MODELOS DINÁMICOS

MODELOS
DINÁMICOS
Prof. Adriá
Adrián Ferná
Fernández
CURSO METODOS CUANTITATIVOS AVANZADOS Opció
Opción Econometrí
Econometría
Edició
Edición 2009
MODELOS DINAMICOS: TEMAS QUE
SE ANALIZARAN
►
TIPOS DE MODELOS
Función de Transferencia
Ecuación estocástica en diferencias
Dinámica Sistemática
Retardo distribuido autorregresivo y modelos
ARMAX
►
MODELOS DINAMICOS
►
MCE - MODELO CON UNA
VARIABLE EXPLICATIVA
Relaciones de Largo y Corto Plazo
TIPOLOGÍA DE MODELOS
UNI-ECUACIONES
DINÁMICOS
Regresión estática
Modelos univariantes
Modelos en diferencias
Modelos de indicadores adelantados
Modelos de retardos distribuidos
Modelos de ajuste parcial
Representación de common factor
►
1
Tipos
UNIVARIANTES
MULTIVARIANTES
ARIMA BOX-JENKINS
RETARDO DISTR. AUTOREG.
(ADL)
• ARIMA
• SARIMA – ARIMA ESTACIONALES
• ARIMA IA – C/ANAL. INTERVENCION
OTROS UNIVARIANTES
• FUNCION DE TRANSFERENCIA
• MEC. CORR. ERROR (ECM)
• MODELOS ARMAX
• EC. ESTOCASTICA EN DIFERENCIAS
VECTORES AUTOREG. (VARs)
• ALISADO LINEAL (FILTROS)
• HODRICK PRESCOTT
• HOLT WINTERS
VECTORES MEDIAS MOV. (VMAs)
COINTEGRACION
• VECTOR CORR. ERROR (VECM)
Funció
Función de Transferencia
Definició
Definición:
Modelo explicativo de la variable yt a partir de una variable
explicativa (ex
ógena)
(exó
gena) xt, ligada con la primera por una
estructura de retardos racional
y =
t
B(L)
 (L)
x +

A(L)
 (L)
Dinámica
Sistemática
t
t
(I)
Dinámica de las
perturbaciones
2
Ecuació
Ecuación estocá
estocástica en diferencias
►
Una transformació
transformación de (I) puede plantearse a partir de
las sgtes. definiciones:
 (L) = A(L) .  (L)
 (L) = B(L) .  (L)
 (L) =  (L) . A(L)
*
*
(II)
*
►
Se obtiene una formulació
formulación alternativa: ecuació
ecuación
estocá
estocástica en diferencias (finitas)
*
*
*
 (L) y =  (L) x +  (L) 
t
t
t
Ecuació
Ecuación estocá
estocástica en diferencias
► En
[II] la perturbació
perturbación sigue un proceso de medias
móviles.
► Se supone invertibilidad,
invertibilidad, por lo que se puede
aproximar mediante un proceso autorregresivo:
autorregresivo:
 (L) yt =  (L) xt +  t
*
*
(L)
donde:  (L) = 
 (L) =
*
 (L)
► Con
(III)
 (L)
 (L)
*
k vars.
vars. explicativas:
k
(L) y =   (L) x + 
t
j=1
j
jt
t
(IV)
3
Ecuació
Ecuación estocá
estocástica en diferencias
►
El modelo es estable si las raí
raíces de α(L) caen fuera del
círculo unidad.
►
La formulació
formulación en té
términos de ecuaciones estocá
estocásticas en
diferencias es la empleada en la denominada metodologí
metodología
de la LSE.
LSE.
►
Se comienza formulando un modelo general para luego, a
travé
través de contrastes, llegar a modelos má
más simples.
Metodologí
Metodología: DE LO GENERAL A LO ESPECIFICO (generalgeneraltoto-specific)
specific)
Ecuació
Ecuación estocá
estocástica en diferencias
►
En [III] y [IV] se tienen especificaciones en que las
perturbaciones son ruidos blancos.
►
En el caso de la funció
función de transferencia, ecuació
ecuación [I], los
estimadores por MCO no son consistentes. Otros ejemplos,
como la ecuació
ecuación que surge de un supuesto de distribució
distribución
de Koyck de los retardos, tambié
también implican la
inconsistencia de los MCO.
►
A. Harvey plantea repetidamente que debe abandonarse la
"óptica" de los MCO para considerar los estimadores MV.
4
Diná
Dinámica Sistemá
Sistemática
►
Tanto en el modelo [I] de funció
función de transferencia, como
en la ecuació
ó
n
estocá
á
stica
en diferencias [II] el
ecuaci estoc
comportamiento de largo plazo de la variable yt queda
determinado por su diná
dinámica sistemá
sistemática.
►
La trayectoria de la media de yt , en el caso del Modelo I,
está
está dada por:
B(L)
E ( yt ) =
xt
A(L)
►
La naturaleza de la respuesta esperada de y ante cambios
en x dependerá
dependerá del patró
patrón de los coeficientes del
polinomio cociente B(L)/A(L)
Diná
Dinámica Sistemá
Sistemática
► Si
el modelo es estable, puede plantearse una
solució
solución de equilibrio,
equilibrio, o de largo plazo.
plazo.
► Sea
► La
xt constante en el valor x
solució
solución de equilibrio de y ( y ) será
será:
B(1)
bo + b1 + ... bs
y =
x=
x
1 - a1 - ... - a r
A(1)
5
Retardo distribuido autorregresivo (ADL)
► La
formulació
formulación [IV] recibe tambié
también el nombre de
RETARDO DISTRIBUIDO AUTORREGRESIVO
(ADL por su sigla en inglé
inglés)
k
 (L) y t =

j
(L) x jt +  t
(IV)
j=1
► Notació
Notación:
ADL(r,s1,...,s
,...,sk) donde los té
términos
entre paré
paréntesis indican el grado de los
respectivos polinomios autorregresivos (el
polinomio en yt y en cada una de las xt).
Modelo ARMAX
► Se
trata de un Modelo ARMAX si en lugar de
especificar una perturbació
perturbación ruido blanco, se
plantea un modelo MA:
k
 (L) y t =

 j (L) x jt +  (L) t
(V)
j=1
6
MCE – Modelo con una variable explicativa
► Relaciones
de Largo y Corto Plazo
 las series econó
económicas tienen cambios generalmente
lentos, la estimació
estimación de un modelo como el 3 puede
tener varianzas grandes de los estimadores por
multicolinealidad.
multicolinealidad.
 Recordemos Modelo 3
2
r
( 1-  L -  L - ...-  L ) y =
=(  +  L +  L +...+  L ) x + 
1
2
r
t
2
o
1
s
2
s
t
t
MCE – Modelo con una variable explicativa
► Relaciones
de Largo y Corto Plazo
Formulació
Formulación alternativa al Modelo III
r-1
s-1
y t = α y t-1+  α*j y t-j +β xt +  β*j  xt-j + ε t
j=1
j=0
donde:
r
 =  
k
k=1
r
*
 = -  
j
k
j = 1 , 2 , ... , r - 1
k = j+ 1
s
 =  
k=0
k
7
MCE – Modelo con una variable explicativa
► Relaciones
de Largo y Corto Plazo
 La solució
solución de equilibrio de y viene dada por:
y =

x
1-
 La suma de coefs. de L en (III) es justamente:
1- =1- 
k
 Restando yt-1 en ambos miembros y tomando α – 1 de
factor comú
común
    
yt =*jyt- j +*jxt- j +(-1)yt-1- xt-1+t
j
j
 -1 
(VII)
MCE – Modelo con una variable explicativa
► Relaciones
de Largo y Corto Plazo
 Obsé
Obsérvese que si yt es I(1), entonces Δyt será
será I(0).
 La expresió
expresión (VII) tiene sentido si las series xt y yt
está
están cointegradas:
cointegradas: (x
(xt, yt ) ~ CI(1,1)
 La relació
relación de cointegració
cointegración (de equilibrio a largo
plazo) es:
y 
t
donde
x  z ~ I(0)
t
t
  
  -

 -1 
 Si yt es integrada de mayor orden, el MCE tiene una
formulació
formulación má
más compleja.
8
MCE – Modelo con una variable explicativa
► Relaciones
[ y -(
t -1
de Largo y Corto Plazo

)x ]
 -1
t -1
TERMINO DE CORRECCIÓN
DE ERROR - ECT
 Es un ECT ya que corresponde al residuo (o error)
del perí
período previo. Esto es al apartamiento del
equilibrio del perí
período previo.
 De ahí
ahí el modelo recibe el nombre de Mecanismo
de Correcció
Corrección de Error.
MCE – Modelo con una variable explicativa
►
Relaciones de Largo y Corto Plazo

   
 yt =   *j  yt - j +   *j  xt - j + (  - 1 )  y t -1 - 
 xt -1 +  t
 - 1 
j
j

 Describe la diná
dinámica de corto plazo o sea el ajuste hacia
el equilibrio.
 Se espera (α
(α -1) < 0
α<1
 Es decir, residuos o desví
desvíos del equilibrio positivos
contribuyen a Δyt <0 y viceversa si son negativos.
9
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
MODELOS UNIUNI-ECUACIONALES
►
Modelo ADL (1,1): Modelo de 3 pará
parámetros
yt  1 xt   2 xt 1   3 yt -1   t
donde xt es exó
exógena dé
débil en relació
relación a los pará
parámetros de
2
interé
interés β1, β2 , β3 y el error t ~IN(0,σ
~IN(0,σ )
Este modelo incluye encompasses,
encompasses, representaciones
esquemá
esquemáticas de otros 9 tipos de modelos diná
dinámicos
como casos especiales.
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
Tipo de modelo
Ecuación
Restricciones en
ADL(1,1)
(a) Regresión estática
yt = 1 xt + vt
2 = 3 = 0
(b) Serie de tiempo
univariante
yt =  yt-1 + vt
1 = 2 = 0
(c) En diferencias / tasa de
crecimiento
yt =  xt + vt
3 =1, 2 = - 1
(d) Indicador adelantado
(leading indicator)
yt = 2 xt-1 + vt
1 = 3 = 0
(e) Retardos distribuidos
(distributed lags)
yt = 1 xt + 2 xt-1 + vt
3 = 0
(f) Ajuste parcial
yt = 1 xt +  yt-1 + vt
2 = 0
(g) Common factor (error
autocorrelacionado)
yt = 1 xt + ut
ut =  ut-1 + vt
 2 = -  1 3
(h) Mecanismo de Corrección
del Error
yt = 1 xt + (1- (xt-1 – yt-1)
+ vt
i = 1
(i) Forma reducida (dead
start)
yt = 2 xt-1 +  yt-1 + vt
1 = 0
10
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
Los 9 modelos:
 Describen diferentes estilos de retardos y respuestas
largo plazo de y desde x.
 Tiene diferentes ventajas y desventajas como
descripciones de comportamientos de series de tiempo.
 Está
Están afectados por distintos problemas de mala
especificació
especificación.
 Conducen a diferentes estrategias de modelizació
modelización y
estimació
estimación.
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(a) Regresió
Regresión Está
Estática:
yt    j x jt   t
(IX)
j
 Pocas veces es una aproximació
aproximación útil: problema de
regresiones espurias por la presencia de alta
correlació
correlación temporal de las observaciones, residuos
correlacionados y R2 no interpretables.
 El supuesto de xjt exó
exógena débil respecto de los βj ha
probado ser poco viable en la prá
práctica.
 Impone la restricció
restricción que la respuesta de corto y de
largo plazo son idé
idénticas e instantá
instantáneas.
 La predicció
predicción de yt+k requiere predicciones de xj,t+k
11
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(b) Modelo Univariante:
yt = β3 yt-1 + t
 Son útiles como descripció
descripción de los datos, aunque
se focalizan en el comportamiento diná
dinámico.
 Pueden estar sugeridos por la teorí
teoría econó
económica:
supuestos de mercados eficientes y de
expectativas racionales conducen a modelos de
caminata al azar (β
(β3 =1).
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(c) Modelo en Diferencias:
yt =  xt + vt
►
Para transformar las series en estacionarias -en la
metodologí
metodología BoxBox-JenkinsJenkins- o para evitar regresiones espurias
se aplica el filtro Δ = (1(1-L)
►
Es un modelo similar al (a) luego de sustituir yt por Δyt y xt
por Δxt, pero la diferenciació
diferenciación altera en forma fundamental
las propiedades del error del modelo.
12
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(c) Modelo en Diferencias (cont.):
►
Aún cuando yt sea proporcional a xt en el equilibrio, la
solució
solución del modelo en diferencias es indeterminada (en
niveles) y la estimació
estimación de  en el modelo en diferencias
está
está restringida por las varianzas relativas de yt respecto
de xt.
►
Este problema se presenta en estimaciones de la funció
función de
consumo agregado, donde es necesario reconciliar bajas
propensiones marginales con altas y constantes
propensiones medias.
medias.
►
El uso de ratios puede ser má
más adecuado para lograr
variables estacionarias en la modelizació
modelización en economí
economía.
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(d) Modelo de indicadores adelantados:
yt =  2 xt-1 + vt
►
A menos que exista una relació
relación de “causalidad”
causalidad” o de
comportamiento entre las variables,  2 puede no ser
constante y pueden resultar predicciones poco creí
creíbles.
►
Los modelos economé
econométricos que toman en cuenta
“indirectamente”
indirectamente” estos efectos han tendido a superar este
tipo de modelos.
►
Estos modelos intentan explotar directamente diferentes
desfases en las respuestas entre variables (usualmente en
relació
relación al ciclo de negocios). Ej.: Pedidos a las fá
fábricas de
maquinarias pueden “adelantar”
adelantar” al PIB.
13
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(e) Modelo de retardos distribuidos:
yt = b1 xt + b2 xt-1 + vt
y t =α(L) xt + t donde α(L) es un polinomio de orden m.
►
Surgen tanto de modelos estructurales como de otras
relaciones diná
dinámicas entre variables.
►
Presentan sustancial autocorrelació
autocorrelación en los residuos. El
hecho de que xt sea fuertemente exó
exógena es importante
para la detecció
detección y estimació
estimación de la autocorrelació
autocorrelación de los
residuos.
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(e) Modelo de retardos distribuidos:
►
►
►
La “correcció
corrección” de la autocorrelació
autocorrelación al incluir la estimació
estimación
de la autocorrelació
autocorrelación de los errores (por el procedimiento de
CochraneCochrane-Orcutt o similares) impone “common factor
restrictions”
restrictions” cuya validez frecuentemente es dudosa.
Aún luego de remover la autocorrelació
autocorrelación de primer orden, la
ecuació
ecuación puede presentar el problema de la “regresió
regresión
espuria”
espuria”.
La colinealidad entre sucesivos lags de xt ha generado
extensa literatura para enfrentar el elevado nú
número de
pará
parámetros que resultan de la formulació
formulación sin restricciones
al imponer a los α(L) varios tipos de restricciones a priori.
priori.
14
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(f) Modelo de Ajuste Parcial
yt = β1 x t + β3 y
t-1
+ vt
[XII]
 Modelos de los 80s, tienen su base en la optimizació
optimización de
funciones cuadrá
cuadráticas de costos, cuando existen costos de
ajuste.
 La exclusió
exclusión de xt-1 (en relació
relación al modelo ADL(1,1)), si no
es vá
válida, afecta la distribució
distribución de xt sobre yt,
especialmente para valores grandes de β3, implicando una
aparente “lenta velocidad”
velocidad” de ajuste.
 Como derivació
ó
n
derivaci de modelos má
más generales (ej. el modelo
de Koyck),
Koyck), el té
término de error resulta autocorrelacionado:
autocorrelacionado:
las estimaciones por MCO son inconsistentes, al igual que
sus desví
desvíos está
estándar, y los tests como DD-W tampoco son
válidos.
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS:
(g) Common Factor (CF)
yt =  1 xt + ut
ut =  ut-1 + vt
La representación de CF se corresponde a un modelo con error auto
correlacionado.
Considérese un ADL (1,1)
yt  1 xt   2 xt 1  3 y t -1   t
(1 3L) yt  11 (2 / 1) Lxt  t
(VIII)
(XIII)
15
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS:
(g) Common Factor (CF)
Si β distinto de 0:
  3   2 / 1  1  3   2  0
(XIV)
Ambos polinomios (el de yt y el de xt)
xt) tienen un factor comú
común.
Si se cumple esta condició
condición y dividiendo ambos té
términos por
(1(1-β3 L)
 1  (  /  ) L 
1
x 
   x u
(1   L)
(1   L )
y 
1
t
2
1
t
t
3
1
t
t
3
donde ut = β3 ut-1 + t
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
(g) Common Factor (CF) – cont.
Consecuentemente el modelo
 yt  1 zt  ut

ut   3ut 1   t
se deriva directamente y a la inversa de:
y  x  y
t
1
t
3
t 1
  x 
1
3
t 1
(XV)
t
16
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
2 aspectos a destacar de los modelos ADL
 Aunque en la formulación [8] se supone un error
ruido blanco la clase de modelos ADL no excluyen
formulaciones con errores autorregresivos.
 Los errores autocorrelacionados producen un caso
restringido de la clase de los ADL y, por lo tanto, el
supuesto de un error de este tipo es testeable contra
un miembro menos restringido de la clase ADL.
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
Aspectos a destacar de los modelos ADL
►
►
►
►
Argumentos de los econometristas de la LSE respecto de la
corrección “automática” de modelos con “presencia” de
errores autocorrelacionados.
La práctica tradicional de corrección de la autocorrelación
de los residuos (diagnosticada a través del D-W, por
ejemplo) está implícitamente asumiendo un modelo de
common factor.
Es decir, se prueba la hipótesis de errores con un proceso
AR(1) y luego se corrige, p. ej., a través del método de
Cochrane-Orcutt
En realidad cualquier método de estimación que suponga
[XV] está admitiendo un modelo de common factor.
17
TIPOLOGÍ
TIPOLOGÍA DE MODELOS DINÁ
DINÁMICOS
► Pasos
a seguir:
 Estimar el modelo
general
 Realizar la Prueba de
hipó
hipótesis de (XIV)
yt  1 xt   2 xt 1   3 y t -1   t
  3   2 / 1  1  3   2  0
H0: β3= 0 (hipó
(hipótesis de
DW, en última instancia)
 Testear (xv)
(xv)
 yt  1 zt  u t

u t   3u t 1   t
Error de especificació
especificación de un modelo ADL (1,1)
►
Suponga que el PGD es un ADL(1,1):
 yt = xt – 0,5 xt-1 + 0,9 yt-1 + vt
[A]
►
Este modelo puede ser reescrito como uno de retardos
distribuidos (se excluye el té
término de error por simplicidad,
pero en el modelo transformado queda un ruido que sigue
un proceso de medias mó
móviles):
►
Con simulaciones de Montecarlo se estimaron 60.000
modelos especificados como de ajuste parcial
(yt = β1 xt + β3 yt-1 + vt) para una serie generada a partir
del modelo [A], donde x yv son ruidos blancos normales
estandarizados e incorrelacionados.
incorrelacionados.
18
Error de especificació
especificación de un modelo ADL (1,1)
► Para
el modelo estimado, la estructura resultante
de retardos es:
(1  ˆ L ) y  ˆ x
 y  ˆ (1  ˆ L  ˆ L  ˆ L  ...) x
3
t
1
t
2
t
1
3
3
3
2
3
3
t
►
Para 60.000 replicaciones las medias de β1 y β3 fueron,
respectivamente, 1,0000 y 0,8118 y el error está
estándar de los 60.000
casos, de 0,1107 y 0,0654.
►
Para el modelo especificado y para los coeficientes estimados, la
la
estructura de retardos resulta:
yt  (1 0,812L  0,659L2  0,535L3  0,434L4  ...)xt
►
B
Comparando con [A] se observan coeficientes mayores en los primeros
primeros lags y,
en definitiva, una mayor porció
porción del efecto total capturado en los primeros
términos de [B].
19