Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales

To reach a depth profounder still, and still
Profounder, in the fathomless abyss
William Cowper (1731-1800), The Winter Morning Walk
12
Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria
para Potenciales Singualres
En el Capı́tulo 8 hemos visto que para sistemas con una barrera centrı́fuga, la forma
Euclideana de la partición temporal de la integral de trayectoria original de Feynman
diverge para ciertas barreras atractivas. Esto sucede aún si la estadı́stica cuántica
de los sistemas está bien definida. El mismo problema aparece para una partı́cula
en un potencial atractivo de Coulomb, y ası́ para todo sistema atómico.
En este capı́tulo construimos una integral de trayectoria nueva y más flexible, la
cual está libre de este problema para todo potencial singular. Recientemente, esto
ha sido la clave para una solución simple de muchas otras integrales de trayectoria
que anteriormente eran consideradas intratables.
12.1
Colapso en la Trayectoria de Feynman para
el Sistema de Coulomb
El potencial atractivo de Coulomb V (r) = −e2 /r, tiene una singularidad en el origen
de las coordenadas r = 0. Esta singularidad es más débil que la barrera centrı́fuga,
pero es lo suficientemente fuerte para dar origen a una catastrofe en la integral de
trayectoria Euclideana. Recordemos que una barrera centrı́fuga atractiva no posee
tampoco una función de partición clásica. Esto mismo es cierto para el potencial
atractivo de Coulomb, donde la fórmula (2.352) es de la forma
Zcl =
Z
d3 x
e2
.
exp
β
q
3
r
2πh̄2 β/M
!
La integral diverge cerca del origen. Además, hay una divergencia para valores
grandes de r. La parte principal de esta última divergencia puede eliminarse restandole la función de partición de la partı́cula libre, construyendo la función
Zcl′
≡ Zcl − Zcl |e=0 =
Z
d3 x
q
2
2πh̄ β/M
967
3
e2
exp β
r
"
!
#
−1 ,
(12.1)
968
12 Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Singulares
conservando sólo una divergencia cuadrática. En un sistema real de muchos cuerpos
con igual número de partı́culas cargadas de manera opuesta, esta divergencia desaparece por el efecto del apantallamiento. Ası́ no tenemos porque preocuparnos más
por esto, y tenemos que concentrarnos sólo en la divergencia restante para valores
pequeños de r. En un átomo de verdad, esta singularidad no está presente debido
a que el núcleo no es una partı́cula puntual, sino que ocupa un volumen finito. Sin
embargo, esta “regularización fı́sica” de la singularidad no es necesaria para la estabilidad mecánico–cuántica. La ecuación de Schrödinger es completamente soluble
para el potencial singular puro −e2 /r. Por lo tanto, debemos de ser capaces de
recobrar los resultados conocidos de Schrödinger del formalismo de la integral de
trayectoria sin ninguna regularización de corta distancia.
En la base de la partición temporal original de la fórmula de Feynman, esto no
es posible. Si una trayectoria consta de un número finito de particiones, su acción
Euclideana
A=
Z
τb
τa
e2
M ′2
x (τ ) −
dτ
2
r(τ )
"
#
(12.2)
puede reducirse indefinidamente por una trayectoria con una configuración restringida, que corresponde a una partı́cula moviendose lentamente en el abismo
−e2 /r. Llamamos a este fenómeno el colapso de la trayectoria. En la naturaleza,
esta catastrófe se cancela por las fluctuaciones cuánticas. Para poder entender por
que sucede esto, es útil reinterpretar las trayectorias en la integral de trayectoria
Euclideana como lı́neas azarosas parametrizadas por τ ∈ (τa , τb ). Su distribución
está controlada por el “factor de Boltzmann” e−A/h̄ , cuya temperatura “cuántica”
efectiva es Teff ≡ h̄/kB (τb −τa ).1 El logaritmo de la amplitud Euclideana (xb τb |xa τa )
multiplicada por −Teff define la energı́a libre
F = E − kB T S
de la lı́nea aleatoria con extremos fijos. Las fluctuaciones cuánticas introducen en
la trayectoria una entropı́a de configuración S. Esta entropı́a debe ser lo suficientemente singular para dar origen a una energı́a libre singular acotada en el lı́mite
inferior. Es claro que tal mecanismo puede trabajar sólo si la integral de trayectoria
exacta contiene un número infinito de secciones infinitamente pequeñas. Sólo estas
secciones pueden contener suficiente entropı́a configuracional cerca de la singularidad
para detener el colapso.
La aproximación variacional de la Sección 5.10 ha mostrado un efecto importante
de la entropı́a configuracional de las fluctuaciones cuánticas. Esta aproximación
suaviza el potencial singular de Coulomb dando origen a un potencial efectivo clásico
que es finito en el origen. Se puede evitar el colapso de la trayectoria definiendo la
integral de trayectoria como un producto infinito de integrales sobre los coeficientes
de Fourier. Las componentes infinitas de alta frecuencia pueden integrase y esto
1
Esta cantidad lleva a ver la trayectoria como un polı́mero con fluctuaciones espaciales configuracionales, posibilidad que será el tema principal de los Capı́tulos 15 y 16.
969
12.1 Colapso de la Trayectoria en la Fórmula de Feynman para el Sistema . . .
da origen a la estabilidad deseada. Las componentes de alta frecuencia no existen
en una partición temporal finita de la trayectoria, la cual tiene un número finito
de divisiones, donde las frecuencias Ωm están acotadas por el doble del inverso del
tamaño de la partición 1/ǫ [recordemos las Ecs. (2.111), (2.112)].
Desafortunadamente, la norma de la trayectoria utilizada en la aproximación
variacional es inapropiada para el cálculo exacto de integrales de trayectoria no triviales. Excepto para la partı́cula libre y para el oscilador armónico, estas integrales
de trayectoria se basan en resolver un número finito de integrales ordinarias en la
partición temporal de la fórmula. Por lo cual, necesitamos una partición temporal
de la integral de trayectoria más poderosa que evite el colapso en los potenciales
singulares.
Para el sistema de Coulomb, tal fórmula fue hallada en 1979 por Duru y Kleinert.2
La cual ha sido la base para resover la integral de trayectoria de muchos otros sistemas no triviales. Aquı́ describiremos la extensión más general de esta fórmula,
la cual será aplicada a varios sistemas más tarde. Para el potencial atractivo de
Coulomb y otros potenciales singulares, tales como las barreras centrı́fugas atractivas, esta fómula no sólo evitará el colapso, sino que también será la clave para una
solución analı́tica.
La estabilización deducida se alcanza introduciendo un ancho de trayectoria independiente de la partición. Esto permite que la entropı́a configuracional de la
Ec. (12.3) crezca lo suficiente para cancelar la singularidad en la energı́a. Para ver
el mecanismo de la cancelación, consideremos una lı́nea aleatoria con n ligaduras
que tiene, en una red cúbica simple en D dimensiones, (2D)n configuraciones con
entropı́a
S = n log(2D).
(12.3)
Si el número de particiones temporales n aumenta en las vecindad de la singularidad
−e2 /r, en la forma constante/r, entonces la entropı́a es proporcional a 1/r. Una
sección de la trayectoria que se particiona en el abismo debe compactarse de tal
forma que la energı́a cinética sea pequeña. Pero en este caso tenemos una cierta
entropı́a S, y de acuerdo a la Ec.(12.3) esto da origen a la energı́a libre kB Teff S.
Esto compensa la singularidad del potencial y anula el colapso. El propósito de
este capı́tulo es construir una integral de trayectoria que estabilize el mecanismo en
estudio.
Debe de notarse que la no inestabilidad en el problema aparecerı́a si definimos la
integral de trayectoria de tiempo imaginario para la amplitud de evolución temporal
en el continuo
(xb τb |xa τa ) ≡
2
Z
D
D x(τ )
Z
D D p(τ )
1
exp
D
(2πh̄)
h̄
Z
τb
τa
dτ [ipẋ − H(p, x)]
(12.4)
I.H. Duru and H. Kleinert, Phys. Lett. B 84, 30 (1979) (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/65); Fortschr. Phys. 30 , 401 (1982) (ibid.http/83). Ver también las notas
históricas del prefacio.
970
12 Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Singulares
sin partición temporal como la solución de la ecuación diferencial de Schrödinger
(h̄∂τ + Ĥ)(x τ |xa τa ) = h̄δ(τ − τa )δ (D) (x − xa )
(12.5)
[comparar con la Ec. (1.308)]. Luego de resolver la ecuación de Schrödinger
Ĥψn (x) = En ψn (x), la representación esprectral (1.323) proporciona directamente
la amplitud (12.4).
Todas la dificultades descritas arriba se deben al número finito de particiones
temporales en la integral de trayectoria. Como se explica al final de la Sección 2.1,
la suma explı́cita sobre todas las trayectorias es un ingrediente esencial de la aproximación global de Feynman al fenómeno de las fluctuaciones cuánticas. En esta
aproximación, la partición temporal finita es esencial para poder realizar esta suma
en un sistema no trivial.
Ahora presentamos una solución general del problema de la estabilidad de la
partición temporal de la integral de trayectoria estadı́stico–cuántica.
12.2
Integral de Trayectoria Estable para
Potenciales Singulares
Consideremos la amplitud para la energı́a constante (9.1), la cual es el elemento
local de matriz
(xb |xa )E = hxb |R̂|xa i
(12.6)
del operador (1.319):
R̂ =
ih̄
.
E − Ĥ + iη
(12.7)
Recordemos que la descripción iη asegura la causalidad de la transformada de Fourier
(12.6), permitiendo que se cancele para tb < ta [ver la discusión posterior a la
Ec. (1.327)].
La amplitud de energı́a constante tiene polos de la forma
(xb |xa )E =
X
n
ih̄
ψn (xb )ψn∗ (xa ) + . . .
E − En + iη
para las energı́as del estado ligado, y tiene además un corte en el continuo del
espectro de la energı́a. La integral de la energı́a en la discontinuidad, a través de las
singularidades, da la relación de completes (1.330).
La nueva integral de trayectoria de basa en la siguiente observación. Si el sistema posee una integral de trayectoria de Feynman para la amplitud de evolución
temporal, también la tiene para la amplitud de energı́a constante. Esto puede verse
reescribiendo la útlima como la integral
(xb |xa )E =
Z
∞
ta
dtb hxb |ÛE (tb − ta )|xa i
(12.8)
971
12.2 Integral de Trayectoria Estable con Potencial Singular
involucrando el operador de evolución temporal modificado
ÛE (t) ≡ e−it(Ĥ−E)/h̄ ,
(12.9)
que está asociado con el Hamiltoniano modificado
ĤE ≡ Ĥ − E.
(12.10)
De manera obvia, esto será cierto en la medida que los elementos de matriz del
operador de evolución temporal ordinario Û (t) = e−itĤ/h̄ puedan representarse por
una partición temporal de la integral de trayectoria de Feynamn, lo mismo es cierto
para los elementos de matriz del operador modificado ÛE (t) = e−itĤE /h̄ . Como en
la Sección 2.1, su forma explı́cita se obtiene particionando la variable t en N + 1
partes, factorizando exp(−itĤE /h̄) en el producto de N + 1 factores,
e−itĤE /h̄ = e−iǫĤE /h̄ · · · e−iǫĤE /h̄ ,
(12.11)
e introduciendo una sucesión de N relaciones de completes
N Z
Y
dD xn |xn ihxn | = 1
(12.12)
n=1
(donde hemos omitido la parte del continuo del espectro). De esta forma, obtenemos
la integral de trayectoria para la partición temporal de la amplitud donde tb − ta =
ǫ(N + 1)
hxb |ÛEN (tb
N Z
Y
− ta )|xa i =
D
d xn
n=1
"
NY
+1 Z
n=1
d D pn
i N
exp
A ,
D
(2πh̄)
h̄ E
#
(12.13)
y donde AN
E es la partición de la acción
AN
E =
N
+1
X
{pn (xn − xn−1 ) − ǫ[H(pn , xn ) − E]} .
(12.14)
n=1
En el lı́mite de valores grandes de N, para tb − ta = ǫ(N + 1) fijo, obtenemos la
integral de trayectoria
D D p(t′ )
iZt ′
hxb |ÛE (t)|xa i = D x(t )
dt [pẋ(t′ ) − HE (p(t′ ), x(t′ ))] .
exp
D
(2πh̄)
h̄ 0
(12.15)
De la Ec. (12.8), es fácil también hallar una aproximación para la amplitud de
energı́a constante (xb |xa )E , para N finito. La integral adicional sobre tb > ta puede
aproximarse, para N finito, por una integral sobre el ancho de la partición ǫ:
Z
D
′
Z
Z
∞
ta
dtb = (N + 1)
Z
0
∞
dǫ.
(12.16)
972
12 Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Singulares
La aproximación resultante, para N finito, de la amplitud de energı́a constante
Z
∞
Z
∞
dtb hxb |ÛEN (tb − ta )|xa i,
(12.17)
converge al lı́mite correcto (xb |xa )E . Como ejemplo, veamos el caso de la partı́cula
libre, donde
(xb |xa )N
E
≡ (N + 1)
0
dǫhxb |ÛEN (ǫ(N
(xb |xa )N
E = (N + 1)
Z
∞
0
"
+ 1))|xa i =
ta
1
dǫ q
D
2πi(N + 1)ǫh̄/M
#
M
(xb − xa )2 + iE(N + 1)ǫ .
× exp i
2(N + 1)ǫ
(12.18)
Luego de un cambio trivial de la variable de integración, hallamos la misma integral
vista en la Ec. (1.343), cuyo resultado fue dado en las Ecs. (1.348) y (1.355), dependiendo del signo de la energı́a E. La dependencia en N desaparece completamente
como ya se observó en la Sección 2.2.5. En el caso general de un potencial suave
arbitrario, la convergencia está garantizada por la contribución del término cinético
en la norma de la integral.
La partición temporal de la integral de trayectoria para la amplitud de energı́a
constante (xb |xa )E dada por las Ecs. (12.17), (12.13) y (12.14), tiene en apariencia
el mismo rango de validez que la integral de trayectoria original de Feynman para
la amplitud de evolución temporal (xb tb |xa ta ). Es decir, hasta ahora no hemos
ganado mucho. Sin embargo, la nueva fórmula tiene una ventaja importante sobre
la fórmula de Feynman. Debido a la integración temporal adicional nuestra fómula
posee un nuevo grado de libertad funcional . Esto se puede explotar para hallar
una integral de trayectoria que no colapse para tiempos imaginarios. El punto de
partida es observar que el operador resolvente R̂, de la Ec. (12.7), puede reescribirse
en cualquiera de las siguientes tres formas:
R̂ =
ih̄
fˆl ,
fˆl (E − Ĥ + iη)
(12.19)
o
R̂ = fˆr
ih̄
(E − Ĥ + iη)fˆr
,
(12.20)
o, más generalmente,
R̂ = fˆr
ih̄
fˆl ,
ˆ
fl (E − Ĥ + iη)fˆr
(12.21)
donde fˆl , fˆr son operadores arbitrarios que pueden depender de p̂ y x̂. Estos operadores son llamados funciones reguladoras. En una siguiente discusión, al suponer
que fˆl , fˆr depende sólo de x̂, evitaremos el mencionar los subı́ndices en el orden de
973
12.2 Integral de Trayectoria Estable con Potencial Singular
los operadores, aunque el caso general también puede ser tratado en forma silimar.
Más aún, en la aplicación especı́fica de los Capı́tulos 13 y 14, se supondrá que los
operadores fˆl , fˆr se pueden expresar como la potencia de un mismo operador fˆ, i.e.,
fˆl = fˆ1−λ ,
fˆr = fˆλ ,
(12.22)
cuyo producto es
fˆl fˆr = fˆ.
(12.23)
De los elementos de matriz de (12.21), obtenemos la representación alternativa para
la amplitud de energı́a constante
Z
hxb |R̂|xa i = (xb |xa )E =
∞
sa
dsb hxb |ÛE (sb − sa )|xa i,
(12.24)
donde ÛE (s) es la generalización del operador de evolución temporal modificado
(12.9), el cual será llamado operador de evolución pseudotemporal ,
ÛE (s) ≡ fr (x)e−isfl (x)(Ĥ−E)fr (x) fl (x).
(12.25)
El operador en el argumento de la exponencial,
ĤE ≡ fl (x)(Ĥ − E)fr (x),
(12.26)
puede ser considerado como un Hamiltoniano auxiliar, el cual actúa sobre los vectores de estado |xi del sistema en el eje del pseudotiempo s, mediante el operador
e−isĤE (p,x)/h̄ . Notése que ĤE en general no es Hermı́tico, en cuyo caso ÛE (s) no es
unitario.
En la forma usual, convertimos la expresión (12.24) en una integral de trayectoria
particionando el intervalo pseudotemporal (0, s) en N + 1 particiones, factorizamos
exp(−isĤE /h̄) como un producto de N + 1 factores, e insertamos una sucesión de
N relaciones de completes. El resultado es la representación integral aproximada
para la amplitud de energı́a constante,
(xb |xa )E ≈ (N + 1)
Z
∞
0
dǫs hxb |ÛEN (ǫs (N + 1)) |xa i,
(12.27)
donde la integral de trayectoria para la partición–pseudotemporal de la amplitud es
hxb |ÛEN
(ǫs (N + 1)) |xa i = fr (xb )fl (xa )
N Z
Y
n=1
D
d xn
"
NY
+1 Z
n=1
d D pn
N
eiAE /h̄ , (12.28)
D
(2πh̄)
#
y donde la partición temporal de la acción es
AN
E =
N
+1
X
n=1
{pn (xn − xn−1 ) − ǫs fl (xn )[H(pn , xn ) − E]fr (xn )} .
(12.29)
974
12 Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Singulares
Estas ecuaciones constituyen la generalización deseada de las fórmulas (12.13)–
(12.17). En el lı́mite de valores grandes de N, podemos escribir la amplitud para la
energı́a constante como una integral
(xb |xa )E =
Z
∞
dShxb|ÛE (S)|xa i
0
(12.30)
sobre la amplitud
(
i
Dp(s)
exp
hxb |ÛE (S)|xa i = fr (xb )fl (xa ) Dx(s)
2πh̄
h̄
Z
Z
Z
S
0
)
′
ds[px −HE (p, x)] . (12.31)
La primada sobre x(s) representa la derivada con respecto al pseudotiempo s.
Para un Hamiltoniano estándar de la forma
H = T (p) + V (x),
(12.32)
donde la energı́a cinética es
T (p) =
p2
,
2M
(12.33)
los momenta pn en la Ec. (12.28) pueden integrarse y obtenemos la integral de
trayectoria en el espacio de configuración
fr (xb )fl (xa )
hxb |ÛEN (ǫs (N + 1)) |xa i = q
D
2πiǫs fl (xb )fr (xa )h̄/M
×

Z
N
Y

 q
2πiǫs f (xn )h̄/M
n=1
donde la partición de la acción es
AN
E
=
N
+1
X
n=1
dD xn
(12.34)

 iAN
E /h̄ ,
De
(
)
M
(xn − xn−1 )2 − ǫs fl (xn )[V (xn ) − E]fr (xn−1 ) . (12.35)
2ǫs fl (xn )fr (xn−1 )
En el lı́mite de valores grandes de N, podemos escribir la integral de trayectoria
(
i
hxb |ÛE (S)|xa i = fr (xb )fl (xa ) Dx(s)exp
h̄
Z
Z
0
S
"
M ′2
x − fl (V −E)fr
ds
2fl fr
#)
, (12.36)
con la partición dada según la relación (12.35).
La fórmula de la integral de trayectoria para una amplitud de energı́a constante,
basada en las Ecs. (12.30) y (12.36), es independiente de la elección particular de
las funciones fl (x), fr (x), tal como la expresión más general del operador para el
resolvente (12.21). Es claro que, la partición temporal de la fórmula original de
Feynman se recupera para la elección del caso especial fl (x) ≡ fr (x) ≡ 1.
12.3 Regularización Dependiente del Tiempo
975
Cuando comparamos la Ec. (12.25) con la Ec. (12.9), vemos que por cada partición pseudopotencial infinitesimal, el ancho de las verdaderas particiones temporales tienen el valor espacialmente dependiente
dt = dsfl (xn )fr (xn−1 ).
(12.37)
La libertad en elegir f (x) nos lleva a una invarianza para la reparametrización de la
trayectoria temporal de la amplitud de energı́a constante (12.30). Notemos que la
invarianza es exacta en la fórmula (12.21), del operador general para el resolvente,
y en la fórmula de la integral de trayectoria continua basada en las Ecs. (12.30) y
(12.36). Sin embargo, la partición pseudopotencial finita en las Ecs. (12.34), (12.35)
utilizada para definir la integral de trayectoria, destruye esta invarianza. Para valores finitos de N, diferentes elecciones de f (x) dan diferentes aproximaciones a los
elementos de matriz del operador ÛE (s) = fr (x̂)e−isĤE (p̂,x̂)/h̄ fl (x̂). Los resultados
puede variar apreciablemente. En efecto, si el potencial es singular y las funciones
regulatorias fr (x), fl (x) no se escogen apropiadamente, la partición pseudotemporal
Euclideana puede no existir. Esto es lo que sucede en el sistema de Coulomb si ambas
funciones fl (x) y fr (x) son unitarias tal como en la fórmula integral de Feynman.
La nueva libertad en la reparametrización, obtenida con las funciones fl (x), fr (x),
no es por tanto sólo un lujo. Es esencial para estabilizar la partición temporal de
las fluctuaciones orbitales en potenciales singulares.
En el caso del sistema de Coulomb, toda elección de las funciones regulatorias, fl (x), fr (x) donde f (x) = r, llevan a un Hamiltoniano auxiliar regular HE , y
las expresiones (12.27)–(12.36) de la integral de trayectoria estarán completamente
definidas. Esta fue la contribución importante de Duru y Kleinert en 1979, la cual
será descrita en detalle en el Capı́tulo 13, misma que ayudó a a que una gran
clase de integrales de trayectoria de Feynman previamente no existentes pudieran
resolverse. Mediante
una transformación similar a la de Duru-Kleinert, fl (x), fr (x)
q
donde f (x) = fl (x)fr (x) = r 2 , las dificultades halladas anteriormente para la
barrera centrı́fuga tienen solución, tal como se mostrará en el Capı́tulo 14.
12.3
Regularización Dependiente del Tiempo
Antes de tratar casos especı́ficos, notemos que existe una generalización posterior
de la anterior integral de trayectoria que es útil para los sistemas que tienen un
Hamiltoniano H(p, x, t) con dependencia temporal. Introduzcamos un Hamiltoniano auxiliar
Ĥ = fl (x, t)[H(p̂, x, t) − Ê]fr (x, t),
(12.38)
donde Ê es el operador diferencial de la energı́a cuya variable conjugada es el tiempo
t:
Ê ≡ ih̄∂t .
(12.39)
976
12 Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Singulares
El Hamiltoniano auxiliar actúa sobre un espacio extendido de Hilbert, en el cual
los estados están localizados en el tiempo y en el espacio. Denotamos estos estados
como |x, t}. Los cuales cumplen las relaciones de ortogonalidad y completes
{x t|x′ t′ } = δ (D) (x − x′ )δ(t − t′ ),
(12.40)
y
Z
dD x
Z
dt|x t}{x t| = 1,
(12.41)
respectivamente. Por construcción, el Hamiltoniano H no depende explı́citamente
del pseudotiempo s. Por lo tanto, el operador de evolución pseudotemporal se
obtiene por una simple exponenciación, tal como en la relación (12.25),
Û(s) ≡ fr (x, t)e−isfl (x,t)(Ĥ−Ê)fr (x,t) fl (x, t).
(12.42)
La deducción de la integral de trayectoria es por tanto, completamente análoga al
caso independiente del tiempo. El operador (12.42) se particiona en N + 1 partes, e
introducimos N relaciones de completes (12.41) para hallar la integral de trayectoria
{xb tb |Û N (s)|xa ta } = fr (xb , tb )fl (xa , ta )
×
N Z
Y
n=1
D
d xn dtn
"
NY
+1 Z
n=1
dD pn dEn iAN /h̄
e
,
(2πh̄)D 2πh̄
#
(12.43)
donde la partición pseudopotencial de la acción es
AN =
N
+1
X
{pn (xn − xn−1 ) − En (tn − tn−1 )
n=1
− fl (xn , tn ) [H(pn , xn , tn ) − En ] fr (xn−1 , tn−1 )},
(12.44)
y donde xb = xN +1 , tb = tN +1 ; xa = x0 , y ta = t0 . Este resultado describe fluctuaciones orbitales en el espacio fase del espacio–tiempo, que contiene las lı́neas
universales x(s), t(s) fluctuantes y sus conjugadas canónicas en el espacio–tiempo
p(s), E(s). En el lı́mite N → ∞ podemos escribir esto como
{xb tb |Û(S)|xa ta } = fr (pb , xb , tb )fl (pa , xa , ta )
Z
Z
D D p(s) DE(s) iA/h̄
D
×
D x(s)Dt(s)
e
,
(2πh̄)D 2πh̄
(12.45)
donde la acción continua es
A[p, x, E, t] =
Z
0
S
ds{p(s)x′ (s) − E(s)t′ (s)
−fl (p(s), x(s), t(s)) [H(p(s), x(s), t(s)) − E(s)] fr (p(s), x(s), t(s))}. (12.46)
977
12.3 Regularización Dependiente del Tiempo
En la partición pseudotemporal de la fórmula (12.43), podemos integrar sobre todas
las variables energéticas intermedias En y obtenemos
{xb tb |Û(S)|xa ta } =
N Z
Y
dD xn
n=1
× δ tb − ta − ǫs
"
NY
+1 Z
n=1
N
+1
X
d D pn
(2πh̄)D
#
(12.47)
!
N /h̄
fl (pn , xn , tn )fr (pn−1 , xn−1 , tn−1 ) eiÃ
n=1
donde la acción es
N
à =
N
+1
X
[pn (xn − xn−1 ) − ǫs fl (pn xn , tn )H(pn , xn , tn )fr (pn−1 , xn−1 , tn−1 )].
n=1
(12.48)
Esta expresión tiene la forma ordinaria de la partición temporal de una acción con
un Hamiltoniano independiente del tiempo. Sin embargo, el ancho constante de la
partición temporal ǫ = (tb − ta )/(N + 1) es ahora la nueva variable y depende del
espacio fase y el tiempo:
ǫ → ǫs fl (pn xn , tn )fr (pn−1 , xn−1 , tn−1 ).
(12.49)
La función δ de la Ec. (12.47) asegura la relación correcta entre el pseudotiempo s
y el tiempo fı́sico t. En el lı́mite continuo escribimos la Ec. (12.47) como
{xb tb |Û(S)|xa ta } =
Z
D D x(s)
Z
D D p(s)
δ(tb − ta −
(2πh̄)D
Z
0
S
ds f (x, t))eiÃ/h̄ , (12.50)
donde la acción pseudotemporal es
Ã[p, x, t] =
Z
0
S
ds [px′ − fl (x, t)H(p, x, t)fr (x, t)] ,
(12.51)
la cual es una funcional de las trayectorias x(s), p(s) y t(s), dependientes de s.
Notése que en la fórmula continua la división de la función reguladora f (x, t) en las
funciones fl (x, t) y fr (x, t), de acuerdo al parámetro λ de la Ec. (12.22), no puede
expresarse propiamente ya que fl , H, y fr son números complejos conmutativos.
Esto lo hemos escrito en una forma tal que, en las expresiones (12.47), (12.48), se
indica su orden en la partición temporal.
La integral sobre S da la amplitud de evolución temporal original
(xb ta |xa ta ) =
Z
∞
0
dS{xb tb |Û(S)|xa ta } =
(
)
ih̄ xb tb xa ta .
Ĥ − Ê (12.52)
En realidad, de la descomposición de Fourier del producto escalar {xb tb |xa ta },
{xb tb |xa ta } =
Z
dD p
(2πh̄)D
Z
dE ip(xb −xa )/h̄−iE(tb −ta )/h̄
e
,
2πh̄
(12.53)
978
12 Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Singulares
vemos que el lado derecho cumple con la ecuación de Schrödinger y el lado izquierdo
cumple la relación:
[H(−ih̄∂x , x, t) − ih̄∂t ] (x t|xa ta ) = −ih̄δ (D) (x − xa )δ(t − ta )
(12.54)
[recordemos las Ecs. (1.308) y (12.5)]. Si la función δ de la Ec. (12.47) se expresa
como una integral de Fourier, obtenemos una forma de descomposición espectral de
la amplitud (12.52),
(xb ta |xa ta ) =
Z
∞
−∞
dEe−iE(tb −ta )/h̄
Z
∞
0
dS{xb tb |ÛE (S)|xa ta },
(12.55)
donde la amplitud de evolución pseudotemporal es:
ÛE (s) ≡ fr (p̂, x, t)e−isfl (p̂,x,t)(Ĥ−E)fr (p̂,x,t) fl (p̂, x, t).
12.4
(12.56)
Relación con la Teorı́a de Schrödinger.
Las Funciones de Onda
Por completes, consideremos la mecánica cuántica ordinaria de Schrödinger descrita
por el pseudo–Hamiltoniano Ĥ. Este operador es el generador de traslaciones del
sistema sobre el eje pseudotemporal s. Sea φ(x, t, s) una solución de la ecuación de
Schrödinger pseudotemporal
H(p̂, x, Ê, t)φ(x, t, s) = ih̄∂s φ(x, t, s),
(12.57)
la cual se puede escribir explı́citamente como
fl (x, t) [H(p̂, x, t) − ih̄∂t ] fr (x, t)φ(x, t, s) = ih̄∂s φ(x, t, s).
(12.58)
Dado que el lado izquierdo es independiente de s, la dependencia en s de φ(x, t, s)
puede factorizarse como:
φ(x, t, s) = φE (x, t)e−iEs/h̄ .
(12.59)
Si H es independiente del tiempo t, entonces es posible estabilizar la integral de
trayectoria mediante una función reparametrizada f (x) independiente del tiempo.
Luego eliminamos el factor oscilatorio e−iEt/h̄ de φE (x, t) y podemos factorizar en la
forma
φE (x, t) = φE,E (x)e−iEt/h̄ .
(12.60)
Con esto obtenemos la ecuación independiente del tiempo y del pseudotiempo
H(p̂, x, E)φE,E (x) = fl (x) [H(p̂, x) − E] fr (x)φE,E (x)
= EφE,E (x).
(12.61)
12.4 Relación con la Teorı́a de Schrödinger. Las Funciones de Onda
979
Para cada valor de E, habrá un espectro diferente de valores propios En . Lo cual
se indica escribiendo estos valores propios en la forma En (E), y los estados propios
asociados φEn ,E(x) como φEn (E) .
Supongamos que poseemos un conjunto completo de tales estados propios para
una energı́a constante E, etiquetada con el número cuántico n, (el cual suponemos es
un conjunto discreto de valores aunque, como es usual, también puede tener valores
continuos). Luego, podemos escribir la representación espectral para los elementos
de matriz locales de la amplitud de evolución pseudotemporal (12.25), en la forma:
hxb |ÛE (S)|xa i = fr (xb )fl (xa )
X
φEn (E) (xb )φ∗En (E) (xa )e−iSEn (E)/h̄ .
(12.62)
n
De aquı́ hallamos el desarrollo en series de la amplitud de energı́a constante (12.24):
(xb |xa )E = fr (xb )fl (xa )
X
φEn (E) (xb )φ∗En (E) (xa )
n
ih̄
.
En (E)
La amplitud de evolución temporal está dada por la transformada de Fourier
Z ∞
dE iE(tb −ta )/h̄ X
ih̄
(xb tb |xa ta ) = fr (xb )fl (xa )
e
. (12.63)
φEn (E) (xb )φ∗En (E) (xa )
En (E)
−∞ 2πh̄
n
Misma que debe ser comparada con la representación espectral usual de esta amplitud para el Hamiltoniano independiente del tiempo Ĥ
(xb tb |xa ta ) =
X
ψn (xb )ψn∗ (xa )e−iEn (tb −ta )/h̄ ,
(12.64)
n
donde ψn (x) son las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo ordinaria:
H(p̂, x)ψn (x) = En ψn (x).
(12.65)
La relación entre las dos representaciones (12.63) y (12.64) se encuentra observando
que cuando la energı́a E coincide con la energı́a En , el valor propio En (E) se anula,
i.e., ih̄/En (E) tiene polos en E = En de la forma
ih̄
1
ih̄
≈ ′
.
En (E)
En (En ) E − En + iη
(12.66)
Estos valores propios contribuyen a la integral de energı́a, de la Ec. (12.63), con una
suma
(xb tb |xa ta ) ∼ fr (xb )fl (xa )
X
φEn (En ) (xb )φ∗En (En ) (xa )e−iEn (tb −ta )/h̄ .
(12.67)
n
Una comparación con la expresión (12.64), muestra la relación entre las funciones
de onda del estado ligado de la ecuación de Schrödinger ordinaria y la ecuación
pseudotemporal. En general, la función ih̄/En (E) tiene singularidades cuyas discontinuidades contienen las funciones de onda continuas de la ecuación de Schrödinger
(12.65).
Estas observaciones serán más transparentes luego de ver la Sección 13.8, donde
estudiaremos en detalle las funciones de onda ligadas y continuas del sistema de
Coulomb.
980
12 Nueva Fórmula de la Integral de Trayectoria para Potenciales Singulares
Notas y Referencias
La fórmula general de la integral de trayectoria con la reparametrización temporal fue introducida
por
H. Kleinert, Phys. Lett. A 120, 361 (1987) (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/163).
Los aspectos de la estabilidad están discutidos en
H. Kleinert, Phys. Lett. B 224, 313 (1989) (ibid.http/195).