Ge151

Análisis jerárquico de Saaty aplicado al pronóstico del carso.
Ponente : Ing. Carlos Frade Castro.
Autores : Ing Carlos Frade Castro, Ing. Pedro J. Astraín Rodríguez.
Introducción.
En el presente trabajo se hace un estudio de los diferentes factores que influyen en la posibilidad
de encontrar carso y se construye una jerarquía de factores que permiten aplicar el análisis de
expertos del matemático norteamericano Thomas Saaty, donde el objetivo final es el pronóstico de
carso. Los criterios del segundo nivel son la posibilidad de carsificación areal, vertical y horizontal y
los criterios del tercer nivel son : la litología, porosidad, estratificación, densidad de drenaje, el
parámetro de Barton, la acumulación, la pendiente, la densidad de fracturas modificada areal y
lineal, la máxima capacidad hidráulica disponible y el ángulo formado entre la dirección de
fracturación y la máxima pendiente.
En el último nivel se encuentran las alternativas, que consideraremos como dos : Un punto
patrón de referencia y otro que se estudia con respecto a este patrón. Este trabajo se basa
en[1]. Las variables consideradas como criterios del tercer nivel son las siguientes :
x1- Litología.
x2- Porosidad.
x3- Estratificación.
x4- Densidad de drenaje.
x5- DFMA.
x6- Parámetro de Barton (Jn).
x7- Acumulación.
x8- Pendiente.
x9- DFML.
X10-Alpha.
X11-MCHD.
Haremos las siguientes consideraciones para aplicar el análisis Jerárquico de Saaty :
El pronóstico areal, vertical y horizontal se contemplan como criterios del 2do nivel.
Las variables Xii se contemplan como los criterios del 3er nivel.
Los puntos o regiones del terreno son las alternativas a comparar según los criterios anteriores.
El objetivo en base al cual se hace la comparación es el pronóstico de carsificación.
Pronóstico de carsificación .
Areal
x1
X2
x3
x4
Vertical
x5
Pronóstico
Región 1
x6
x7
Horizontal
x8
x9
Pronóstico
Región 0
X10
X11
A partir de la jerarquía completa de Saaty se construyen las matrices de comparación de criterios y
alternativas.
Para el 1er nivel jerárquico, o sea el objetivo final, se construye una matriz donde se comparan
entre sí el pronóstico específico areal, vertical y horizontal. En resumen una matriz de dimensiones
(3,3).
Para cada pronóstico específico areal, vertical y horizontal se construye una matriz de comparación
de los 11 criterios del 3er nivel. En total 3 matrices de dimensiones(11,11).
Para cada uno de los 11 criterios se construye una matriz de comparación de las alternativas. En
total son 11 matrices de dimensiones (2,2).
Se calcula un vector propio para cada una de las 11 matrices de los criterios del tercer nivel,
obteniéndose 11 vectores propios con los que se conforma una nueva matriz de 11 columnas y 2
filas (2,11).
Se calcula el vector propio de cada matriz del pronóstico específico areal, vertical y horizontal. Con
estos 3 vectores propios se conforma una nueva matriz compuesta por 3 columnas y 11 filas,
donde cada columna es uno de los 3 vectores propios. La matriz tiene dimensión (11,3).
Finalmente, para el primer nivel jerárquico se conforma una nueva matriz(vector) a partir del vector
propio de la matriz del objetivo final del primer nivel. La matriz(vector) tiene dimensión (3,1).
Las matrices conformadas en cada nivel se multiplican la de (2,11) con la de (11,3) con la de (3,1)
obteniéndose una matriz(vector columna) de (2,1), donde aparece el pronóstico de carsificación
del punto 1 con respecto al punto 0.
El punto 0 es un punto patrón con respecto al cual se compara otro punto. Existen varias variantes
de definir el punto 0:
- A partir de un punto real con características verificadas de gran carsificación.
- A partir de un punto conformado con características ideales de gran carsificación.
- A partir de u punto conformado con características pobres de carsificación.
Existen muchas otras variantes de definir el Punto patrón, sin embargo, con las señaladas se
pueden obtener resultados satisfactorios.
Las 11 matrices (2,2) de criterios del 3er nivel serían :
x1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1
1
P0-p1
p1-p0
1c12
x8
x9
x10
x11
P1-p0 es la valoración comparativa de cuanto el punto P1 es mejor que el Punto P0.
P0-p1 es la valoración comparativa de cuanto el Punto P0 es mejor que el Punto P1.
Con cada vector propio de cada una de las 11 matrices se forman cada una de las 11 columnas de
la matriz de los vectores propios de los criterios del 3er nivel, la que tiene 2 filas.
Vp11
Vp21
Vp12
Vp22
Vp13
Vp23
Vp14
Vp24
Vp15
Vp25
Vp16
Vp26
Vp17
Vp27
Vp18
Vp28
Vp19
Vp29
Vp110
Vp210
Vp111
Vp211
Se conformó una matriz nueva de dimensiones (2,11) T 3-4.
Con cada criterio del 2do nivel o pronóstico específico de carsificación areal, vertical u horizontal se
conforma 1 matriz de dimensiones (11,11)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
X1
1
X2
1
X3
1
X4
1
X5
1
X6
1
X7
1
X8
1
X9
1
X10
1
X11
1
Se calcula el vector propio (VP) de cada una de estas 3 matrices y se conforma una nueva matriz
de dimensiones (11,3) T2-3
VP1
VP2
VP3
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
La matriz del objetivo final de pronóstico del carso de (3,3) sería:
Areal
Vertical
Horizontal
Areal
1
Vertical
Horizontal
1
1
De esta matriz se obtiene el vector propio del objetivo final que tiene 3 filas y 1 columna. T 1-2
Obtvo11
Obtvo21
Obtvo31
Al final, multiplicamos la matriz de los vectores propios de los criterios del 3er nivel por la matriz del
vector propio del 2do nivel por la matriz columna del vector propio del objetivo final, o sea :
T3-4 * T2-3 * T1-2
Y obtenemos lo siguiente : T1-4
T1-4
Punto1
Punto0
=
T3-4 *T2-3 * T1-2
Conclusiones.
Con el análisis jerárquico de Saaty se logra profundizar en los cálculos de los distintos pesos de los
criterios, obteniéndose resultados más precisos.
Bibliografía.
1- Pronóstico de la Probabilidad de Carsificación por Tipos y General utilizando Métodos
Complejos Morfométricos y de Percepción Remota. Importancia económica del Carso. Propuesta
de Nueva Clasificación Ingenierogeológica. Pedro J Astraín.