Sol Gravitatorio y eléctrico PAU

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01. La Estación Espacial Internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una órbita prácticamente
circular a una altura de 390 km, siendo su masa 415 toneladas.
a) Calcule el período de rotación en minutos y la velocidad con la que se desplaza.
b) ¿Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra a una altura doble? ¿Cuál
sería el período de rotación en esta nueva órbita?
Para cualquier satélite:
FA  FC  G
Mm
GM
2 R
v2
m
 v
 7681,4m·s1  T 
 5526,7 s
2
R ORB
R
v
R ORB
1 GMm

 1,22·1013 J 
2 R0

11
La energía en cada órbita es:
 E  EF  E0  6·10 J
1 GMm
13
EF  
 1,16·10 J 

2 RF

E0  
En la nueva órbita: v 
GM
 7468,9m·s1
R

T
2 R
 6014,9s
v
02. Se eleva un objeto de 20 kg de masa desde la superficie de la Tierra hasta 100 km.
a) ¿Cuánto pesa el objeto a esa altura?
b) ¿Cuánto ha incrementado su energía potencial?
La gravedad a esa altura es
g
G MT
(R T  h)2

6,67·10 11 5,98·1024
 9,43m·s2
(6,47·106 )2
 P  mg  188,6N


 1
1
1
1
EP  EPF  EP0  G Mm     6,67·10 11 5,98·10 24 20 

 1,94·10 7 J
6
6 
6,37·10 
 RF R 0 
 6,47·10
03. La sonda espacial europea Mars Express orbita en la actualidad en torno a Marte recorriendo una
órbita completa cada 7,5 horas, siendo su masa de aproximadamente 120 kg.
a) Suponiendo una órbita circular, calcule su radio, la velocidad con que la recorre la sonda y su
energía en la órbita.
b) En realidad, esta sonda describe una órbita elíptica de forma que pueda aproximarse lo
suficiente al planeta como para fotografiar su superficie. La distancia a la superficie marciana en
el punto más próximo es de 258 km y de 11560 km en el punto más alejado. Obtenga la relación
entre las velocidades de la sonda en estos dos puntos.
Datos de Marte: R=3390 km; M=6,42·1023 kg.
a) La velocidad en la órbita y el periodo son:

GM
6,67·10 11 6,42·10 23
4,28·1013

 v 2R  4,28·1013 
3
v

 2151,6m·s1

R
R
683,9

2 R
vT

T
 R
 R  4297,2 v
R  9,25·106 m

v
2

v
La energía en la órbita es:
EORB  
1 G Mm
 2,78·108 J
2 R ORB
b) El momento angular se mantiene constante:
LPROX  LLEJ  rPROX mvPROX  rLEJmvLEJ 
1
vPROX
r
3390  11560
 LEJ 
 4,1
vLEJ
rPROX
3390  258
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04. La masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra y su radio 11 veces el de la Tierra. Su satélite Io se
mueve en una órbita aproximadamente circular, con un período de 1 día, 18 horas y 27 minutos. Calcular:
a) el radio de la órbita de este satélite, su velocidad lineal y su aceleración.
b) la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta Júpiter.
a) el periodo es T=152820 s. Para cualquier satélite:
FA  FC  G
RO 
3
G MJ T2
4 2

3
M Jm
R O2
m
 G
M J 4 2 2
 2 RO
RO
T
6,67·10 11·318·5,98·10 24 ·152820 2
 4,22·108 m
4 2
La velocidad con la que se mueve el satélite es: v 
La aceleración es la centrípeta: aC 
v2
RO
2  R O 2 ·4,22·108

 1,73·10 4 m·s1
T
152820
v 2 (1,73·10 4 )2

 0,709m·s2
8
R
4,22·10
b) La gravedad en la superficie del planeta es: gJ 
G MJ
R
2
J

G·318·M T
121·R 2T
 2,63·g T  25,76m·s2
04. Se desea poner en órbita circular un satélite meteorológico de 1000 kg de masa a una altura de 300 km
sobre la superficie terrestre. Deduzca y calcule:
a) La velocidad, el periodo y aceleración que debe tener en la órbita
b) El trabajo necesario para poner en órbita el satélite
La velocidad del satélite es:
v
GM

R
6,67·10 11·5,98·10 24
2 R 2  6,67·10 6
 7913m·s1  T 

 5293,5s
6
v
7913
6,37·10
La aceleración es la centrípeta, aC 
v2
79132

 9,39m·s2
R
6,67·106
El trabajo para ponerlo en órbita es la diferencia de energías:
 1
1
W  EP  EPF  EP0  G Mm     2,82·10 9 J
 RF R 0 
05. Dos satélites de igual masa orbitan en torno a un planeta de masa mucho mayor siguiendo órbitas
circulares coplanarias de radios R y 3R y recorriendo ambos las órbitas en sentidos contrarios. Deduzca y
calcule:
a) la relación entre sus periodos.
b) la relación entre sus momentos angulares (módulo, dirección y sentido)
La velocidad de un satélite en su órbita es:
GM 

R1  v 1
T R v
2 R
1
 3  T
 1  1 3 

v
T3 R 3 v1 3 3
G M  v3
v3 

R3 
v1 
L3 R 3 v 3
3


 3
L1 R1 v1
3
El momento angular es L  r  mv 
Los momentos angulares tienen la misma dirección pero sentido contrario.
2
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06. Júpiter, el mayor de los planetas del sistema solar y cuya masa es 318,36 veces la de la Tierra, tiene
orbitando doce satélites. El mayor de ellos, Ganimedes (descubierto por Galileo), gira en una órbita
circular de radio igual a 15 veces el radio de Júpiter y con un período de revolución de 6,2·10 5 s. Calcule:
a) la densidad media de Júpiter
b) el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter
M m
M
MJ
4 2
4 2
3·153 
FA  FC  G J2  m 2 R O  G 2 J 2  2 15R J  J 

 1240kg·m3
2
4
3
RO
T
15 R J
T
GT
R
3
J
Calculando la masa y el radio de Júpiter:
M J  318,36·M T  1,904·10 27 kg 

G M J 6,67·10 11·1,904·10 27
 24,786m·s2
3 MJ
 gJ  2 
7 2
7
R
(7,158·10
)
RJ  3
 7,158·10 m
J

4 J

07. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella. El planeta 1 se mueve en una órbita
11
circular de radio 10 m y período de 2 años. El segundo planeta se mueve en una órbita elíptica, siendo su
11
distancia en la posición más próxima a la estrella 10 11 m y en la más alejada 1,8 10 m.
a) ¿Cuál es la masa de la estrella?
b) Hallar el período del planeta 2
c) Hallar la velocidad del planeta 2 cuando se encuentra en la posición más cercana a la estrella.
a) Con los datos del planeta 1
FA  FC  G
Mm
4 2
4 2 R 3
4 2 1033
m 2 R  M 

 1,49·10 29 kg
2
2
11
2
R
T
GT
6,67·10 (2·365·86400)
b) Aplicamos la tercera ley de Kepler, tomando el radio medio de la órbita de cada planeta:
T12
R13

T22
R 32

3
 1,4·1011 
T2  3 T1  
2  3,31años
11 
R1
 1·10 
R 32
c) La velocidad de un satélite (planeta orbitando estrella) en su órbita es
v
GM
6,67·10 11 ·1,49·1029

 9969,1m·s1
R
1011
08. Desde la superficie de un planeta esférico sin atmósfera, de radio 2,3⋅106m y masa 8,6⋅1023 kg, se
dispara un proyectil con velocidad v0 horizontal, es decir en dirección tangente a la superficie.
a) Calcula el valor de v0 para que el proyectil describa una órbita circular rasante a la superficie
del planeta. ¿Cuál es el periodo de esta órbita?
b) Si el proyectil se dispara con una velocidad doble de la anterior, ¿escapará de la atracción
gravitatoria del planeta? Justifica tu respuesta.
a) La velocidad de un satélite en su órbita es:
v
G·M
6,67·10 11·8,6·1023

 4994 ms1
R
2,3·106
y el periodo será: T 
2R 2·2,3·106

 2892,3s
v
4994
b) Para que escape de la atracción gravitatoria su velocidad debe de ser, al menos, la de escape
vESC 
2GM
 2v  7062,58ms1 y su velocidad es superior 2·4994  7062,58
R
3
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09. Dos esferas conductoras aisladas, de 12 y 20 cm de radio, se encuentran en una zona del espacio vacío
y con sus centros separados 10 m, están cargadas cada una con una carga de 25∙10‐9 C. Las cargas se
ponen en contacto mediante un hilo conductor y se alcanza una situación de equilibrio. Calcula:
a) ¿Qué fuerza se ejercen entre sí ambas esferas cuando están aisladas?
b) El potencial al que se encuentra cada una de las esferas antes de ponerlas en contacto.
c) La carga y el potencial de cada esfera cuando, una vez conectadas, se establece el equilibrio.
La fuerza con la que se repelen es F  k
q1 q2
2
d
 9·109
25·10 9 ·25·10 9
 5,625·10 8 N
100
Los potenciales en la superficie, antes de unirse las esferas son:
V1  k
25·109
q
 9·109
 1875 v
d
12·102
V2  k
25·109
q
 9·109
 1125 v
d
20·102
Cuando se ponen en contacto las cargas se reparten porque se igualan los potenciales
q1F  q2F  50·10 9 
9
 q1F  q2F  50·10 
9
q1F
q2F

 q1F  18,75·10 C
0,20
q

0,12
q
k
k

1F
2F 
0,12
0,20 
q2F  31,25·10 9 C
10. Una pequeña esfera de 2g de masa cuelga de un hilo entre dos láminas verticales de un condensador,
separadas 5 cm. La esfera tiene una carga de +6C. Si el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical:
a) ¿Cuál es el valor de la tensión en el hilo?
b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico entre las placas?
c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas?, ¿Cuál es la placa positiva y cuál la negativa?
+
-
En la figura, tg30 
30
FE
3 FE
3

 FE 
2·10 3 ·10  1,15·10 2 N
3
P
3
La tensión es T  FE2  P2  (1,15·102 )2  (2·102 )2  2,30·10 2 N
como la fuerza del campo eléctrico es FE  E·q  E 
P 30
1,15·10 2
 1916,6N·C1
6·10 6
la diferencia de potencial es V  E·d  1916,6·0,05  95,83v
11. Dos cargas puntuales q1=+5C y q2=−5C se encuentran situadas en los puntos A (0,3) y B(0,‐3). Las
coordenadas están expresadas en metros. Calcular:
a) La intensidad del campo eléctrico en el punto P (0, 6)
b) El potencial en el origen de coordenadas y en el punto P
c) El trabajo que realizan las fuerzas eléctricas cuándo un protón se desplaza desde el origen hasta el
punto P.
A
B
P
-5C
5C
E-5 E5
x
En el punto P: EP  E5  E5  9·109
Los potenciales son VO  9·109
y
5·10 6
5·10 6
 9·109
 4444,4NC1
2
2
3
9
5·10 6
5·10 6
 9·10 9
 0v
3
3
VP  9·10 9
5·10 6
5·10 6
 9·10 9
 1·10 4 v
3
9
Y el trabajo para mover el protón es W  qPROTON(VO  VP )  1,6·1019 (0  1·104 )  1,6·1015 J
4
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12. Dos partículas a y b, tienen masas iguales de 1,6 g y cargas de igual valor, pero de signos contrario. La
partícula b está fija en el espacio y la partícula a está colgada del techo por un hilo de masa despreciable.
Cuando ambas partículas están separadas una distancia de 0’25 m, la partícula a se halla en equilibrio y el
hilo forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcula:
a) La tensión del hilo.
b) La fuerza de atracción entre las partículas.
c) El valor absoluto de la carga de las partículas
La fuerza de atracción la sacamos del triángulo de abajo:
tg30 
30
3 FA
3

 FA  1,6·10 3 ·10
 9,24·10 3 N
3
P
3
la tensión y la fuerza total son iguales
0,25 m
a
T  FTOT  FA2  P2  1,85·10 2 N
b
la fuerza de atracción es
FA  9,24·10 3 N  9·109
q2
 q  2,53·10 7 C
0,252
13. Un protón y un electrón se encuentran inicialmente entre las placas de un condensador plano, el
protón en la placa cargada positivamente y el electrón en la cargada negativamente. Comienzan a
moverse al mismo tiempo. ¿Llegan a la vez a las placas opuestas?
Dentro del condensador el campo eléctrico vale lo mismo en todos los puntos, E.
La diferencia de potencial entre las láminas es (VA  VB )  E·d
El trabajo para mover las cargas es el mismo, W  q(VA  VB )
Pero ese trabajo se convierte en energía cinética E 
1
mv 2 y tendrá más velocidad el que menos
2
masa tenga, por lo que el electrón llegará antes que el protón a la lámina opuesta.
14. Dos cargas puntuales de -5C cada una, están fijas en los puntos (0,0) y (5,0). Hallar:
a) el valor del campo electrostático en el punto (10,0)
b) la velocidad con que llega al punto (8,0) una partícula de masa 2 g y carga 8C que se abandona
libremente en el punto (10,0). Las distancias se expresan en metros.
En el punto (10,0):
E  9·109
5·10 6
5·10 6
 9·109
 2250NC1
2
10
52
Ahora calculamos los potenciales en (10,0) y en (8,0):
(5,0) (8,0)
5·10 6
5·10 6
 9·10 9
 13500 v
10
5
5·10 6
5·10 6
V(8,0)  9·10 9
 9·10 9
 20625 v
8
3
El trabajo para llevar la carga de 8C desde el punto (10,0) hasta el (8,0) es:
-5C
-5C
V(10,0)  9·10 9
(10,0)
W  q(V10  V8 )  8·106 (13500  20625)  5,7·102 J
Ese trabajo se convierte en energía cinética, con lo que la velocidad al pasar por el punto (8,0) es:
W  EC 
1
mv 2  v 
2
5
2W

m
2·5,7·10 2
 7,55ms1
2·10 3
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