Relatividad general y colisiones de agujeros negros

Relatividad general
y colisiones de agujeros
g j
negros
g
Miguel
g
Alcubierre
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM
Relatividad especial (1905)
Postulados de Einstein:
•
Las leyes de la física son las mismas en todo sistema inercial.
•
La velocidad de la luz es la misma en todo sistema inercial.
Consecuencias:
1. Transformaciones de Lorentz:
El tiempo es relativo (dilatación del tiempo) …
El espacio es relativo (contracción de Lorentz) …
La simultaneidad es relativa …
2 El
2.
Electrodinámica:
t di á i
Las ecuaciones de Maxwell son relativistas!
El campo eléctrico es relativo … El campo magnético es relativo ...
3. La masa y energía son equivalentes.
Espacio Tiempo
Espacio-Tiempo
“De aquí en adelante el espacio por si mismo y el tiempo por si
mismo están condenados a desvanecerse en simples sombras,
y solo una especie
p
de unión entre ellos mantendrá una realidad
independiente.”
Hermann Minkowski, 1908.
Sin duda el resultado más importante de la relatividad especial es el descubrimiento
de que el “intervalo” entre dos eventos es absoluto:
Δs 2 = − Δt 2 + Δx 2 + Δy 2 + Δz 2
Esto
E
t muestra
t que ell espacio-tiempo
i ti
titiene una realidad
lid d absoluta,
b l t iindependiente
d
di t
del sistema de referencia.
La física es relativista
La relatividad especial se comprueba todos los días en los grandes
aceleradores donde partículas subatómicas se aceleran a velocidades
muy cercanas a las de la luz.
Todas las teorías físicas modernas están basadas en la relatividad
especial:
• Electromagnetismo
• Teoría cuántica de campos
• Interacciones
I t
i
nucleares
l
débil
débiles
• Interacciones nucleares fuertes
Todas EXCEPTO la gravedad que no puede describirse usando
relatividad especial.
La gravedad es diferente de todas las demás fuerzas
fuerzas.
Gravitación newtoniana
De acuerdo con Newton
Newton, la gravedad es una
fuerza de atracción entre cualesquiera dos
objetos con masa. Esta fuerza es
i
inversamente
t proporcional
i
l all cuadrado
d d d
de lla
distancia entre los cuerpos y directamente
proporcional al producto de las masas.
M1 M 2
F =G 2
r
La ley de “gravitación universal” de Newton predice que los
planetas
l
t se mueven en elipses,
li
y es ttan precisa
i que iincluso
l
h
hoy
en día se utiliza para enviar naves espaciales a otros planetas.
Una consecuencia muy importante de la ley de gravitación de
N t es ell h
Newton
hecho
h observado
b
d por G
Galileo
lil d
de que ttodos
d llos
objetos caen con la misma acelaración en un campo gravitacional.
Die g
glücklichste g
gedanken
meines Lebens
“Se me ocurrió entonces el pensamiento
más feliz de mi vida …”
Albert Einstein, 1920
Principio
p de equivalencia
q
((Einstein,, 1907):
)
• Observación: En un campo gravitacional todos los cuerpos caen con la
misma aceleración.
• Principio físico: Un sistema de referencia en caída libre en un campo
gravitacional es (localmente) equivalente a un sistema de referencia inercial.
y de la física en un sistema de referencia en
• Dicho de otro modo: Las leyes
caída libre son idénticas a las de la relatividad especial.
Principio de equivalencia
En caída libre las leyes
y de la
física son idénticas a las que se
observan en un sistema inercial.
De la misma forma, las leyes de
la física en un sistema acelerado
en el vacío son idénticas a las
que se observan en un campo
gravitacional.
Consecuencias del
principio de equivalencia
El principio de equivalencia es el punto de partida de la relatividad
general. Entre sus consecuencias más importantes están:
• Efecto Doppler gravitacional: La luz que se emite desde un pozo
gravitacional sufre un corrimiento al rojo a medida que viaja hacia el
exterior.
• Dilatación gravitacional del tiempo: Si se está en reposo respecto a
un campo gravitacional, el tiempo transcurre más lentamente mientras
más cerca se este del cuerpo gravitante.
• Desviación de la luz en un campo gravitacional: La luz se desvía al
pasar cerca de un campo gravitacional (la derivación original de
Einstein era cualitativamente correcta
correcta, pero había un factor de 2 mal
debido a que en 1907 aún suponía que el espacio era plano).
Lentes gravitacionales
La desviación de la luz por un campo
gravitacional fue medida por primera
vez en 1919 durante un eclipse solar
(en una expedición encabezada por
Eddington).
Hoy en día se conocen muchos ejemplos de “lentes
lentes gravitacionales
gravitacionales”.
La “cruz de Einstein” (cuasar)
Abell 2218
Gravitación y relatividad
Todas las interacciones p
pueden describirse con relatividad especial:
p
• El electromagnetismo es relativista (Maxwell,electrodinámica cuántica)
• Las fuerzas nucleares débiles son relativistas ((modelo electro-débil))
• Las fuerzas nucleares fuertes son relativistas (cromo-dinámica cuántica)
Todas excepto la gravedad. ¿Por qué?
Respuesta: El principio de equivalencia lo prohíbe.
Sistemas en caída libre son equivalentes a la relatividad especial localmente.
La palabra clave aquí es “localmente”.
localmente . En un campo gravitacional no uniforme,
sistemas en caída libre en diferentes puntos caen en direcciones distintas y con
distinta aceleración, es decir, no podemos pegarlos para construir un sistema
inercial global.
!En un campo gravitacional no hay un sistema inercial global!
¿Qué es la gravedad?
La gravedad es una fuerza,
fuerza ¿correcto?
Pues no, equivocado.
La fuerza de g
gravedad no es tal. En caída libre no hay
y forma de medirla.
La “fuerza” de gravedad es “inercial”, como la “fuerza centrífuga”.
Las fuerzas inerciales aparecen cuando insistimos en montarnos en un mal
sistema de referencia: un sistema en rotación en el caso de la fuerza
centrífuga, y un sistema que no esta en caída libre (la superficie terrestre)
en el caso de la gravedad.
¿O sea que no hay “fuerzas de gravedad”?
Equivocado otra vez, si hay.
En campos gravitacionales no uniformes, aún en caída libre es posible medir
una fuerza: las “fuerzas de marea” que jalan en diferentes direcciones los
extremos opuestos
p
de un cuerpo.
p
El verdadero campo gravitacional no es la “fuerza” de Newton, eso no existe. El
campo gravitacional son las fuerzas de marea!
¿Por qué pensar en curvatura
del espacio-tiempo?
• Sistemas en caída libre son equivalentes a la relatividad especial.
• En un campo gravitacional no uniforme no puedo construir un sistema
inercial global
global.
¿A que
¿
q se p
parece esto?
• La Tierra se ve plana localmente.
p lo q
que no p
puedo construir una Tierra p
plana a
• La Tierra es una esfera,, por
partir de los pedacitos planos individuales.
¿A donde me lleva esta analogía?
El espacio-tiempo en un campo gravitacional no uniforme es localmente
plano pero globalmente debe ser curvo!
Pero …¿qué demonios
quiere
i
d
decir
i curvatura?
t ?
En un espacio plano, las lineas rectas mantienen su ángulo, y los ángulos
internos de un triángulo suman 180 grados. En un espacio curvo ninguna
de estas dos cosas es cierta.
Además, en un espacio plano si transportamos
un vector en un circuito
i i cerrado
d manteniéndolo
ié d l
paralelo a sí mismo, el vector regresa igual
En un espacio curvo no.
Relatividad general
La relatividad g
general es la teoría relativista de la g
gravitación.
Se le conoce como “general” porque generaliza la relatividad especial a
espacio-tiempos curvos (y sistemas de coordenadas generales).
“El espacio-tiempo le dice a la materia como
moverse, y la materia le dice al espacio-tiempo
como curvarse”” JJohn
h A
Archivald
hi ld Wh
Wheeler
l (1960?)
La relatividad general tiene dos partes:
1) ¿Cómo se mueven los objetos, y como se comportan las leyes de
l fí
la
física
i en un espacio-tiempo
i i
curvo?
?
Respuesta: El principio de equivalencia.
2) ¿De donde sale la curvatura del espacio-tiempo?
Respuesta: Las ecuaciones de campo de Einstein.
Geodésicas
Principio de equivalencia: En un sistema de referencia en caída libre los objetos
sobre los que no actúan fuerzas externas se mueven como en relatividad especial,
es decir, siguiendo una línea recta (primera ley de Newton).
Un línea recta es la trayectoria más corta entre dos puntos. Al extenderla en un
espacio curvo se transforma en una “geodésica” (trayectoria de longitud extrema).
Los objetos en caída libre siguen geodésicas del espacio-tiempo.
La ecuaciones de Einstein
La densidad de materia y energía son la fuente de la
curvatura del espacio-tiempo. La ley de la gravitación
de Newton se cambia por las “ecuaciones
ecuaciones de campo
de Einstein” (Einstein, 1915):
G μν + Λ g μν
8π G
=
Τμν
4
c
Estas ecuaciones relacionan la geometría del espacio-tiempo (el lado izquierdo)
con la distribución de materia y energía (el lado derecho).
Las ecuaciones de Einstein forman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales
parciales en 4 dimensiones, acopladas y no lineales. En el caso general tienen
miles de términos!
Consecuencias de las
ecuaciones de Einstein
•
Ondas gravitacionales: La gravedad se propaga a la velocidad de la
luz. Como consecuencia, se producen ondas de gravedad análogas
a las ondas electromagnéticas
electromagnéticas.
•
Colapso gravitacional: Las ecuaciones de Einstein predicen que más
allá de cierta concentración de energía, ninguna fuerza física puede
soportar a un objeto y este colapsa inevitablemente en un punto (una
“singularidad”): estos son los agujeros negros.
•
Cosmología: Las ecuaciones de Einstein permiten estudiar la
evolución del Universo como un todo. Predicen la expansión del
Universo y dan lugar al modelo del Big Bang.
Ondas gravitacionales
g
Efecto de las ondas
gravitacionales
it i
l
Las ondas gravitacionales son ondas que se propagan a la velocidad de la
luz. Al encontrar un objeto lo estiran y comprimen en direcciones
perpendiculares de manera alternada.
Polarización +
Polarización x
Si pasaran a través de nosotros nos
haríamos altos y flacos, y después
gordos
go
dos y bajos, u
una
ayo
otra
a vez.
e
Emisión de ondas
gravitacionales
En relatividad, objetos que están
acelerados (en órbita por ejemplo)
emiten
it ondas
d gravitacionales
it i
l .
Las ondas emitidas se llevan
energía del sistema, por lo que la
órbita decae lentamente.
Pulsar binario: ¡las ondas
gravitacionales existen!
Decaimiento en la órbita del pulsar binario PSR 1913+16
comparado con la predicción de relatividad general.
Premio Nóbel de física 1993, R. Hulse y J. Taylor.
Como observar
ondas gravitacionales
Estimaciones de la amplitud de las ondas gravitacionales
producidas por eventos astronómicos violentos (supernovas,
colisiones de estrellas de neutrones) en galaxias cercanas
implican que la señal al llegar a la Tierra produciría cambios en
longitud de tan solo 1 parte en 1021.
Es decir, una barra de 1 metro de longitud cambiaría su longitud
en una distancia del orden de 1 millonésima parte del tamaño de
un núcleo atómico.
¡Las ondas gravitacionales son extremadamente débiles !
¿Cómo detectarlas?
Barras de Weber
A fines de los 60’s, Joseph Weber
propuso utilizar barras resonantes
aisladas de vibraciones externas para
detectar las ondas gravitacionales.
Pese a que Weber afirmó muchas veces haber detectado ondas gravitacionales
gravitacionales,
sus resultados nunca han podido ser reproducidos, incluso con instrumentos muy
superiores.
El consenso hoy en día es que Weber no pudo realmente detectar las ondas,
aunque se continúan construyendo barras resonantes.
Interferómetros
GEO 600
600,
Hanover
LIGO,
LIGO
Hanford
VIRGO,
Pisa
LIGO Livingston
LIGO,
TAMA,
Tokio
El futuro: LISA
(laser interferometer space antenna)
5,000,000 Km. de brazo, punto de Lagrange de órbita terrestre.
Lanzamiento: NASA-ESA, ~2013
Cosmología
El modelo de la
G
Gran
Explosión
E l ió
El Universo comenzó con toda la
materia concentrada en un solo
punto
t (singularidad).
( i
l id d)
El Universo se ha expandido y
enfriado desde entonces.
Pequeñas
q
fluctuaciones iniciales en
la densidad (cuánticas) dieron lugar
a la formación de estructura.
Radiación cósmica de fondo
(descubierta por Penzias y Wilson en 1965)
La radiación cósmica de fondo se comporta como un cuerpo negro a una
temperatura de T=2.725 K.
Solo el modelo del Big Bang puede explicar esto adecuadamente
adecuadamente.
Nótense las barras de
error a 400 desviaciones
estándar para hacerlas
visibles!
¡¡La expansión
p
se esta
acelerando!
Datos
D
t provenientes
i t d
dell
estudio de supernovas tipo IA
en galaxias lejanas indican
que la constante cosmológica
no es cero y que de hecho es
positiva (aceleración).
Composición del Universo
Datos de supernovas lejanas, radiación
de fondo y estadísticas de cúmulos de
galaxias implican que el Universo es
plano, con una constante cosmológica
(energía obscura, quinta-esencia) que
representa
t ell 70% d
de lla d
densidad
id d ttotal.
t l
Del 30% restante, la mayoría es
materia obscura no bariónica
(exótica), y solo el 4% es materia
bariónica (protones
(protones, neutrones
neutrones, etc
etc.))
Edad y futuro del Universo
La edad del Universo (y su futuro) se
puede determinar a partir de su
composición.
i ió
Los resultados actuales implican
p
una
edad de 13.7 billones de años (con
incertidumbre de 5%).
Agujeros Negros
Estrellas obscuras
A fines del siglo XVIII
XVIII, John Michell,
Michell en el Reino Unido
Unido, y Pierre Simon de
Laplace, en Francia, se preguntaron de qué tamaño tendría que ser una
estrella de una masa dada para que su velocidad de escape fuera tan alta
que no pudiera escapar de ella ni siquiera la luz
luz.
Semejante estrella no emitiría luz y
podría llamarse "estrella oscura".
Las estrellas obscuras son el
antecedente “newtoniano” de los
agujeros negros.
Agujeros negros astrofísicos
Los agujeros negros son el final
inevitable de la vida de estrellas muy
masivas, cuyas masas (después de
explotar en una supernova) aún son
mayores de unas 3 masas solares.
Además, en la última década se ha
descubierto que en el centro de
prácticamente todas las g
p
galaxias
(incluida la nuestra) hay verdaderos
monstruos: agujeros negros de
millones de masas solares.
Agujero negro en el centro
d la
de
l Ví
Vía Láctea
Lá t
Movimientos de estrellas cerca del centro de la Galaxia delatan la presencia de un agujero
negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea (Sagitario A*) con una masa de 2,600,000
veces la masa del Sol.
(Video del Insituto Max Planck. Observaciones realizadas en el infra-rojo cercano.)
Colisiones de Agujeros Negros:
ell P
Problema
bl
d
de D
Dos C
Cuerpos
El p
problema de dos cuerpos
p en órbita fue resuelto en la teoría de la
gravitación universal de Newton hace más de 300 años.
En la relatividad general, el problema de dos cuerpos más sencillo es el de
dos agujeros negros en órbita
órbita. Este problema aún no ha sido completamente
resuelto a casi un siglo de que Einstein postulara la teoría.
La razón por la que el problema es tan complejo es que de acuerdo a la
relatividad dos cuerpos en órbita emiten ondas gravitacionales
relatividad,
gravitacionales. Debido a esto
esto,
pierden energía y la órbita decae, hasta que finalmente los objetos chocan.
Ondas gravitacionales producidas
por agujeros
j
negros en órbita
ó bit
Dos objetos en órbita emiten ondas gravitacionales. Al perder energía, la órbita
decae hasta que los objetos chocan.
La señal de ondas gravitacionales provenientes de la colisión de dos agujeros
negros puede calcularse en las etapas inicial y final utilizando técnicas de
aproximación.
La colisión requiere la
solución
l ió completa
l t d
de
las ecuaciones de
Einstein.
Colisión de Frente (Misner)
(
)
(NCSA 1995)
Dos agujeros negros de Misner
inicialmente en reposo que se dejan
caer uno hacia el otro.
• La superficie muestra la “función de
lapso” que es un indicador de la
fuerza del campo gravitacional
gravitacional.
• Los colores muestran la intensidad
de las ondas gravitacionales
gravitacionales.
Colisión de Frente en 3D
(NCSA 1995)
Datos iniciales con simetría axial, pero evolución realizada en 3D.
• Los colores azul y amarillo muestran las ondas gravitacionales.
• La ssuperficie
perficie verde
erde m
muestra
estra la evolución
e ol ción del hori
horizonte
onte de e
eventos.
entos
Colisión de Roce
(AEI-Potsdam 1999)
Lado izquierdo: Evolución del horizonte aparente. El color indica la curvatura
gausiana (el rojo representa una esfera).
Lado derecho: Emisión de ondas gravitacionales ψ4 el error numérico es
evidente hacia el final.
2005: finalmente órbitas!
A fines del 2005, de manera independiente dos grupos (NASA-Goddard y
Brownsville-UTB)
Brownsville
UTB) ograron simular varias órbitas de dos agujeros negros
negros.
Simulación de agujeros negros en órbita (cortesía de UTB)
Conclusiones
• La relatividad general es la teoría moderna de la gravitación. De acuerdo
a ella la gravedad no es una fuerza, sino una manifestación de la
curvatura del espacio-tiempo.
• Entre sus predicciones están la existencia de las ondas gravitacionales,
el modelo cosmológico de la gran explosión, y los agujeros negros.
• Las ecuaciones de la relatividad general son altamente complejas, y su
solución en situaciones de relevancia astrofísica requiere de simulaciones
numéricas.
• Estas simulaciones serán de gran utilidad para la detección de ondas
gravitacionales. Esta detección se espera antes del fin de esta década, y
dará origen a una nueva rama de la astronomía
astronomía.