Estimación del volumen del árbol - U

Autores:
Patricio Corvalán Vera
Jaime Hernández Palma
3.4 Función generatriz y cuerpos geométricos
Las propiedades geométricas de ciertos sólidos de revolución se utilizan para tratar de caracterizar
la forma de los fustes de árboles individuales o de secciones de ellos.
En general, la forma del fuste ha sido asumida a través de la siguiente función general, llamada en
ocasiones función generatriz:
y = k ⋅ xr
Donde k y r son constantes que definen la forma del
sólido de revolución.
De la figura 1, se tiene que el área de la base gi con
diámetro igual a b, se puede escribir como1:
Figura 1: forma de la función
generatriz para r = 1.
g i = π ⋅ y 2 = π ⋅ (k ⋅ x r ) 2
Por otra parte, de la figura 2 se deduce que un volumen
infinitesimal dv puede ser calculado como el producto
entre el área de una sección cualquiera del fuste g y un
ancho dx (diferencial de altura en el fuste). Así, el volumen
total se obtiene integrando dv entre 0 y la altura total b:
= dv
g
b
V = π ∫ ( k ⋅ x r ) 2 dx
dx
0
b
 k ⋅ x ( 2 r +1) 
V =π

 2r + 1  0
Figura 2: Volumen infinitesimal dv.
Volumen de un cono
En el caso de que r =1 se obtiene el volumen para un fuste que tiene la forma de un cono:
y = k ⋅ x → g b = π ⋅ ( k ⋅ x) 2
b
 k 2 ⋅ x3 
Vb = π ∫ (k ⋅ x) dx = π 

0
 (2 + 1)  0
1
Vb = (π ⋅ k 2 ⋅ xb2 ) xb
3
1
Vb = ( g b ) ⋅ ( H )
3
b
1
2
El área de la base g se asume igual al área de un círculo de radio r = y, es decir que g = π r2 = π y2.
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1
De la ecuación anterior se deduce que el volumen del fuste (cono) se obtiene reduciendo el volumen
de un cilindro de base igual a gb y de altura igual a H en un tercio (1/3). En donde gb es el área de la
sección circular del fuste de diámetro igual a b (gb = π /4 b2) y H es la altura total del fuste. El factor
de reducción, en este caso igual a 0,333 es conocido como factor de forma.
Volumen de un paraboloide
En el caso de que r =0.5 se obtiene el volumen para un fuste que tiene la forma de un paraboloide:
y = k ⋅ x1 / 2 → y 2 = k '⋅ x → g i = π ⋅ (k 2 ⋅ x)
b
 1 k 2 ⋅ x ( 2 r +1) 
r 2
Vb = π ∫ (k ⋅ x ) dx = π 

0
 (2r + 1)
0
1
Vb = (π ⋅ k 2 ⋅ xb ) xb
2
1
Vb = ( g i ) ⋅ ( H )
2
b
El factor de forma para reducir el volumen de un cilindro al de un paraboloide es 0,5.
Volumen de un neiloide
En el caso de que r =3/2 se obtiene el volumen para un fuste que tiene la forma de un neiloide:
y = k ⋅ x 3 / 2 → y 2 = k 2 ⋅ x3 → gi = π ⋅ (k 2 ⋅ x 3 )
b
Vb = π ∫ (k ⋅ x
0
b
1

) dx = π  (k 2 ⋅ x 4 )
4
0
3/ 2 2
1
(π ⋅ k 2 ⋅ xb3 ) xb
4
1
Vb = ( gi ) ⋅ ( Ht )
4
Vb =
El factor de forma para reducir el volumen de un cilindro al de un paraboloide es 0,25.
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2
La siguiente figura muestra el perfil fustal para fustes que pueden ser representados por cuerpos
geométricos definidos por la función generatriz:
Fómulas de cubicación de trozas
Fórmula
Expresión
Smalian
V = (g i + g s ) ⋅ L / 2
Huber
V = gm ⋅ L
Newton
 g + 4gm + gs 
V = i
⋅L
6


Gossfeld
V = (3g1/ 3 + g s ) ⋅ L / 4
Precisión de las fórmulas anteriores
Fórmula
Cilindro
Si la verdadera forma es:
Paraboloide
Conoide
Neiloide
Smalian
exacta
exacta
subestima
subestima
Huber
exacta
exacta
subestima
subestima
Newton
exacta
exacta
exacta
exacta
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3
Derivación de las fórmulas de cubicación
Si se considera que el área de una sección del fuste gj puede ser estimada usando una función del
tipo:
g j = A + B ⋅ x j + C ⋅ x j + D ⋅ x j + ...
2
3
En donde xj es la altura del fuste a la que se encuentra gj
De lo anterior, se puede calcular el volumen total del
fuste como sigue:
x
x
0
0
V = ∫ g j dx = ∫ A + B ⋅ x j + C ⋅ x j + D ⋅ x j + ...
2
3
Como la integral de xn = xn-1/(n-1), entonces:
V = A⋅ x +
B ⋅ x 2j
2
+
C ⋅ x 3j
3
+
D ⋅ x 4j
4
+ ...
Para obtener una ecuación de dos parámetros sólo es necesario considerar los dos primeros factores:
V = A⋅ x +
B ⋅ x 2j
(g j = A + B ⋅ x j )
(*)
2
Para encontrar los valores de A y B:
g 0 = A + B ⋅ x0
g L = A + B ⋅ xL
Pero como x0 es igual a 0 (base del fuste) y xL es igual a L (altura total del fuste):
g0 = A
gL = A + B ⋅ L
La solución respecto de B es:
B=
g L − A g L − g0
=
L
L
Sustituyendo los valores de A y B en (*), y considerando que x = L:
V = g0 ⋅ L +
g L − g0 g0 + g L
=
⋅L
2
L
Lo cual equivale a la fórmula de Smalian para el cálculo del volumen de la troza (ecuación con 2
parámetros). Las derivaciones para el resto de fórmulas son equivalentes.
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