
A( i )
=
exp( (cj ( i )
A( 0 )
j=1
= Ki exp((
0
0)
i
r(xg)
= Ki exp(( ei )0 r(x))
= Ki exp( ri (x));
6
por el Teorema
cj ( 0 ))rj (x))
0
viene
donde las constante Ki = A( i )=A( 0 ); : 1
ri (x) =
i
m: Luego, como
log (ri (x)) log(Ki )
:
y r(x) = (r1 (x); :::;rm (x)) resulta que T = (r1 (x); :::;rk (x)) = u(T ) con u biunívoca.
Luego por el Teorema 1se tiene que T también es su…ciente minimal cuando
Como además T es su…ciente para
minimal cuando
2
2
0:
por el Teorema 3 también resulta su…ciente
:
Teorema 5. Sean dos vectores aleatorios X; Y y supongamos que existen g y h
tales que
P (Y = g(X)) = 1 y P (X = h(Y)) = 1
para todo : Luego existe un conjunto A tal que
P (X 2A) = 18 2
y de manera que g restringida a A es biunívoca .
Demostración: Llamemos A = fx : h(g(x)) = xg:Veamos que g restringida a A
es biunívoca. Sean x 2A y x 2A y supongamos que g(x) =g(x ): Luego x =h( g(x))
=h( g(x )) = x : Esto prueba que g restringida a A es biunívoca.
Sea B = fY = g(X)g; C = fX = h(Y)g: Luego P (B) = P (C) = 18 2
además
fX 2Ag
7
B \ C;
y
y entonces
fX 2Ac g
Bc [ C c;
y por lo tanto
P (X 2Ac )
P (B c ) + P (C c ) = 0 + 0 = 08 2 :
Luego
P (X 2A) = 1 8 2 :
Corolario. Sean T y T dos estadísticos su…cientes minimales. Entonces existen g
y A tales que P (T = g(T)) = 1; P (T 2A) = 1 y g es biunívoca sobre A:
Teorema 6. Supongamos que la familia de densidades p(x; );
2
tenga un
estadístico su…ciente minimal T y un estadístico su…ciente y completo T : Luego T
es minimal. Además existen w y A tales que P (T = w(T)) = 1 para todo
P (T 2A) = 1para todo
2
2 ;
y w es biunívoca sobre A:
Demostración. Como T es su…ciente minimal y T su…ciente, se tiene que existe
u tal que
P (T = u(T )) = 18 2 :
(4)
= E(T jT) = w(T) :
(5)
De…namos
T
8
Luego si llamamos v = w u resulta
P (T
= v(T )) = 18 2
Luego E (T ) = E (T ): Entonces
E (v(T )
T ) = E (T )
E (T ) = 0:
Como T es su…ciente completo, debemos tener que
P (T
= v(T )) = 18 2 ;
P (T
= w(T)) = 18 2 :
(6)
Sea ahora otro estadístico su…ciente Q: Luego
Luego como T es su…ciente minimal existe g tal que
P (T = g(Q)) = 18 2 ;
y por lo tanto
P (w(T) = w(g(Q))) = 18 2 :
Luego por (6) resulta
P (T = w(g(Q))) = 18 2 :
Luego T = m(Q); donde m = w g y por lo tanto T es también su…ciente minimal.
Por (2) y (3) y Teorema 5 existe A tal que P (T 2 A) = 1 8 2
biunívoca en A:
9
y tal que w es